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江苏省南师大附中2015届高三数学复习总结(二)

江苏省南师大附中 2015 届高三数学复习总结(二)
江苏省南师大附中 2015 届高三数学复习(二)

一、填空题
? ? ? ? 1. 已知:A= ?x, y? x ? y ? 0 ,B= ?x, y? x ? y ? 2 ,则 A∩B=_________.

2.设复数 z 满足 (z ? i)(1? i) ? 1? i ,( i 是虚数单位),则复数 z 的模 z ? .
3. 已知U ? ?? x, y? x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0?, A ? ?? x, y? x ? 4, y ? 0, x ? 2y ? 0? 若向区域U 上随机投掷

一点 P ,则点 P 落入区域 A 的概率为

4.已知数列 {an }对于任意 p.q ? N * 有 ap +

aq =

ap+ q ,若 a1 =

2 5

,则

a100

=



5.函数 y ? cos2 x ? 3sin x sin(x ? 3? ) 的最小正周期T ?

.

2

6.已知函数 f (x) ? 3x ? x ? 5 的零点 x0 ??a,b? ,且 b ? a ?1, a , b ? N? ,则 a ? b ?

.

7.如图所示,是一个由三根细铁杆 PA, PB, PC 组成的支架,三根铁杆的两两夹

角都是 60? ,一个半径为 1 的球放在支架上,则球心到 P 的距离为

.

8.已知函数 f (x) ? ln x ? 2xf ?(1) (x ? 0) ,其中 f ?(x) 是 f (x) 的导函数,则在 点

P (1, f (1)) 处的切线方程为

.

9.已知关于 x 的一元二次不等 式 ax2 ? 2x ? b ? 0 的解集为 {x | x ? ? 1} ,则 a

a2 ? b2 ? 7 (其中 a ? b )的最小值为

.

a?b

10. 已知正四棱锥 S-ABCD 中,SA=1,则该棱锥体积的最大值为

.

11. ?ABC 外接圆的半径为1,圆心为 O ,且 2OA ? AB ? AC ? 0 ,| OA |?| AB |, CA?CB ?



12.已知双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b ? 0) ,两焦点为 F1, F2 ,过 F2 作

x

轴的垂线交双曲线于

A, B 两点,且

?ABF1 内切圆的半径为 a ,则此双曲线的离心率为

.

13.等腰三角形 ABC 的周长为 3 2 ,则△ABC 腰 AB 上的中线 CD 的长的最小值

.

14.已知数列{an} 的通项公式为

an

?

1 n

,



an , an?2 , an?k

(k

?

N*, k

?

2)

成等差数列,则

k

的取值集合是

_______.

二.解答题 1/9

江苏省南师大附中 2015 届高三数学复习总结(二)
15.(本题满分 14 分) 设 ?ABC 的内角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 b cos C ? a ? 1 c . 2
(1)求角 B 的大小; (2)若 b ?1,求 ?ABC 的周长 l 的取值范围.

16.(本题满分 14 分 )如图,四边形 ABCD 为矩形, AD ? 平面 ABE AE ? EB ? BC ? 2, F 为 CE 上的

点,且 BF ? 平面 ACE , BD AC ? G. (1)求证: AE ? 平面 BCE ; (2)求证: AE // 平面 BFD ;
(3)求四面体 BCDF 的体积
[来源:]

D

C

G

F

A

B

E

17. (本题满分 14 分)已知某公司生产品牌服装的年固定成本是 10 万元,每生产千件,须另投入 2.7 万元, 2/9

江苏省南师大附中 2015 届高三数学复习总结(二)

设该公司年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完,每 千件的销售收入为 R(x)万元,且

? R(x)???10.8

?

x2 30

(0

?

x

?

10)

(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式;(2)年

?108 ?? x

?

1000 3x 2

(x

?

10)

产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大? 年总成本)

(注:年利润=年销售收入-

18.

(本题满分

16

分)已知椭圆

C:

x2 a2

+

y2 b2

=1(a>b>0)的离心率为

1 2

,且经过点

P(1,

3 2

).A,B

分别是椭圆

C 的左右顶点,M 为椭圆上一点 ,直线 AM,BM 分别交椭圆右准线 L 于 P,Q 两点.

(1)求椭圆 C 的方程;(2)求 AP ? BQ的值;(3) 求 PQ 的最小值.

19. (本题满分 16 分)设函数 f ? x? ? x2 ? bln ? x ?1? .
3/9

江苏省南师大附中 2015 届高三数学复习总结(二)

(1)若 x =1 时,函数 f ? x? 取最小值,求实数 b 的值; (2)若函数 f ? x? 在定义域上是单 调函数,求实数 b 的取值范围;

? (3)若 b ? ?1,证明对任意正整数 n ,不等式

n k ?1

f

( 1 )<1 ? k

1 23

?

1 33

? ......

?

1 n3

都成立.

20. (本题满分 16 分)已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 2 ,

10a n?1 - 9a n -1 ? 0 ,

bn

?

9 10

(n

?

2)(a n

? 1)



(1)求证:数列?a n ?1?是等比数列;

(2)当 n 取何值时, b n 取最大值;

(3)若 t m ? t m?1 对任意 m ? N* 恒成立,求实数 t 的取值范围. bm bm?1

[来源:网 ZXXK]

4/9

江苏省南师大附中 2015 届高三数学复习总结(二)
江苏省南师大附中 2015 届高三数学复习(二)答案

一、填空题
1. 已知:A=??x, y? x ? y ? 0?,B=??x, y? x ? y ? ? 2 ,则 A∩B=_________.??1,?1??
2.设复数 z 满足 (z ? i)(1? i) ? 1? i ,( i 是虚数单位),则复数 z 的模 z ? .2

3. 已知U ? ?? x, y? x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0?, A ? ?? x, y? x ? 4, y ? 0, x ? 2y ? 0?

若向区域U 上随机投掷一点 P ,则点 P 落入区域 A 的概率为

2

9

4.已知数列 {an }对于任意 p.q ? N * 有 ap +

aq =

ap+ q ,若 a1 =

2 5

,则

a100

=

.40

5.函数 y ? cos2 x ? 3sin x sin(x ? 3? ) 的最小正周期T ?

.?

2

6.已知函数 f (x) ? 3x ? x ? 5 的零点 x0 ??a,b? ,且 b ? a ?1, a , b ? N? ,则 a ? b ?

.3

7.如图所示,是一个由三根细铁杆 PA, PB, PC 组成的支架,三根铁杆的两两夹角

都是 60? ,一个半径为 1 的球放在支架上,则球心到 P 的距离为

.3

8.已知函数 f (x) ? ln x ? 2xf ?(1) (x ? 0),其中 f ?(x) 是 f (x) 的导函数,则在点

P (1, f (1)) 处的切线方程为

. x ? y ?1? 0

9. 已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 不 等 式 ax2 ? 2x ? b ? 0 的 解 集 为 {x | x ? ? 1} , 则 a

a2 ? b2 ? 7 (其中 a ? b )的最小值为

.6

a?b

10. 已知正四棱锥 S-ABCD 中,SA=1,则该棱锥体积的最大值为

. 43 27

11. ?ABC 外接圆的半径为1,圆心为 O ,且 2OA ? AB ? AC ? 0 ,| OA |?| AB |,则

CA?CB ?

.3

12.已知双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b ? 0) ,两焦点为 F1, F2 ,过 F2 作

x

轴的垂线交双曲线于

A, B 两点,且

?ABF1 内切圆的半径为 a ,则此双曲线的离心率为________

1? 2

5

13.等腰三角形 ABC 的周长为 3 2 ,则△ABC 腰 AB 上的中线 CD 的长的最小值 .1

14.已知数列{an} 的通项公式为

an

?

1 n

,



an , an?2 , an?k

(k

?

N*, k

?

2)

成等差数列,则

k

的取值集合是

5/9

江苏省南师大附中 2015 届高三数学复习总结(二)

__________. ?5, 6, 8,12? .

二.解答题
15. (本题满分 14 分) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 b cos C ? a ? 1 c . 2
(1)求角 B 的大小;
(2)若 b ?1,求 ?ABC 的周长 l 的取值范围.

解:(1)方法一:在 ?ABC 中,有 sin A ? sin(B ? C) ? sin B cos C ? cos B sin C [来源:]

由正弦定理得: a ? bcosC ? c cos B

又 b cos C ? a ? 1 c, 2

?c ?c o sB ?1 c ? 0, 即 cos B ? 1 , 又 B 为 ?ABC 的内角,? B ? ?

2

2

3

方法二:由 b cos C ? a ? 1 c, 得 sin B cos C ? 1 sin A ? sin A ? sin B cos C ? cos B sin C

2

2

即: 1 sin C ? cos B sin C, sin C ? 0,?cos B ? 1

2

2

?B ? ? 3

(2)由 正弦定理得: a ? b sin A ? 2 sin A, c ? b sin C ? 2 sin C

sin B 3

sin B 3

?l ? a ? b ? c ? 1? 2 (sin A ? sin C) ? 1? 2 ?sin A ? sin(A ? B)?

3

3

? 1? 2sin(A ? ? ) 6

B

?

? 3

,?

A

?

? ??

0,

2? 3

? ??

,?

A?

? 6

?

? ??

? 6

,

5? 6

? ??

?s i nA( ? ? 6

?)???

1 2

???, 1

于是 l ? 1? 2sin(A ? ? ) ??2,3?
6

故 ?ABC 的周长 l 的取值范围 ?2,3?

16 . ( 本 题 满 分 14 分 ) 如 图 , 四 边 形 A B C D为 矩 形 , AD ? 平 面

ABE AE ? EB ? BC ? 2, F 为 CE 上 的 点 , 且 BF ? 平 面 A C E, D

C

BD AC ? G. (1)求证: AE ? 平面 BCE ; (2)求证: AE // 平面 BFD ;
(3)求四面体 BCDF 的体积
证明:(1)∵ AD ? 平面 ABE , AD // BC , ∴ BC ? 平面 ABE ,∴ AE ? BC . 又 ∵ BF ? 平面 ACE , ∴ BF ? AE , ∵ BC BF ? B ,∴ AE ? 平面BCE (2)连结 GF ,∵ BF ? 平面 ACE , ∴ BF ? CE

G

F

A

B

E

6/9

江苏省南师大附中 2015 届高三数学复习总结(二)

∵ BE ? BC , ∴ F 为 EC 的中点;∵ 矩形 ABCD 中, G 为 AC 中点,

∴ GF // AE . ∵ AE ? 面BFD,GF ? 面BFD , ∴ AE // 平面 BFD . [来源:学.科.网Z.X.X.K]

(3) 2 3
17. (本题满分 14 分)已知某公司生产品牌服装的年固定成本是 10 万元,每生产千件,须另投入 2.7 万元, 设该公司年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为 R(x)万元,且

? R(x)???10.8

?

x2 30

(0

?

x

?

10)

(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式;(2)年

?108 ?? x

?

1000 3x 2

(x

?

10)

产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大? 年总成本)

(注:年利润=年销售收入-

解:(1)当 0 ? x ? 10时,W ? xR(x) ? (10 ? 2.7x) ? 8.1x ? x3 ?10 30

当 x ? 10时,W ? xR(x) ? (10 ? 2.7x) ? 98 ? 1000 ? 2.7x 3x

?W

?

? ??8.1x ? ?

x3 30

?10(0 ?

x

? 10)

???98

?

1000 3x

?

2.7x(x

?

10)

(2)①当 0 ? x ? 10时,由W ? ? 8.1 ? x2 ? 0,得x ? 9 10

又当x ? (0,9)时,W ? ? 0, 当x ? (0,9)时,W ? ? 0



x

?

9时,Wmax

?

8.1? 9

?

1 30

? 93

? 10

?

38.6

②当 x>10 时

W ? 98 ? 1000 ? 2.7x ? 98 ? (1000 ? 2.7x) ? 98 ? 2 1000 ? 2.7x ? 38

3x

3x

3x

当且仅当 1000 ? 2.7x时,即x ? 100时,W ? 38

3x

9

由①②知,当 x=9 千件时,W 取最大值 38.6 万元.

18.

(本题满分

16

分)已知椭圆

C:

x2 a2

+

y2 b2

=1(a>b>0)的离心率为

1 2

,且经过点

P(1,

3 2

).A,B

分别是椭圆

C 的左右顶点,M 为椭圆上一点,直线 AM,BM 分别交椭圆右准线 L 于 P,Q 两点

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)求 AP ? BQ的值

(3) 求 PQ 的最小值

7/9

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(1)椭圆 C 的方程 x2 ? y2 ? 1 43
(2) AP ? BQ =3[来源:] (3)由(2) yp yq ? 9,? yp ? yq ? 6 , PQ 的最小值为 6
19. (本题满分 16 分) 设函数 f ? x? ? x2 ? bln ? x ?1? . (1)若 x =1 时,函数 f ? x? 取最小值,求实数 b 的值; (2)若函数 f ? x? 在定义域上是单调函数,求实数 b 的取值范围;

? (3)若 b ? ?1,证明对任 意正整数 n ,不等式

n k ?1

f

( 1 )<1 ? k

1 23

?

1 33

? ......

?

1 n3

都成立

解:(1)由 x + 1>0 得 x> – 1∴f(x)的定义域为( - 1,+ ∞),

对 x∈ ( - 1,+ ∞),都有 f(x)≥f(1),∴f(1)是函数 f(x )的最小值,故有 f/ (1) = 0,

f / (x) ? 2x ? b ,? 2 ? b ? 0, 解得 b= - 4. 经检验,列表(略),合题意;

x ?1

2

(2)∵ f / (x) ? 2x ? b ? 2x 2 ? 2x ? b , 又函数 f(x)在定义域上是单调函数,

x ?1

x ?1

∴f/ (x) ≥0 或 f/(x)≤0 在( - 1,+ ∞)上恒成立.

若 f/ (x) ≥0,∵x + 1>0,∴2x2 +2x+b≥0 在( - 1,+ ∞)上恒成立,

即 b≥-2x2 -2x = ? 2(x ? 1)2 ? 1 恒成立,由此得 b≥ 1 ;

22

2

若 f/ (x) ≤0, ∵x + 1>0, ∴2x2 +2x+b≤0,即 b≤- (2x2+2x)恒成立,

因-(2x2+2x) 在( - 1,+ ∞)上没有最小值,∴不存在实数 b 使 f(x) ≤0 恒成立.

综上所述,实数

b

的取值范围是

? ??

1 2

,??

? ? ?

.

(3)当 b= - 1 时,函数 f(x) = x2 - ln(x+1),令函数 h(x)=f(x) – x3 = x2 – ln(x+1) – x3,

则 h/(x) = - 3x2 +2x - 1 ? ? 3x3 ? (x ? 1)2 ,

x ?1

x ?1

∴当 x ? ?0,??? 时,h/(x)<0 所以函数 h(x)在 x ? ?0,??? 上是单调递减.

又 h(0)=0,∴当 x ? ?0,???时,恒有 h(x) <h(0)=0,[ 即 x2 – ln(x+1) <x3 恒成立.

故当 x ? ?0,???时,有 f(x) <x3..

∵k

?

N? ,?

1 k

? ? 0, ?? ? ,



x

?

1 k

,

则有

f

(1) k

?

1 k3

,

? ∴

n k ?1

f

( 1 )<1 ? k

1 23

?

1 33

? ......

?

1 n3

,故结论成立。

8/9

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20. (本题满分 16 分)已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 2 ,

10a n?1 - 9a n -1 ? 0 ,

bn

?

9 10

(n

?

2)(a n

? 1)



(1)求证:数列?a n ?1?是等比数列;

(2)当 n 取何值时, b n 取最大值

(3)若 t m ? t m?1 对任意 m ? N* 恒成立,求实数 t 的取值范围. bm bm?1

【解析】(1) a1

?

2

,10a

n ?1

- 9a

n

-1

?

0

所以 a n?1

?

9 10

an

?

1 10



9

1



a n?1 ? 1 an ?1

?

10

a n ? 10 an ?1

?1

?

9 10

,∴?a n

?1?是以 a1

?1 ? 1为首项,公比为 9 10

的等比数列.

(2)由(I),可知 a n

? 1= ( 9 ) n?1( n 10

?

N* ).

∴ bn

9 ? 10 (n ? 2)(a n

?1) ? (n ? 2)( 9 )n , bn?1

10

bn

?

(n ? 3)( 9 )n?1 10
(n ? 2)( 9 )n

? 9 (1 ? 10

1 ). n?2

10

当 n=7 时, b8 b7

? 1,b8

?

b7

;当

n<7

时,

b n?1 bn

? 1 ,bn?1

?

b

n

;当

n>7

时,

b n?1 bn

? 1,bn?1 ? bn .

∴当 n=7 或 n=8 时, b n 取最大值,最大值为 b7

?

b8

? 98 10 7



(3)由 t m ? t m?1 ,得 t m [ 1 ? 10t ] ? 0 .

bm bm?1

m ? 2 9(m ? 3)

(*)

依题意,(*)式对任意 m ? N* 恒成立,

①当 t=0 时,(*)式显然不成立,因此 t=0 不合题意.

②当 t<0 时,由 1 ? 10t ? 0 ,可知 t m ? 0 ( m ? N* ). m ? 2 9(m ? 3)

而当 m 是偶数时 t m ? 0 ,因此 t<0 不合题意. ③当 t>0 时,由 t m ? 0 ( m ? N* ),

∴ 1 ? 10t ? 0 ,∴ t ? 9(m ? 3) ( m ? N* ).

m ? 2 9(m ? 3)

10(m ? 2)

设 h(m) ? 9(m ? 3) ( m ? N* ), 10(m ? 2)

∵ h(m ? 1) ? h(m) ? 9(m ? 4) ? 9(m ? 3) = ? 9 ?

1

? 0,

10(m ? 3) 10(m ? 2) 10 (m ? 2)(m ? 3)

∴ h(1) ? h(2) ? ? h(m ?1) ? h(m) ? .

∴ h(m) 的最大值为 h(1) ? 6 .所以实数 t 的取值范围是 t ? 6 .

5

5

9/9



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