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2017-2018学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 第9课时 双曲线及其标准方程2 新人教A版选修1-1_图文

目标导航 1.能记住双曲线的定义、几何图形,会分析标准方程的推导过程. 2.能记住双曲线的标准方程. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题.

1 新知识·预习探究

知识点一 双曲线的定义

阅读教材 P45,完成下列问题. 1.双曲线的定义

自然语言

符号表示

定义

||MF1|-|MF2||

平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差等于常 =2a(常数),

数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.

其中

0<2a<|F1F2|.

有关概念

两个定点叫双曲线的焦点.焦点间的距离叫 焦点:F1,F2

做双曲线的焦距.

焦距:|F1F2|

【练习 1】 已知 F1(-5,0),F2(5,0)为定点,动点 P 满足|PF1|-|PF2| =2a,当 a=3 和 a=5 时,P 点的轨迹为( )
A.双曲线和一条直线 B.双曲线的一支和一条直线 C.双曲线和一条射线 D.双曲线的一支和一条射线
【解析】 当 a=3 时,|PF1|-|PF2|=6<|F1F2| P 点的轨迹为双曲线的一支, 当 a=5 时,|PF1|-|PF2|=10=|F1F2|, P 点的轨迹为一条射线. 【答案】 D

知识点二 双曲线的标准方程

阅读教材 P46~P47 思考,完成下列问题. 1.双曲线的标准方程

标准方程

焦点在 x 轴上 ①ax22-by22=1

焦点在 y 轴上 ②ay22-bx22=1

焦点坐标 ③(-c,0),(c,0) ④(0,-c),(0,c)

a、b、c 关系

c2=⑤a2+b2

【练习 2】 在双曲线的标准方程中,a=3,b=4,则其方程为
() A.x92-1y62 =1 B.1x62 -y92=1 C.y92-1x62 =1 D.x92-1y62 =1 或y92-1x62 =1
【解析】 双曲线的焦点可以在 x 轴上,也可以在 y 轴上.
【答案】 D

2 新视点·名师博客 1.双曲线定义的三个关注点 (1)a,c 关系:0<2a<2c,可用双曲线焦点三角形 PF1F2 的两边之 差小于第三边来记忆,若点 P 刚好是双曲线与所在直线的交点,此时 构不成三角形,仍然很容易得到 2a<2c. (2)关键词:“平面内”、“距离差的绝对值”、“常数 2a(a>0) 小于|F1F2|”. (3)左右支:当 M 满足|MF1|-|MF2|=2a<|F1F2|时,M 点的轨迹是 离点 F2 较近的双曲线一支;当 M 满足|MF2|-|MF1|=2a<|F1F2|时,M 点的轨迹是离点 F1 较近的双曲线一支.

2.双曲线标准方程的三个关键点
(1)“标准”的意义:以过两焦点 F1,F2 的直线为 x 轴或 y 轴,线 段 F1F2 的中点为原点建立直角坐标系时,推出的双曲线方程才叫标准 方程.
(2)大小关系:对于双曲线ay22-bx22=1(a>0,b>0)中的 a 不一定大于 b;其大小关系可以为:a=b,a<b,a>b.
(3)关系式:c2=a2+b2.
3.双曲线标准方程的三个关注点 (1)系数:通过 x2,y2 的系数区分焦点在 x 轴上还是在 y 轴上. (2)符号:x2,y2 系数的符号相反. (3)双曲线标准方程一般式:方程xm2+yn2=1 表示双曲线的充要条件 是 mn<0.

4.双曲线的标准方程与统一形式 (1)双曲线的标准方程有两种形式ax22-by22=1(a>0,b>0)和ay22-bx22= 1(a>0,b>0),应用时注意其形式特点,即:双曲线焦点在 x 轴上?标 准方程中 x2 项的系数为正;双曲线焦点在 y 轴上?标准方程中 y2 项的 系数为正.
(2)双曲线方程的一般形式为 Ax2+By2=1(AB<0).将其化为标准 形式为x12+y12=1.因此当 A>0,B<0 时,表示焦点在 x 轴上的双曲线;
AB 当 B>0,A<0 时,表示焦点在 y 轴上的双曲线.

3 新课堂·互动探究 考点一 双曲线的定义及应用 例 1 P 是双曲线6x42 -3y62 =1 上一点,F1、F2 是双曲线的两个焦点, 且|PF1|=17,求|PF2|的值. 分析:利用双曲线的定义求解.

解:在双曲线6x42 -3y62 =1 中,a=8,b=6,故 c=10. 由 P 是双曲线上一点,得||PF1|-|PF2||=16, ∴|PF2|=1 或|PF2|=33. 又|PF2|≥c-a=2,得|PF2|=33. 点评:本题容易忽略|PF2|≥c-a 这一条件,而得出错误的结论|PF2| =1 或|PF2|=33.

变式探究 1 已知双曲线的方程是1x62 -y82=1,点 P 在双曲线上, 且到其中一个焦点 F1 的距离为 10,点 N 是 PF1 的中点,求|ON|的大小 (O 为坐标原点).

【解】 连接 ON,ON 是△PF1F2 的中位线,
所以|ON|=12|PF2|. 因为||PF1|-|PF2||=8,|PF1|=10, 所以|PF2|=2 或 18,|ON|=12|PF2|=1 或 9.

考点二 双曲线的标准方程及应用

例 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程.

(1)a=4,且经过点

A??1,4
?

310???;

(2)焦点在 y 轴上,且过点(3,-4 2),???94,5???.

分析:(1)∵a=4 且不确定焦点在哪个坐标轴上,故需要分类讨论,

代入点 A 进行求解,确定 b2 的值;(2)焦点在 y 轴上可设双曲线方程为

ay22-bx22=1(a>0,b>0),代入两点即可求出 a2、b2,也可以直接设为 mx2

+ny2=1(mn<0),代入两点求出.

解:(1)若设所求双曲线方程为ax22-by22=1(a>0,b>0),则将 a=4 代入,得1x62 -by22=1.

又∵点

A??1,4
?

310???在双曲线上,∴116-196b02 =1.

由此得 b2<0,∴不合题意,舍去.

若设所求双曲线方程为ay22-bx22=1(a>0,b>0),

则将 a=4 代入得1y62 -bx22=1,

代入点

A??1,4
?

310???,得

b2=9,

∴双曲线的标准方程为1y62 -x92=1. (2)设所求双曲线方程为 mx2+ny2=1(mn<0).

∵点(3,-4 2),???94,5???在双曲线上,

??9m+32n=1, ∴???8116m+25n=1,

解得?????mn==1-16.19,

∴双曲线标准方程为1y62 -x92=1. 点评:求解双曲线的方程主要是依据题目给出的条件确定 a2、b2 的值,注意焦点在哪个轴上;求解过程中也可以用换元思想.

变式探究 2 当 0°≤α≤180°时,方程 x2cosα+y2sinα=1 表示的 曲线怎样变化?

【解】 (1)当 α=0°时,方程为 x2=1,它表示两条平行直线 x=±1.

(2)当 0°<α<90°时,方程为

x2 1



y2 1

=1.

cosα sinα

①当 0°<α<45°时,0<co1sα<si1nα,它表示焦点在 y 轴上的椭圆.

②当 α=45°时,它表示圆 x2+y2= 2.

③当 45°<α<90°时,co1sα>si1nα>0,它表示焦点在 x 轴上的椭圆.

(3)当 α=90°时,方程为 y2=1,它表示两条平行直线 y=±1.

(4)当

90°<α<180°时,方程为

y2 1



x2 1

=1,它表示焦点在 y

sinα -cosα

轴上的双曲线.

(5)当 α=180°时,方程为-x2=1,不表示任何图形.

考点三 与双曲线有关的轨迹问题 例 3 已知定点 A(3,0)和定圆 C:(x+3)2+y2=16,动圆和圆 C 相 外切,并且过 A 点,求动圆圆心 P 的轨迹方程. 分析:利用两圆相外切和动圆过 A 点找到点 P 满足的几何条件, 利用双曲线定义求解.

解:设动圆半径为 r,则由已知|PA|=r,|PC|=r+4, ∴|PC|=|PA|+4,即|PC|-|PA|=4. ∵C(-3,0),A(3,0), ∴|AC|=6.∴4<|AC|. ∴P 的轨迹是以 A、C 为焦点的双曲线的右支. ∵a=2,c=3,∴b2=c2-a2=5. ∴点 P 的轨迹方程是x42-y52=1(x>0). 点评:应用双曲线定义求点的轨迹必须注意成立的条件.

变式探究 3 设圆 C 与两圆(x+ 5)2+y2=4,(x- 5)2+y2=4 中的一个内切,另一个外切,求 C 的圆心轨迹 L 的方程.
【解】 依题意得两圆的圆心分别为 F1(- 5,0),F2( 5,0), 从而可得|CF1|+2=|CF2|-2 或|CF2|+2=|CF1|-2, 所以||CF2|-|CF1||=4<|F1F2|=2 5. ∴圆心 C 的轨迹是以 F1,F2 为焦点的双曲线,且 2a=4,2c=2 5. ∴a=2,c= 5.∴b2=c2-a2=1. ∴C 的圆心轨迹 L 的方程为x42-y2=1.

4 新思维·随堂自测 1.已知平面上定点 F1、F2 及动点 M,命题甲:||MF1|-|MF2||=2a(a 为常数),命题乙:M 点的轨迹是以 F1、F2 为焦点的双曲线,则甲是 乙的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 根据双曲线的定义:乙?甲,但甲?/乙,只有当 2a<|F1F2|且 a≠0 时,其轨迹才是双曲线.
【答案】 B

2.若 ax2+by2=b(ab<0),则这曲线是( ) A.双曲线,焦点在 x 轴上 B.双曲线,焦点在 y 轴上 C.椭圆,焦点在 x 轴上 D.椭圆,焦点在 y 轴上
【解析】 原方程可化为xb2+y2=1,∵ab<0,∴ba<0,知曲线是 a
焦点在 y 轴上的双曲线,故选 B. 【答案】 B

3.设 F1、F2 分别是双曲线 x2-y92=1 的左、右焦点,若点 P 在双

曲线上,且P→F1·P→F2=0,则|P→F1+P→F2|等于( )

A. 10

B.2 10

C. 5

D.2 5

【解析】 由题意知 a=1,b=3,c= 10. ∵P→F1·P→F2=0,∴PF1⊥PF2.由直角三角形的性质得,|P→F1+P→F2| =2|P→O|=|F1F2|=2 10. 【答案】 B

4.方程2 01x02-k-k-2y2009=1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 ________.
【解析】 由(2 010-k)(k-2 009)>0 得 2 009<k<2 010. 【答案】 (2 009,2 010)

5.F1、F2 是双曲线 16x2-9y2=144 的左、右焦点,点 P 在双曲 线上,且|PF1||PF2|=32,求∠F1PF2 的大小.

【解】 由 16x2-9y2=144 得x92-1y62 =1, ∴a2=9,b2=16,c2=a2+b2=25,
∴c=5,焦距|F1F2|=10. 由双曲线的定义有
|PF1|-|PF2|=±6. 在△F1PF2 中,由余弦定理得 cos∠F1PF2=|PF1|2+2|P|PFF1|2||P2-F2||F1F2|2 =?|PF1|-|PF2|?22|+PF21||P|PFF12|||PF2|-|F1F2|2 =?±6?2+22××3322-100=0,从而∠F1PF2=90°.

5 辨错解·走出误区 易错点:忽视焦点位置的讨论而致错 【典例】 方程2-x2m+|my|-2 3=1 表示双曲线,那么 m 的取值范 围是________.

【错解】 由?????2|m-|-m3><00, 解得-3<m<2,∴m 的取值范围是{m| -3<m<2}.
【错因分析】 只考虑焦点在 x 轴上,忽视了焦点在 y 轴上的情 况.



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