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公开课 二项式定理1.3.1


授课人:杨伟安

复习:
排列定义: 一般地, 个不同元素中取出m 排列定义: 一般地,从n个不同元素中取出 (m≤n) 个 元素,按照一定的顺序排成一列, 元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素 个元素的一个排列 排列. 中取出 m 个元素的一个排列. 组合定义: 一般地, 个不同元素中取出m( 组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出 (m≤n)个 个不同元素中取出 ) 元素并成一组 叫做从n个不同元素中取出 并成一组, 个不同元素中取出m个元素的一 元素并成一组,叫做从 个不同元素中取出 个元素的一 A 组合. 个组合.
n m

n Am = n(n ? 1)(n ? 2)...(n ? m + 1) 排列数公式: 排列数公式: m An n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m + 1) m 组合数公式: 组合数公式: n = m = C Am m(m ? 1)(m ? 2)?1 n! = (n ? m)!m!

尝试二项式定理的发现: 尝试二项式定理的发现 :
(a + b) = (a + b)(a + b) = a + 2ab + b
2 2 2

a , ab, b
3

2

2

(a + b) = (a + b)(a + b)(a + b) = a + 3a b + 3ab + b
3 2 2 3
3 3 2 2

a , a b, ab , b

(a + b) = a + 2ab + b
2 2

2

选b (a + b) 2 = a + 2ab + b 2
=0 C2

C0 2

a2

C1 ab 2 2

C2 b2 2

C2 a2 + 1 ab + 2 b2 C2

(a+b)3=( a+b )( a+b )( a+b ) + + + +
1 2 2 2 C3 3 0 a3 =C3 + C3a b+C3 ab + 3b +

(a+b)4=(a+b) (a+b) (a+b) (a+b) + + + + +
选b
(a+b)4 + =(a+b) (a+b) (a+b) (a+b) + + + + C0 a4+C1 a3b+C2 a2b2+C3 ab3+C4 b4 = 4 + 4 4 4 4
每个都不取b, 每个都不取 ,有 C4
0

3 3 恰有3个取 , 种取法, 恰有3个取b,有 C4 种取法,ab3的系数 C4 4 4 个都取b, 4个都取 , 有 C4 种取法 , b4的系数 C4

C 恰有1个取b, 恰有1个取 ,有 C 种取法,a3b的系数 C 种取法, 的系数 2 2 恰有2个取b, 种取法, 恰有2个取 ,有 C4 种取法,a2b2的系数 C4
4
1 1 4 4

种取法, 种取法,a4的系数

0

按上述规律, 展开吗? 按上述规律,我们能将(a+b)n展开吗?

(a+b)n=(a+b) (a+b) (a+b) …… (a+b) + + + + + =C0 an+ C1an-1b+ C2 an-2b2+ C3 an-3b3+…+Ck an-kbk+…+ Cn bn n n n n n n

二项式定理: 一般地,对于 ∈ N*有 二项式定理 一般地,对于n 有
(a + b) = C a + C a
n 0 n n 1 n n?1

b +?+ C a
k n

n?k

b

k

n +?+ Cn bn

二项式定理: 二项式定理
(a + b) = C a + C a
n 0 n n 1 n n n n?1 n

通项
b +?+ C a
k n n?k

b

k

+?+ C b

二项式系数 二项展开式

(a + b) = C a + C a
n 0 n n 1 n n n

n?1 n

b +?+ C a
k n

n?k

b

k

+?+ C b

1 5 例: 求( + ) 1 的展开式 x

1 6 ) 的展开式 例: 求(2 x ? x

通项

T

k +1

= C
7

k n

a

n ? k

b

k

例:( )求( + 2 x) 1 1 的展开式的第4项的系数 1 9 3 (2)求(x ? ) 的展开式中的x 的系数 x 解:(1) (1 + 2 x) 7的展开式的第4项是 3 7 ?3 3 T4 = T3+1 = C7 × 1 × (2 x)

= C × 2 × x = 35 × 8 x
3 7 3 3

3

= 280 x

3

问题: 问题:二项式系数与项的系数相同 吗?
(a + b) = C a + C a
n 0 n n 1 n n?1

b +?+ C a
k n

n?k

b

k

n +?+ Cn bn

二项式系数跟二项式的项数和指数 有关, a,b无关 无关, 有关,与a,b无关,而项的系数不 光与二项式的项数、指数有关, 光与二项式的项数、指数有关,还 a,b有关 有关。 与a,b有关。

1.掌握二项式定理 1.掌握二项式定理 2.学会运用二项展开式的通项 2.学会运用二项展开式的通项 3.区分某一项的二项式系数与系数 3.区分某一项的二项式系数与系数

作业 教科书37页 教科书37页, 37 5题 A组 2 5题


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