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【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第十二章 概 率 第1课


§ 12.1

随机事件的概率

1. 事件 (1)不可能事件、必然事件、随机事件: 在同样的条件下重复进行试验时,有的结果始终不会发生,它称为不可能事件;有的结 果在每次试验中一定会发生,它称为必然事件;有的结果可能发生,也可能不发生,它 称为随机事件. (2)基本事件、基本事件空间: 试验连同它出现的每一个结果称为一个基本事件,它是试验中不能再分的最简单的随机 事件;所有基本事件构成的集合称为基本事件空间,基本事件空间常用大写希腊字母 Ω 表示. 2. 概率与频率: m (1)概率定义:在 n 次重复进行的试验中,事件 A 发生的频率 ,当 n 很大时,总是在某 n 个常数附近摆动,随着 n 的增加,摆动幅度越来越小,这时就把这个常数叫做事件 A 的 概率,记作 P(A). (2)概率与频率的关系:概率可以通过频率来“测量”,频率是概率的一个近似. 3. 事件的关系与运算 名称 并事件(和事件) 互斥事件 定义 由事件 A 和 B 至少有一个发生所构成的事件 C 不可能同时发生的两个事件 A、B

互为对立事件 4. 概率的几个基本性质

不能同时发生且必有一个发生的两个事件 A、B

(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率:P(E)=1. (3)不可能事件的概率:P(F)=0. (4)互斥事件的概率加法公式: ①P(A∪B)=P(A)+P(B)(A,B 互斥). ②P(A1∪A2∪?∪An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An)(A1,A2,?,An 彼此互斥). (5)对立事件的概率:P( A )=1-P(A).

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生频率与概率是相同的. (2)随机事件和随机试验是一回事. (3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值. (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生. ( × ( × ( √ ( × ( ) ) ) ) )

2. 一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 A.至多有一次中靶 C.只有一次中靶 答案 D B.两次都中靶 D.两次都不中靶

3. 某射手的一次射击中,射中 10 环、9 环、8 环的概率分别为 0.2、0.3、0.1,则此射手在 一次射击中不超过 8 环的概率为 A.0.5 C.0.6 答案 A 解析 依题意知,此射手在一次射击中不超过 8 环的概率为 1-(0.2+0.3)=0.5. 4. 下列事件中,随机事件为________,必然事件为________.(填序号) ①冬去春来 ②某班一次数学测试,及格率低于 75% ③体育彩票某期的特等奖号码 B.0.3 D.0.9 ( )

④三角形内角和为 360° ⑤骑车到十字路口遇到交警 答案 ②③⑤ ① 5. 给出下列三个命题,其中正确的命题有________个. ①有一大批产品,已知次品率为 10%,从中任取 100 件,必有 10 件是次品;②做 7 次 3 抛硬币的试验,结果 3 次出现正面,因此正面出现的概率是 ;③随机事件发生的频率就 7

是这个随机事件发生的概率. 答案 0 3 解析 ①错,不一定是 10 件次品;②错, 是频率而非概率;③错,频率不等于概率, 7 这是两个不同的概念.

题型一 随机事件的关系 例1 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅,记事件 A 为“只订甲报纸”,事件 B 为“至 少订一种报纸”,事件 C 为“至多订一种报纸”,事件 D 为“不订甲报纸”,事件 E 为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不 是对立事件. (1)A 与 C;(2)B 与 E;(3)B 与 C;(4)C 与 E. 思维启迪 判断事件之间的关系可以紧扣事件的分类,结合互斥事件,对立事件的定义 进行分析. 解 (1)由于事件 C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”, 即事件 A 与事件 C 有

可能同时发生,故 A 与 C 不是互斥事件. (2)事件 B“至少订一种报纸”与事件 E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故 B 与 E 是互斥事件. 由于事件 B 不发生可导致事件 E 一定发生, 且事件 E 不发生会导致事 件 B 一定发生,故 B 与 E 还是对立事件. (3)事件 B“至少订一种报纸”中有这些可能:“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订 甲、乙两种报纸”,事件 C“至多订一种报纸”中有这些可能:“一种报纸也不订”、 “只订甲报纸”、“只订乙报纸”,由于这两个事件可能同时发生,故 B 与 C 不是互斥 事件. (4)由(3)的分析,事件 E“一种报纸也不订”是事件 C 的一种可能,即事件 C 与事件 E 有可能同时发生,故 C 与 E 不是互斥事件. 思维升华 对互斥事件要把握住不能同时发生,而对于对立事件除不能同时发生外,其 并事件应为必然事件,这些也可类比集合进行理解,具体应用时,可把所有试验结果写 出来,看所求事件包含哪几个试验结果,从而断定所给事件的关系. 对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹.设 A={两次都击中飞机},B= {两次都没击中飞机},C={恰有一弹击中飞机},D={至少有一弹击中飞机},其中彼此 互斥的事件是________,互为对立事件的是________. 答案 A 与 B,A 与 C,B 与 C,B 与 D B 与 D

解析 设 I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况,因为 A∩B=?,A∩C=?,B∩C =?,B∩D=?. 故 A 与 B,A 与 C,B 与 C,B 与 D 为彼此互斥事件,而 B∩D=?,B∪D=I,故 B 与 D 互为对立事件. 题型二 随机事件的频率与概率 例2 某企业生产的乒乓球被 2012 年伦敦奥运会指定为乒乓球比赛专用球,目前有关部门

对某批产品进行了抽样检测,检查结果如下表所示: 抽取球数 n 优等品数 m m 优等品频率 n (1)计算表中乒乓球优等品的频率; (2)从这批乒乓球产品中任取一个, 质量检查为优等品的概率是多少?(结果保留到小数点 后三位) 思维启迪 可以利用公式计算频率,在试验次数很大时,用频率来估计概率. 解 m (1)依据公式 f= ,计算出表中乒乓球优等品的频率依次是 0.900,0.920,0.970, n 50 45 100 92 200 194 500 470 1 000 954 2 000 1 902

0.940,0.954,0.951. (2)由(1)知,抽取的球数 n 不同,计算得到的频率值不同,但随着抽取球数的增多,频率 在常数 0.950 的附近摆动,所以质量检查为优等品的概率约为 0.950. 思维升华 频率是个不确定的数,在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小, 但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小.但从大量重复试验中发现,随着试验次数 的增多,事件发生的频率就会稳定于某一固定的值,该值就是概率. 某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量 Y(单位:万千瓦时)与该 河上游在六月份的降雨量 X(单位:毫米)有关.据统计,当 X=70 时,Y=460;X 每增 加 10,Y 增加 5.已知近 20 年 X 的值为 140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110, 160,160,200,140,110,160,220,140,160. (1)完成如下的频率分布表: 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 频率 70 1 20 110 140 4 20 160 200 220 2 20

(2)假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概 率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概 率.



(1)在所给数据中,降雨量为 110 毫米的有 3 个,为 160 毫米的有 7 个,为 200 毫米

的有 3 个.故近 20 年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 频率 70 1 20 110 3 20 140 4 20 160 7 20 200 3 20 220 2 20

X (2)由已知可得 Y= +425, 2 故 P(“发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时”) =P(Y<490 或 Y>530)=P(X<130 或 X>210) =P(X=70)+P(X=110)+P(X=220) = 1 3 2 3 + + = . 20 20 20 10

故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率为 3 . 10 题型三 互斥事件、对立事件的概率 例3 某商场有奖销售中,购满 100 元商品得 1 张奖券,多购多得.1 000 张奖券为一个开奖 单位,设特等奖 1 个,一等奖 10 个,二等奖 50 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二 等奖的事件分别为 A、B、C,求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1 张奖券的中奖概率; (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 思维启迪 明确事件的特征、分析事件间的关系,根据互斥事件或对立事件的概率公式 求解. 解 (1)P(A)= 1 10 1 ,P(B)= = , 1 000 1 000 100

P(C)=

50 1 = . 1 000 20

1 1 1 故事件 A,B,C 的概率分别为 , , . 1 000 100 20 (2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1 张奖券中奖”这个事件为 M, 则 M=A∪B∪C. ∵A、B、C 两两互斥, ∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) = 1+10+50 61 = . 1 000 1 000 61 . 1 000

故 1 张奖券的中奖概率为

(3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N,则事件 N 与“1 张奖券中特等奖 或中一等奖”为对立事件, 1 1 ? 989 ∴P(N)=1-P(A∪B)=1-? ?1 000+100?=1 000. 989 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 . 1 000 思维升华 (1)解决此类问题,首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥

事件或对立事件,再选择概率公式进行计算. (2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解法,将所求事件的概率分解 为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算;二是间接求法,先 求此事件的对立事件的概率,再用公式 P(A)=1-P( A )计算. 袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到 1 5 5 红球的概率是 ,黑球或黄球的概率是 ,绿球或黄球的概率也是 .求从中任取一球, 3 12 12 得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少? 解 从袋中任取一球,记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分

5 别为 A,B,C,D,则事件 A,B,C,D 彼此互斥,所以有 P(B+C)=P(B)+P(C)= , 12 5 1 2 P(D+C)=P(D)+P(C)= ,P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1- = , 12 3 3 1 1 1 解得 P(B)= ,P(C)= ,P(D)= . 4 6 4 1 1 1 故从中任取一球,得到黑球、黄球和绿球的概率分别是 , , . 4 6 4

用正难则反思想求互斥事件的概率

典例:(12 分)(2012· 湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机 收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分 钟/人) 1至4件 x 1 5至8件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 y 2.5 17 件及以上 10 3

已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 ...2 分钟的概率.(将频率视为概率)

思维启迪 若某一事件包含的基本事件多,而它的对立事件包含的基本事件少,则可用“正 难则反”思想求解. 规范解答 解 (1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45,

所以 x=15,y=20.[2 分] 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结 算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均 值可用样本平均数估计,其估计值为 1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10 =1.9(分钟).[6 分] 100 (2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”, A1, A2 分别表示事件“该 顾客一次购物的结算时间为 2.5 分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为 3 分钟”,将 20 1 10 1 频率视为概率得 P(A1)= = ,P(A2)= = .[9 分] 100 5 100 10 1 1 7 P(A)=1-P(A1)-P(A2)=1- - = .[11 分] 5 10 10 7 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 .[12 分] 10 温馨提醒 (1)要准确理解题意,善于从图表信息中提炼数据关系,明确数字特征的含义. (2)正确判定事件间的关系,善于将 A 转化为互斥事件的和或对立事件,切忌盲目代入概 率加法公式. 易错提示: (1)对统计表的信息不理解,错求 x,y 难以用样本平均数估计总体. (2)不能正确地把事件 A 转化为几个互斥事件的和或转化为 B+C 的对立事件,导致计算 错误.

方法与技巧 1. 对于给定的随机事件 A,由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率 P(A),因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A). 2. 从集合角度理解互斥和对立事件 从集合的角度看,几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交 集为空集,事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合,是全集中由事件 A 所含的结 果组成的集合的补集.

失误与防范 1. 正确认识互斥事件与对立事件的关系:对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但 互斥事件不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件. 2. 需准确理解题意,特别留心“至多??”,“至少??”,“不少于??”等语句的含义.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1. 从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球,那么互斥而不对立的事件是( A.至少有一个红球与都是红球 B.至少有一个红球与都是白球 C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有二个红球 答案 D 2. 从一箱产品中随机地抽取一件,设事件 A={抽到一等品},事件 B={抽到二等品},事 件 C={抽到三等品},且已知 P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是 一等品”的概率为 A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.3 答案 C 解析 事件“抽到的不是一等品”与事件 A 是对立事件,由于 P(A)=0.65, 所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为 P=1-P(A)=1-0.65= 0.35. 3. 某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品 和丙级品的概率分别是 5%和 3%,则抽验一只是正品(甲级)的概率为 A.0.95 B.0.97 C.0.92 D.0.08 答案 C 解析 记抽验的产品是甲级品为事件 A,是乙级品为事件 B,是丙级品为事件 C,这三 个事件彼此互斥,因而抽验的产品是正品(甲级)的概率为 P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5% -3%=92%=0.92,故选 C. 4. 在 5 张电话卡中,有 3 张移动卡和 2 张联通卡,从中任取 2 张,若事件“2 张全是移动 3 7 卡”的概率是 ,那么概率是 的事件是 10 10 A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡 ( ) ( ) ( ) )

C.都不是移动卡 答案 A

D.至少有一张移动卡

解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事 件,它是“2 张全是移动卡”的对立事件,故选 A. 1 1 5. 甲、乙两人下棋,两人和棋的概率是 ,乙获胜的概率是 ,则乙不输的概率是( 2 3 5 A. 6 2 1 1 B. C. D. 3 2 3 )

答案 A 1 1 5 解析 乙不输包含两种情况:一是两人和棋,二是乙获胜,故所求概率为 + = . 2 3 6 二、填空题 6. 在 200 件产品中,有 192 件一级品,8 件二级品,则下列事件: ①在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是一级品; ②在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是二级品; ③在这 200 件产品中任意选出 9 件,不全是二级品. 其中________是必然事件;________是不可能事件;________是随机事件. 答案 ③ ② ① 7. 口袋内装有一些大小相同的红球、 白球和黑球, 从中摸出 1 个球, 摸出红球的概率为 0.42, 摸出白球的概率为 0.28,若红球有 21 个,则黑球有________个. 答案 15 解析 1-0.42-0.28=0.30,21÷ 0.42=50, 50×0.30=15. 8. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次 投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 1,2,3,4 表示命中,5,6,7,8,9,0 表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经 随机模拟产生了如下 20 组随机数: 907 431 966 191 925 271 932 812 458 569 683 257 393 027 556 488 730 113 537 989

据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________. 答案 0.25 解析 20 组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是 191,271,932,812,393,其频率为 5 =0.25,以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 0.25. 20 三、解答题 9. 黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示:

血型 该血型的人所占比/%

A 28

B 29

AB 8

O 35

已知同种血型的人可以输血,O 型血可以输给任一种血型的人,任何人的血都可以输给 AB 型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是 B 型血,若小明因病需要输血, 问: (1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少? (2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少? 解 (1)对任一人,其血型为 A,B,AB,O 型血的事件分别记为 A′,B′,C′,D′,

它们是互斥的. 由已知,有 P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35. 因为 B,O 型血可以输给 B 型血的人,故“可以输给 B 型血的人”为事件 B′+D′. 根据互斥事件的加法公式,有 P(B′+D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64. (2)方法一 由于 A,AB 型血不能输给 B 型血的人,故“不能输给 B 型血的人”为事件 A′+C′,且 P(A′+C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36. 方法二 因为事件“其血可以输给 B 型血的人”与事件“其血不能输给 B 型血的人”是 对立事件,故由对立事件的概率公式,有 P(A′+C′)=P( B' =1-0.64=0.36. 10.对一批衬衣进行抽样检查,结果如表: 抽取件数 n 次品件数 m m 次品率 n (1)求次品出现的频率(次品率); (2)记“任取一件衬衣是次品”为事件 A,求 P(A); (3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换,销售 1 000 件衬衣,至少需进货多少件? 解 (1)次品率依次为 0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05. 50 0 100 2 200 12 500 27 600 27 700 35 800 40

? D' )=1-P(B′+D′)

m (2)由(1)知,出现次品的频率 在 0.05 附近摆动, n 故 P(A)=0.05. (3)设进衬衣 x 件, 则 x(1-0.05)≥1 000, 解得 x≥1 053, 故至少需进货 1 053 件. B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟)

1. 甲:A1、A2 是互斥事件;乙:A1、A2 是对立事件.那么 A.甲是乙的充分但不必要条件 B.甲是乙的必要但不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 答案 B

(

)

解析 根据互斥事件和对立事件的概念可知互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定 是互斥事件. 2. 在一次随机试验中,彼此互斥的事件 A、B、C、D 的概率分别是 0.2、0.2、0.3、0.3,则 下列说法正确的是 A.A+B 与 C 是互斥事件,也是对立事件 B.B+C 与 D 是互斥事件,也是对立事件 C.A+C 与 B+D 是互斥事件,但不是对立事件 D.A 与 B+C+D 是互斥事件,也是对立事件 答案 D 解析 由于 A,B,C,D 彼此互斥,且 A+B+C+D 是一个必然事件, 故其事件的关系可由如图所示的 Venn 图表示,由图可知,任何一个事 件与其余 3 个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与 其余两个事件的和事件也是对立事件.故选 D. 3. 一只袋子中装有 7 个红玻璃球,3 个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取 7 1 一个,取得两个红球的概率为 ,取得两个绿球的概率为 ,则取得两个同颜色的球的 15 15 概率为________;至少取得一个红球的概率为________. 答案 解析 8 14 15 15 (1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件,取得两个同色球,只 ( )

7 1 8 需两互斥事件有一个发生即可,因而取得两个同色球的概率为 P= + = . 15 15 15 (2)由于事件 A“至少取得一个红球”与事件 B“取得两个绿球”是对立事件,则至少取 1 14 得一个红球的概率为 P(A)=1-P(B)=1- = . 15 15 4. 某学校成立了数学、英语、音乐 3 个课外兴趣小组,3 个小组分 别有 39、32、33 个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体 情况如图所示. 现随机选取一个成员,他属于至少 2 个小组的概率是________,

他属于不超过 2 个小组的概率是________. 答案 3 13 5 15

解析 “至少 2 个小组”包含“2 个小组”和“3 个小组”两种情况,故他属于至少 2 个小组的概率为 11+10+7+8 3 P= = . 6+7+8+8+10+10+11 5 “不超过 2 个小组”包含“1 个小组”和“2 个小组”,其对立事件是“3 个小组”. 故他属于不超过 2 个小组的概率是 8 13 P=1- = . 6+7+8+8+10+10+11 15 5. 如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩, 其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概 率为________. 答案 解析 4 5 1 记其中被污损的数字为 x,依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是 (80×2+ 5

1 90×3+8+9+2+1+0)=90,乙的五次综合测评的平均成绩是 (80×3+90×2+3+3+ 5 1 1 7+x+9)= (442+x),令 90> (442+x),解得 x<8,所以 x 的可能取值是 0~7,因此甲 5 5 8 4 的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 = . 10 5 6. 如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的人进行调查,调查结果如下: 所用时间(分钟) 选择 L1 的人数 选择 L2 的人数 10~20 6 0 20~30 12 4 30~40 18 16 40~50 12 16 50~60 12 4

(1)试估计 40 分钟内不能 赶到火车站的概率; .. (2)分别求通过路径 L1 和 L2 所用时间落在上表中各时间段内的频率; (3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许 的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径. 解 (1)由已知共调查了 100 人,其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12+12+16+4=

44(人), ∴用频率估计相应的概率为 0.44. (2)选择 L1 的有 60 人,选择 L2 的有 40 人,

故由调查结果得频率为 所用时间(分钟) L1 的频率 L2 的频率 10~20 0.1 0 20~30 0.2 0.1 30~40 0.3 0.4 40~50 0.2 0.4 50~60 0.2 0.1

(3)设 A1,A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时,在 40 分钟内赶到火车站;B1,B2 分别表示乙 选择 L1 和 L2 时,在 50 分钟内赶到火车站.由(2)知 P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6, P(A2)=0.1+0.4=0.5, ∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择 L1. 同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, ∵P(B1)<P(B2),∴乙应选择 L2.



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