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2015-2016学年高中数学 2.3等差数列的前n项和(第2课时)学案设计 新人教A版必修5


第二章 2.3 2.3

数列

等差数列的前 n 项和

等差数列的前 n 项和(第 2 课时)

学习目标 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式,了解等差数列的一些性质,并会 用它们解决一些相关问题,提高应用意识. 合作学习
一、设计问题,创设情境 复习引入 1.通项公式: 2.求和公式: 3.两个公式中含有五个量,分别是

,把公式看成方程,能解决几个量?

4.Sn 是关于 n 的二次函数,二次函数存在最值问题,如何求最值?

5.Sn 与 an 的关系:Sn=a1+a2+a3+?+an-1+an,如何求数列{an}的通项公式?

二、信息交流,揭示规律 6.两个公式中含有五个量,分别是 Sn,an,n,d,a1,两个公式对应两个方程,因此已知其中 的三个量,就可以求其他的两个量,即“知三求二”. an=a1+(n-1)d,

Sn==na1+d. 7.Sn 是关于 n 的二次函数,二次函数可以求最值,归纳为求二次函数的最值问题,不过要 注意自变量 n 是正整数;还可以从研究数列的单调性及项的正负进而研究前 n 项和 Sn 的最值, 方法更具有一般性. Sn= , 有最大值; 有最小值. 8.Sn 与 an 的关系:Sn=a1+a2+a3+?+an-1+an 如何求数列{an}的通项公式? Sn-1=a1+a2+a3+?+an-1(n≥2)
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只要两式相减就会得到 an=Sn-Sn-1(n≥2),只不过这个表达式中不含有 a1,需要单独考虑 a1 是否符合 an=Sn-Sn-1. 类似于分段函数. an= ,最后验证是否可以用一个式子来表示. 三、运用规律,解决问题 9.已知一个等差数列{an}的前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220,由此可以确定求其 前 n 项和的公式吗?

10.已知等差数列 5,4,3,?的前 n 项和为 Sn,求使得 Sn 最大的序号 n 的值.

11.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n +n,求这个数列的通项公式.这个数列是不是等差数 列?

2

四、变式训练,深化提高 12.已知{an}是一个等差数列,且 a2=1,a5=-5. (1)求{an}的通项公式 an; (2)求{an}前 n 项和 Sn 的最大值.

13.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n +n+1,求这个数列的通项公式,这个数列是不是等差 数列?

2

五、反思小结,观点提炼


一、设计问题,创设情境 1.an=a1+(n-1)d







2

2.Sn==na1+d 3.Sn,an,n,d,a1 二、信息交流,揭示规律 2 7.n +n= 8.an= 三、运用规律,解决问题 9.分析:将已知条件代入等差数列前 n 项和的公式后,可得到两个关于 a1 与 d 的二元一 次方程,然后确定 a1 与 d,从而得到所求前 n 项和的公式. 解:由题意知 S10=310,S20=1220, 将它们代入公式 Sn=na1+d,得到 解这个关于 a1 与 d 的方程组,得到 a1=4,d=6, 2 所以 Sn=4n+×6=3n +n 这就是说,已知 S10 与 S20 可以确定这个数列的前 n 项和的公式, 2 这个公式是 Sn=3n +n. 10.解:方法一:令公差为 d,则 d=a2-a1=a3-a2=3-4=-, 所以 Sn==-. * 又 n∈N ,所以当 n=7 或者 n=8 时,Sn 取最大值. 方法二:d=a2-a1=a3-a2=3-4=-, 其通项公式为 an=5+(n-1)×=-n+. 因为 a1=5>0,d=-<0,所以数列{an}的前 n 项和有最大值. * 即有解得即 7≤n≤8,又 n∈N , 所以当 n=7 或者 n=8 时,Sn 取最大值. 2 11.解:由题意知,当 n=1 时,a1=S1=,当 n≥2 时,Sn=n +n, ① 2 Sn-1=(n-1) +(n-1), ② 由①-②得 an=Sn-Sn-1=2n-, 又当 n=1 时,2×1-=a1,所以当 n=1 时,a1 也满足 an=2n-, 则数列{an}的通项公式为 an=2n-(n≥1,n∈N). 这个数列是等差数列,an-an-1==2(这是一个与 n 无关的常数). 四、变式训练,深化提高 12.解:(1)设{an}的公差为 d,由已知条件,解出 a1=3,d=-2, 所以 an=a1+(n-1)d=-2n+5. 2 2 (2)Sn=na1+d=-n +4n=4-(n-2) , 所以当 n=2 时,Sn 取到最大值 4. 13.解:由题意知,当 n=1 时,a1=S1=, 2 2 当 n≥2 时,Sn=n +n+1, ① Sn-1=(n-1) +(n-1)+1, ② 由①-②得 an=Sn-Sn-1=2n-, 又当 n=1 时,2×1-≠a1,所以当 n=1 时,a1 不满足 an=2n-, 则数列{an}的通项公式为 an= 这个数列不是等差数列,a2-a1≠a3-a2=a4-a3=?=2. 五、反思小结,观点提炼 略

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