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2.2.3等差数列的前n项和教案2 高中数学 必修五 苏教版(word版)

第 8 课时等差数列的前 n 项和(3) 【学习导航】 知识网络 An ? f ( n) ,则 Bn an (2n ? 1)an A2 n ?1 ? ? bn (2n ? 1)bn B2 n ?1 ? f (2n ? 1) . An 、 Bn ,且 学习要求 1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公 式和前 n 项和公式; 2.了解等差数列的一些性质, 并会用它 们解决一些相关问题; 3. 利用等差数列解决相关的实际问题。 8.如果两等差数列有公共项,那么由它们 的公共项顺次组成的新数列也是等差数列, 且新等差数列的公差是原两等差数列公差 的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的项,其项数不一定 相同,即研究 an ? bm . 【精典范例】 【例 1】某剧场有20排座位,后一排比前 一排多2个座位,最后一排有60个座位, 这个剧场共有多少个座位? 【解】 这个剧场各排的座位数组成等差数 列,其中公差d=2,项数n=20,且第 20项是a20=60? 由等差数列的通项公式,得 所以 a1 ? 22 由等差数列的求和公式,得 【自学评价】 等差数列的性质: 1.当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函 数,且斜率为公差 d ;前 n 和 Sn ? na1 ? n(n ? 1) d 2 d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的常数项为 0 2 2 的二次函数. 2.若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公 差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常数列。 3.当 m ? n ? p ? q 时,则有 答 这个剧场共有 820 个座位. 【例 2】某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时 盘芯直径40mm, 满盘时直径120mm 已知卫生纸的厚度为0.1mm,问:满盘 时卫生纸的总长度大约是多少米 (精确到1 m)? am ? an ? a p ? aq , 特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2ap 4.在等差数列中,每隔相同的项抽出来的 项按照原来顺序排列, 构成的新数列是等差 数列. 5.若 {an } 、是等差数列, Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,…也成等差数列 6. 在等差数列 {an } 中, 当项数为偶数 2 n 时, S偶-S奇 ? nd ;项数为奇数 2n ? 1 时, S奇 ? S偶 ? a中 , S2n?1 ? (2n ?1) ? a中 (这里 a中 即 an ) ; S奇 : S 偶 【解】卫生纸的厚度为0.1mm,可以把 绕在盘上的卫生纸近似地看做是一组同心 圆, 然后分别计算各圆的周长, 再求总和. 由 内向外各圈的半径分别为 20.05,20.15,…,59.95. 因此,各圈的周长分别为 因为各圈半径组成首项为 20.05, 公差为 0.1 的等差数列,设圈数为n,则 59.95=20.05+(n-1)×0.1, ? k ( ) 1 :? k 。 7.若等差数列 {an } 、 {bn } 的前 n 和分别为 所以n=400. 显然,各圈的周长组成一个首项为40.1 π ,公差为0.2π ,项数为400的等差 数列.根据等差数列的求和公式,得 3. 已知一个凸多边形的内角度数组成公差 为5°的等差数列,且最小角为120°, 问它是几边形. 答 满盘时卫生纸的长度约为100m. 【例 3】 ) 教育储蓄是一种零存整取定期储蓄 存款,它享受整存整取利率,利息免税.教 育储蓄的对象为在校小学四年级(含四年 级)以上的学生.假设零存整取3年期教育 储蓄的月利率为 2.1‰. (1)欲在3年后一次支取本息合计2万 元,每月大约存入多少元? (2) 零存整取3年期教育储蓄每月至多存 入多少元?此时3年后本息合计约为多 少?(精确到1元) 【解】 (1)设每月存A元,则有 A (1+2.1‰) +A (1+2×2.1‰) +… +A(1+36×2.1‰)=20000 利用等差数列求和公式,得 解得 A≈535(元) (2) 由于教育储蓄的存款总额不超过2万 元,所以3年期教育储蓄每月至多可存入 【答案】9 边形 4.某钢材库新到200根相同的圆钢,要 把它们堆放成正三角形垛(如图) ,并使剩 余的圆钢尽可能地少, 那么将剩余多少根圆 钢? 【答案】将剩余 10 根圆钢 5.时钟在1点钟的时候敲一下,在2点钟 的时候敲2下……在12点钟的时候敲1 2下,中间每半点钟也敲一下.一昼夜内它 一共敲多少下? 【答案】一昼夜内它一共敲 180 下 【选修延伸】 【例 4】已知数列 ?an ? 的通项公式为 an = 20000 ≈555(元) .这样,3年后的本 36 息和为 1 ,求它的前 n 项和. (2n ? 1)(2n ? 1) 1 分析: 我们先看通项 an = , (2n ? 1)(2n ? 1) 1? 1 1 ? 然后将其分裂成 ? 再求 ? ?, 2 ? 2 n ? 1 2n ? 1 ? 和. 【解】 ∵ ∴ 答 欲在3年后一次支取本息2万元, 每月 大约存入 535 元. 3年期教育储蓄每月至多 存入 555 元,3年后本息合计约 20756 元. 1 1? 1 1 ? = ? ? ? (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 追踪训练一 1. 已知 an = n n ? 156 2 (n∈N*), 则数列{an} 1 1 1 1 1 1 1 S n ? [( ? ) ? ( ? ) ? ?( ? )] 2 1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 的最大项是( C ) A.第 12 项 C.第 12 项或第 13 项 B.第 13 项 D.不存在 = n 2n ? 1 点评: 如果数列的通项公式可转化为 f ?


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