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同角三角函数的基本关系教案


合肥双凤高中 2015,12

周大伟

同角三角函数的基本关系
(选自人教版高一数学必修 4 1.2.2)

教学目标: 知识与技能:能根据三角函数定义,导出同角三角函数的基本关系;能正确进行 三角函数的求值运算,基本关系求解及证明; 过程与方法: 回忆初中所学的几个三角函数之间的关系,用高中所学的同角三角 函数之间的关系试着进行证明;掌握几种同角三角函数关系的应 用;掌握在具体应用中的赢技巧和方法; 情感态度与价值观: 通过本节学习, 是同学们加深理解节本关系在本章中的地位; 认识事物间存在的内在联系,使学生面对问题养成勤于思考的习 惯;培养学生良好的学习方法,进一步树立化归的数学思想方法。 教学重点:同角三角函数的基本关系式 教学难点:三角函数值的符号的确定,同角三角函数的基本关系式的变式应用 教学过程: 一、复习引入: 1.任意角的三角函数定义: 设角 ? 是一个任意角, ? 终边上任意一点 P ( x, y ) ,它与原点的距离为 y x y r (r ? | x |2 ? | y |2 ? x 2 ? y 2 ? 0) ,那么: sin ? ? , cos ? ? , tan ? ? , r r x 2.当角 ? 分别在不同的象限时,正弦、余弦、正切的符号分别是怎样的? 3 3.背景:如果 sin A ? ,A 为第一象限的角,如何求角 A 的其它三角函数值; 5 4.问题:由于α 的三角函数都是由 x、y、r 表示的,则角α 的三个三角函数之 间有什么关系? 二、讲解新课: (一)同角三角函数的基本关系式: (板书课题:同角的三角函数的基本关系) 1. 由三角函数的定义,我们可以得到以下关系: sin ? (1)商数关系: tan ? ? (2)平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 cos ? 说明: ①注意“同角” ,至于角的形式无关重要,如 sin 2 4? ? cos2 4? ? 1 等; ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的,如 k? tan ? ? cot ? ? 1(? ? ,k ? Z) ; 2 ③对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、变形用) , 如: sin ? 等。 cos? ? ? 1 ? sin2 ? , sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? , cos ? ? tan ? 2.例题分析: 一、求值问题 3 例 1:已知 sin ? ? ? ,求 cos ? , tan ? 得值. 5
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周大伟

解: 因为 sin ? ? 0, sin ? ? 1 ,所以 ? 是第三或第四象限角. 由 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 得

16 ? 3? . cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? ? 25 ? 5? 如果 ? 是第三象限角,那么 cos ? 0 ,于是 16 3 cos? ? ? ?? . 25 4 sin ? ? 3 ? ? 5 ? 3 从而 tan? ? ? ?? ???? ? ? . cos? ? 5 ? ? 4 ? 4 如果 ? 是第四象限角,那么 4 3 cos ? ? , tan ? ? ? . 5 4
2 2

2

总结:1,已知一个角的某一个三角函数值,便可运用基本关系式求出其它三角 函数值。在求值中,确定角的终边位置是关键和必要的。有时,由于角的终边 位置的不确定,因此解的情况不止一种。 2,解题时产生遗漏的主要原因是:①没有确定好或不去确定角的终边位 置;②利用平方关系开平方时,漏掉了负的平方根。 cos x 1 ? sin x ? 例 2.求证: . 1 ? sin x cos x 证法一:由 cos x ? 0 ,知 sin x ? ?1 ,所以 1 ? sin x ? 0 ,于是

左边 ?

cos x?1 ? sin x ? ?1 ? sin x ??1 ? sin x ? cos x?1 ? sin x ? ? 1 ? sin 2 x cos x?1 ? sin x ? ? cos2 x 1 ? sin x ? ? 右边 cos x

所以原式成立. 证法二:因为
2 ?1 ? s i n x??1 ? s i n x? ? 1 ? s i n x ? c o 2sx ? c o x sc o x s,

且 1 ? sin x ? 0, cos x ? 0 ,所以
cos x 1? s i n x ? . 1? s i n x cos x

总结: 证明恒等式的过程就是分析、 转化、 消去等式两边差异来促成统一的过程, 证明时常用的方法有: (1)从一边开始,证明它等于另一边; (2)证明左右两边 同等于同一个式子; (3) 证明与原式等价的另一个式子成立, 从而推出原式成立。
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练习:
1,已知 cos ? ? ?

4 , 且?为第三象限角,求 sin ? , tan ? . 5

?1?sin 4 ? ? cos4 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? 2,证明: ?2?sin 4 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1
四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.同角三角函数基本关系式及成立的条件; 2.根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值; 五、课后作业:P20 练习题 1 和 4.新坐标写到 13 页。

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