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【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练26


题组层级快练(二十六)
1.函数 f(x)=(1+ 3tanx)cosx 的最小正周期为( A.2π C.π 答案 A 解析 f(x)=(1+ 3tanx)cosx= cosx+ 3sinx π · cosx=2cos(x- ),则 T=2π. cosx 3 ) 3π B. 2 π D. 2 )

π π 2.下列函数中,周期为 π,且在[ , ]上为减函数的是( 4 2 π A.y=sin(2x+ ) 2 π C.y=sin(x+ ) 2 答案 A

π B.y=cos(2x+ ) 2 π D.y=cos(x+ ) 2

π π π 解析 对于选项 A,注意到 y=sin(2x+ )=cos2x 的周期为 π,且在[ , ]上是减函数,故选 A. 2 4 2 π 3.函数 y=sin( -x)的一个单调递增区间为( 4 3π 7π A.( , ) 4 4 π π C.(- , ) 2 2 答案 A π π 解析 y=sin( -x)=-sin(x- ), 4 4 π π 3π 故由 2kπ+ ≤x- ≤2kπ+ , 2 4 2 3 7 解得 2kπ+ π≤x≤2kπ+ π(k∈Z). 4 4 π 3 7 因此,函数 y=sin( -x)的单调增区间为[2kπ+ π,2kπ+ π](k∈Z). 4 4 4 x+φ 4.(2015· 湖南洛阳模拟)若函数 y=sin (φ∈[0,2π])是偶函数,则 φ=( 3 π A. 2 3 C. π 2 答案 C x φ x φ 3 解析 sin(- + )=sin( + )观察选项.当 φ= π 时,等式恒成立. 3 3 3 3 2 5.函数 f(x)=(1+cos2x)sin2x 是( ) 2 B. π 3 5 D. π 3 ) ) π 3π B.(- , ) 4 4 3π π D.(- , ) 4 4

A.周期为 π 的奇函数 π C.周期为 的奇函数 2 答案 D

B.周期为 π 的偶函数 π D.周期为 的偶函数 2

1-cos4x 1 2π π 解析 f(x)=(1+cos2x)sin2x=2cos2xsin2x= sin22x= ,则 T= = 且为偶函数. 2 4 4 2 6.函数 g(x)=sin22x 的单调递增区间是( kπ kπ π A.[ , + ](k∈Z) 2 2 4 π B.[kπ,kπ+ ](k∈Z) 4 kπ π kπ π C.[ + , + ](k∈Z) 2 4 2 2 π π D.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 4 2 答案 A 4π 7.如果函数 y=3cos(2x+φ)的图像关于点( ,0)成中心对称,那么|φ|的最小值为( 3 π A. 6 π C. 3 答案 A 8π 8π π 13 π 解析 依题意得 3cos( +φ)=0, +φ=kπ+ ,φ=kπ- π(k∈Z),因此|φ|的最小值是 . 3 3 2 6 6 π π 8.已知函数 y=sinωx 在[- , ]上是增函数,则实数 ω 的取值范围是( 3 3 3 A.[- ,0) 2 3 C.(0, ] 2 答案 C π π π π π π 解析 由于 y=sinx 在[- ,]上是增函数, 为保证 y=sinωx 在[- ,]上是增函数, 所以 ω>0 且 · ω≤ , 2 2 3 3 3 2 3 则 0<ω≤ . 2 9.下列函数中,对于任意 x∈R,同时满足条件 f(x)=f(-x)和 f(x-π)=f(x)的函数是( A.f(x)=sinx C.f(x)=cosx 答案 D 解析 因为对任意 x∈R 有 f(x)=f(-x)且 f(x-π)=f(x), 所以 f(x)为偶函数且 f(x)的最小正周期为 π.故 A, B.f(x)=sinxcosx D.f(x)=cos2x-sin2x ) B.[-3,0) D.(0,3] ) π B. 4 π D. 2 ) )

1 C 错.B 项中,f(x)=sinxcosx= sin2x 为奇函数,故 B 错,D 项中,f(x)=cos2x-sin2x=cos2x,满足条件, 2 故选 D. π? π 10.将函数 y=3sin? ?2x+3?的图像向右平移2个单位长度,所得图像对应的函数( π 7π? A.在区间? ?12,12?上单调递减 π 7π? B.在区间? ?12,12?上单调递增 π π? C.在区间? ?-6,3?上单调递减 π π? D.在区间? ?-6,3?上单调递增 答案 B π π π 2 π 2x+ ?的图像向右平移 个单位长度得到 y=3sin?2?x-2?+ ?=3sin?2x- π?. 解析 y=3sin? 3 ? ? 3 ? ? ? 3? ? 2 ? π 2 π π 7 令 2kπ- ≤2x- π≤2kπ+ ,得 kπ+ ≤x≤kπ+ π,k∈Z. 2 3 2 12 12 2 π 7 2x- π?的增区间为?kπ+ ,kπ+ π?,k∈Z. 则 y=3sin? 3 ? 12 12 ? ? ? π 7 ? 令 k=0 得其中一个增区间为? ?12,12π?,故 B 正确. 2 π π 2 π π 2x- π?在?- , ?上的简图,如图,可知 y=3sin?2x- π?在?- , ?上不具有单调性, 画出 y=3sin? 3 ? ? 6 3? 3 ? ? 6 3? ? ? 故 C,D 错误. )

11.(2015· 南昌大学附中)设 f(x)=sin(ωx+φ),其中 ω>0,则 f(x)是偶函数的充要条件是( A.f(0)=1 C.f′(0)=1 答案 D B.f(0)=0 D.f′(0)=0

)

π 解析 f(x)=sin(ωx+φ)是偶函数, 有 φ=kπ+ , k∈Z.∴f(x)=± cosωx.而 f′(x)=± ωsinωx, ∴f′(0)=0, 2 故选 D. π 12.(2015· 北京顺义一模)已知函数 f(x)=cos(2x+ )-cos2x,其中 x∈R,给出下列四个结论: 3 ①函数 f(x)是最小正周期为 π 的奇函数; 2π ②函数 f(x)图像的一条对称轴是直线 x= ; 3

5π ③函数 f(x)图像的一个对称中心为( ,0); 12 π 2π ④函数 f(x)的单调递增区间为[kπ+ ,kπ+ ],k∈Z.其中正确的结论的个数是( 6 3 A.1 C.3 答案 C π π π π 解析 由已知得,f(x)=cos(2x+ )-cos2x=cos2xcos -sin2xsin -cos2x=-sin(2x+ ),不是奇函数, 3 3 3 6 故①错. 2π 2π 4π π 当 x= 时,f( )=-sin( + )=1,故②正确; 3 3 3 6 5π 5π 当 x= 时,f( )=-sinπ=0,故③正确; 12 12 π π 3π π 2π 令 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z,故④正确.综上,正确的结论个 2 6 2 6 3 数为 3. 13.(2013· 江西理)函数 y=sin2x+2 3sin2x 的最小正周期 T 为________. 答案 π π 2π 解析 y=sin2x+2 3sin2x=sin2x- 3cos2x+ 3=2sin(2x- )+ 3,所以该函数的最小正周期 T= 3 2 =π. π 4π 2π 14.将函数 y=sin(ωx+φ)( <φ<π)的图像,仅向右平移 ,或仅向左平移 ,所得到的函数图像均关 2 3 3 于原点对称,则 ω=________. 答案 1 2 B .2 D.4 )

T 4π 2π 2π 解析 注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半,即有 = -(- )=2π,T=4π,即 =4π, 2 3 3 ω 1 ω= . 2 15.设函数 f(x)=sin( 3x+φ)(0<φ<π),若函数 f(x)+f′(x)是奇函数,则 φ=________. 答案 2π 3

π π 解析 由题意得 f′(x)= 3cos( 3x+φ),f(x)+f′(x)=2sin( 3x+φ+ )是奇函数,因此 φ+ =kπ(其 3 3 π 2π 中 k∈Z),φ=kπ- .又 0<φ<π,所以 φ= . 3 3 16.已知函数 f(x)=sinx+acosx 的图像的一条对称轴是 x= ________. 5π ,则函数 g(x)=asinx+cosx 的初相是 3

答案

2 π 3

5π 解析 f′(x)=cosx-asinx,∵x= 为函数 f(x)=sinx+acosx 的一条对称轴, 3 5π 5π 5π 3 ∴f′( )=cos -asin =0,解得 a=- . 3 3 3 3 ∴g(x)=- = 3 2 3 1 3 sinx+cosx= (- sinx+ cosx) 3 3 2 2

2 3 2π sin(x+ ). 3 3

π 17.(2013· 安徽理)已知函数 f(x)=4cosωx· sin(ωx+ )(ω>0)的最小正周期为 π. 4 (1)求 ω 的值; π (2)讨论 f(x)在区间[0, ]上的单调性. 2 π π π 答案 (1)1 (2)单调递增区间为[0, ],单调递减区间为[ , ] 8 8 2 π 解析 (1)f(x)=4cosωx· sin(ωx+ ) 4 =2 2sinωx· cosωx+2 2cos2ωx = 2(sin2ωx+cos2ωx)+ 2 π =2sin(2ωx+ )+ 2. 4 因为 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0, 2π 从而有 =π,故 ω=1. 2ω π (2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+ )+ 2. 4 π π π 5π 若 0≤x≤ ,则 ≤2x+ ≤ . 2 4 4 4 π π π π 当 ≤2x+ ≤ ,即 0≤x≤ 时,f(x)单调递增; 4 4 2 8 π π 5π π π 当 ≤2x+ ≤ ,即 ≤x≤ 时 f(x)单调递减. 2 4 4 8 2 π π π 综上可知,f(x)在区间[0, ]上单调递增,在区间[ , ]上单调递减. 8 8 2 ?sinx-cosx?sin2x 18.已知函数 f(x)= . sinx (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递减区间. 答案 (1){x∈R|x≠kπ,k∈Z} T=π (2)[kπ+ 3π 7π ,kπ+ ](k∈Z) 8 8

解析 (1)由 sinx≠0,得 x≠kπ(k∈Z). 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. sin2x 因为 f(x)=(sinx-cosx) sinx =2cosx(sinx-cosx) =sin2x-cos2x-1 π = 2sin(2x- )-1, 4 所以 f(x)的最小正周期为 T= 2π =π. 2

π 3π (2)函数 y=sinx 的单调递减区间为[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z). 2 2 π π 3π 由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,x≠kπ(k∈Z), 2 4 2 3π 7π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z). 8 8 所以 f(x)的单调递减区间为[kπ+ 3π 7π ,kπ+ ](k∈Z). 8 8

π 1. (2013· 浙江理)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0, φ∈R), 则“f(x)是奇函数”是“φ= ”的( 2 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 B π 解析 f(x)是奇函数时,φ= +kπ(k∈Z); 2 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

π π π φ= 时, f(x)=Acos(ωx+ )=-Asinωx 为奇函数. 所以“f(x)是奇函数”是“φ= ”的必要不充分条件, 2 2 2 选 B. π π 2.已知函数 f(x)=sin(2x+φ),其中 φ 为实数,若 f(x)≤|f( )|对 x∈R 恒成立,且 f( )>f(π),则 f(x)的单 6 2 调递增区间是( )

π π A.[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 3 6 π B.[kπ,kπ+ ](k∈Z) 2 π 2π C.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 6 3 π D.[kπ- ,kπ](k∈Z) 2 答案 C

π 解析 由题意知,f(x)在 处取得最大值或最小值, 6 π ∴x= 是函数 f(x)的对称轴. 6 π π π ∴2× +φ= +kπ,φ= +kπ,k∈Z. 6 2 6 π 又由 f( )>f(π),得 sinφ<0. 2 5 5 ∴φ=- π+2kπ(k∈Z),不妨取 φ=- π. 6 6 5π ∴f(x)=sin(2x- ). 6 π 5 π 由 2kπ- ≤2x- π≤2kπ+ ,得 2 6 2 π 2π f(x)的单调递增区间是[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z). 6 3 3.若函数 f(x)=Msin(ωx+φ)(ω>0)在区间[a,b]上是增函数,且 f(a)=-M,f(b)=M,则函数 g(x)= Mcos(ωx+φ)在[a,b]上( A.是增函数 B.是减函数 C.可以取得最大值 M D.可以取得最小值-M 答案 C 解析 方法一(特值法):取 M=2,w=1,φ=0 画图像即得答案. 2π π π 方法二:T= w ,g(x)=Mcos(wx+φ)=Msin(wx+φ+ )=Msin[w(x+ )+φ], 2 2w π T ∴g(x)的图像是由 f(x)的图像向左平移 (即 )得到的. 2w 4 b-a T 由 b-a= ,可知,g(x)的图像由 f(x)的图像向左平移 得到的. 2 2 ∴得到 g(x)图像如图所示.选 C. )

4.已知函数 f(x)=2cos2x+2 3sinxcosx-1(x∈R). (1)求函数 f(x)的周期、对称轴方程; (2)求函数 f(x)的单调增区间. kπ π 答案 (1)T=π,对称轴方程为 x= + (k∈Z) 2 6

π π (2)[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 3 6 π 解析 f(x)=2cos2x+2 3sinxcosx-1= 3sin2x+cos2x=2sin(2x+ ). 6 kπ π (1)f(x)的周期 T=π,函数 f(x)的对称轴方程为 x= + (k∈Z). 2 6 π π π π π (2)由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),得 kx- ≤x≤kπ+ (k∈Z). 2 6 2 3 6 π π ∴函数 f(x)的单调增区间为[kπ- ,kπ+ ](k∈Z). 3 6 1 5.已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)- . 2 π 2 (1)若 0<α< ,且 sinα= ,求 f(α)的值; 2 2 (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 3π π 1 kπ- ,kπ+ ?,k∈Z 答案 (1) (2)T=π,? 8 8? ? 2 思路 (1)由 sinα= 2 与 α 的取值范围,求出 cosα 或 α 的值;再代入函数 f(x),即可求出 f(α)的值.(2) 2

利用二倍角公式与辅助角公式,化简函数 f(x),再利用周期公式,即可求出函数 f(x)的最小正周期;利用正 弦函数的单调性,即可求出函数 f(x)的单调递增区间. π 2 解析 方法一:(1)因为 0<α< ,sinα= , 2 2 ∴cosα= 2 2 2 2 1 1 .∴f(α)= ? + ?- = . 2 2?2 2? 2 2 1 2

(2)因为 f(x)=sinxcosx+cos2x- 1+cos2x 1 1 = sin2x+ - 2 2 2

π? 1 1 2 = sin2x+ cos2x= sin? ?2x+4?, 2 2 2 2π 所以 T= =π. 2 π π π 3π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 2 4 2 8 8 3π π? 所以 f(x)的单调递增区间为? ?kπ- 8 ,kπ+8?,k∈Z. 1 方法二:f(x)=sinxcosx+cos2x- 2 1+cos2x 1 1 1 1 = sin2x+ - = sin2x+ cos2x 2 2 2 2 2 = π 2 ? sin?2x+4? ?. 2

π 2 π (1)因为 0<α< ,sinα= ,所以 α= . 2 2 4 从而 f(α)= π 2 ? 2 3π 1 sin?2α+4? ?= 2 sin 4 =2. 2

2π (2)T= =π. 2 π π π 3π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 2 4 2 8 8 3π π? 所以 f(x)的单调递增区间为? ?kπ- 8 ,kπ+8?,k∈Z.



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