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www.957003.c0m:2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)试题(新课标I,详解)

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2014?全国新课标卷Ⅰ(理科数学) 1.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知集合 A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则 A∩B =( ) A.[-2,-1] B.[-1,2) B.[-1,1] D.[1,2) 1.A [解析] 集合 A=(-∞,-1]∪[3,+∞),所以 A∩B=[-2,-1]. 2.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 2.D [解析] (1+i)3 (1+i)2(1+i) 2i(1+i) = = =-1-i. (1-i)2 (1-i)2 -2i (1+i)3 =( (1-i)2 )

3.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是 偶函数,则下列结论中正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 3.C [解析] 由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函 数,故正确选项为 C. 4.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知 F 为双曲线 C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B.3 C. 3m D.3m 4.A [解析] 双曲线的一条渐近线的方程为 x+ my=0.根据双曲线方程得 a2=3m,b2 =3,所以 c= 3m+3,双曲线的右焦点坐标为( 3m+3,0).故双曲线的一个焦点到一条 | 3m+3| 渐近线的距离为 = 3. 1+m 5.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动, 则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) 1 A. 8 5 C. 8 5.D 3 B. 8 7 D. 8 [解析] 每位同学有 2 种选法,基本事件的总数为 24=16,其中周六、周日中有

2 7 一天无人参加的基本事件有 2 个,故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 1- = . 16 8

图 11

1

6. 、[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 如图 11,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的 动点,角 x 的始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M,将 点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π ]上的图像大致为( )

A

B

C

D

1 6.C [解析] 根据三角函数的定义,点 M(cos x,0),△OPM 的面积为 |sin xcos x|,在 2 1 直角三角形 OPM 中, 根据等积关系得点 M 到直线 OP 的距离, 即 f(x)=|sin xcos x|= |sin 2x|, 2 π 且当 x= 时上述关系也成立, 故函数 f(x)的图像为选项 C 中的图像. 2 7.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 执行如图 12 所示的程序框图,若输入的 a,b,k 分别为 1, 2,3,则输出的 M=( )

图 12 20 A. 3 7.D 16 7 15 B. C. D. 5 2 8 3 3 8 3 8 [解析] 逐次计算,依次可得:M= ,a=2,b= ,n=2;M= ,a= ,b= , 2 2 3 2 3

15 8 15 15 n=3;M= ,a= ,b= ,n=4.此时输出 M,故输出的是 . 8 3 8 8 1+sin β π π 8. [2014· 新课标全国卷Ⅰ] 设 α∈?0, ?, β∈?0, ?, 且 tan α = , 则( 2? 2? ? ? cos β π A.3α -β= 2 B.3α +β= π 2 )

2

π C.2α -β= 2

π D.2α +β = 2

?cosβ +sinβ ? 2 2? 1+sin β ? 8.C [解析] tan α = = = cos β 2β 2β cos -sin 2 2
β β β cos +sin 1+tan 2 2 2 π β π β π π π = =tan? + ?,因为β ∈?0, ?,所以 + ∈? , ?,又 4 2 ?4 2? 2? ? 4 2? ? β β β cos -sin 1-tan 2 2 2 π π π β π β α∈?0, ?且 tan α =tan? + ?,所以 α= + ,即 2α -β= 2 . 2? 4 2 ? ? 4 2?
?x+y≥1, ? 9. 、[2014?新课标全国卷Ⅰ] 不等式组? 的解集记为 D,有下面四个命题: ? ?x-2y≤4

p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2, p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2, p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3, p4:?(x,y)∈D,x+2y≤-1. 其中的真命题是( ) A.p2,p3 B.p1,p2 C.p1,p4 D.p1,p3 9.B [解析] 不等式组表示的区域 D 如图中的阴影部分所示,设目标函数 z=x+2y, 根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点 A(2,-1)处取得最小值,且 zmin=2-2=0, 即 x+2y 的取值范围是[0,+∞),故命题 p1,p2 为真,命题 p3,p4 为假.

10.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一 → → 点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交点.若FP=4FQ,则|QF|=( 7 A. 2 5 C. 2 B.3 D.2 → [解析] 由题知 F(2,0),设 P(-2,t),Q(x0,y0),则 FP=(-4,t),FQ=(x0 )

10.B

-2,y0),由 FP=4FQ,得-4=4(x0-2),解得 x0=1,根据抛物线定义得|QF|=x0+2=3. 11.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且

3

x0>0,则 a 的取值范围是( ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-1) 11.C [解析] 当 a=0 时,f(x)=-3x2+1,存在两个零点,不符合题意,故 a≠0. 2 由 f′(x)=3ax2-6x=0,得 x=0 或 x= . a 2 若 a<0,则函数 f(x)的极大值点为 x=0,且 f(x)极大值=f(0)=1,极小值点为 x= ,且 f(x) a
极小值

2? a2-4 a2-4 =f? = >0,即可解得 a<-2; 2 ,此时只需 ?a? a a2

若 a>0,则 f(x)极大值=f(0)=1>0,此时函数 f(x)一定存在小于零的零点,不符合题意. 综上可知,实数 a 的取值范围为(-∞,-2). 12.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 如图 13,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是 某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )

图 13 A.6 2 B.6 C.4 2 D.4 12. B [解析] 该几何体是如图所示的棱长为 4 的正方体内的三棱锥 E- CC1D1(其中 E 为 BB1 的中点),其中最长的棱为 D1E= (4 2)2+22=6.

13.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] (x-y)(x+y)8 的展开式中 x2y7 的系数为________.(用数字 填写答案) 2 6 6 13.-20 [解析] (x+y)8 的展开式中 xy7 的系数为 C7 8=8,x y 的系数为 C8=28,故(x -y)(x+y)8 的展开式中 x2y8 的系数为 8-28=-20. 14.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________. 14.A [解析] 由于甲没有去过 B 城市,乙没有去过 C 城市,但三人去过同一个城市, 故三人去过的城市为 A 城市.又由于甲最多去过两个城市,且去过的城市比乙多,故乙只 能去过一个城市,这个城市为 A 城市.

4

→ 1 → → → 15.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若AO= (AB+AC),则AB 2 → 与AC的夹角为________. 15.90° [解析] 由题易知点 O 为 BC 的中点,即 BC 为圆 O 的直径,故在△ABC 中, BC 对应的角 A 为直角,即 AC 与 AB 的夹角为 90°. 16.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a =2,且(2+b)· (sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC 面积的最大值为________. 16. 3 [解析] 根据正弦定理和 a=2 可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,故得 b2+c2-a2=bc, b2+c2-a2 1 π 根据余弦定理得 cos A= = ,所以 A= .根据 b2+c2-a2=bc 及基本不等式得 2bc 2 3 1 3 bc≥2bc-a2,即 bc≤4,所以△ABC 面积的最大值为 4 = 3. 2 2 17. 、[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn -1,其中 λ 为常数. (1)证明:an+2-an=λ. (2)是否存在 λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. 17.解:(1)证明:由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1, 两式相减得 an+1(an+2-an)=λan+1. 因为 an+1≠0,所以 an+2-an=λ. (2)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得 a2=λ-1, 由(1)知,a3=λ+1. 若{an}为等差数列,则 2a2=a1+a3,解得 λ=4,故 an+2-an=4. 由此可得{a2n-1}是首项为 1,公差为 4 的等差数列, a2n-1=4n-3; {a2n}是首项为 3,公差为 4 的等差数列,a2n=4n-1. 所以 an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在 λ=4,使得数列{an}为等差数列. 18. 、 [2014· 新课标全国卷Ⅰ] 从某企业生产的某种产品中抽取 500 件, 测量这些产品的 一项质量指标值,由测量结果得如图 14 所示的频率分布直方图:

图 14 (1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2(同一组中的数据用该组区 间的中点值作代表); (2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(μ,σ2),其中 μ 近似 - 为样本平均数 x ,σ2 近似为样本方差 s2. (i)利用该正态分布,求 P(187.8<Z<212.2);

5

(ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于 区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX. 附: 150≈12.2. 若 Z~N(μ,σ2),则 p(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 6, p(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 4. - 18.解:(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2 分别为 - x =1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200. s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150. (2)(i)由(1)知,Z~N(200,150),从而 P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)= 0.682 6. (ii)由(i)知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.682 6,依题意知 X~B(100,0.682 6),所以 EX=1000.682 6=68.26. 19.G5、G11[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 如图 15,三棱柱 ABC A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,AB⊥B1C.

图 15 (1)证明:AC=AB1; (2)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角 A A1B1 ?C1 的余弦值. 19.解:(1)证明:连接 BC1,交 B1C 于点 O,连接 AO,因为侧面 BB1C1C 为菱形,所 以 B1C⊥BC1,且 O 为 B1C 及 BC1 的中点. 又 AB⊥B1C,所以 B1C⊥平面 ABO. 由于 AO?平面 ABO,故 B1C⊥AO. 又 B1O=CO,故 AC=AB1. (2)因为 AC⊥AB1,且 O 为 B1C 的中点,所以 AO=CO. 又因为 AB=BC,所以△BOA≌ △BOC.故 OA⊥OB,从而 OA,OB,OB1 两两垂直. 以 O 为坐标原点,OB 的方向为 x 轴正方向,|OB|为单位长,建立如图所示的空间直角 坐标系 O? xyz.

因为∠CBB1=60°,所以△CBB1 为等边三角形,又 AB=BC,则 A?0,0,

?

3? ,B(1, 3?

0,0),B1?0,

?

3 ? 3 ? ? ,0 ,C 0,- ,0 . 3 3 ? ? ?

6

3 3 → AB1=?0, ,- ?, 3 3? ? 3 → A1B1=AB=?1,0,- ?, 3? ? 3 → B1C1=BC=?-1,- ,0?. 3 ? ? 设 n=(x,y,z)是平面 AA1B1 的法向量,则 AB1=0, ? 3 y- 3 z=0, ?n· ? → 即? 3 A1B1=0, ?n· x- z=0. 3 3

?

3

所以可取 n=(1, 3, 3). 设 m 是平面 A1B1C1 的法向量, → ? A1B1=0, ?m· 则? → ? B1C1=0, ?m· 同理可取 m=(1,- 3, 3). n?m 1 则 cos〈n,m〉= = . |n||m| 7 1 所以结合图形知二面角 A A1B1 ? C1 的余弦值为 . 7 x2 y2 20. 、 、[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知点 A(0,-2),椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 a b 为 3 2 3 ,F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为 ,O 为坐标原点. 2 3 (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 2 2 3 20.解:(1)设 F(c,0),由条件知, = ,得 c= 3. c 3 c 3 又 = ,所以 a=2,b2=a2-c2=1. a 2 x2 故 E 的方程为 +y2=1. 4 (2)当 l⊥x 轴时不合题意, 故可设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). x2 将 y=kx-2 代入 +y2=1 得(1+4k2)x2-16kx+12=0, 4 3 当 Δ=16(4k2-3)>0,即 k2> 时, 4 x1,2= 8k±2 4k2-3 , 4k2+1

从而|PQ|= k2+1|x1-x2| 4 k2+1· 4k2-3 = . 4k2+1

7

又点 O 到直线 l 的距离 d= 所以△OPQ 的面积 4 4k2-3 1 S△OPQ= d?|PQ|= . 2 4k2+1

2 . k +1
2

4t 4 设 4k2-3=t,则 t>0,S△OPQ= 2 = . 4 t +4 t+ t 4 7 因为 t+ ≥4,当且仅当 t=2,即 k=± 时等号成立,满足 Δ>0, t 2 7 7 7 所以,当△OPQ 的面积最大时,k=± ,l 的方程为 y= x-2 或 y=- x-2. 2 2 2 bex 1 21. 、[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 设函数 f(x)=aexln x+ ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处 x


的切线方程为 y=e(x-1)+2. (1)求 a,b; (2)证明:f(x)>1. 21.解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞), a b - b - f′(x)=aexln x+ ex- 2ex 1+ ex 1. x x x 由题意可得 f(1)=2,f′(1)=e,故 a=1,b=2. 2 - (2)证明:由(1)知,f(x)=exln x+ ex 1, x 2 - 从而 f(x)>1 等价于 xln x>xe x- . e 设函数 g(x)=xln x, 则 g′(x)=1+ln x, 1? 所以当 x∈? ?0,e?时,g′(x)<0; 1 ? 当 x∈? ? e,+∞?时,g′(x)>0. 1? ?1 ? 故 g(x)在? ?0,e?上单调递减,在?e,+∞?上单调递增,从而 g(x)在(0,+∞)上的最小 1? 1 值为 g? =- . e ? ? e 2 - - 设函数 h(x)=xe x- ,则 h′(x)=e x(1-x). e 所以当 x∈(0,1)时,h′(x)>0; 当 x∈(1,+∞)时,h′(x)<0. 故 h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而 h(x)在(0,+∞)上的最大值 1 为 h(1)=- . e 1? 因为 gmin(x)=g? ? e?=h(1)=hmax(x),

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所以当 x>0 时,g(x)>h(x),即 f(x)>1. 22.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 选修 41:几何证明选讲 如图 16,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E, 且 CB=CE.

图 16 (1)证明:∠D=∠E; (2)设 AD 不是⊙O 的直径, AD 的中点为 M, 且 MB=MC, 证明: △ADE 为等边三角形. 22. 证明: (1)由题设知 A, B, C, D 四点共圆, 所以∠D=∠CBE.由已知得∠CBE=∠E, 故∠D=∠E. (2)设 BC 的中点为 N,连接 MN,则由 MB=MC 知 MN⊥BC,故 O 在直线 MN 上. 又 AD 不是⊙O 的直径,M 为 AD 的中点,故 OM⊥AD,即 MN⊥AD, 所以 AD∥BC,故∠A=∠CBE. 又∠CBE=∠E,故∠A=∠E,由(1)知,∠D=∠E,所以△ADE 为等边三角形.

23.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 选修 44:坐标系与参数方程
? ?x=2+t, x2 y2 已知曲线 C: + =1,直线 l:? (t 为参数). 4 9 ?y=2-2t ?

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最 小值.
?x=2cos θ , ? 23.解:(1)曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数), ?y=3sin θ ?

直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ ,3sin θ )到 l 的距离 d= 5 |4cos θ +3sin θ -6|, 5 d 2 5 = |5sin(θ+α)-6|, 5 sin 30°

则|PA|=

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4 其中 α 为锐角,且 tan α = . 3 22 5 当 sin(θ+α)=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为 . 5 2 5 当 sin(θ+α)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为 . 5 24.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 选修 45:不等式选讲 1 1 若 a>0,b>0,且 + = ab. a b (1)求 a3+b3 的最小值. 1 1 2 (2)是否存在 a, b, 使得 2a+3b=6?并说明理由.24.解: (1)由 ab= + ≥ , 得 ab≥2, a b ab 当且仅当 a=b= 2时等号成立. 故 a3+b3≥2 a3b3≥4 2,当且仅当 a=b= 2时等号成立. 所以 a3+b3 的最小值为 4 2. (2)由(1)知,2a+3b≥2 6 ab≥4 3. 由于 4 3>6,从而不存在 a,b,使 2a+3b=6.

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