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江西省南昌市第二中学高三数学上学期第二次考试试题文

畅游学海 敢搏风 浪誓教 金榜题 名。决 战高考 ,改变 命运。 凌风破 浪击长 空,擎 天揽日 跃龙门

南昌二中 2016—2017 学年度上学期第二次考试 高三数学(文)试卷

一、选择题:(大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.复数

2?i 的共轭复数为 1 ? 2i 3 3 A. ? i B. i 5 5

C. ?i

D. i

x 2.设 U ? R, A ? x | 2 ? 1 , B ? ? x | log 2 x ? 0? ,则 A

?

?

CU B ?
D. ? x | 0 ? x ? 1 ?

A. ?x | x ? 0? 3.下列选项错误 的是 ..

B. ?x | x ? 1 ?

C. ?x | 0 ? x ? 1 ?

A.命题“若 x≠1,则 x 2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1” B.“x>2”是“x2﹣3x+2>0”的充分不必要条件 C.若命题“p:? x∈R,x +x+1≠0”,则“¬p:? x0∈R,x0 +x0+1=0”
2 2

D.若“p∨q”为真命题,则 p、q 均为真命题 4.某高三同学在七次月考考试中,数学成绩如下: 90 89 90 95 93 94 93

去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 A.92,2 5.已知 tan ? ? 2 则 cos( A. B.92,2.8
2015? ? 2? ) 的值为 2

C.93,2

D.93,2.8

4 4 1 B. ? C. 2 D. ? 5 5 2 6.已知 m, n 是两条不同 的直线, ? , ? , ? 是三个不同 的平面,则下列命 .. ..

题中正确的是

A. 若 ? ? ? , ? ? ? , 则? / / ? B. 若 m / / n, m ? ? , n ? ? , 则? / / ? C. 若 m / / n, m ? ? , n ? ? , 则? / / ? D. 若 m / / n, m / /? , 则n / /?
7.执行如图的程序框图,则输出的 S 的值为

1

A.1

B.2

C.3

D.4

8. 等腰直角三角形 ABC 中,∠C=90°,AC=BC=1,点 M,N 分别是 AB,B C 中点,点 P 是△ABC( 含边界)内任意一点,则 AN ? MP 的取值范围是

3 3 , ] 4 4 3 1 C.[﹣ , ] 4 4
A.[﹣

1 3 , ] 4 4 1 3 D.[ , ] 4 4
B.[﹣

9. 《张丘建算经》卷上第 22 题为“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈.” 其意思为:现有一善于织布的女子,从第 2 天开始,每天比前一天多织相同量的布,第 1 天织了 5 尺布,现在一月(按 30 天计算)共织 390 尺布,记该女子一月中的第 n 天所织布的尺数为 an, 则 a14+a15+a16+a17 的值为 A.55 B.52 C.39 D.26

10.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A.

8? 3

B.3π

C.

10? 3

D.6π )个单位后得到函数 g(x)的图象.若对

11.将函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移 φ (0<φ < 满足|f(x1)﹣g(x2)|=2 的 x1、x2,有|x1﹣x2|min= A.

5? 12

B. 又

? 3

C.

? 4

? ,则 φ = 3
D.

? 6

12.已知

若满足错误!未找到引用源。的错误!未找

到引用源。有四个,则错误!未找到引用源。的取值范围为 A.错误!未找到引用源。 源。 D.错误!未找到引用源。
2

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分) 13.幂函数 f ( x) ? (m2 ? 3m ? 3) x m
2

?2m?1

在区间 ?0,??? 上是增函数,则 m ?

14.若直线 ax + by - 1 = 0 ( a > 0, b > 0) 过曲线 y ? 1 ? sin ? x ? 0 ? x ? 2 ? 的对称中心, 则 为 .

1 2 + 的最小值 a b

15.已知在三棱锥 P﹣ABC 中,VP﹣ABC=

? ? 4 3 ,∠APC= ,∠BPC= ,PA⊥AC,PB⊥BC,且平面 PAC⊥ 4 3 3

平面 PBC,那么三棱锥 P﹣ABC 外接球的半径为______.
2 16.已知函数 f ( x ) ? ax ? bx ?

1 与直线 y ? x 相切于点 A(1,1) ,若对任意 x ??1,9? ,不等式 4

f ( x ? t ) ? x 恒成立,则所有满足条件的实数 t 组成的集合为_________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题 10 分) ?ABC 中,角 A, B, C 所对边分别是 a, b, c 且 cos A ? (Ⅰ)求 cos
2

1 3

B?C ? cos 2 A 的值; 2

(Ⅱ)若 a ? 3 ,求 ?ABC 面积的最大值.

18. (本小题 12 分)已知数列{an}的首项 a1= ,an+1=

2an ,n=1,2,3,…. an ? 1

(Ⅰ)证明:数列{

1 ﹣1}是等比数列; an

3

(Ⅱ)求数列{

n }的前 n 项和 Sn. an

19. (本小题 12 分)高三数学备课组为了检查学生的纠错情况,开展了试卷讲评后效果的调查,从 上次月考数学试题中选出一些学生易错题.重新进行测试,并认为做这些题不出任何错误的同学为 “过关”,出了错误的同学认为“不过关”,现随机调查了年级 50 人,他们的测试成绩的频数分别 如表: 上次月考数 (0,60) 学成绩分数段 人数 “过关”人数 5 1 10 2 9 15 10 7 3 5 5 4 [60,75) [75,90) [90,105) [105, 120) [120, 150]

(Ⅰ)由以上统计数据完成如下 2×2 列联表,并判断是否有 95%的把握认为数学成绩不低于 90 分与测试“过关”是否有关?说明你的理由. 分数低于 90 分人数 过关人数 不过关人数 合计 (Ⅱ)在上次月考数学成绩分数段[105,120)的 5 人中,从中随机选 3 人,求抽取到过关测试 “过关”的人数为 1 人的概率? 下面的临界值表供参考: P(K ≥k) K K=
2 2

分数不低于 90 分人数

合计

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

n(ad ? bc)2 . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

4

20. (本小题 12 分) 在三棱柱 ABC ? A 侧面 ABB1 A ,D 为 AA1 1B 1C1 中, 1 为矩形,AB ? 1, AA 1 ? 2 的中点, BD 与 AB1 交于点 O , CO ⊥侧面 ABB1 A 1. (Ⅰ)求证: BC ? AB1 ; (Ⅱ)若 OC ? OA ,求三棱锥 B1 ? ABC 的体积.

21.(本小题 12 分)动圆 P 过点 M(﹣1,O) ,且与圆 N:x2+y2﹣2x﹣15=0 内切,记圆心 P 的轨迹为 曲线 C. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)过点 M 且斜率大于 0 的直线 l 与圆 P 相切,与曲线 C 交于 A,B 两点,A,B 的中点为 Q.若 点 Q 的横坐标为﹣

4 ,求圆 P 的半径 r. 13

5

22. (本小题 12 分)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)令 g(x)=f(x)﹣ 说明理由.

1 2 x +mlnx+x 2

1 2 x ,试问过点 P(1,3)存在多少条直线与曲线 y=g(x)相切?并 2

6

南昌二中 2016—2017 学年度上学期第二次考试 高三数学(文)试卷答案 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 6 0 分)

题目 选项 C

1 C

2 D

3 B

4 B

5 C

6 B

7 A

8 B

9

10 B

11 D

12 A

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.

__2__

14.

3? 2 2

15.

2

16 ____ ?4? _

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分 . 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.(1).cos 2

B?C 1 ? cos( B ? C ) ? cos 2 A ? ? 2 cos 2 A ? 1 2 2 1 cos A 4 ? ? ? 2 cos 2 A ? 1 ? ? 2 2 9

(2)由余弦定理:

2 2 4 ( 3) 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b 2 ? c 2 ? bc ? 2bc ? bc ? bc 3 3 3 9 ? bc ? 4
当且仅当 b ? c ?

3 9 时错误!未找到引用源。有最大值 2 4

1 2 2 cos A ? , A ? ? 0, ? ? ,sin A ? 1 ? cos 2 A ? 3 3 1 1 9 2 2 3 2 ? ? S?ABC ?max ? bc sin A ? . . ? 2 2 4 3 4
18.(1)证明:错误!未找到引用源。

an ?1 ? ?

2an a ?1 1 1 1 1 ? ? n ? ? . an ? 1 an ?1 2an 2 2 an

? 1 1? 1 2 1 1 ? 1 ? ? ? 1? , a1 ? ? ? 1 ? an ?1 2 ? an ? 3 a1 2

7

∴数列 ? 1

? 是以为 1 首项, 1 为公比的等比数列. ? 1 ? ? 2 2 ? an ?
1 1 1 1 ? n ?1 , ﹣1= n ,即 an 2 an 2

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知



n n ? n ?n. an 2

1 2 3 n ? 2 ? 3 ? ... ? n ,① 2 2 2 2 1 1 2 n ?1 n 则 Tn ? 2 ? 3 ? ... ? n ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2
设 Tn ?

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 n 2 2 ? n ? 1? 1 ? n 由①﹣②得 Tn ? ? 2 ? ... ? n ? n ?1 ? 1 2 2 2 2 2 2n ?1 2n 2n ?1 1? 2 1 n n(n ? 1) ∴ Tn ? 2 ? n ?1 ? n .又 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? , 2 2 2
∴数列 的前 n 项和 Sn ? 2 ?

2?n 2
n

?

n ? n ? 1? 2

19.解: (I)依题意得,a=12,b=18,c=14,d=6, 填写列联表如下; 分数低于 90 人数 过关人数 不过关人数 合计 计算观测值 K2= 12 18 30 分数高于 90 人数 14 6 20 合计 26 24 50

2 50 ? ?12 ? 6 ? 18 ?14 ? 225 = ≈4.327>3.841, 52 30 ? 20 ? 26 ? 24

对照数表知,有 95%的把握认为数学成绩不低于 90(分)与测试“过关”有关; (II)在分数段[105,120)的 5 人中,有 3 人 测试“过关”记为 a,b,c,另两人记为 d,e 随机选 3 人,抽取到所有可能为(a,b,c)(a,b,d)(a,b,e)(a,c,d)(a,c,e)(a,d,e) (b,c,d)(b,c,e)(b,d,e)(c,d,e)共 10 种 记事件 A: “抽取到过关测试“过关”的人数为 1 人”包含 3 种 则 P(A)=

3 。 10

8

20.(1)

AD AB 2 ? ? ,??DAE AB AA1 2

,

?ABB1

??BB1 A ? ?ABD.
故 AB1 ? BD,

?ABD ? ?DBB1 ? 90 ,??BB1 A ? ?DBB1 ? 90 ,

CO ? 平面ABB1 A1,BD ? 平面ABB1 A1, ?CO ? AB1,

BD CO ? O,? AB1 ? 平面CBD,AB1 ? CB.
(2)

cos ?OAB ?

OA AB AB2 1 3 ? ,?OA ? ? ? ? OC. AB AB1 AB1 3 3

1 1 3 6 . VB1 ? ABC ? VC ? ABB1 ? ? ?1? 2 ? ? 3 2 3 18
21.解: (1)圆 N:x +y ﹣2x﹣15=0 的方程可化为(x﹣1) +y =16, ∴圆心 N(1,0) ,半 径 r=4, 设圆心 P(x,y) ,∵圆 P 过点 M,∴圆 P 半径为|PM|, 又∵ 圆 P 与圆 N 内切,∴|PN|=4﹣|PM|,即|PM|+|PN|=4, 又|MN|=2<4, ∴由椭圆定义得:点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点,长轴长为 4,短轴长为 2 3 的椭圆,
2 2 2 2

x2 y 2 ∴曲线 C 的方程为: ? ? 1. 4 3
(2)依题意设直线 l 的方程为 y=k(x+1) ,k>0, 联立 ,得(3+4k2)x2=8k2x+4k2﹣12=0,

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1 ? x2 ? ?

8k 2 , 3 ? 4k 2

x1 ? x2 4k 2 ∴AB 的中点 Q 的横坐标 xQ= , ?? 2 3 ? 4k 2
由?

4k 2 4 3 3 或 k=﹣ (舍) , ? ? ,解得 k= 2 3 ? 4k 13 3 3

∵直线 l 与圆 P 相切于点 M,∴圆心 P 在直线 y=﹣ 3 (x+1)上,

9



,得 5x2+8x=0,解得 x=0 或 x=﹣

8 , 5

∴圆心 P(0,﹣ 3 )或 P(﹣
2

8 3 3 , ) , 5 5
2 2

当圆心 P(0,﹣ 3 )时,r =(0+1) +(﹣ 3 ? 0 ) =4,即 r=2, 当圆心 P(﹣

8 3 3 8 6 3 3 2 36 , )时,r2=(﹣ +1)2+( ? 0 ) = ,即 r= . 5 5 5 25 5 5

∴圆 P 的半径 r 为 2 或

6 . 5
2

22.解: (1)f(x)= x +mlnx+x, (x>0) ,

1? 1 m x2 ? x ? m ? f′(x)=x+ +1= = ?x? 2? ?m? 4 , ? ? x x x
①m≥0 时,f′(x)>0,函数在(0,+∞)递增, ②m<0 时,令 f′(x)>0,解得:x>

2

1 ? 4m ? 1 , 2

令 f′(x)<0,解得:x<

1 ? 4m ? 1 , 2

∴f(x)在(0,

1 ? 4m ? 1 1 ? 4m ? 1 )递减,在( ,+∞)递增; 2 2 m , x0

(2)设切点为(x0,x0+mlnx0) ,则切线斜率 k=1+

切线方程为 y﹣(x0+alnx0)=(1+

m ) (x﹣x0) . x0 m ) (1﹣x0) . x0

因为切线过点 P(1,3) ,则 3﹣(x0+alnx0)=(1+

即 m(lnx0+

1 ﹣1)﹣2=0. x0

…①

10

令 g(x)=m(lnx+

m ? x ? 1? 1 1 1 ﹣1)﹣2(x>0) ,则 g′(x)=m( ﹣ 2 )= , x x x x2

①当 m<0 时,在区间(0,1)上,g′(x)>0,g(x)单调递增; 在区间(1,+∞)上,g′(x)<0,g(x)单调递减, 所以函数 g(x)的最大值为 g(1)=﹣2<0. 故方程 g(x)=0 无解,即不存在 x0 满足①式. 因此当 m<0 时,切线的条数为 0. ②当 m>0 时,在区间(0,1)上,g′(x)<0,g(x)单调递减, 在区间(1,+∞)上,g′(x)>0,g(x)单调递增, 所以函数 g(x)的最小值为 g(1)=﹣2<0. 取 x1=e1+

2 2 2 2 >e,则 g(x1)=a(1+ +e﹣1﹣ ﹣1)﹣2=ae﹣1﹣ >0. m m m m

故 g(x)在(1,+∞)上存在唯一零点.

2 < ,则 m 2 2 2 2 2 g(x2 )=m(﹣1﹣ +e1+ ﹣1)﹣2=me1+ ﹣2m﹣4=m[e1+ ﹣2(1+ )]. m m m m m 2 设 t=1+ (t>1) ,u(t)=et﹣2t,则 u′(t)=et﹣2. m
取 x2=e﹣1﹣ 当 t>1 时,u′(t)=e ﹣2>e﹣2>0 恒成立. 所以 u(t)在(1,+∞)单调递增,u(t)>u(1)=e﹣2>0 恒成立, 所以 g(x2)>0. 故 g(x)在(0,1)上存在唯一零点. 因此当 m>0 时,过点 P(1,3)存在两条切线. ③当 m=0 时,f(x)=x,显然不存在过点 P(1,3)的切线. 综上所述,当 m>0 时,过点 P(1,3)存在两条切线; 当 m≤0 时,不存在过点 P(1,3)的切线.
t

11



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