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2015-2016学年安徽省合肥市庐江县高一下学期期末考试数学试题(图片版)


庐江县 2015/2016 学年度第二学期期末考试

高一数学试题参考答案
[]

一、选择题:每小题 5 分,满分 60 分. 题号 答案 (1) B (2) B (3) B (4) D (5) A (6) A (7) C (8) A (9) D (10 ) C (11 ) B (12 )A B (12 )B A

二、填空题:每小题 5 分,满分 20 分. (13) 104 . (14) 3. (15) 3. (16)A 题 25. (16)B 题
20 . 11

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 10 分)

[]

如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个侧点 C 与 D .现 测得 ?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高

AB .
解 在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? . ..........2 分 由正弦定理得 所以 BC ?

BC CD ? . ...........4 分 sin ?BDC sin ?CBD

CD sin ?BDC s · sin ? ? ............6 分 sin ?CBD sin(? ? ? ) s · tan ? sin ? sin(? ? ? ) ..............10 分

在 Rt△ABC 中, AB ? BC tan ?ACB ?

(18) (本小题满分 12 分)
?2 ? , x ? 0, 已知函数 f ( x) ? ? x 解不等式 f ( x) ? x ? 1 . 2 ? x ? x , x ? 0, ?

解:当 x ? 0 时,

2 ? x ? 1, x2 ? x ? 2 ? 0 , ??2 ? x ? 1. x

...........3 分 ..................5 分 .........8 分

又 x ? 0 ,所以 0 ? x ? 1. 当 x ? 0 时, x 2 ? x ? x ? 1, x 2 ? 1 , ? x ? ?1,或 x ? 1 .

又 x ? 0 ,所以 x ? ?1 . 故所求不等式解集为 (??, ?1) U (0,1) .

........... .......10 分 ...................12 分

(19) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,a,b,c 分别为三内角 A,B,C 所对的边,且 3a ? 2c sin A . (Ⅰ)求角 C; (Ⅱ)若 c ? 7 ,且 ?ABC 的面积为 解: (Ⅰ)
3 3 ,求 a ? b . 2
3 sin A ? 2sin C sin A ,

3a ? 2c sin A ,由正弦定理得,

又sinΑ ? 0, ?sinC ?
又 0 ? C ? ? ,所以角 C ? (Ⅱ) ? S△ABC ? 若C ? 若C ?

3 . 2
? 2? ,或 . 3 3

.....................3 分 .................5 分

1 3 3 absinC ? ,? ab ? 6. 2 2

..... ........7 分 .........10 分

?
3

, 由余弦定理得 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ,得 a ? b ? 5 ;

2? , 得 a 2 ? b 2 ? 1 ,无解. 3

综上, a ? b ? 5 .

.......................12 分

(20) (本小题满分 12 分)

[]

一个面积为 360 m 2 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙 (利用的旧墙需要维修),其它 三面 围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留下一个宽度为 2m 的出口,如图所示,已知旧墙的维修 费为 45 元/m,新 墙的造价为 180 元/m.设利用的旧墙长度为 x (单位:m),修此矩形场地围墙的总费用为 y(单 位:元). (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数; (Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用. 解:如图,设矩形的另一边长为 a m, 则 y ? 45x ? 180( x ? 2) ? 180 ? 2a ? 225x ? 360a ? 360 ......2 分 由已知得 ax ? 360, 即 a ?
? y ? 225x ?
360 . x

........4 分 .........6 分

3602 ? 360( x ? 2) . x

(Ⅱ) Q x ? 2,? 225 x ? 分
[]

3602 3602 ? 2 225 x ? ? 1080. x x

.........8

? y ? 225x ?

3602 3602 ,即 x ? 24 时,等号成立. ? 360 ? 10440 .当且仅当 225 x ? x x

..................10

分 所 以 x ? 24m , 使 修 建 此 矩 形 场 地 围 墙 的 总 费 用 最 小 , 最 小 总 费 用 为 10440 元. ..........12 分

(21) (本小题满分 12 分) 随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图 如图. (Ⅰ)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (Ⅱ)计算甲班的样本方差 (III)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高为 176cm 的同学被抽中的概率. 解析: (Ⅰ)由茎叶图可知:甲班身高集中于 160 : 179 之间,而乙班身高集中于 170 : 180 之间。因此乙班平 均 班; (Ⅱ) x ? 身 高 高 于 .........................3 分 甲

158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? 179 ? 182 ? 170 10 ............5 分
1 2 2 2 2 [(158 ? 170)2 ? ?162 ? 170 ? ? ?163 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? ? ?168 ? 170? 10
17 ?1 ? 1 7 0 ??
2

甲班的样本方差为

? ?1 7 0? 1 7 ?0? ?
2

? 17 ?9

2

? 1?7 0

?? 1 7?9 ? 1 7 0 ? 82 57 ? =1
2 2

170

]

...................... .......8 分 (III)设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A; 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有: (181,173) (181,176) (181,178) (181,179) (179,173) (179,176) (179,178) (178,173) (178, 176) (176, 173) 共 10 个基本事件, 而事件 A 含有 4 个基本事件; ...................10



? P ? A? ?


4 2 ? 10 5



...................................................12

(22) (本小题满分 12 分) 请在下面 A 题和 B 题中选做一题. A 题.数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an ?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。 解: (I)由 a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 ,有 a1 ? a2 ? 4a1 ? 2,

a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,?b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 .
...2 分 由 Sn?1 ? 4an ? 2 , . . .① ②

.......................

则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 . . . . .② - ① 得
n ?1 .................4 分

an?1 ? 4

an ? 4

?1

a ,?

an ? 2

又 ? bn ? an?1 ? 2an , ?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是 首 项 b1 ? 3 , 公 比 为 2 的 等 比 数 列. ( .........6 分 II ) 由 ( I ) 可 得

bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,
? an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4
数 列

..........................8 分

?
列.

{

an } 2n









1 2









3 4









......................10 分

?
an ? (3n ?1) ? 2n?2
B 题.

an 1 3 3 1 ? ? (n ? 1) ? n ? n 2 2 4 4 4
...................12 分



n ?1 B 题.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ? an ? ( ) ? 2 (n 为正整数) 。

1 2

(Ⅰ)令 bn ? 2n an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ?

n ?1 an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . n

解 (I) 在 S n ? ? an ? ( ) 分

1 2

n ?1

? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ?a1 ? 1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ?

1 2 .........1

当 n ? 2 时, S n ?1 ? ? an ?1 ? ( )

1 2

n?2

1 ? 2, ? an ? S n ? S n ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 2

1 ? 2a n ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 即2n an ? 2n ?1 an ?1 ? 1 . 2

?bn ? 2n an ,?bn ? bn?1 ?1,即当n ? 2时,bn ? bn?1 ? 1 .
又 b1 ? 2a1 ? 1,?数列 bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 bn ? 1 ? ( n ? 1) ?1 ? n ? 2 an ,? an ?
n

................3 分 .................4 分

?

n . 2n

.....................6 分

(II)由(I)得 cn ?

n ?1 1 an ? (n ? 1)( ) n ,所以 n 2

1 1 1 1 n Tn ? 2 ? ? 3 ? ( )2 ? 4 ? ( )3 ? ? ? (n ? 1)( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n ?1 Tn ? 2 ? ( )2 ? 3 ? ( )3 ? 4 ? ( )4 ? ? ? (n ? 1)( ) . 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n ?1 由①-②得 Tn ? 1 ? ( )2 ? ( )3 ? ? ( )n ? (n ? 1)( ) 2 2 2 2 2

...............8 分

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n 2 ..............................12 分



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