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广东省中山市2012-2013学年度第一学期期末统一考试高三数学试卷(理科)


中山市 2012—2013 学年度第一学期期末统一考试

高三数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上. 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上. 3、不可以使用计算器. 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交.

第Ⅰ卷(选择题共 40 分)
一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.设全集 U ? ?1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8 ? ,集合 A ? {1, 2 , 3, 5} , B ? { 2 , 4 , 6} ,则图中的阴影部分 表示的集合为 ( A. ? 2 ? C. ?1, 3, 5 ? ) B. ? 4 , 6 ? D. ? 4 , 6 , 7 , 8 ? )

2.等差数列 { a n } 的前n项和为 S n ,若 a 2 ? a 7 ? a 12 ? 30 ,则 S 13 的值是( A.130
a b

B.65

C.70 ) B.必要不充分条件

D.75

3.“ 2 ? 2 ”是 “ lo g 2 a ? lo g 2 b ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 )

4.若△ A B C 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 : 1 1 : 1 3 ,则△ A B C ( A.一定是锐角三角形 C.一定是钝角三角形
2

B.一定是直角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 ) D. ?
?? ?4 ,

5.直线 x ? ( a ? 1) y ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是( A. [ 0 ,
?
4 ]

B. ?

? 3?

? ,? ? ? 4 ?

C. [ 0 ,

?
4

]? (

?
2

,? )

? ?

? 3? ? ,? ? ?? ? 2 ? ? 4 ?

6.有编号分别为 1,2,3, 4,5 的 5 个红球和 5 个黑球, 从中取出 4 个, 则取出的编号互不相同的概率为( A.
5 21

) C.
1 3

B.

2 7

D.

8 21

7.若右边的程序框图输出的 S 是 126,则条件①可为( A.n ? 5 B.n ? 6 C.n ? 7

) D.n ? 8

8.如图,在透明塑料制成的长方体 ABCD

? A 1 B 1 C 1 D 1 容器内灌进一些水,将容器底面一

边 BC 固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个说法: ①水的部分始终呈棱柱状;
A1 D1

②水面四边形 EFGH

的面积不改变; 平行;
E B1 H F A D C G C1

③棱 A 1 D 1 始终与水面 EFGH

④当 E ? AA 1 时, AE ? BF 是定值. 其中所有正确的命题的序号是( A.①②③ B.①③ ) D.①③④

C.②④

B

第Ⅱ卷(非选择题共 110 分)
二、填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) 9.在二项式 ? x ? 2 ? 的展开式中,含 x 3 的项的系数是__________
6

10.曲线 C

: y ? x

2

、直线 l : x

? 2与x

轴所围成的图形面积为_________

11.已知函数 f ? x ? 的导数 f ? ? x ? ? a ? x ? 1 ? ? x ? a ? , 若 f ? x ? 在 x ? a 处取得极大值,则 a 的 取值范围为__________ 12.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 ... 13.已知直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 O : x ? y
2 2

? 1 相交于 A , B 两点,且 AB ?

3, 则

OA ? OB 的值是

14.如下图,对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次幂进行如下方式的“分裂”:
1
2
2

1
3
2

1
4
2

3 3
2
3

3 5

3 5 7 13 15 17 19 61

7
3
3

9
11

4

3

5

7
2
4

25
3
4

27 29

4

4

9

63 65 67

仿此, 6 2 的“分裂”中最大的数是

; 2 0 1 3 3 的“分裂”中最大的数是
? 2



三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分 12 分)函数
f ( x ) ? 2 s in ( ? x ? ? ) ( ? ? 0 , 0 ? ? ?
)

的部分图象如下图所示,

该图象与 y 轴交于点 F ( 0 ,1) ,与 x 轴交于点 B , C , M 为最高点,且三角形 M B C 的面积 为? . (Ⅰ)求函数 (Ⅱ)若
f (x)
? 6

的解析式;
2 5 5 ,? ? (0, ? 2 )

f (? ?

) ?

,求 c o s ( 2 ?

?

? 4

)

的值.
x

16.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?a n ? 的公差大于 0,且 a 3 , a 5 是方程 x 2 ? 14 x ? 45 ? 0 的两根,数列 ?b n ? 的前 n 项的和为 S n ,且 S n ? 1 ?
1 2 b n ( n ? N ).
*

(1) 求数列 ?a n ? , ?b n ? 的通项公式; (2) 记 c n ? a n ? b n ,求证: c n ? 1 ? c n . 17. (本小题满分 14 分) 如图,三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 中, A A1 ? 平面 A B C , D 、E 分别为 A1 B 1 、A A1 的中点, F 在棱 A B 上, 点 且 AF
? 1 4 AB

C1 D

A1

B1

.
E
//

(Ⅰ)求证: E F

平面 B D C 1 ;

C

(Ⅱ)在棱 A C 上是否存在一个点 G ,使得平面 E F G 将 三棱柱分割成的两部分体积之比为 1 : 15,若存在, 指出点 G 的位置;若不存在,说明理由.
A F B

18.(本小题满分 14 分)某同学在研究性学习中,收集到某制药厂今年前 5 个月甲胶囊生 产产量(单位:万盒)的数据如下表所示: 月份 x y (万盒) 1 4 2 4 3 5
? ? ? bx ? a

4 6

5 6

? (Ⅰ)该同学为了求出 y 关于 x 的线性回归方程 y
? 出b ? 0 .6

,根据表中数据已经正确计算

? ,试求出 a 的值,并估计该厂 6 月份生产的甲胶囊产量数;

(Ⅱ) 若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊 4 盒和三月份生产的甲胶囊 5 盒, 小红同学从中随机购买了 3 盒甲胶囊, 后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊 均存在质量问题.记小红同学所购买的 3 盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为 ? ,求 ? 的分布 列和数学期望. 19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ?
1 3 x ? ax ? b ,其中实数 a , b 是常数.
3

(Ⅰ)已知 a ? ?0 ,1, 2 ? , b ? ?0 ,1, 2 ? ,求事件 A :“ f ?1 ? ? 0 ”发生的概率; (Ⅱ)若 f ? x ? 是 R 上的奇函数, g ? a ? 是 f ? x ? 在区间 ? ? 1 ,1 ? 上的最小值,求当 a ? 1 时

g ? a ? 的解析式;

(Ⅲ) y ? f ? x ? 的导函数为 f ? ? x ? , 记 则当 a ? 1 时, 对任意 x 1 ? ?0 , 2 ? , 总存在 x 2 ? ?0 , 2 ? 使得 f ( x 1 ) ? f ? ( x 2 ) ,求实数 b 的取值范围.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? a x ?

b x

? 2 ln x , f (1) ? 0 .

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在其定义域内为单调函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图象在 x ? 1 处的切线的斜率为 0 ,且
a n ?1 ? f ?( 1 an ? n ? 1

) ? n ? 1 ,已知 a 1 ? 4 ,求证: a n ? 2 n ? 2 ;
2

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试比较 明你的理由.

1 1 ? a1

?

1 1 ? a2

?

1 1 ? a3

? ... ?

1 1 ? an



2 5

的大小,并说

中山市高三级 2012—2013 学年度第一学期期末统一考试

数学试卷(理科)答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 9.160; 10. 8 ; 11. ? 1 ? a ? 0 ; 12. 6 ? 2 3 ; 13.
3

1 B

2 A

3 B

4 C

5 B

6 D

7 B

8 D

?

1 2



14 . 11 ( 本 空 2 分 ) ; m 3 ( m 为 奇 数 ) 的 “ 分 拆 ” 的 最 大 数 是 m 2 ? m ? 1 , 所 以
2013?
2

2 0 1? 2

4054181 (本空 3 分,写成“ 2 0 1 3 ? 2 0 1 2 ”或“ 4 0 5 4 1 8 1 ”都给 3 分)
2

三、解答题 15.(本小题满分 12 分) 解:(I)∵ S ? M B C 由
? 1 2 ? 2 ? BC ? BC ? ? 1 2

, ∴周期 T

? 2? ?

??

?

,? ? 1

……….2 分

f ( 0 ) ? 2 s in ? ? 1
? ? ? ? 2

,得 s i n ?
? ? 6

?



……………………………………3 分

∵0

,∴ ?





f ( x ) ? 2 s in ( x ?

? 6

)


2 5 5

…………………………………………….6 分 ,得 s in ?
? 5 5

(Ⅱ)由 ∵?
? (0,

f (? ?
? 2

? 6

) ? 2 s in ? ?



)


2

∴ cos ?

?

1 ? s in ? ?

2 5

5


4 5

∴ c o s 2? ∴ c o s ( 2?
? 3 5 ?

? 2 cos ? ? 1 ?
2

3 5

, s in 2 ? ? 2 s in ? c o s ? ?
? 4 ? 4



?

? 4

) ? c o s 2? c o s

? s in 2 ? s in

2 2

?

4 5

?

2 2

? ?

2 10



…………………….12 分

16.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)∵ a 3 , a 5 是方程 x 2 ? 14 x ? 45 ? 0 的两根,且数列 { a n } 的公差 d ? 0 ,
a5 ? a3 5? 3

∴ a 3 ? 5 , a 5 ? 9 ,公差 d ?

? 2.

∴ a n ? a 5 ? (n ? 5)d ? 2n ? 1. ( n ? N * ) 又当 n=1 时,有 b1=S1=1-
1 2 b 1 ,? b 1 ? 2 3 .

………………4 分

当 n ? 2时 , 有 b n ? S n ? S n ?1 ?
2 3

1 2

( b n ? 1 ? b n ), ?

bn b n ?1

?

1 3

( n ? 2 ).

∴数列{bn}是等比数列, b 1 ? ∴ b n ? b1 q n ?1 ?
2 3
n

,q ?

1 3

.

.

( n? N*)
2 ( 2 n ? 1) 3
n
n

…………8 分
, c n ?1 ? 2 ( 2 n ? 1) 3
n ?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 c n ? a n b n ? ∴ c n ?1 ? c n ? ∴ c n ?1 ? c n .
2 ( 2 n ? 1) 3
n ?1

,

…………10 分

?

2 ( 2 n ? 1) 3

?

8 (1 ? n ) 3
n ?1

? 0.

…………………………12 分

17.(本小题满分 14 分) (I)证明:取 A B 的中点 M,? 又?
E
AF ? 1 4 AB ? F

为 A M 的中点,

C1 D

为 A A1 的中点,?

E F // A1 M

A1

B1

E C

在三棱柱 A B C

? A1 B 1 C 1

中, D , M 分别为 A1 B 1 , A B 的中点, ,
A1 M // B D

? A1 D // B M , A1 D ? B M
? A1 D B M

为平行四边形,?

? E F // B D ,
? BD ?

平面 B C 1 D , E F 平面 B C 1 D

?

平面 B C 1 D …………………….7 分

? E F //

(II)设 A C 上存在一点 G ,使得平面 EFG 将三棱柱分割成两 部分的体积之比为 1︰15, 则V E ? AFG : V ABC ? A B C ? 1 : 1 6
1 1 1

1 ? V E ? AFG V ABC ? A B C
1 1 1

? 1 2

1 2

A F ? A G s in ? G A F ? A E
?

?

3

1 3

?

1 4

?

1 2
3 2

?

AG AC

?

1 24

?

AG AC

A B ? A C ? s in ? C A B ? A1 A
? AG AC ? 3 2

?

1 24

?

AG AC

?

1 16





? AG ?

AC ? AC

所以符合要求的点 G 不存在 18.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) x
? 1 5 (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ) ? 3, y ? 1 5 (4 ? 4 ? 5 ? 6 ? 6) ? 5

……………………….14 分



? 因线性回归方程 y

? bx ? a

过点 ( x , y ) , ,
? 0 .6 ? 6 ? 3 .2 ? 6 .8

∴a

? y ? b x ? 5 ? 0 .6 ? 6 ? 3 .2

? ∴6 月份的生产甲胶囊的产量数: y

…………….6 分

(Ⅱ) ?

? 0 ,1, 2 , 3,
C5 C9
2 3 3

P (? ? 0 ) ?

?
1

10 84 ?

?

5 42 ? 5

, P ( ? ? 1) ?

C 4C 5 C9
3

1

2

?

40 84

?

10 21 1 .

,

P (? ? 2 ) ?

C4 C5 C9
3

30 84

, P (? ? 3 ) ?

C4 C9

3

14

3

?

4 84

?

…………………….10 分

21

其分布列为
?

0
5

1
10 21

2
5 14

3
1 21

P

42

? E? ?

5 42

?0?

10 21

?1?

5 14

?2?

1 21

?3 ?

4 3

…………………….14 分

19.(本小题满分 14 分)

解:(Ⅰ)当 a ? ? 0,1, 2 ? , b ? ?0,1, 2 ? 时,等可能发生的基本事件 ( a , b ) 共有 9 个:
( 0, ),0, ,0, ), (1, ), , , , ),2 , ),2 , ,2 , ). 0 ( 1) ( 2 0 (1 1) (1 2 ( 0 ( 1) ( 2

其中事件 A : “ f (1) ?

1 3

? a ? b ? 0 ”,包含 6 个基本事件:

( 0, ),0, ,0 , ), , , , ),2 , ). 0 ( 1) ( 2 (1 1) (1 2 ( 2

故 P ( A) ?

6 9

? 1 3

2 3

. 即事件“ f (1) ? 0 ”发生的概率
3

2 3

…………………….4 分

(Ⅱ) f ( x ) ? ∴ f (x) ?
1 3
3

x ? a x ? b , 是 R 上的奇函数,得 f ( 0 ) ? 0 , b ? 0 . (5 分)
f ?( x ) ? x ? a ,
2

x ? ax,

① 当 a ? 1 时,因为 ? 1 ? x ? 1 ,所以 f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 在区间 ? ? 1, 1 ? 上单调递 减,从而 g ( a ) ? f (1) ?
1 3 ?a ;

② 当 a ? ? 1 时,因为 ? 1 ? x ? 1 ,所以 f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 在区间 ? ? 1,1 ? 上单调递 增,从而 g ( a ) ? f ( ? 1) ? ?
1 3 ? a,

1 ? a ? , a ? ?1 ? ? 3 综上,知 g ( a ) ? ? . ??a ? 1 , a ? 1 ? 3 ?

…………………….9 分

(Ⅲ)当 a ? 1 时,

f ?x ? ?

1 3

x ? x ? b ,? f ? ? x ? ? x ? 1
3 2

当 x ? ? 0 ,1 ?时 f ? ? x ? ? 0 , 当 x ? ?1, 2 ?时 f ? ? x ? ? 0
? f ? x ?在 ? 0 ,1 ?上递减,在

?1, 2 ?上递增 ,即 f ? x ? min

? f ?1 ? ? ?

2 3

?b

又? f ? 0 ? ? b , f ? 2 ? ?

2 ? 2 ? 2 ? b, ? b ? b ? f ? 0 ? ,? 当 x ? ?0 , ?时, f ? x ? ? ? ? ? 3 3 ? 3 ?

2

2 而 f ? ? x ? ? x ? 1在 x ? ? 0 , 2 ? 上 递 增 , f ? ( x ) ? [ ? 1, 3 ]

?

? 对任意 x 1 ? ?0 , 2 ? ,总存在 x 2 ? ?0 , 2 ? 使得 f ( x 1 ) ? f ( x 2 )
? 2 ? 3 2 3 ? ? ? ? 1, 3 ? ? ?

? f

? x ?的 值 域

即 ? f ? ? x ?的 值 域 , ? -

? b,

?b

?

-

2 3

? b ? ?1 且

2 3

? b ? 3 ,解得 ?

1 3

? b ?

7 3

.…………………….14 分

20.(本小题满分 14 分) 解(Ⅰ)? f (1) ? a ? b ? 0 ? a ? b ,
? f ( x) ? ax ? a x ? 2 ln x , ? f ? ( x )? a? a x
2

?

2 x

.

要使函数 f ( x ) 在其定义域内为单调函数,则在定义域 ( 0 , ? ? ) 内, ① 当 a ? 0 时, f ? ( x ) ? ?
2 x ? 0 在定义域 ( 0 , ? ? ) 内恒成立,

此时函数 f ( x ) 在其定义内为单调递减函数,满足题意; ②当 a ? 0 时, 要使 f ? ( x ) ? a ?
a x
2

?

2 x

? a(

1 x

?

1 a

) ? a ?
2

1 a

则 ? 0 恒成立, a ?

1 a

? 0,

解得 a ? 1 ;此时函数 f ( x ) 在其定义内为单调递增函数,满足题意; ③ 当 a ? 0 时, f ? ( x ) ? a ? 减函数,满足题意; 综上所述,实数 a 的取值范围是 ( ? ? , 0 ] ? [1, ? ? ) ; (注: 本问也可采用“分离变量”的方法,酌情给分) (Ⅱ)由题意知 f ? (1) ? 0 ,可得 a ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 1 ,所以 f ? ( x ) ? (
1 x
1 an ? n ? 1

a x
2

?

2 x

? 0 恒成立;此时函数 f ( x ) 在其定义内为单调递

…………………….4 分

? 1)

2

于是 a n ? 1 ? f (
/

) ? n ? 1 ? an ? 2nan ? 1 , 下面用数学归纳法证明 a n ? 2 n ? 2
2 2

成立,数学归纳法证明如下: (i)当 n ? 1 时, a 1 ? 4 ? 2 ? 1 ? 2 ,不等式成立; (ii)假设当 n ? k 时,不等式 a k ? 2 k ? 2 成立,即 a k ? 2 k ? 2 成立, 则当 n ? k ? 1 时, a k ? 1 ? a k ( a k ? 2 k ) ? 1 ? ( 2 k ? 2 ) ? 2 ? 1 ? 4 k ? 5 ? 2 ( k ? 1) ? 2 , 所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立,
* 由(i)(ii)知 ? n ? N 时都有 a n ? 2 n ? 2 成立

. …………………….8 分

(Ⅲ) 由(Ⅱ)得

a n ? a n ? 1 ( a n ? 1 ? 2 n ? 2 ) ? 1 ? a n ? 1 [ 2 ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 2 ] ? 1 ? 2 a n ? 1 ? 1 , ? n ? N , n ? 2 ) (
* * 于是 a n ? 1 ? 2 ( a n ? 1 ? 1) , ( ? n ? N , n ? 2 )成立,

所以 a 2 ? 1 ? 2 ( a 1 ? 1) , a 3 ? 1 ? 2 ( a 2 ? 1), ... , a n ? 1 ? 2 ( a n ? 1 ? 1) 成立
n ?1 累乘可得: a n ? 1 ? 2 ( a 1 ? 1) ,则

1 an ? 1

? 2

1
n ?1

1 ( a 1 ? 1) 1 2

成立,( ? n ? N , n ? 2 )
*

所以

1 1 ? a1

?

1 1 ? a2

?

1 1 ? a3

? ... ?

1 1 ? an

?

1 1 ? a1

(1 ?

?

1 2
2

? ... ? 2

1
n ?1

) ?

2 5

(1 ?

1 2
n

) ?

2 5

.



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