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2017届高三数学(文)一轮复习课件:4-3 平面向量的数量积与平面向量应用举例


第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

第三节
平面向量的数量积与平面向量应用举例
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一、知识清单 微知识? 平面向量的数量积 若两个 非零 向量 a 与 b,它们的夹角为 θ,则数量|a||b|cosθ 叫做 a b=|a||b|cosθ 与 b 的数量积(或内积),记作 a· 。 规定:零向量与任一向量的数量积为
b=± |a||b| 。 与 b 平行的充要条件是 a· 0。 b=0 ,两个非零向量 a 两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是 a·

微知识? 平面向量数量积的几何意义 数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的投影|b|cosθ的乘积。

微知识? 平面向量数量积的重要性质 (1)e· a=a· e= |a|cosθ ;
b=0 ; (2)非零向量 a,b,a⊥b? a· (3)当 a 与 b 同向时,a· b= |a||b| ;当 a 与 b 反向时,a· b=-|a||b| ,a· a



a2,|a|=

a· a ;

a· b (4)cosθ= |a||b| ;

(5)|a· b|



|a||b|。

微知识? 平面向量数量积满足的运算律 (1)a· b=
b· a

(交换律);
a· (λb)

(2)(λa)· b=λ(a· b)= (3)(a+b)· c=

(λ 为实数);

a· c+b· c 。 x1x2+y1y2

微知识? 平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b= (1)若 a=(x,y),则|a| =
2

x2+y2

,或|a|=

x2+y2

,由此得到: ;

→ (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点间的距离|AB|=|AB|=
?x1-x2?2+?y1-y2?2

; 。

(3)设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b? x1x2+y1y2=0

微知识? 平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a+b)· (a-b)=a2-b2。 (2)(a+b)2=a2+2a· b+b2。 2 b+b2 。 (3)(a-b)2= a -2a·

二、小题查验 1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,且有正有负。( √ )
解析: 正确。 由向量投影的定义可知, 当两向量夹角为锐角时结果为正, 为钝角时结果为负。

(2)若 a· b=0,则必有 a⊥b。(× )
解析:错误。当 a 与 b 至少有一个为 0 时得不到 a⊥b。

(3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结 果是向量。( √ )
解析:正确。由数量积与向量线性运算的意义可知,正确。

(4)若 a· b<0,则向量 a,b 的夹角为钝角。(×)
解析:错误。当 a· b=-|a||b|时,a 与 b 的夹角为 π。

2.下列四个命题中真命题的个数为( ①若 a· b=0,则 a⊥b; ②若 a· b=b· c,且 b≠0,则 a=c; ③(a· b)· c=a· (b· c); ④(a· b)2=a2· b2。 A.4 个 B.2 个 C.0 个

)

D.3 个

解析:a· b=0 时,a⊥b,或 a=0,或 b=0。故①命题错。 ∵a· b=b· c,∴b· (a-c)=0。 又∵b≠0,∴a=c,或 b⊥(a-c)。故②命题错误。 ∵a· b 与 b· c 都是实数,故(a· b)· c 是与 c 共线的向量,a· (b· c)是与 a 共线的 向量, ∴(a· b)· c 不一定与 a· (b· c)相等。故③命题不正确。 ∵(a· b)2=(|a||b|cosθ)2=|a|2|b|2cos2θ≤|a|2· |b|2=a2· b2。故④命题不正确。 答案:C

→ → 3.在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10,则AB· AC=( A.- 3 2 2 3 B.- C. D. 2 3 3 2

)

解析:在△ABC 中, AB2+AC2-BC2 9+4-10 1 cos∠BAC= = = , 2AB· AC 2×3×2 4 → → → → 1 3 ∴AB· AC=|AB||AC|cos∠BAC=3×2× = 。 4 2 答案:D

4.已知平面向量 a=(1,-3),b=(4,-2),λa+b 与 a 垂直,则 λ=( A.-1 C.-2 B.1 D.2

)

解析:λa+b=(λ+4,-3λ-2)。∵λa+b 与 a 垂直,∴(λa+b)· a=10λ+10 =0。∴λ=-1。 答案:A

5.已知 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 上的投影为( 13 65 A. 13 B. 5 C. 5 D. 65

)

a· b 2×?-4?+3×7 13 65 解析:|a|cosθ= = = = 5 。 |b| 65 ?-4?2+72 答案:C

微考点

大课堂
考点例析 对点微练

微考点?

平面向量的数量积的运算

3 - 则 a· b+b· c+c· a=______ 2 。

→ → → 【典例 1】(1)已知等边三角形 ABC 的边长为 1,设AB=a,BC=b,CA=c, → → (2)已知正方形 ABCD 的边长为 1, 点 E 是 AB 边上的动点。 则DE· CB的值为

→ → 1 1 ________,DE· DC的最大值为________ 。

解析:(1)如图,得 a 与 b,b 与 c,c 与 a 的夹角都是 120° ,

又|a|=|b|=|c|=1,
? 1? 所以原式= 1×1×cos120° + 1×1×cos120° + 1×1×cos120° = ?-2? ×3 = ? ?

3 -2。

解析:(2) 方法一:如图所示,以 AB,AD 所在的直线分别为 x,y 轴建立 → → 直角坐标系,设 E(t,0),0≤t≤1,则 D(0,1),B(1,0),C(1,1),DE=(t,-1),CB =(0,-1), → → 所以DE· CB=1。 → 又因为DC=(1,0), → → 所以DE· DC=t≤1。

→ → → → → → → 方法二:选取{AB,AD}作为基底, 设AE=tAB,0≤t≤1,则DE· CB=(tAB- → → AD)· (-AD) → → →2 =-tAB· AD+AD =0+1=1。 → → → → → DE· DC=(tAB-AD)· AB=t≤1。 → → → → 方法三:利用几何意义可知DE· CB=DE· DA

→ → → =|DE|· |DA|· cos∠EDA=|DE|· cos∠EDA → =|DA|=1。 → → 设AE=tAB, → → → → → 则DE· DC=DE· AB=|DE|· 1· cos∠AED → → =|AE|=|t||AB|=|t|≤1。

[规律方法] 向量数量积的两种计算方法 (1)当已知向量的模和夹角 θ 时,可利用定义法求解,即 a· b=|a||b|cosθ。 (2)当已知向量的坐标时, 可利用坐标法求解, 即若 a=(x1, y1), b=(x2, y2), 则 a· b=x1x2+y1y2。

→ → 【微练 1】(1)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则AE· BD=

2 __________ 。
(2)已知平面向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a· b=-6,则 x1+y1 的值为( B ) x2+y2 5 5 C.6 D.-6 → → 1→ → → → → → ? → 1→? → 解析:(1)因为AE=AD+2AB,BD=AD-AB,所以AE· BD=?AD+ AB?· (AD 2 ? ? 2 A.3 2 B.-3

→ → 1 → → 1→2 -AB)=AD2- AD· AB- AB =2。 2 2

解析:(2)由已知得,向量 a=(x1,y1)与 b=(x2,y2)反向,3a+2b=0,即 x1+y1 2 2 2 3(x1,y1)+2(x2,y2)=(0,0),得 x1=-3x2,y1=-3y2,故 =-3。 x2+y2

微考点? 角度一:平面向量的模

平面向量的夹角与模的计算

【典例 2】已知 a,b 是单位向量,a· b=0。若向量 c 满足|c-a-b|=1,则 |c|的最大值为( ) A. 2-1 B. 2 C. 2+1 D. 2+2
解析: 建立如图所示的直角坐标系, 由题意知 a⊥b, 且 a 与 b 是单位向量,

→ → → ∴可设OA=a=(1,0),OB=b=(0,1),OC=c=(x,y)。∴c-a-b=(x-1, y-1)。∵|c-a-b|=1, ∴(x-1)2+(y-1)2=1,即点 C(x,y)的轨迹是以 M(1,1)为圆心,1 为半径 的圆。 而|c|= x2+y2,∴|c|的最大值为|OM|+1,即|c|max= 2+1。 答案:C

角度二:平面向量的夹角 【典例 3】若非零向量 a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|,则 a 与 b 夹角的余弦值 为__________。

解析:由|a|=|a+2b|,两边平方,得|a|2=|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a· b,所以 a· b=-|b|2。 |b|2 1 a· b 又|a|=3|b|,所以 cos〈a,b〉= =- 2=- 。 3 |a||b| 3|b| 1 答案:-3

角度三:平面向量的垂直 → → → → → → 【典例 4】 已知向量AB与AC的夹角为 120° , 且|AB|=3, |AC|=2。 若AP=λAB → → → +AC,且AP⊥BC,则实数 λ 的值为__________。
→ → → → 解析:∵AP⊥BC,∴AP· BC=0。 → → → → → → → → → → → ∴ (λ AB + AC )· BC= 0 ,即 (λ AB + AC)· ( AC - AB ) = λ AB · AC- λ AB 2 + AC 2 - → → AC· AB=0。 → → → → ∵向量AB与AC的夹角为 120° ,|AB|=3,|AC|=2, → → ∴(λ-1)|AB||AC|· cos120° -9λ+4=0, 7 解得 λ= 。 12 7 答案: 12

[规律方法] a· b (1)求两向量的夹角。cosθ= ,要注意 θ∈[0,π]。 |a|· |b| (2)两向量垂直的应用。两非零向量垂直的充要条件是:a⊥b?a· b=0?|a -b|=|a+b|。 (3)求向量的模。利用数量积求解长度问题的处理方法有: ①a2=a· a=|a|2 或|a|= a· a。 ②|a± b|= ?a± b?2= a2± 2a· b+b2。 ③若 a=(x,y),则|a|= x2+y2。

【微练 2】(1)已知平面向量 a,b,|a|=1,|b|= 3,且|2a+b|= 7,则向 量 a 与 a+b 的夹角为( B ) π π π A. B. C. D.π 2 3 6 (2)已知平面向量 α,β, |α|= 1 ,β=(2,0),α ⊥(α- 2β),则 |2α+ β|的值为

10 。 __________
解析:(1)∵|2a+b|2=4|a|2+4a· b+|b|2=7,|a|=1,|b|= 3, ∴4+4a· b+3=7,∴a· b=0。 ∴a⊥b。如图所示,a 与 a+b 的夹角为∠COA。 |CA| |b| ∵tan∠COA= = = 3, |OA| |a|

π π ∴∠COA=3,即 a 与 a+b 的夹角为3。

(2)∵β=(2,0),∴|β|=2。 又 α⊥(α-2β), ∴α·(α-2β)=α2-2α·β=1-2α·β=0。 1 ∴α·β= 。 2 ∴(2α+β)2=4α2+β2+4α·β=4+4+2=10。 ∴|2α+β|= 10。

微考点?

平面向量与三角函数的综合

【典例 5】已知向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0<β<α<π。 (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b;

解析:(1)证明:由题意得|a-b|2=2, 即(a-b)2=a2-2a· b+b2=2。 又因为 a2=b2=|a|2=|b|2=1, 所以 2-2a· b=2,即 a· b=0,故 a⊥b。

(2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值。
解析:(2)因为 a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1),所以
?cosα+cosβ=0, ? ?sinα+sinβ=1。

由此得,cosα=cos(π-β),由 0<β<π,得 0<π-β<π,又 0<α<π,故 α 1 5π π =π-β。代入 sinα+sinβ=1,得 sinα=sinβ= ,而 α>β,所以 α= ,β= 。 2 6 6

[规律方法] (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直 或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解。 (2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表 达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求 得值域等。

【微练 3】设向量 a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ)。 (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α+β)的值; 解析:(1)由 a 与 b-2c 垂直,
得 a· (b-2c)=a· b-2a· c=0, 即 4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,tan(α+β)=2。

(2)求|b+c|的最大值;
解析:(2)b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ), |b + c|2 = sin2β + 2sinβcosβ + cos2β + 16cos2β - 32cosβsinβ + 16sin2β = 17 - 30sinβcosβ=17-15sin2β,故最大值为 32,所以|b+c|的最大值为 4 2。

(3)若 tanαtanβ=16,求证:a∥b。
解析:(3)证明:由 tanαtanβ=16,得 sinαsinβ=16cosαcosβ,即 4cosα· 4cosβ -sinαsinβ=0,所以 a∥b。

微考场

新提升
考题选萃 随堂自测

1.(2015· 课标Ⅱ卷)向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)· a=( A.-1 C.1 B.0 D.2

)

解析: ∵a=(1, -1), b=(-1,2), ∴(2a+b)· a=(1,0)· (1, -1)=1×1+0×(- 1)=1。 答案:C

2.(2015· 重庆卷)已知非零向量 a,b 满足|b|=4|a|,且 a⊥(2a+b),则 a 与 b 的夹角为( π A. 3 2π C. 3 ) π B. 2 5π D. 6

解析:由题意,得 a· (2a+b)=2a2+a· b=0,即 a· b=-2a2,所以 cos〈a,
2 1 2π a· b -2a b〉= = 2 =-2,所以〈a,b〉= 3 ,故选 C。 |a||b| 4a

答案:C

3.(2015· 广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知四边形 ABCD 是平行四边 → → → → 形,AB=(1,-2),AD=(2,1),则AD· AC=( A.5 C.3 B.4 D.2 )

→ → → → → 解析:由AC=AB+AD=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),得AD· AC=(2,1)· (3, -1)=5,故选 A。 答案:A

4.(2015· 陕西卷)对任意平面向量 a,b,下列关系式中不恒成立的是( A.|a· b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b|| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)· (a-b)=a2-b2

)

解析:|a· b|=|a|· |b|· |cosθ|≤|a|· |b|,选项 A 正确;根据向量减法的三角形法 则可知边长|a-b|大于等于其他两边差的绝对值||a|-|b||,因此 B 错误;由平面 向量数量积的性质和运算法则知 C,D 正确。故选 B。 答案:B

1 5.(2015· 浙江卷)已知 e1,e2 是平面单位向量,且 e1· e2=2。若平面向量 b 满足 b· e1=b· e2=1,则|b|=________。
y x 解析:不妨设 b=x e1+y e2,则 b· e1=x+2=1,b· e2=2+y=1,因此可得 2 2 2 3 x=y=3,所以|b|=3|e1+e2|= 3 。 2 3 答案: 3


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