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2018-2019学年高中数学人教B版必修4课件:第二章 2.2 2.2.1 平面向量基本定理_图文

向量的分解与向量的坐标运算 2.2.1 平面向量基本定理 预习课本 P96~98,思考并完成以下问题 (1)平面向量基本定理的内容是什么? (2)如何定义平面向量基底? (3)直线的向量参数方程式是什么? [新知初探] 1.平面向量基本定理 (1)定理 如果 e1 和 e2 是一平面内的两个 不平行 的向量,那么该平 面内的 任一向量 a,存在唯一的 一对实数 a1,a2,使 a=a1e1 +a2e2. (2)基底 把 不共线 向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一 组基底,记为{e1,e2}.a1e1+a2e2 叫做向量 a 关于基底{e1,e2} 的分解式. [点睛] 对平面向量基本定理的理解应注意以下三点: ①e1, e2 是同一平面内的两个不共线向量; ②该平面内任意 向量 a 都可以用 e1,e2 线性表示,且这种表示是唯一的; ③基底不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可 作为基底. 2.直线的向量参数方程式 已知 A,B 是直线 l 上的任意两点,O 是 l 外一点(如图所示), 则对于直线 l 上任意一点 P, 存在 唯一 实数 t,使 O P = (1-t) O A +tO B ; 反之, 对每一个实数 t, 在直线 l 上都有 唯一 的 一个点 P 与之对应.向量等式 O P =(1-t) O A +tO B 叫做直线 l 1 的向量参数方程式, 其中实数 t 叫做参变数, 简称 参数 . 当 t= 时, 2 1 OP ( +t ) 此时 P 点为线段 AB 的 中点 , =_____________ 这是线段 AB 2 OA OB , [点睛] 直线的向量参数方程式中,其 O A , O B 的系数和为 1. 中点的向量表达式. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任意两个向量都可以作为基底. ( ) (2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内 所有向量的基底. (3)零向量不可以作为基底中的向量. 答案:(1)× (2)√ (3)√ ( ( ) ) 2.如图,向量 e1,e2,a 的起点与终点 均在正方形网格的格点上,则向量 a 用基底 e1,e2 表示为 A.e1+e2 C.2e1-e2 ( ) B.-2e1+e2 D.2e1+e2 答案:B 3.设 e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,以下各组向量 中不能作为基底的是 A.e1,e2 C.e1,5e2 ( ) B.e1+e2,3e1+3e2 D.e1,e1+e2 答案:B 4. 设 e1, e2 为两个不共线的向量, 若点 O 是?ABCD 的中心, AB =4e1, B C =6e2,则 3e2-2e1=________. 1 解析:3e2-2e1= (6e2-4e1) 2 1 1 = ( B C - A B )= ( A D - A B ) 2 2 1 = B D =B O . 2 答案: B O (答案不唯一) 用基底表示向量 [典例] 如图,在平行四边形 ABCD 中, 设对角线 A C =a,B D =b,试用基底 a,b 表示 AB ,B C . 1 1 1 1 [解] 法一:由题意知, A O = O C = A C = a,B O = O D = B D = b. 2 2 2 2 1 1 所以 A B = A O + O B = A O - B O = a- b, 2 2 1 1 B C = B O + O C = a+ b, 2 2 法二:设 A B =x, B C =y,则 A D = B C =y, ? ? A B +B C = A C , 又? ? ? A D - A B =B D , ? ?x+y=a, 则? ? ?y-x=b, 1 1 1 1 所以 x= a- b,y= a+ b, 2 2 2 2 1 1 1 1 即 A B = a- b, B C = a+ b. 2 2 2 2 用基底表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方 法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不 断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量 方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解. [活学活用] 如图,已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,E,F 分别是 AD,BC 边上的中点,且 BC=3AD, B A =a, B C DF =b.试以 a,b 为基底表示 E F , ,C D . 1 解:∵AD∥BC,且 AD= BC, 3 1 1 ∴ A D = B C = b. 3 3 ∵E 为 AD 的中点, 1 1 ∴ A E = E D = A D = b. 2 6 ∵B F ∴B F 1 = BC , 2 1 = b, 2 ∴E F =B A + A B +B F 1 1 1 =- b-a+ b= b-a, 6 2 3 DF CD =D E +E F 1 1 1 =- b+ b-a= b-a, 6 3 6 = C F + F D =-( D F + F C ) ?1 1 ? =-( D F + B F )=-?6b-a+2b? ? ? 2 =a- b. 3 直线的向量参数方程式的应用 [典例] 已知平面内两定点 A, B, 对该平面内任一动点 C, OB 总有 O C =3λO A +(1-3λ) (λ∈R,点 O 为直线 AB 外的一 点),则点 C 的轨迹是什么图形?简单说明理由. [解] 法一:3λ+(1-3λ)=1 且 λ∈R,结合直线的向 量参数方程式可知点 C 的轨迹是直线 AB. 法二:将已知向量等式两边同时减去 O A ,得 OC - O A =(3λ-1) OB O A +(1-3λ) O B =(1-3λ)( =(1-3λ) AC -O A ) AB


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