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1.1.1集合的含义及表示


课题:§1.1 集合的含义与表示 基本概念: 1.元素: ,集合: ,也简称集。 2. 集合相等: 3. 集合的元素的特征: 、 、 . 4. 常用数集及其记法:非负整数集(或自然数集) ,记作 ;正整数集,记作 整数集, 记作 ;有理数集,记作 ;实数集, 记作 5. 集合的表示方法 (1).列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内。 如:{1,2,3,4,5},{2 ,4 ,6 ,8},?; (2).描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。 具体方法: (1)在大括号内写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围(定范围) ; (2)画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 (写特征). 2 如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x +1},{直角三角形},?; 6. 元素与集合的关系; (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A,记作 a A (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 A,记作 a A 基础训练: 一、选择题 1、下列给出的对象中,能表示集合的是( A、一切很大的数 2、给出下列命题: ) C、聪明的人 D、方程 x ? ?2 的实数根
2

; 。

B、无限接近零的数

(1)N 中最小的元素是 1; (2)若 a ? N ,则 ? a ? N ; (3) 若 a ? N , b ? N ,则 a+b 的最小值是 2。 其中所有正确命题的个数为( A、0
2

) C、2 D、3 )

B、1

3、由 a ,2 ? a,4 组成一个集合 A,A 中含有 3 个元素,则实数 a 的取值可以是( A、1 B、-2 C、6 D、2 ) C.{有理数} ) C、 a ? A ) C、{0,1,2,3,4,5} ) B、{x|-3<x<11} D、a=A

4、下列集合表示法正确的是( A.{1,2,2} B.{全体实数}

D.不等式 x ? 5 ? 0 的解集为{ x ? 5 ? 0 }
2 2

5、设 A={a},则下列各式正确的是( A、 0 ? A
?

B、 a ? A

6、集合{ x ? N | x ? 5 }的另一种表示法是( A、{0,1,2,3,4} B、{1,2,3,4}

D、{1,2,3,4,5}

7、由大于-3 且小于 11 的偶数所组成的集合是( A、{x|-3<x<11, x ? Q }

C、{x|-3<x<11,x=2k, k ? N }

D、{x|-3<x<11,x=2k, k ? Z }

8、下列说法正确的是 ( ) A.某个村子里的年青人组成一个集合 B.所有小正数组成的集合 C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合 D. 1, 0.5, , , ,

1 3 6 2 2 4

1 这些数组成的集合有五个元素 4
(2)0是自然数;

9、下面有四个命题: (1)集合N中最小的数是否;

(3) {1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合; (4) a ? N , B ? N 则a ? b不小于2 其中正确的命题的个数是 A.1个 二、填空题 10、已知集合 A={2,4, x ? x },若 6 ? A ,则 x=________________
2



) D.4个

B.2个

C.3个

11、在平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合为_______________ 12、方程 x ? 5x ? 6 ? 0 的解集可表示为_____________________
2

13、方程 ( x ? 1) 2 ( x ? 2)(x ? 3) ? 0 的解集中含有_________个元素。 14、集合{ x ? N | ?1 ? x ? 4 }用列举法表示为_________________ 三、解答题 15、设集合 A={(x,y)|x+y=6, x ? N , y ? N } ,使用列举法表示集合 A。

16、用列举法表示集合 A 和集合 B,其中 A ? {x | x ? 2k ? 1, k ?{1,2,3,4,5}} ,

B ? {x | x ? 4k ? 1, k ?{1,2,3}}

17、已知集合 A={ kx ? 8x ? 16 ? 0 }只有一个元素,试求实数 k 的值,并用列举法表示集合 A。
2

集合间的基本关系 1.子集 定义:一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们就说集合 A 包含 于集合 B,或集合 B 包含集合 A,记作 A ? B(或 B ? A),即若任意 x ? A,有 x ? B,则 A ? B(或 A ? B)。 这时我们也说集合 A 是集合 B 的子集(subset) 。 如果集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,就记作 A?B(或 B?A) ,即:若存在 x ? A,有 x ? B,则 A?B(或 B?A) 说明:A ? B 与 B ? A 是同义的,而 A ? B 与 B ? A 是互逆的。 规定:空集 ? 是任何集合的子集,即对于任意一个集合 A 都有 ? ? A。 3.真子集: 由“包含”与“相等”的关系,可有如下结论: (1)A ? A (任何集合都是其自身的子集); (2)若 A ? B, 而且 A ? B (即 B 中至少有一个元素不在 A 中) 则称集合 A 是集合 B 的真子集 , (proper subset) , 记作 A≠B。 (空集是任何非空集合的真子集) ? ? ? (3)对于集合 A,B,C,若 A? B,B? C,即可得出 A? C;对 A≠B,B≠C,同样有 A≠C, 有“传递性” 。 4.证明集合相等的方法: (1) 证明集合 A,B 中的元素完全相同; (具体数据) (2) 分别证明 A ? B 和 B ? A 即可。 (抽象情况) 对于集合 A,B,若 A ? B 而且 B ? A,则 A=B。
?

即:包含关系具

例 1、写出集合 {a, b, c} 的所有子集,并指出哪些是真子集。

思考:你觉得象例 1,如何不重不漏地写出一个集合的子集?

例 2、已知 {1, 2} ? A ? {1, 2,3, 4}, 写出所有的集合 A。

1、已知 A ? {2, x, y}, B ? {2 x, 2, y }, 若 A=B,求 x、y 的值.
2

2、已知 A ? {1, x, y}, B ? {x, x , xy}, 若 A=B,求 x、y 的值.
2

1、下列关系式中正确的个数为 ( (1) a ? ?a? (2) ? ? (4)

)

?a?

(3)

?a? ??a, b?

?a? ? ?a?

(5) ? ? ?a, b? (6) a ??a, b? C.4 个 D.3 个 )

A.6 个

B.5 个

2、集合 A ? {x x ? 2k, k ? Z} , B ? {x x ? 4k ? 2, k ? Z} ,则有 ( A. A ? B B. A B C.B A D.以上都不是

3、若 A ? B,A ? C且B=?0,1,2,3? , C ? ?0,2,4,5?, 则满足上述条件的集合 A 可以是( A. ?0, 1? B. ?0,3? C. ?2,4? D.

)

?0,2?
) D. a ? M )

4、若 M = x x ? 6 , a ? A. ?a? ? M

?

?

5, 则下列结论中正确的是(
C.

B. a ? M

?a? ? M

5、若 A= x -1< x<0 , B = x x<2,或x>3 , 则下列结论中正确的是( A. A ? B B. B ? A ) D.4 个 B,则 a 的取值范围是( C. A ? B D. B ? A

?

?

?

?

6、集合 {a, b} 的子集有( A.1 个 B.2 个

C.3 个

7、设 A ? {x 1 ? x ? 2} , B ? {x x ? a} ,若 A A. a ? 2 B. a ? 1 C. a ? 1 D. a ? 2

)

8、已知全集 U = {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 }, A= {3 ,4 ,5 }, B= {1 ,3 ,6 }, 那么集合 { 2 ,7 ,8}是( )

( A) A ? B

(B ) A ? B

(C ) CU A ? CU B

(D) CU A ? CU B

9、已知 A ? {菱形},B ? {正方形}, C ? {平行四边形 , A,B,C 之间的关系是___________. }则 10、满足关系 {1} ? A ? {1, 2,3, 4} 的集合 A 有___________个。 11、.已知集合 A={1,1+x,1+2x},B={1,y,y2},且 A=B,求实数 x、y 的值。

, 12、设集合 A ? ?x | ?3 ? x ? 2? B ? ?x | 2k ? 1 ? x ? 2k ? 1?,且 A ? B ,求实数 k 的取值范围。

13、已知 {a, b} ? A ? {a, b, c, d, e} ,试写出满足条件的集合 A。

2009 2 ? b2000 的值。 思考:含有三个实数的集合可表示为 {1, a , }, 也可表示为 {a , a ? b,0}, 求 a

b a



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