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hmw一轮《函数的奇偶性与周期性》


第 3讲
最新考纲

函数的奇偶性与周期性

1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;2.会

运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性;3.了解函数周期 性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.

基础诊断

考点突破

课堂总结

基 础 回 顾

一、函数的奇偶性

1.函数奇偶性的定义及简单性质.
奇偶性 定义 图象特点 性质

如果对于函数f(x)的定义 偶函 域内任意一个x,都有 (-x)=f(x ) ,那么函数 f(x) 数 f________ 是偶函数 如果对于函数f(x)的定义 奇函 域内任意一个x,都有 f(-x)=-f(x) , 数 ____________________ 那么函数f(x)是奇函数

定义域关 于原点对 称

关于 在对称区间 y轴 上单调性 _____ 对称 ______ 相反 关于 在对称区间 原点 ____ 上单调性 相同 对称 ______

基础诊断

考点突破

课堂总结

2.若 f(x)为偶函数,则 f(-x)=f(x)=f(|x|),反之,也成立. 3.若奇函数 f(x)的定义域包含 0,则 f(0)=0. 4.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式. 在定义域关于原点对称的情况下, f(x) (1)若 f(x)-f(-x)=0 或 =1[f(-x)≠0],则 f(x)为偶函数; f(-x) f(x) (2)若 f(x)+f(-x)=0 或 =-1[f(-x)≠0],则 f(x)为奇函数. f(-x)

5.设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶=奇.
基础诊断 考点突破 课堂总结

? 6.推广:y=f(a+x)是偶函数?f(a+x)= f(a-x) ? ?f(x)= f(2a-x)?f(x)关于 x=a 对称;

? 类似地,f(a+x)=f(b-x)?f(x)关于

x=

对称.

? y=f(b+x)是奇函数?f(b-x)= -f(b+x) ?f(x)

? 关于 (b,0) 成中心对称图形;类似地,
? f(a+x)=-f(b-x)?f(x)关于(

,0) 中心对称.

基础诊断

考点突破

课堂总结

诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示

(1)函数y=x2,x∈(0,+∞)是偶函数.
点. =a对称. 为2a(a>0)的周期函数.

(× )
(×) (√ ) (√ )

(2)偶函数图像不一定过原点,奇函数的图像一定过原

(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x
(4)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期

基础诊断

考点突破

课堂总结

2.(2014· 广东卷)下列函数为奇函数的是 1 x A.y=2 - x B.y=x3sin x 2 C.y=2cos x+1 D.y=x2+2x
x

( A)

1 解析 易知 y=2 - x是奇函数,y=x3sin x 和 y=2cos x 2 +1 是偶函数,y=x2+2x 是非奇非偶函数,故选 A.

3

(1)若 f(x)=ax +bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,则 a+b

2

1 的值为__________. 3

1 (2)奇函数 f(x)=sin x· 1-x + (其中常数 a∈R)的定义域为 x-a
2

{x|-1≤x≤1 __________ .且x≠0}
基础诊断 考点突破 课堂总结

4.(2014· 新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x) 是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 A.f(x)g(x)是偶函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 解析 B.|f(x)|g(x)是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 ( )

依题意得对任意x∈R,都有f(-x)=-f(x),g(-x)=

g(x),因此,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-[f(x)· g(x)],f(x)g(x)是 奇函数,A错;|f(-x)|· g(-x)=|-f(x)|· g(x)=|f(x)|g(x), |f(x)|g(x)是偶函数,B错;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=- [f(x)|g(x)|],f(x)|g(x)|是奇函数,C正确; |f(-x)· g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|, |f(x)g(x)|是偶函数,D错.

答案

C
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5.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(2 015)等于 ( )

A.-2
解析

B.2

C.-98

D.98

∵f(x+4)=f(x),

∴f(x)是以4为周期的周期函数, ∴f(2 015)=f(503×4+3)=f(3)=f(-1). 又f(x)为奇函数, ∴f(-1)=-f(1)=-2×12=-2, 即f(2 015)=-2. 答案 A

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考点突破

课堂总结

6若函数y ? f ? x ? 是R上的奇函数,且x ? 0时, f ? x ? ? x ? x ? 1,求x ? 0时,函数f ? x ?的解析式为 
2

解析:x<0时,-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+(-x)+1]
=-x2+x-1;x=0时,f(-0)=-f(0)得f(0)=0, 所以x≤0时,函数f(x)的解析式为

?? x2 ? x ? 1? x ? 0? f ? x? ? ? ?0? x ? 0?

7设函数f(x),g(x)的定义域都为R,则“f(x)与g(x)同是奇函数

或同是偶函数”是“f(x)g(x)是偶函数”的(



A.充分不必要条件,B必要不充分条件,C充要条件 D既不充分也不必要条件
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考点一

函数奇偶性的判断

【例1】 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xlg(x+ x2+1); (2)f(x)=(1-x) 1+ x ; 1- x

2 ? ?-x +2x+1 (x>0), (3)f(x)=? 2 ? ?x +2x-1 (x<0);

4-x2 (4)f(x)= . |x+3|-3

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考点突破

课堂总结



(1)∵ x2+1>|x|≥0,

∴函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称, 又 f(-x)=(-x)lg(-x+ (-x)2+1) =-xlg( x2+1-x) =xlg( x2+1+x)=f(x). 即 f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. 1+x (2)当且仅当 ≥0 时函数有意义, 1-x ∴-1≤x<1,

由于定义域关于原点不对称,
∴函数f(x)是非奇非偶函数.
基础诊断 考点突破 课堂总结

(3)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,

当x>0时,-x<0,f(-x)=x2-2x-1=-f(x),
当x<0时,-x>0,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x). ∴f(-x)=-f(x),即函数是奇函数.
2 ? ?4-x ≥0, (4)∵? ?-2≤x≤2 ? ?|x+3|≠3

且 x≠0,

∴函数的定义域关于原点对称. 4-x2 4-x2 ∴f(x)= = x , x+3-3 4-(-x)2 4-x2 又 f(-x)= =- x , -x ∴f(-x)=-f(x),即函数是奇函数.
基础诊断 考点突破

要 先 化 简

课堂总结

考点探 点评:判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法: 究

(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点对称的区间,则

立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域 是关于原点对称的区间,再判断f(-x)是否等于±f(x).也可以转 化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x) -f(-x)=0(偶函数))是否成立, (2)图象法:奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关 于y轴对称. (3)性质法:在公共定义域内,偶函数的和、差、积、商(分 母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个 奇函数的积、商(分母不为零 ) 为奇 (偶)函数;一个奇函数与一个 偶函数的积为奇函数.
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考点二:函数奇偶性的应用

例1:若函数f ? x ?=log a ( x+ x 2 ? 2a 2 )是奇函数, 求实数a的值.
【解析】定义法:由f ? x ?+f (-x)=0, 得log a ( x+ x 2 ? 2a 2 )+log a ( x 2 ? 2a 2-x)=0, 2 即log a 2a =0,所以2a =1.因为a ? 0,所以a= . 2
2 2

【解析】性质法(特例法):因为奇函数的定义域为全体实数, 所以函数在原点有定义,则f ? 0 ?=0,即log a 2a 2=0, 2 则2a = 1,得a= . 2
2
基础诊断 考点突破 课堂总结

练习:设a,b ? R且a ? 2,定义在D上的函数 1 ? ax f ? x ?=lg 是奇函数,求定义域D. 1? 2x
1 ? ax 1 ? ax 【解析】由f ? x ?+f (-x)=0,得lg +lg =0, 1? 2x 1? 2x 2 2 1? a x 2 2 2 2 即lg = 0 ,所以 1 - a x = 1 - 4 x ,得 a =4. 2 1? 4x 又a ? 2,所以a=-2. 1? 2x 故函数的定义域D由 ? 0确定, 1? 2x 1 1 1 1 解得- <x < .故原函数的定义域D为(- , ) 2 2 2 2
基础诊断 考点突破 课堂总结

例2已知函数f ( x) ? a sin x ? b ln 则实数t ?

1? x 1 1 ? t , 若f( ) ? f(- ) ? 6. x ?1 2 2

练习:已知函数( f x)=2015x ? log 2015 ( x 2 ? 1 ? x) ? 2015? x ? 2, 则关于x的不等式f(3x+1)+f(x)>4的解集为

例3:函数f ( x)在(? ?, ? ?)单调递减,且为奇函数, 若f(1)=-1,则满足-1 ? f(x-2)? 1的x的取值范围

练习:已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(0)=0 当x>0时,f(x)=log 1 x, (1)求函数f(x)的解析式。
2

(2)解不等式f ( x 2 ? 1 )>-2

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考点突破

课堂总结

二、函数的周期性
1.周期函数定义:若 T 为非零常数,对于定义域内的任一 x,

一个周期 周期函数 使得 f(x+T)=f(x)恒成立, 则 f(x)叫做 ________, T 叫做这个函数的________ .
2.周期函数的性质: (1)若 T 是函数 f(x)的一个周期,则 kT(k∈Z,k≠0)也是它的一个周期;
? T? ? T? ? ?=f?x- ?; x + (2)f(x+T)= f(x)常写作 f 2 2? ? ? ?

(3)若 f(x)的周期中,存在一个最小正数 t 满足 f(x+t)=f(x), 则称 t 为 f(x)的最小正周期; T (4)若周期函数 f(x)的周期为 T,则 f(ωx)(ω≠0)也是周期函数,且周期为 . |ω |

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考点突破

课堂总结

周期函数f(x)所满足条件
f(x+a)=f(x-a) f(x+a)=-f(x) f(x+a)=- f ( x+ a) =

周期

2a 2a 2a

2a
关于直线x=a,x=b对称

2 b?a
2 b?a
4 b?a

关于点(a,0)与点(b,0)对称
关于直线x=a,与点(b,0)对称

偶函数,关于直线x=a对称
奇函数,关于直线x=a对称

2a
4a
基础诊断 考点突破 课堂总结

考点三:

函数周期性的应用

例1:已知函数f ( x)的定义域为R,且满足f ( x)是偶函数 f ( x ? 1)是奇函数,若f (?0.5) ? 9则f (2012) ? f (2014) ? f (2.5) ? f (1.5) ?
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=-f(x),当 2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)=________ 2.5 . (3)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+3)=-f(x), 当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+1)2,当-1≤x<3时, f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…….+f(2017)=
基础诊断 考点突破 课堂总结

【训练 2】 (2014· 长春一模)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇 函数,且是以 2 为周期的周期函数.若当 x∈[0,1)时, f(x)=2 -1,则 f(log26)的值为
A.- 5 1 B.-5 C.- 2 2 解析 ∵f(x)是周期为 2 的奇函数. ? ? 3 ? ? 1 ∴f(log16)=f ?log 2? ? ? 2 2
x 1

(
D.-6

)

=f

? ? 3? ?-log2 ?=-f ?log2 2? ? ?

3? ? 2?

=-(

1 -1)=- . 2

答案

C
基础诊断 考点突破 课堂总结

考点四:

函数性质的综合应用 ( D)

【例3】 (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且 在区间[0,2]上是增函数,则 A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25)

C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

1, 2 ? ? f (x)=1+cosx,如果f(1-a)+f(1-a )<0,则实数a的范围
(2)已知定义在(-1,1)上的奇函数f(x),其导函数为
, 2

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考点突破

课堂总结

【训练 3】 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且在区间[0, +∞)上单调递增.若实数 a 满足 f(log2a)+f(log1a)≤2f(1),
2

则 a 的取值范围是

(
? 1? B.?0,2? ? ?

)

A.[1,2]
?1 ? C.?2,2? ? ?

D.(0,2]

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考点突破

课堂总结

解析

因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x)
2

=f(x)=f(|x|),又因为 log1a=-log2a, 且 f(x)是偶函数, 所以 f(log2a)+f(log1a)
2

=2f(log2a)=2f(|log2a|)≤2f(1),即 f(|log2a|)≤f(1),又函数在[0,+∞) 上单调递增,所以 0≤|log2a|≤1,即 1 -1≤log2a≤1,解得 ≤a≤2. 2

答案

C

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考点探 1+f(x) 究 4.已知函数 f(x)满足 f(x+1)=1-f(x) ,若 f(1)=2
1 - 015,则 f(2 015)=________ 2 015 . 1+f(x) 解析:∵f(x+1)= , 1-f(x) 1+f(x) 1+ 1-f(x) 1+f(x+1) 1 ∴f(x+2)= = =- . 1-f(x+1) 1+f(x) f(x) 1- 1-f(x) ∴f(x+4)=f(x),即函数 f(x)的周期为 4. ∵f(1)=2 015,
1 1 ∴f(2 015)=f(503×4+3)=f(3)=- =- . 2 015 f(1)

栏 目 链 接

基础诊断

考点突破

课堂总结

考点 5 函数的周期性、奇偶性、单调 性的综合应用
【例5】 已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数, 周期T=5,函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数.又知y=f(x)

在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x=
2时函数取得最小值-5. (1)证明:f(1)+f(4)=0; (2)求y=f(x),x∈[1,4]的解析式; (3)求y=f(x)在[4,9]上的解析式.

栏 目 链 接

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考点探 究 (1)证明:∵f(x)是以5为周期的函数,
∴f(4)=f(4-5)=f(-1).
又∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数, ∴f(1)=-f(-1)=-f(4). ∴f(1)+f(4)=0. (2)解析:当x∈[1,4]时,由题意可设 f(x)=a(x-2)2-5(a>0), 由f(1)+f(4)=0得a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0, 栏 目 链 接

∴a=2.
∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4).
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考点探 究 (3)解析:∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,
∴f(0)=0. 又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数,∴可设f(x)=kx(0≤x≤1), 而f(1)=2(1-2)2-5=-3, ∴k=-3.∴当0≤x≤1时,f(x)=-3x, 从而当-1≤x<0时,f(x)=-f(-x)=-3x, 故-1≤x≤1时,f(x)=-3x. 又∵当4≤x≤6时,有-1≤x-5≤1, ∴f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+15. 当6<x≤9时,1<x-5≤4, ∴f(x)=f(x-5)=2[(x-5)-2]2-5=2(x-7)2-5.
? ?-3x+15,4≤x≤6, ∴f(x)=? 2 ? ?2(x-7) -5,6<x≤9.
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栏 目 链 接

考点探 究

点评:(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性

问题,关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问 题转化为已知区间上的问题. (2)掌握以下两个结论,会给解题带来方便:①f(x) f(x)=f(|x|);②若奇函数在x=0处有意义, 则f(0)=0. 栏 目 链 接

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4. (2017· 石家庄一模)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数, 2 a -3 若 f(1)<1,f(5)= ,则实数 a 的取值范围为( a +1 A.(-1,4) B.(-2,0)

A)

C.(-1,0) D.(-1,2)
?1? f?2?=0, ? ?

5.定义在 R 上的偶函数 y=f(x)在[0,+∞)上递减,且 1 则满足 f(log4x)<0 的 x 的集合为(
? 1? A.?-∞,2?∪(2,+∞) ? ? ? 1? C.?0,2?∪(2,+∞) ? ?

)

?1 ? B.?2,1?∪(1,2) ? ? ?1 ? D.?2,1?∪(2,+∞) ? ?

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典例 对于函数 f(x),若存在区间 A=[m,n],使得{y|y=f(x),x ∈A}=A,则称函数 f(x)为“同域函数”,区间 A 为函数 f(x)的一个 “同域区间”.给出下列四个函数: π ①f(x)=cos 2x;②f(x)=x2-1;③f(x)=|x2-1|;④f(x)=log2(x- 1). 存在“同域区间”的“同域函数”的是________.(请写出所有 正确的序号)

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[ 解析 ]

? π? π π ①取区间 [0,1] ,则 2 x ∈ ?0,2? ,所以 f(x) = cos 2 x ∈ ? ?

[0,1].所以该函数为存在“同域区间”的“同域函数”; ②取区间[-1,0],则函数 f(x)=x2-1 在该区间上单调递减,故 f(0)≤f(x)≤f(-1),即 f(x)∈[-1,0].所以该函数为存在“同域区间” 的“同域函数”;
2 ? x ? -1,|x|>1, 2 ③ f(x)= |x -1|=? 2 ? ?1-x ,|x|≤1,

取区间 [0,1],则函数 f(x)=1

-x2 在该区间上单调递减,故 f(1)≤f(x)≤f(0),即 f(x)∈[0,1].所以该 函数为存在“同域区间”的“同域函数”;

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④函数 f(x)=log2(x-1)的定义域为(1, +∞), 且该函数在定义域 上为单调递增函数.假设存在区间[m,n],使得 f(x)∈[m,n],则有
? ?log2?m-1?=m, ? ? ?log2?n-1?=n,
m ? ?2 =m-1, 即? n ? ?2 =n-1.

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若该方程组有解,则方程 2x=x-1 有两个不同的实数解.如图, 分别作出函数 y=2x 与 y=x-1 的图象, 显然两函数图象没有公共点, 即方程 2x=x-1 无解.所以不存在区间[m,n],使得 f(x)∈[m,n], 即该函数不是存在“同域区间”的“同域函数”. 综上,填①②③.
[答案] ①②③

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名师点评 该题以函数的定义域与值域的求解为背景, 存在“同域区间”的 “同域函数”的实质就是函数的定义域与值域相同, 此类新定义函数 问题以比较常见的基本初等函数为考查重点, 涉及函数零点、 方程根 的个数的求解等问题.如④中的函数 f(x)=log2(x-1),要利用函数的 单调性把定义域与值域相同转化为方程解的个数进行求解. 该题中方 程 2x=x-1 无解,所以不是新定义的函数;而如果该方程只有一个 实数解,则也不是新定义的函数;当且仅当该方程有两个解时,该函 数才是新定义的函数.

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[思想方法]
1.奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法之一,为了便于 判断, 有时需要将函数进行化简, 或应用定义的变通形式: f(-x) f(-x)=± f(x)?f(-x)± f(x)=0? =± 1(f(x)≠0). f(x)

2.已知函数的奇偶性求参数问题的一般思路是:利用函数 的奇偶性的定义,转化为f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))对 x∈R恒成立,从而可轻松建立方程,通过解方程,使问 题获得解决.
基础诊断 考点突破 课堂总结

3.若对于函数 f(x)的定义域内任一个自变量的值 x 都有 f(x 1 1 +a)=-f(x)或 f(x+a)= 或 f(x+a)=- (a 是 f(x) f(x) 常数且 a≠0),则 f(x)是一个周期为 2a 的周期函数.

[易错防范]
1.在用函数奇偶性的定义进行判断时,要注意自变量在定 义域内的任意性.不能因为个别值满足f(-x)=±f(x), 就确定函数的奇偶性. 2.分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点进行判断,不

可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定
函数在整个定义域的奇偶性.
基础诊断 考点突破 课堂总结

3.函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图像的 对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的 是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.

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