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福建省三明市清流一中2014-2015学年高一上学期第一次段考数学试卷 Word版含解析


福建省三明市清流一中 2014-2015 学年高一上学期第一次段考数 学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.下列四个选项中正确的是() A.1∈{0,1} B.1?{0,1} C.1?{x,1} D.{1}∈{0,1} 2.已知集合 M={﹣1,0,1,3},N={﹣2,1,2,3},则 M∩N=() A.{﹣1,1} B.{1,2,3} C.{1,3} D.φ 3.集合{1,2,3}的真子集的个数为() A.5 B. 6

C. 7

D.8

4.下列四个区间能表示数集 A={x|0≤x<5 或 x>10}的是() A.(0,5)∪(10,+∞) B.[0,5)∪(10,+∞) C. (5, 0]∪[10,+∞) D. [0,5]∪(10,+∞) 5.函数 f(x)=﹣2x+1(x∈[﹣2,2])的最小、最大值分别为() A.3,5 B.﹣3,5 C.1,5 D.5,﹣3 6.下列函数中,为偶函数的是() A.y=x
4

B.y=x

5

C.y=x+1

D.

7.下列函数中哪个与函数 y=x 相等() A.y=( )
2

B.y=
x

C.y=

D.y=

8.若指数函数 f(x)=a 是 R 上的减函数,则 a 的取值范围是() A.a>0 B.a<0 C.0<a<1 D.a>1 9.如果函数 f(x)=x ﹣2bx+2 在区间[3,+∞)上是增函数,则 b 的取值范围为() A.b=3 B . b≥ 3 C.b≤3 D.b≠3 10.下列图象中不能作为函数图象的是()
2

A.

B.

C.

D.

11.若奇函数 f(x)在[﹣6,﹣2]上是减函数,且最小值是 1,则它在[2,6]上是() A.增函数且最小值是﹣1 B. 增函数且最大值是﹣1 C. 减函数且最大值是﹣1 D.减函数且最小值是﹣1 12.向高为 H 的水瓶以等速注水,注满为止,若水量 V 与水深 h 的函数的图象如图所示, 则水瓶的形状可能为()

A.

B.

C.

D.

二、填空题(请把正确答案填在相应的答题卡上,每小题 3 分,共 12 分) 13.化简 的结果是.

14.已知集合 A={x|x﹣4≤0},B={x|﹣3≤x≤m},且 A∪B=A,则 m 的取值范围.

15.如果 f(x)是偶函数且在区间(﹣∞,0)上是增函数,又 f(1)=0,那么 f(x)>0 的解集为. 16.已知集合 A 的元素全为实数,且满足:若 a∈A,则 中所有元素. ∈A.若 a=﹣3,请写出集合 A

三、解答题(第 17 至 20 题每题 8 分,第 21、22 每题 10 分,共 52 分) 17.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 A={2,4,5},B={1,3,5,7},求: (1)A∪(?UB) ; (2)?U(A∩B) . 18.已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)﹣2f(x﹣1)=2x+17, (1)求 f(x)的解析式; (2)若 x∈[﹣2,3],求 f(x)的值域.

19.已知函数 f(x)= (1)求 f(﹣4) 、f(f(﹣1) )的值; (2)若 f(a)= ,求 a 的值.



20.已知函数 f(x)=



(1)判断 f(x)在[3,5]上的单调性,并证明; (2)求 f(x)在[3,5]上的最大值和最小值.

21.设函数 f(x)=

,若 f(﹣2)=0,f(1)= ,

(1)求函数 f(x)的解析式. (2)画出函数 f(x)的图象. (3)写出不等式 xf(x)>0 的解集(无需写出计算过程) .

22.已知函数 f(x)= (1)写出 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性;



(3)已知 f(x)在定义域内为单调减函数,若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k) <0 恒成立,求实数 k 的取值范围.

2

2

福建省三明市清流一中 2014-2015 学年高一上学期第一 次段考数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.下列四个选项中正确的是() A.1∈{0,1} B.1?{0,1} C.1?{x,1} D.{1}∈{0,1} 考点: 集合的包含关系判断及应用;元素与集合关系的判断. 专题: 阅读型. 分析: 根据题意,分析选项可得:对于 A、1 是集合{0,1}的元素,可得 A 正确;对于 B、 元素与集合之间关系判断错误,对于 C、元素与集合之间的符号使用错误,对于 D、集合与 集合之间符号使用错误,综合可得答案. 解答: 解:根据题意,分析选项可得: 对于 A、1 是集合{0,1}的元素,则有 1∈{0,1},A 正确; 对于 B、1 是集合{0,1}的元素,则有 1∈{0,1},B 错误; 对于 C、1 是集合{x,1}的元素,则有 1∈{x,1},C 错误; 对于 D、集合{1}是集合{0,1}的子集,应有{1}∈{0,1},故 D 错误; 故选 A.

点评: 本题考查元素与集合之间、集合与集合之间关系的判断,是简单题;关键是掌握这 部分的定义. 2.已知集合 M={﹣1,0,1,3},N={﹣2,1,2,3},则 M∩N=() A.{﹣1,1} B.{1,2,3} C.{1,3} D.φ 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由 M 与 N,求出两集合的交集即可. 解答: 解:∵M={﹣1,0,1,3},N={﹣2,1,2,3}, ∴M∩N={1,3}. 故选:C. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 3.集合{1,2,3}的真子集的个数为() A.5 B. 6

C. 7

D.8

考点: 子集与真子集. 专题: 计算题. 分析: 集合{1,2,3}的真子集是指属于集合的部分组成的集合,包括空集. 解答: 解:集合的真子集为{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},?.共有 7 个. 故选 C. 点评: 本题考查集合的子集个数问题,对于集合 M 的子集问题一般来说,若 M 中有 n 个 n 元素,则集合 M 的子集共有 2 个. 4.下列四个区间能表示数集 A={x|0≤x<5 或 x>10}的是() A.(0,5)∪(10,+∞) B.[0,5)∪(10,+∞) C. (5, 0]∪[10,+∞) D. [0,5]∪(10,+∞) 考点: 区间与无穷的概念. 专题: 规律型. 分析: 根据区间的定义将集合表示为区间即可. 解答: 解:根据区间的定义可知数集 A={x|0≤x<5 或 x>10}可以用区间[0,5)∪(10, +∞)表示. 故选 B. 点评: 本题主要考查区间的定义,比较基础. 5.函数 f(x)=﹣2x+1(x∈[﹣2,2])的最小、最大值分别为() A.3,5 B.﹣3,5 C.1,5 D.5,﹣3 考点: 专题: 分析: 解答: 一次函数的性质与图象. 函数的性质及应用. 利用一次函数的单调性求最大值和最小值. 解:因为 f(x)=﹣2x+1(x∈[﹣2,2])是单调递减函数,

所以当 x=2 时,函数的最小值为﹣3. 当 x=﹣2 时,函数的最大值为 5. 故选 B. 点评: 本题主要考查利用一次函数的单调性求最值,比较基础. 6.下列函数中,为偶函数的是() A.y=x
4

B.y=x

5

C.y=x+1

D.

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用偶函数的定义分别判断. 解答: 解:A.f(﹣x)=(﹣x) =x =f(x)为偶函数. 5 5 B.f(﹣x)=(﹣x) =﹣x =﹣f(x)为奇函数. C.f(﹣x)=﹣x+1≠f(x) ,所以不是偶函数. D. ,所以函数为奇函数.
4 4

故选 A. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断,利用奇偶函数的定义是解决本题的关键. 7.下列函数中哪个与函数 y=x 相等() A.y=( )
2

B.y=

C.y=

D.y=

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 探究型;函数的性质及应用. 分析: 已知函数的定义域是 R, 分别判断四个函数的定义域和对应关系是否和已知函数一 致即可. 解答: 解:A.函数的定义域为{x|x≥0},两个函数的定义域不同. B.函数的定义域为 R,两个函数的定义域和对应关系相同,是同一函数. C.函数的定义域为 R,y=|x|,对应关系不一致. D.函数的定义域为{x|x≠0},两个函数的定义域不同. 故选 B. 点评: 本题主要考查判断两个函数是否为同一函数, 判断的标准是判断函数的定义域和对 应关系是否一致,否则不是同一函数. 8.若指数函数 f(x)=a 是 R 上的减函数,则 a 的取值范围是() A.a>0 B.a<0 C.0<a<1 D.a>1 考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数的图象和性质即可得到答案. x 解答: 解:根据指数函数的图象和性质可知,若指数函数 f(x)=a 是 R 上的减函数, 则 0<a<1,
x

故选:C. 点评: 本题主要考查了指数函数的图象和性质,属于基础题. 9.如果函数 f(x)=x ﹣2bx+2 在区间[3,+∞)上是增函数,则 b 的取值范围为() A.b=3 B . b≥ 3 C.b≤3 D.b≠3 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 分析函数 f(x)=x ﹣2bx+2 的图象和性质,利用二次函数的单调性即可得出 b 的 取值范围. 2 解答: 解:函数 f(x)=x ﹣2bx+2 的图象是开口朝上,且以直线 x=b 为对称轴的抛物线, 2 若函数 f(x)=x ﹣2bx+2 在区间[3,+∞)上是增函数, 则 b≤3, 故选:C 点评: 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质, 熟练掌握二次函数的单调性是解题的 关键. 10.下列图象中不能作为函数图象的是()
2

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象;函数的概念及其构成要素. 专题: 应用题. 分析: 依题意,根据函数的图象可知对于 x 的每一个值 y 都有唯一的值与之相对应. 解答: 解:根据函数的概念:如果在一个变化过程中,有两个变量 x、y,对于 x 的每一 个值,y 都有唯一确定的值与之对应,这时称 y 是 x 的函数. 结合选项可知,只有选项 B 中是一个 x 对应 1 或 2 个 y 故选 B. 点评: 主要考查了函数图象的读图能力. 要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得 出函数的类型和所需要的条件,结合实际意义得到正确的结论. 11.若奇函数 f(x)在[﹣6,﹣2]上是减函数,且最小值是 1,则它在[2,6]上是()

A.增函数且最小值是﹣1 C. 减函数且最大值是﹣1

B. 增函数且最大值是﹣1 D.减函数且最小值是﹣1

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据奇函数和单调性之间的关系,即可得到结论. 解答: 解:∵奇函数 f(x)在[﹣6,﹣2]上是减函数,且最小值是 1 ∴函数 f(x)在[2,6]上是减函数且最大值是﹣1, 故选:C 点评: 本题主要考查函数奇偶性与单调性之间的性质的应用,比较检查. 12.向高为 H 的水瓶以等速注水,注满为止,若水量 V 与水深 h 的函数的图象如图所示, 则水瓶的形状可能为()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 数形结合. 分析: 根据水量 V 与水深 h 的函数的图象,可以判断函数为单调递增函数,所以对应的 水瓶可以确定. 解答: 解:由水量 V 与水深 h 的函数的图象,可知函数为单调递增函数, 则对应的水瓶的体积应该越来越大. 故选 A. 点评: 本题主要考查函数的图象的识别和判断, 利用函数为单调增函数, 是解决本题的关 键. 二、填空题(请把正确答案填在相应的答题卡上,每小题 3 分,共 12 分) 13.化简 的结果是﹣9a.

考点: 有理数指数幂的化简求值.

专题: 计算题. 分析: 利用同底数幂的运算法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加;同底数幂相除, 底数不变,指数相减. 解答: 解: ,

=



=﹣9a, 故答案为﹣9a. 点评: 本题考查利用同底数幂的运算法则化简代数式. 14.已知集合 A={x|x﹣4≤0},B={x|﹣3≤x≤m},且 A∪B=A,则 m 的取值范围{m|m≤4}. 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由已知得 B?A,由此利用不等式的性质得 m≤4. 解答: 解:∵集合 A={x|x﹣4≤0}={x|x≤4},B={x|﹣3≤x≤m},且 A∪B=A, ∴B?A, ∴m≤4. 故 m 的取值范围是{m|m≤4}. 故答案为:{m|m≤4}. 点评: 本题考查实数的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意集合的性质 的合理运用. 15.如果 f(x)是偶函数且在区间(﹣∞,0)上是增函数,又 f(1)=0,那么 f(x)>0 的解集为(﹣1,0)∪(0,1) . 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据函数是偶函数,得 f(﹣1)=f(1)=0.由 f(x)是(﹣∞,0)上的增函数, 得当 x<0 时,f(x)>0 即 f(x)>f(﹣1) ,得到﹣1<x<0,同理当 x>0 时,f(x)>0 的解为 0<x<1,最后取并集即可得到本题答案. 解答: 解:∵函数 f(x)是偶函数,∴f(﹣1)=f(1)=0 ∵函数 f(x)是(﹣∞,0)上的增函数 ∴当 x<0 时,f(x)>0 即 f(x)>f(﹣1) ,得﹣1<x<0, 而当 x>0 时,f(x)>0 即 f(﹣x)>f(﹣1) ,得﹣1<﹣x<0,即 0<x<1 综上所述,得 f(x)>0 的解集为(﹣1,0)∪(0,1) 故答案为: (﹣1,0)∪(0,1) 点评: 本题给出偶函数为(﹣∞,0)上的增函数,在已知 f(1)=0 的情况下求不等式 f (x)>0 的解集,着重考查了函数奇偶性和单调性的综合等知识,属于基础题.

16.已知集合 A 的元素全为实数,且满足:若 a∈A,则 中所有元素 .

∈A.若 a=﹣3,请写出集合 A

考点: 集合的表示法. 专题: 计算题;集合. 分析: 把 a=﹣3 代入 解答: 解:把 a=﹣3 代入 a=﹣ 代入 a= 代入 a=2 代入 ∴A= 故答案为: ,可得 ,可得 ,可得 ,得出数值后再代入该式,直至数字重复出现. ,可得 = , =2, =﹣3, . . =﹣

点评: 本题考查了元素与集合关系的判断, 解答此题的关键就是掌握集合中元素的三个特 性,即确定性、互异性和无序性,属基础题. 三、解答题(第 17 至 20 题每题 8 分,第 21、22 每题 10 分,共 52 分) 17.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 A={2,4,5},B={1,3,5,7},求: (1)A∪(?UB) ; (2)?U(A∩B) . 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: (1)由 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 A={2,4,5},B={1,3,5,7},求出 ?UB={2,4,6},由此能求出 A∪(?UB) . (2)由 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 A={2,4,5},B={1,3,5,7},先求出 A∩B={5}, 由此能求出?U(A∩B) . 解答: 解: (1)∵U={1,2,3,4,5,6,7}, 集合 A={2,4,5},B={1,3,5,7}, ∴?UB={2,4,6}, ∴A∪(?UB)={2,4,5,6}. (2)∵U={1,2,3,4,5,6,7}, 集合 A={2,4,5},B={1,3,5,7}, ∴A∩B={5}, ∴?U(A∩B)={1,2,3,4,6,7}. 点评: 本题考查集合的交、 并、补的混合运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

18.已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)﹣2f(x﹣1)=2x+17, (1)求 f(x)的解析式; (2)若 x∈[﹣2,3],求 f(x)的值域. 考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)设 f(x)=kx+b(k≠0) ,由 3f(x+1)﹣2f(x﹣1)=2x+17,得 3[k(x+1)+b] ﹣2[k(x﹣1)+b]=2x+17,利用系数相等,得方程组,解出即可. (2)先求出函数的单调区间,从而求出函数的最值问题,进而得出函数的值域. 解答: 解: (1)∵f(x)是一次函数, ∴可设 f(x)=kx+b(k≠0) , 又∵3f(x+1)﹣2f(x﹣1)=2x+17, ∴3[k(x+1)+b]﹣2[k(x﹣1)+b]=2x+17, ∴kx+5k+b=2x+17, ∴ ,解得: ,

∴f(x)=2x+7; (2)∵由(1)得 k=2>0 ∴f(x)=2x+7 在 x∈[﹣2,3]上为增函数, ∴当 x=﹣2 时,函数 f(x)有最小值为 f(﹣2)=3, 当 x=3 时,函数 f(x)有最大值为 f(2)=13, ∴f(x)的值域为[3,13]. 点评: 本题考查了求函数的解析式问题,考查了函数的单调性,函数的最值问题,是一道 中档题.

19.已知函数 f(x)= (1)求 f(﹣4) 、f(f(﹣1) )的值; (2)若 f(a)= ,求 a 的值.



考点: 分段函数的应用;函数的值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由分段函数的表达式,即可得到 f(﹣4) ;先求 f(﹣1)=1,再求飞(10=1; (2)分别讨论当 a≤﹣1 时,列方程,解得 a;再当 a>0 时,列出方程,解方程,注意前提, 最后合并即可. 解答: 解: (1)∵﹣4<﹣1 ∴f(﹣4)=﹣4+2=﹣2; 又∵﹣1≤1 ∴f(﹣1)=﹣1+2=1, 2 ∴f(f(﹣1) )=f(1)=1 =1;

(2)∵ ∴当 a≤﹣1 时, ∴当 a>0 时, 综上所述:a 的值为 , , . ; .

点评: 本题考查分段函数及应用,考查分段函数值,应注意各段的自变量的范围,考查运 算能力,属于中档题. 20.已知函数 f(x)= ,

(1)判断 f(x)在[3,5]上的单调性,并证明; (2)求 f(x)在[3,5]上的最大值和最小值. 考点: 函数单调性的性质;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)用单调性的定义来判断 f(x)在[3,5]上的单调性即可; (2)根据 f(x)在[3,5]上的单调性,求出 f(x)在[3,5]上的最值. 解答: 解: (1)f(x)在[3,5]上为减函数,… 证明:任取 x1,x2∈[3,5],有 x1<x2 ∴ ∵x1<x2 ∴x2﹣x1>0; 又∵x1,x2∈[3,5], ∴(x1﹣2) (x2﹣2)>0, ∴ ;… ;…

∴f(x1)﹣f(x2)>0, 即 f(x1)>f(x2) ;… ∴f(x)在[3,5]上的是减函数;… (2)∵f(x)在[3,5]上的是减函数,… ∴f(x)在[3,5]上的最大值为 f(3)=1,… f(x)在[3,5]上的最小值为 .…

点评: 本题考查了函数的单调性的判断问题, 也考查了利用函数的单调性求函数在闭区间 上的最值问题,是基础题.

21.设函数 f(x)=

,若 f(﹣2)=0,f(1)= ,

(1)求函数 f(x)的解析式. (2)画出函数 f(x)的图象. (3)写出不等式 xf(x)>0 的解集(无需写出计算过程) .

考点: 函数图象的作法;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 作图题;函数的性质及应用. 分析: 对应(1) ,可以根据待定系数法求出 b 与 c 对应(2) ,利用分段函数画图即可,注意定义域 对应(3) ,根据图象分段求解.

解答: (1)解:∵

,∴



解得:

,∴



(2)由(1)可知,函数的图象见下所示,由图象可知:



(3)∵xf(x)>0∴



∴﹣2<x<0 或 x>0,∴不等式 xf(x)>0 解集为{x|x>﹣2,且 x≠0} 点评: 本题考查待定系数法求解析式,分段函数的思想方法,属于基础题.

22.已知函数 f(x)=



(1)写出 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性; 2 2 (3)已知 f(x)在定义域内为单调减函数,若对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k) <0 恒成立,求实数 k 的取值范围. 考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数成立的条件即可求出 f(x)的定义域; (2)根据函数的奇偶性的定义即可判断 f(x)的奇偶性; (3)利用函数奇偶性和单调性的关系,将不等式进行转化即可. 解答: 解: (1)∵5 >0,5 +1>0 恒成立 ∴x∈R 即 f(x)的定义域为{x|x∈R}. (2)∵由(1)得 f(x)的定义域为{x|x∈R}关于原点对称, ∴f(﹣x)= ∴f(x)为奇函数.… (3)∵对任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立 2 2 ∴f(t ﹣2t)<﹣f(2t ﹣k) , 2 2 又∵f(x)是奇函数∴f(t ﹣2t)<f(k﹣2t ) 2 2 又∵f(x)在定义域内为单调减函数∴t ﹣2t>k﹣2t , 即 3t ﹣2t﹣k>0 对任意 t∈R 恒成立,∴△=4+12k<0 得
2 2 2 x x

=

=﹣

=﹣f(x)

即为所求.

点评: 本题主要考查函数的奇偶性的判断以及函数单调性的应用,综合考查了函数的性 质.


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