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(江苏专版)高考数学总复习 第1章 第3节 简单的逻辑联结词双基自测 理(新版)苏教版必修1

第三节

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1

内容 考纲传真 简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词

要求 A √ √ B C

2

1.逻辑联结词 “或”“且”“非”称为逻辑联结词,由逻辑联结词构成的命题形式为:p 或 q、p 且 q、非 p,也可记为 p∨q、p∧q、┑p. 2.含逻辑联结词的命题的表

p
真 真 假 假

q
真 假 真 假

p∧q
真 假 假 假

p∨q
真 真 真 假

┑p 假 假 真 真

3.集合中的“交”“并”“补”与逻辑联结词“且”“或”“非” (1)“或”与“并”相当:A∪B={x|x∈A 或 x∈B}; (2)“且”与“交”相当:A∩B={x|x∈A 且 x∈B}; (3)“非”与“补”相当:?UA={x|x∈U 且 x?A}. 4.全称量词与全称命题 (1)“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词,通常用符号“? x”表示“对任意 x”. (2)含有全称量词的命题称为全称命题. (3)全称命题的一般形式可表示为? x∈M,p(x).

3

5.存在量词与存在性命题 (1)“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词.通常用符号“? x”表示“存在 x”. (2)含有存在量词的命题称为存在性命题. (3)存在性命题的一般形式表示为? x∈M,p(x). 6.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定

? x∈M,p(x)

? x∈M,┑p(x)

? x∈M,p(x)

? x∈M,┑p(x)

1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)命题“5>6 或 5>2”是假命题.( ) )

(2)命题“┑(p∨q)”是真命题,则命题 p,q 至少有一个是真命题.( (3)“长方形的对角线相等”是存在性命题.( )

4

(4)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”.( [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2.(教材改编)命题 p:“? x∈R,sin x≤1”的否定是________.

)

[解析] 全称命题的否定是存在性命题,“sin x≤1”的否定是“sin x>1”,∴┑p:? x∈R,sin x>1. [答案] ? x∈R,sin x>1 3.命题 p:“存在 x∈R,使得 x +2x+5=0”的否定是________. [解析] 存在性命题的否定是全称命题,“x +2x+5=0”的否定是“x +2x+5≠0”,∴┑p:? x∈R,x +2x+5≠0. [答案] ? x∈R,x +2x+5≠0 4.(2014·辽宁高考改编)设 a,b,c 是非零向量.已知命题 p:若 a·b=0,b·c=0,则 a·c=0; 命题 q:若 a∥b,b∥c,则 a∥c.则下列命题中真命题的序号是________. ①p∨q;②p∧q;③(┑p)∧(┑q);④p∨(┑q). [解析] 法一:取 a=c=(1,0),b=(0,1),显然 a·b=0,b·c=0,但 a·c=1≠0,∴p 是假命题.
2 2 2 2 2

a,b,c 是非零向量,由 a∥b 知 a=xb,由 b∥c 知 b=yc,
∴a=xyc,∴a∥c,∴q 是真命题. 综上知 p∨q 是真命题,p∧q 是假命题. 又∵┑p 为真命题,┑q 为假命题, ∴(┑p)∧(┑q),p∨(┑q)都是假命题.

法二: 由于 a, b, c 都是非零向量, ∵a·b=0, ∴a⊥b.∵b·c=0, ∴b⊥c.如图, 则可能 a∥c, ∴a·c≠0, ∴命题 p 是假命题,∴┑p 是真命题.命题 q 中,a∥b,则 a 与 b 方向相同或相反;b∥c,则 b 与 c 方向相同或

5

相反.故 a 与 c 方向相同或相反,∴a∥c,即 q 是真命题,则┑q 是假命题,故 p∨q 是真命题,p∧q,(┑p)∧(┑q),p∨(┑q)都是假命题. [答案] ① 5.下列命题中的真命题有________(填序号). 1 2 x ①? x∈R,x+ =2;②? x∈R,sin x=-1;③? x∈R,x >0;④? x∈R,2 >0.

x

1 3π 2 [解析] 对于①,x=1 时,x+ =2,正确;对于②,当 x= 时,sin x=-1,正确;对于③,x=0 时,x =0,错误;对于④,根据指数函数的 x 2 值域,正确. [答案] ①②④

考向 1 含有一个量词的命题的否定

【典例 1】 (1)(2014·安徽高考改编)命题“? x∈R,|x|+x ≥0”的否定是________. (2)命题“存在实数 x,使 x>1”的否定是________. [解析] (1)易知命题的否定为:? x∈R,|x|+x <0. (2)存在性命题的否定为全称命题,即:对任意实数 x,都有 x≤1. [答案] (1)? x∈R,|x|+x <0 (2)对任意实数 x,都有 x≤1
2 2

2

6

【规律方法】 1.弄清命题是全称命题还是存在性命题,是正确写出命题否定的前提. 2.全称(存在性)命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别,全称(存在性)命题的否定是将其全称量词改为存在量词(存在量词改为全称量词), 并把结论否定. 【变式训练 1】 (1)(2014·福建高考改编)命题“? x∈[0,+∞),x +x≥0”的否定是________. [解析] 全称命题:? x∈[0,+∞),x +x≥0 的否定是特称命题:? x∈[0,+∞),x +x<0. [答案] ? x∈[0,+∞),x +x<0 (2)已知命题 p:? x∈R,x -3x+3≤0,则下列说法正确的是________. ①┑p:? x∈R,x -3x+3≥0;②┑p:? x∈R,x -3x+3>0;③┑p:? x∈R,x -3x+3≥0;④┑p:? x∈R,x -3x+3>0. [解析] 存在性命题的否定是全称命题. [答案] ④
2 2 2 2 2 3 3 3 3

7

考向 2 命题的真假判断(高频考点)

命题视角 出现.

本节内容是高考考查的重点,主要考查:(1)含逻辑联结词的命题的真假判断;(2)全称命题与存在性命题的真假判断,题型以填空形式

【典例 2】 (1)(2014·湖南高考改编)已知命题 p:若 x>y,则-x<-y;命题 q:若 x>y,则 x >y .在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(┑q);④(┑p) ∨q 中,真命题是________(填序号). (2)(2014·重庆高考改编)已知命题 p:对任意 x∈R,总有 2 >0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则命题①p∧q,②┑p∧┑q,③┑p∧q, ④p∧┑q 中,真命题的是________(填序号). 【思路点拨】 先判断命题 p,q,┑p,┑q 的真假,再判断复合命题的真假. [解析] (1)当 x>y 时,-x<-y,故命题 p 为真命题,从而┑p 为假命题. 当 x>y 时,x >y 不一定成立,故命题 q 为假命题,从而┑q 为真命题. 由真值表知,①p∧q 为假命题;②p∨q 为真命题;③p∧(┑q)为真命题;④(┑p)∨q 为假命题. (2)因为指数函数的值域为(0,+∞),所以对任意 x∈R,y=2 >0 恒成立,故 p 为真命题;因为当 x>1 时,x>2 不一定成立,反之当 x>2 时,一定有
x
2 2

2

2

x

x>1 成立,故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故 q 为假命题,则 p∧q、┑p 为假命题,┑q 为真命题,┑p∧┑q、┑p∧q 为假命题,p∧┑q 为真
命题,故填④. [答案] (1)②③ 【通关锦囊】 1.判断复合命题真假的步骤:(1)确定复合命题的结构形式;(2)判断其中简单命题的真假;(3)根据真值表判断复合命题的真假. 2.“p∧q”形式的复合命题的真值判断为“一假必假”;“p∨q”形式的复合命题的真值判断为“一真必真”;“┑p”形式的复合命题的真值判 断为“真假相对”. (2)④

8

【变式训练 2】 (1)下列结论中,正确的是________. ①“p 且 q”为真是“p 或 q”为真的充分不必要条件; ②“p 且 q”为假是“p 或 q”为真的充分不必要条件; ③“p 或 q”为真是“┑p”为假的必要不充分条件; ④“┑p”为真是“p 且 q”为假的必要不充分条件. (2)已知命题 p:? x∈R,2 <3 ;命题 q:? x∈R,x =1-x ,则命题①p∧q,②┑p∧q,③p∨q,④p∨┑q 中真命题是________(填序号). [解析] (1)由“p 且 q”为真,得 p 真且 q 真,∴“p 或 q”为真;又 p 真且 q 假时,“p 或 q”为真,但“p 且 q”为假,故①正确. 由“┑p”为假,得 p 真,∴“p 或 q”为真,又 p 假 q 真时,“p 或 q”为真,但“┑p”为真,故③正确. (2)由函数 y=2 与 y=3 的图象可知当 x<0 时,2 >3 ,所以命题 p 为假命题,从而┑p 为真命题.由 y=x 与 y=1-x 的图象有交点,可知 q 为真命 题,从而┑q 为假命题,所以②③正确. [答案] (1)① (2)②③ 考向 3 根据命题的真假求参数范围
x x x x
3 2

x

x

3

2

【典例 3】 (1)已知命题 p:“? x∈[1,3],kx+2>0”为假命题,求实数 k 的范围. (2)已知命题 p:“? x∈R,使得 ax +2x+1<0”为真命题,求实数 a 的范围. [解] (1)当 k=0 时,kx+2=2>0,此时对任意 x 都成立.即命题 p 为真命题,不合题意. 当 k≠0 时,要使命题 p 为假命题,则? x∈[1,3],有 kx+2≤0.设 y=kx+2,此时函数具有单调性.可知必有 k+2≤0 或 3k+2≤0, 2 2 解得 k≤-2 或 k≤- ,即 k≤- . 3 3 2? ? 综上可知 k 的范围为?-∞,- ?. 3? ?
2

9

(2)当 a=0 时,不等式 ax +2x+1<0 为 2x+1<0. 1 解得 x<- ,结论成立. 2 当 a≠0 时,令 f(x)=ax +2x+1, 又 a<0 时,显然 ax +2x+1<0 有解,即存在 x,使命题 p 为真.
? ?a>0, a>0 时,必须有? ? ?a>0, 即? ?4-4a>0. ?
2 2

2

?Δ >0, ?

解得 0<a<1, 综上可知 a 的范围为(-∞,1). 【规律方法】 1.含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假,求出此时参数成立的条件,再求出含逻辑联结词的命题成立的条件. 2.全称命题可转化为恒成立问题. 【变式训练 3】 (1)若命题“? x∈R,2x -3ax+9<0”为假命题,求实数 a 的范围. (2)已知命题 p:? x∈R,ax +2x+1≥0 是真命题,求实数 a 的范围. [解] (1)∵“? x∈R,2x -3ax+9<0”为假命题,则 “? x∈R,2x -3ax+9≥0”为真命题. 因此 Δ =9a -4×2×9≤0,解得-2 2≤a≤2 2. 即 a 的范围为[-2 2,2 2]. (2)∵“? x∈R,ax +2x+1≥0”为真命题,
2 2 2 2 2 2

10

∴?

? ?a>0, ?Δ =4-4a≤0, ?

解得 a≥1.

即 a 的范围为[1,+∞)

明确 1 种关系 逻辑联结词与集合的关系 “或、且、非”三个逻辑联结词,对应着集合运算中的“并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三 个联结词构成的命题问题. 理清 2 类否定 含有一个量词的命题的否定 1.全称命题的否定是存在性命题,若全称命题 p:? x∈M,p(x),则┑p:? x∈M,┑p(x). 2.存在性命题的否定是全称命题,若存在性命题 p: ? x∈M,p(x),则┑p:? x∈M,┑p(x). 掌握 3 个结论 1.命题 p 与命题┑p 的真、假性相反. 2.命题 p 和 q 中有一个是真命题,则命题 p∨q 为真命题. 3.命题 p 和 q 中有一个是假命题,则命题 p∧q 为假命题.

11

规范解答之 1

由命题的真假求参数的取值范围

(12 分)已知 a>0,设命题 p:函数 y=a 在 R 上单调递增;命题 q:不等式 ax -ax+1>0 对? x∈R 恒成立.若“p∧q”为假,“p∨q” 为真,求 a 的取值范围. —— [规范解答示例] —— ∵函数 y=a 在 R 上单调递增,∴p:a>1. 不等式 ax -ax+1>0 对? x∈R 恒成立,且 a>0, ∴a -4a<0,解得 0<a<4,∴q:0<a<4. ∵“p∧q”为假,“p∨q”为真,∴p,q 中必有一真一假.(7 分) ①当 p 真,q 假时,{a|a>1}∩{a|a≥4}={a|a≥4}. ②当 p 假,q 真时,{a|0<a≤1}∩{a|0<a<4}={a|0<a≤1}.(11 分) 故 a 的取值范围是{a|0<a≤1,或 a≥4}. —— [构建答题模板] —— 第一步 求复合命题中单个命题中的参数范围. ? 第二步 由复合命题的真假得到单个命题的真假. (12 分) (9 分)
2 2

x

2

x

(2 分)

(5 分)

12

? 第三步 把单个命题真、假组合转化为参数范围的关系,并求出满足复合命题的参数范围. ? 第四步 总结并明确给出最终的参数范围. 【智慧心语】 易错提示:(1)由命题 p 为真命题的参数范围求 p 为假命题的参数范围. (2)由复合命题真假得到单个命题的真、假组合. (3)最后不综合、不总结,没有给出明确的参数范围. 防范措施:(1)p 为真命题和 p 为假命题时参数范围是互补的. (2)p∨q 为真命题时,p,q 至少有一个为真命题.

p∨q 为假命题时,p,q 必须都是假命题. p∧q 为真命题时,p,q 必须都是真命题. p∧q 为假命题时,p,q 至少有一个为假命题.
(3)最后必须明确给出参数的所有范围. 【类题通关】 已知命题 p:关于 x 的方程 x -ax+4=0 有实根;命题 q:关于 x 的函数 y=2x +ax+4 在[3,+∞)上是增函数.若 p 或 q 是真命 题,p 且 q 是假命题,求实数 a 的取值范围. [解] 命题 p 为真命题时,Δ =a -16≥0,即 a≥4 或 a≤-4.
2 2 2

13

命题 q 为真命题时,- ≤3,即 a≥-12. 4 因为 p 或 q 是真命题,p 且 q 为假命题. 所以命题 p,q 一真一假. 若 p 真 q 假,则有?
? ?a≥4或a≤-4, ? ?a<-12,

a

即 a<-12.

?-4<a<4, ? 若 p 假 q 真,则有? ?a≥-12, ?

即-4<a<4.

综上知,实数 a 的取值范围是(-∞,-12)∪(-4,4). 课后限时自测 [A 级 基础达标练] 一、填空题 1.下列结论正确的序号是________. ①命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x≠1”;②“x=-1”是“x -5x-6=0”的必要不充分条件;③命题“? x∈R,使得 x +x +1<0”的否定是“? x∈R,均有 x +x+1<0”;④命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为真命题. [解析] ①“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x ≠1,则 x≠1”,故①错误. ②若 x -5x-6=0,则 x=6 或 x=-1,所以“x=-1”是“x -5x-6=0”的充分不必要条件,故②错误. ③命题“? x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是“? x∈R,均有 x +x+1≥0”,故③错误. ④命题“若 x=y,则 sin x=sin y”为真命题,所以其逆否命题也是真命题,故④正确. [答案] ④
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

14

2.(2014·湖南高考改编)设命题 p:? x∈R,x +1>0,则┑p 为________. [解析] 根据全称命题的否定为特称命题知. [答案] ? x∈R,x +1≤0 3.命题:“对任意 k>0,方程 x +x-k=0 有实根”的否定是________. [解析] 全称命题的否定是存在性命题,故原命题的否定是“存在 k>0,方程 x +x-k=0 无实根”. [答案] 存在 k>0,方程 x +x-k=0 无实根 4.已知命题 p:方程 x -mx+1=0 有实数解,命题 q:x -2x+m>0 对任意 x 恒成立.若命题 p∨q 真、┑p 真,则实数 m 的取值范围是________. [解析] 由┑p 为真知,p 为假. 又 p∨q 真,则 q 为真. 由 p 为假知,Δ =m -4<0,即-2<m<2; 由 q 为真知,Δ =4-4m<0,即 m>1.综上知 1<m<2. [答案] 1<m<2 5.(2014·陕西高考改编)原命题为“若 [解析]
2 2 2 2 2 2 2

2

an+an+1
2

<an,n∈N+,则{an}为递减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题中,真命题的有________个.

an+an+1
2

<an?an+1<an?{an}为递减数列.

原命题与其逆命题都是真命题,所以其否命题和逆否命题也都是真命题. [答案] 3 6.已知 m,n 是不同的直线,α ,β 是不重合的平面. 命题 p:若 α ∥β ,m? α ,n? β ,则 m∥n; 命题 q:若 m⊥α ,n⊥β ,m∥n,则 α ∥β .

15

下面的命题中,①p∨q;②p∧q;③p∨┑q;④┑p∧q. 真命题的序号是________(写出所有真命题的序号). [解析] ∵命题 p 是假命题,命题 q 是真命题. ∴┑p 是真命题,┑q 是假命题,∴p∨q 是真命题,p∧q 是假命题,p∨┑q 是假命题,┑p∧q 是真命题. [答案] ①④ π? ? 7.(2014·无锡质检)若? θ ∈R,使 sin θ ≥1 成立,则 cos?θ - ?的值为________. 6? ? [解析] 由 sin θ ≥1,又-1≤sin θ ≤1,所以 sin θ =1. π? 1 π ? 所以 θ =2kπ + (k∈Z),故 cos?θ - ?= . 6? 2 2 ? [答案] 1 2
2

8.已知函数 f(x)=x ,g(x)=x-1,若? x∈R,使 f(x)<b·g(x)成立,则实数 b 的取值范围是________. [解析] ∵? x∈R,f(x)<b·g(x), ∴? x∈R,x -bx+b<0, ∴Δ =(-b) -4b>0,解得 b<0 或 b>4. [答案] b<0 或 b>4 二、解答题 9.写出下列命题的否定,并判断真假. (1)? T=2kπ ,k∈Z,sin(x+T)=sin x; (2)若直线 l⊥平面 α ,则对任意 l′? α ,l⊥l′;
2 2

16

(3)若 an=-2n+10,则? n∈N ,使 Sn<0. [解] (1)原命题的否定为:? T=2kπ ,k∈Z,sin(x+T)≠sin x,假命题. (2)原命题的否定为:若直线 l⊥平面 α ,则存在 l′? α ,l 与 l′不垂直,假命题. (3)若 an=-2n+10,则对? n∈N ,Sn≥0,假命题. 10.已知命题 p:? m∈R,m+1≤0,命题 q:? x∈R,x +mx+1>0 恒成立.若 p∧q 为假命题,求实数 m 的取值范围. [解] 易知命题 p 为真命题. 若命题 q 为真命题,则 Δ =m -4<0,即-2<m<2.
?m+1≤0, ? 若 p∧q 为真命题,有? ? ?-2<m<2,
2 2 *

*

所以-2<m≤-1.

所以 p∧q 为假命题时,实数 m 的取值范围为{m|m≤-2 或 m>-1}. [B 级 能力提升练] 一、填空题 1.(2014·湖北高考改编)命题“? x∈R,x ≠x”的否定是________. [解析] 全称命题的否定,需要把全称量词改为特称量词,并否定结论. 【答案】 ? x∈R,x =x 2.已知命题 p:? x∈R,使 tan x=1,命题 q:x -3x+2<0 的解集是{x|1<x<2},给出下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(┑q)” 是假命题;③命题“(┑p)∨q”是真命题;④命题“(┑p)∨(┑q)”是假命题.其中正确的序号是________. [解析] 命题 p:? x∈R,使 tan x=1 是真命题,所以┑p 是假命题, 命题 q:x -3x+2<0 的解集是{x|1<x<2}也是真命题.所以┑q 是假命题,所以①②③④正确. [答案] ①②③④
2 2 2 2

17

二、解答题 3.已知命题 p:函数 y=loga(1-2x)在定义域上单调递增;命题 q:不等式(a-2)x +2(a-2)x-4<0 对任意实数 x 恒成立,若 p∨q 是真命题,求 实数 a 的取值范围. [解] 命题 p 为真时,0<a<1,从而命题 p 为假时,a≤0 或 a≥1. 若命题 q 为真,当 a-2=0,即 a=2 时,-4<0 符合题意.
?a-2<0, ? 当 a≠2 时,有? 2 ?Δ =4?a-2? +16?a-2?<0, ?
2

即-2<a<2. 故命题 q 为真时-2<a≤2;q 为假时 a≤-2 或 a>2. 若 p∨q 为假命题,则命题 p,q 同时为假命题. 即?
? ?a≤0或a≥1, ?a≤-2或a>2, ?

∴a≤-2 或 a>2.

∴p∨q 为真命题时-2<a≤2.

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