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无棱二面角的求法


无棱二面角的求法 所给图形中,没有出现棱的二面角称为无棱二面角.求其大小的方法,归纳 起来有以下五种. 1.两点法 平面角解之. 例1 与面 即根据两点确定一条直线,找到所求二面角的棱,然后作出其

如图, 在棱长为

的正方体

中,



的中点, 求面

所成二面角的大小.

分析 则

因为



共面且不平行,故延长后必相交,设交点为



就是所求二面角的棱,于是作出其平面角便可求解. 略解 延长 、 交于 , 连 , 作 于 , 连 ,



就是所求二面角的平面角.









2.平行线法 其理论依据是直线与平在平行的性质.具体作法是:在二面 角的一个面内作(找)一直线与另一个面平行,则过二面角两面的公共点且与该 直线平行的直线就是所求二面角的棱. 例2 面的垂线 小. 过边长为 的等边△ 、 ,且 顶点 、 ,求面 ,分别引△ 所在平 与面 所成角的大





的中点 ,

,作 .又∵



于 ,

,则

∴ ∴ 过 作直线

,∴ ,∴

是平行四边形, 面 ,则 . . 为所求二面角的棱,且

∴ 又 ∴ 面

,即 ,∴

, ,

就是所求二面角的平面角.

显然



(此题还可用两点法求解,读者自己完成.) 3.垂面法 其理论依据是:如果两相交平面都与第三个平面垂直,那么它 们的交线必与第三个平面垂直. 据此,如果图形中能作出一个平面与无棱二面角 的两个面都垂直, 那么该平面与二面角两个面的交线所成角就是该二面角的平面 角. 在例 1 中, 易证对角面 就是所求二面角的平面角.显然 与面 及面 都垂直, 故

,或 例2 也可用垂面法求解,只须证面 直.(留给读者完成) 与面 及面

. 都垂

4.平移法 其理论依据是:一个平面与两个平行平面相交,它们所成的二 面角相等或互补.具体作法,将无棱二面角一个面平移到适当位置,可得到一个 与所求二面角相等或互补的有棱二面角,然后作出该二面角的平面角便可求解.

在例 2 中,如果作 交 于 ,作 交 于 ,则 面 面 ,这时,二面角 等于所求二面角.故只要求出二 面角 即达目的.(具体求解留给读者完成) 例3 且 在棱长为 ,求面 的正方体 与面 中, 是 的中点, 在 上,

所成二面角的大小.



过 于

作 面 , 连

交 , 则



,再过 ,

作 就是二面角



于 的

,则面 平面角.

,于是二面角

与所求二面角相等.作



, ∴

, ∴











,即为所求二面角的大小.

5.面积射影法 平面 内的射影 那么 .

其理论依据是定理:如果平面图形 的面积为 ,它在 的面积为 ,并且 所在平面与平面 所成角为 ,

在例 1 中,显然△

是△

在底面

内的射影,故可用面

积射影法求解, 设所求二面角为 例2

, 则

, ∴



也可用面积射影法求解.(读者自己完成). 的中点 ,连 , ,则△ 是△ 在底面

在例 3 中,若取

内的射影,如图,















∴ 设所求二面角为 ,则








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