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高三数学二轮专题复习资料(理)


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高三数学二轮专题复习资料(理) 专题一:三角函数与平面向量
一、高考动向:
1.三角函数的性质、图像及其变换,主要是 y ? A sin(? x ? ? ) 的性质、图像及变换.考查三角函数的 概念、奇偶性、周期性、单调性、有界性、图像的平移和对称等.以选择题或填空题或解答题形式出现, 属中低档题,这些试题对三角函数单一的性质考查较少,一道题所涉及的三角函数性质在两个或两个以 上,考查的知识点来源于教材. 2.三角变换.主要考查公式的灵活运用、变换能力,一般要运用和角、差角与二倍角公式,尤其是 对公式的应用与三角函数性质的综合考查.以选择题或填空题或解答题形式出现,属中档题. 3.三角函数的应用.以平面向量、解析几何等为载体,或者用解三角形来考查学生对三角恒等变形 及三角函数性质的应用的综合能力.特别要注意三角函数在实际问题中的应用和跨知识点的应用,注意 三角函数在解答有关函数、向量、平面几何、立体几何、解析几何等问题时的工具性作用.这类题一般 以解答题的形式出现,属中档题. 4.在一套高考试题中,三角函数一般分别有 1 个选择题、1 个填空题和 1 个解答题,或选择题与填 空题 1 个,解答题 1 个,分值在 17 分—22 分之间. 5.在高考试题中,三角题多以低档或中档题目为主,一般不会出现较难题,更不会出现难题,因而 三角题是高考中的得分点.

二、知识再现:
三角函数跨学科应用是它的鲜明特点,在解答函数,不等式,立体几何问题时,三角函数是常用的 工具,在实际问题中也有广泛的应用,平面向量的综合问题是“新热点”题型,其形式为与直线、圆锥 曲线、三角函数等联系,解决角度、垂直、距离、共线等问题,以解答题为主。 1.三角函数的化简与求值 (1)常用方法:① ② ③ (2)化简要求:① ② ③ ④ ⑤ 2.三角函数的图象与性质 (1)解图象的变换题时,提倡先平移,但先伸缩后平移也经常出现,无论哪种变形,请切记每一个 变换总是对字母 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。 (2)函数 y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x 图象的对称中心分别为 。 k ?Z ) ( (3)函数 y ? sin x , y ? cos x 图象的对称轴分别为直线
k ?Z

3.向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共 的,和向量是始点与已知向量的 重合 的那条对角线,而差向量是 ,方向是从 指向 。 (2)三角形法则的特点是 ,由第一个向量的 指向最后一个向量的 的有向线段就 表示这些向量的和,差向量是从 的终点指向 的终点。 (3)当两个向量的起点公共时,用 法则;当两个向量是首尾连接时,用 法则。

三、课前热身:
1.(天津卷)把函数 y ? sin x ( x ? R )的图象上所有点向左平行移动

? 个单位长度,再把所得图象上 3
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1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是 2 ? x ? (A) y ? sin(2 x ? ) , x ? R (B) y ? sin( ? ) , x ? R 3 2 6 ? 2? (C) y ? sin(2 x ? ) , x ? R (D) y ? sin(2 x ? ) , x?R 3 3 ???? ??? ??? ? ? ??? ? 2.(湖南卷)设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且 DC ? 2 BD, CE ? 2 EA,
所有点的横坐标缩短到原来的

? ? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ??? ??? AF ? 2 FB, 则 AD ? BE ? CF 与 BC (
A.反向平行 C.互相垂直

) B.同向平行 D.既不平行也不垂直

0 3. (江苏)函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ? ? ? π,?) 的单调递增区间是()
A. ? ? π, ?

? ?

5π ? 6? ?

B. ? ?

? 5π π ? , ? ? 6? ? 6

C. ? ? ,? 0

? π ? 3

? ?

D. ? ? ,? 0

? π ? 6

? ?
???? ?

4. (重庆卷)若过两点 P (?1,2) , P2 (5,6) 的直线与 x 轴相交于点 P ,则 P 点分有向线段 P P2 所成的比 ? 1 1 的值为 (A)-

1 1 (B) - 3 5

(C)

1 5

(D)

1 3

5. (山东卷)已知 a, b, c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m ? 若 m ? n ,且 a cos B ? b cos A ? c sin C ,则角 B= .

?

3 ,?1 , n ? ?cos A, sin A? .

?

四、典题体验: 例 1 (安徽卷)已知 0 ? ? ?
2

?
2

,sin ? ?

(Ⅰ)求

5? sin ? ? sin 2? 的值; (Ⅱ)求 tan(? ? ) 的值。 2 4 cos ? ? cos 2?

4 5

例 2.已知 a ? (2,2) , a 与 b 的夹角为 (1)求 b

3? ,有 a ? b ? ?2 4 C ) ,其中 A, C 是 ?ABC 的内角,若 A,B,C 依次成等 2

2 (2)设 t ? (1,0) ,且 b ? t , c ? (cos A,2 cos

差数列,求 b ? c 的取值范围。

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例 3. 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边是 a, b, c ,且 a 2 ? c 2 ? b2 ? (1)求 sin 2

1 ac. 2

(2)若 b ? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值.

A?C ? cos 2 B 的值; 2

变式.在 △ABC 中, cos B ? ? (Ⅰ)求 sin A 的值;

5 4 , cos C ? . 13 5 33 ,求 BC 的长. 2

(Ⅱ)设 △ABC 的面积 S△ ABC ?

例 4(2006 湖北)设函数 f ( x) ? a ? b ? c ,其中向量 a ? (sin x, ? cos x) ,

? ? b ? (sin x, ?3cos x) , c ? (? cos x,sin x) , x ? R 。
? ?

? ?

?

(Ⅰ) 、求函数 f ( x) 的最大值和最小正周期; (Ⅱ) 、将函数 f ( x) 的图像按向量 d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小 的d 。

? ?

例 5. 设平面向量 a ?

? 3,1? , b ? ??? 1 ,? 23 ??? ,若存在实数 m(m ? 0) 和角 ? ???? ? ?? ? ? , ? ?? ??? ,使向 量 2 2 2
? ?
? ? ??

c ? a ? (tan 2 ? ? 3)b , d ? ?ma
? tan? b ,且 c ? d 。 (1)求函数 m ? f (? ) 的关系式; (2)令 t ? tan? ,求函数 m ? g (t ) 的极值

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例 6.(安徽)设函数 f ( x) ? ? cos 2 x ? 4t sin 其中 t ≤ 1 ,将 f ( x) 的最小值记为 g (t ) . (I)求 g (t ) 的表达式;

x x cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4 , x ?R , 2 2

(II)讨论 g (t ) 在区间 (?11) 内的单调性并求极值. , 本小题主要考查同角三角函数的基本关系,倍角的正弦公式,正弦函数的值域,多项式函数的导数,函 数的单调性,考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间,极值与最值等问题的综合能力.

五、能力提升
1.三角函数是一种特殊函数,因此,要重视函数思想对三角函数的指导意义,要注意数形结合、分类整 合,化归与转化思想在三角中的运用,要熟记正弦曲线、余弦曲线、正切曲线的对称中心和它们的图象 特征,能从图象中直接看出它们的性质。 2.解题策略:切割化弦;活用公式;边角互化 3.常用技巧: “1”的代换;角的变换;特殊角;辅助角公式;降幂公式

练习 1.(江西卷)如图,正六边形 ABCDEF 中,有下列四个命题: ???? ???? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? A. AC ? AF ? 2 BC B. AD ? 2 AB ? 2 AF
??? ???? ???? ??? ? ? C. AC ? AD ? AD ? AB
其中真命题的代号是

E

D

???? ??? ??? ???? ??? ??? ? ? ? ? D. ( AD ? AF ) EF ? AD( AF ? EF )
(写出所有真命题的代号) .

F

C

A

B

π? 1 2? 2.已知函数 f ( x) ? cos ? x ? ? , g ( x) ? 1 ? sin 2 x . 12 ? 2 ? (I)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.

3.在 △ABC 中,内角 A B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? , (Ⅰ)若 △ABC 的面积等于 3 ,求 a,b ; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ABC 的面积.

? . 3

本小题主要考查三角形的边角关系,三角函数公式等基础知识,考查综合应用三角函数有关知识 的能力.

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六、专项训练
(一).选择题: (30 分) ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? 1.已知向量 OB =(2,0),向量 OC =(2,2) ,向量 CA =( 2 cos ?, 2 sin ? ) ,则向量 OA 与向量 OB 的 夹角的范围为( )

5? ? ? 5? , ] D [ , ] 12 2 12 12 2.△ ABC 中,若 a 4 ? b 4 ? c 4 ? 2c 2 (a 2 ? b 2 ) ,则 ?C 度数是: ()
A [0, B [ C [ A 60
0

? ] 4

? 5? , ] 4 12
0 0

B 45 或 135

C 120

0

D 30

0

3.(湖北卷 5)将函数 y ? 3sin( x ? ? ) 的图象 F 按向量 ( 线x?

?
3

,3) 平移得到图象 F ? ,若 F ? 的一条对称轴是直

?
4

,则 ? 的一个可能取值是 B. ?

A.

4.已知 k<-4,则函数 y ? cos 2 x ? k (cos x ? 1) 的最小值是( (A) 1 (B) -1 (C) 2k+1 (D) -2k+1 5.给定性质:①最小正周期为 ? ,②图象关于直线 x ? 的是

5 ? 12

5 ? 12

C.

11 ? 12

D. ? )

11 ? 12

?
3

对称,则下列四个函数中,同时具有性质①②

( ) ? ? x ? (A) y ? sin( ? ) (B) y ? sin(2 x ? ) (C) y ? sin x (D) y ? sin(2 x ? ) 6 6 2 6

6.设 a ? (4, , a 在 b 上的投影为 3) A. (2, 14) 二.填空题: 分) (8 7. (湖南卷)若 f ( x) ? a sin(x ?

5 2 , b 在 x 轴上的投影为 2,且 | b |≤14 ,则 b 为 2 2? 2? ? ? 8) B. ? 2, ? C. ? ?2, ? D. (2, ? 7? 7? ? ?

?

8.已知向量 a ? ?cos? , sin ? ? a=( cos ?,sin ? ),向量 b =( 3, ?1 ),则 2a ? b 的最大值是 三、解答题: (37 分) 9.已知 A, B, C 是三角形 ?ABC 三内角,向量 m ? ?1, 3 , n ? ? cos A,sin A ? ,且 m ? n ? 1 .(Ⅰ)求 角 A; (Ⅱ)若

) ? 3 sin(x ? ) 是偶函数,则 a = 4 4

?

.

??

?

?

?

?? ?

1 ? sin 2 B ? ?3 ,求 tan B , tan C cos 2 B ? sin 2 B

10.(江西)如图,函数 y ? 2 cos(? x ? ? )(x ?R,≤ ? ≤ 0 处切线的斜率为 ?2 . (1)求 ? 和 ? 的值;
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π ) 的图象与 y 轴交于点 (0,3) ,且在该点 2 y
3

P

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O

A

x

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( 2 ) 已 知 点 A ? ,? , 点 P 是 该 函 数 图 象 上 一 点 , 点 Q( x0,y0 ) 是 PA 的 中 点 , 当 y0 ? 0

?π ?2

? ?

3 , 2

?π ? x0 ? ? ,π ? 时,求 x0 的值. ?2 ?

11.已知 △ABC 的面积为 3 ,且满足 0 ? AB ? AC ? 6 ,设 AB 和 AC 的夹角为 ? . (I)求 ? 的取值范围; (II)求函数 f (? ) ? 2sin ?
2

??? ?

????

?π ? ? ? ? ? 3 cos 2? 的最大值与最小值. ?4 ?

本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识,考查 推理和运算能力.

专题二:函数与导数
一、高考动向:
函数与导数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,在近 几年的高考中, 函数类试题在试题中所占分值一般为 22---35 分.一般为 2 个选择题或 2 个填空题,1 个解答题 ,而且常考常新. 在选择题和填空题中通常考查反函数、函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函 数的图象、导数的概念、导数的应用以及从函数的性质研究抽象函数。在解答题中通常考查函数与导数、 不等式的综合运用。其主要表现在: 1.通过选择题和填空题,全面考查函数的基本概念,性质和图象.
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www.TopSage.com 大家网 7 / 50 2.在解答题的考查中,与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现. 3.从数学具有高度抽象性的特点出发,没有忽视对抽象函数的考查. 4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的. 5.涌现了一些函数新题型. 6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题,而且对于数列,不等式,解析几何等也 需要用函数与方程思想作指导. 7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题. 8.求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 复习中关注: 1.在选择题中会继续考查比较大小,可能与函数、方程、三角等知识结合出题. 2.在选择题与填空题中注意不等式的解法,建立不等式求参数的取值范围,以及求最大值和最小 值应用题. 3.解题中注意不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合、突出渗透数学思想和方法.

二、知识再现: 1.求函数 y ? f (x) 反函数的步骤: 1 确定 f (x) 的值域,也即是确定反函数的 ○
?1

; 2 由 y ? f (x) ○

3 求出 x ? ;○将 对换,得到反函数 y ? f ( x) 2.函数奇偶性:如果对于函数 f (x) 定义域内的任意 x 都有 ,则称 f (x) 为奇函数;如果对于 函数 f (x) 定义域内的任意 x 都有 ,则称 f (x) 为偶函数。 3.函数的单调性:设函数 y ? f (x) 的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的任意两个自变量 x1 、 x 2 , 当 x1 ? x 2 时,都有 ( ) ,则称 f (x) 在区间 D 上是增函数(减函数) 。 4.函数的周期性:如果存在一个非零常数 T,使得对于函数定义域内的任意 x ,都有 为 f (x) 周期函数。 5.对数的运算性质:
log a ( M ? N ) ? _______

,则称

log a

M ? _______ N

logm N ? _______ logm a
y=ax 0<a <1


l o gm b n ? _ _ _ _ _ _ a

y

y=ax a >1

a loga N ? ______
6.指数函数与对数函数:
O

1 x

(1)指数函数: y ? a (a ? 0 且 a
x

1 ? 1) ○ 函数的定义域为

函数的值

域为 点

当 时函数为减函数; 当 且图象都在一、二象限;指数函数都以

2 时函数为增函数○函数的图象: 指数函的图象都经过 轴为渐近线, (当 0 ? a ? 1时,图象向右无限接近

x 轴,当 a ? 1 时,图象向左无限接近 x 轴) ;对于相同的 a(a ? 0, 且a ? 1) ,函数 y ? a x 与 y ? a ? x 的图象 关于 y 轴对称。 (2)对数函数: y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 1 ○函数的定义域为 函数的值域为 当 时函数为减函
y

数 ; 当 2 反函数○
O x

时函数为增函数对数函数 y ? loga x 与指数函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 互为 函数的图象:对数函的图象都经过点 且图象都在一、四象限;指 以 轴为渐近线, 0 ? a ? 1时, (当 图象向上无限接近 y 轴, a ? 1 当

数函数都 时,图象

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a

向下无限接近 y 轴) ;对于相同的 a(a ? 0, 且a ? 1) ,函数 y ? loga x 与 y ? log 1 x 的图象关于 x 轴对称。 7.导数的定义: ?y f ( x0 ? n?x) ? f ( x0 ) f `( x0 ) ? lim ? ________? lim ?x ? 0 ?x ?x ?0 n?x 8.导数的几何意义:函数 y ? f (x) 在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y ? f (x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处 的切线的斜率,也就是说,曲线 y ? f (x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率是 f `( x0 ) ,相应地,切线方程 为 . 9.导数的应用: (1)设函数 y ? f (x) 在某个区间可导,如果 .则 f (x) 为增函数;如果 f `( x) ? 0 (不 恒为 0)则 f (x) 为减函数;如果在某个区间内恒有 ,则 f (x) 为常函数。 (2)曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线斜率为负,右侧为 正; (3)在区间 ?a, b ? 上连续的函数 f (x) 在 ?a, b ? 必有最大值与最小值。 ①求函数 f (x) 在 ?a, b ? 内的极值; ②求函数 f (x) 在区间端点的值 f (a) f (b) ③求函数 f (x) 的 与 比较,其中最大的是最大值,最小的是最小值

三、课前热身:
1. 曲线 f ( x) ? x 3 ? x ? 2 在 P0 点处的切线平行直线 y ? 4 x ? 1 ,则 P0 点的坐标为( A. (1,0) B. (2,8) )

C. (1,0)或(―1,―4) D. (2,8)或(―1,―4) 2.设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x ? 0 时, f ?( x) g ( x) ?

f ( x) g ?( x) ? 0, 且 g(-3)=0 则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是(
A. (?3,0) ? (3,??) C. (??,?3) ? (3,??)
2



B. (?3,0) ? (0,3) D. (??,?3) ? (0,3)

3.已知函数 f ( x) ? 2mx ? 2(4 ? m) x ? 1 , g ( x) ? mx ,若对于任一实数 x , f ( x) 与 g ( x) 至少有一个 为正数,则实数 m 的取值范围是 A. (0, 2)
2

B. (0,8)

C. (2,8)

D. (??,0) )

4.若不等式 x ? ax ? 1 ? 0 对于一切 x ? ? 0, ? 成立,则 a 的最小值是( 2

? ?

1? ?

A.0

B. –2

C. ? 5

D.-3

5.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 xy( x,y ? R ) f )( 2? ,则 f (?3) 等于 , 1 ( ) A.2 B.3 C.6 D.9 四、典例体验: 例 题 1 : 已 知 二 次 函 数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 和 一 次 函 数 g ( x) ? ?bx , 其 中 a 、 b 、 c 满 足

2

a ? b ? c, a ? b ? c ? 0, (a, b, c ? R)
(1)求证 两函数的图象交于不同的两点 A、B; (2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围.
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9 / 50 π (3) 曲线 y ? f (x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的倾斜角的取值范围为[0, ] ,则 P 到曲线 y ? f (x) 对 4 称轴距离的取值范围

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例题 2. (全国卷)已知 a≥ 0 ,函数 f(x)=( x 2 -2ax ) e x (1)当 X 为何值时,f(x)取得最小值?证明你的结论; (2)设 f(x)在[ -1,1]上是单调函数,求 a 的取值范围.

例 3.设函数 f ( x) ?

1 ( x ? 0且x ? 1) x ln x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间;
a (Ⅱ)已知 2 x ? x 对任意 x ? (0,1) 成立,求实数 a 的取值范围。 1

例 4.已知函数 f ( x) ? 是 x ? ?c .

kx ? 1 ( c ? 0 且 c ? 1 , k ?R )恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个 x2 ? c

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的另一个极值点; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的极大值 M 和极小值 m ,并求 M ? m ≥1 时 k 的取值范围.

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例 5. ()设函数 f ( x) ? tx 2 ? 2t 2 x ? t ? 1( x ? R,t ? 0) . (Ⅰ)求 f (x) 的最小值 h(t ) ; (Ⅱ)若 h(t ) ? ?2t ? m 对 t ? (0,2) 恒成立,求实数 m 的取值范围.

(变式) :已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 2 x ? b ( x ? R ) ,其中 a, b ? R .
4 3 2

10 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; 3 (Ⅱ)若函数 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对于任意的 a ?[?2, 2] ,不等式 f ? x ? ? 1 在 [?1,1] 上恒成立,求 b 的取值范围.
(Ⅰ)当 a ? ?

例 6 . 设 函 数 y ? f ? x? 的 定 义 域 为 R , 当 x ? 0 时 , f ? x ? ? 1 , 且 对 任 意 的 实 数 x 、 y 都 有

f ? x ? y? ? f? x f ?y成立;数列 ?an ? 满足 a1 ? f ? 0 ? , ? ?
且 f (a n ?1 ) ?

(1)求证: y ? f ? x ? 是减函数; (3)若不等式

1 ,n? N ? ? an f( ) 2a n ? 1

(2)求数列 ? an ? 的通项公式;

k 1 ? ? 0 对 n ? N * 恒成立,求 ?1 ? a1 ??1 ? a2 ??1 ? a3 ???1 ? an ? 2n ? 1

k 的最大值。

五、能力提升
1. 以函数知识为依托,渗透基本的数学思想方法: (1)数形结合思想,即要利用函数的图象解决问题 (2)所谓函数思想,实质上是将问题放到动态背景上去考虑,利用函数观点可以从较高的角度去处
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www.TopSage.com 大家网 11 / 50 理方程、式、不等式、数列、曲线等问题。 2.函数的综合应用主要体现在以下三个方面: (1)函数内容本身的相互综合 (2)函数与其它知识的综合,如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数的综合。 (3)与实际应用问题的综合,主要体现在数学模型的构造和函数关系式的建立上。

六.专项训练
1.若 lim
?x ?0

f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ? 1 ,则 f ' ( x0 ) 等于 3?x
B.





3 C.3 D.2 2 1 ? 4? 2.曲线 y ? x 3 ? x 在点 ?1, ? 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( 3 ? 3?
A. A. 1
9

2 3



B. 2
9

C. 1
3

D. 2
3

3.若函数 y ? f ( x ? 1) 的图像与函数 y ? ln A. e
2 x ?1

x ? 1 的图像关于直线 y ? x 对称,则 f ( x) ?
2 x ?1

B. e

2x

C. e

D. e

2 x?2

4.(湖北卷)若 f ( x) ? ? A. [?1, ??)

1 2 x ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是 2
C. (??, ?1] D. (??, ?1) )

B. (?1, ??)

5.设 0 ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? log a (a 2 x ? 2a x ? 2) ,则使 f ( x) ? 0 的 x 取值范围是( (A) (??,0) (B) (0,??) (C) (??, log a 3) (D) (log a 3,??) 6. (江西卷)对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足 ( x ? 1) f `( x) ? 0 ,则必有( ) A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) 6.下列命题中,正确的是 B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) ( )

①若函数 f (x) 在点 x 0 处有极限, 则函数 f (x) 在 x 0 处连续; ?②若函数 f (x) 在点 x 0 连续, 则函数 f (x) 在 x 0 处可导;?③若函数 f (x) 在点 x 0 处取得极值,则 f `( x 0 ) ? 0 ;?④若函数在点 x 0 有 f `( x 0 ) ? 0 , 则 x 0 一定是函数的极值点. A.0 个 B.1 个 ( ) C.2 个 D.3 个

7.设函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) , a 、 b 、 c 是两两不等的常数) ( , 则

a b c ? ? ? f ?(a) f ?(b) f ?(c)



8.已知关于 x 的方程 x 2 ? (2m ? 8) x ? m 2 ? 16 ? 0 的两个实根 x1、x2 满足 x1 ? 范围______________

3 ? x 2 ,则实数 m 的取值 2

2ax ? a 2 ? 1 ( x ? R ) ,其中 a ?R . x2 ? 1 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间与极值.
9. (天津理)已知函数 f ( x) ?

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10.已知函数 f ( x) ?

1 ? a ln( x ? 1), 其中 n∈N*,a 为常数. (1 ? x)n

(Ⅰ)当 n=2 时,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)当 a=1 时,证明:对任意的正整数 n,当 x≥2 时,有 f(x)≤x-1.

11.设函数 f ( x) ?

ln x ? ln x ? ln( x ? 1) . 1? x

(Ⅰ)求 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)是否存在实数 a,使得关于 x 的不等式 f ( x) ≥ a 的解集为(0,+ ? )?若存在,求 a 的取值范围; 若不存在,试说明理由.

专题三、概率与统计(理) 一、高考动向:
高中内容的概率、统计是大学统计学的基础,其着承上启下的作用,是每年高考命题的热点,在解 答题中,概率是重点(等可能事件、互斥事件、独立事件) ,在选择、填空题中抽样方法是热点, (高考 一般一小一大,共 17 分左右,解答题属基础题或中档题是必考内容且易得分,考生必须高度重视)解 答题的重点是概率与统计。

二、知识再现:
1.互斥事件有一个发生的概率: ① 叫做互斥事件。 叫做对立事件;

②如果事件 A1 , A2 ,? An 彼此互斥,那么事件 A1 ? A2 ? ? ? An 发生(即 A1 , A2 ,? An 中有一个发生)的 概率等于这 n 个事件分别发生的概率的和,即 P( A1 ? A2 ? ? ? An )= ③ 对立事件的概率的和等于 1,即 P( A) ? P( A) ? 1 2.相互独立事件同时发生的概率: ① 事件 A(或B ) 是否发生对事件 B(或A) 发生的概率
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,这样的两个事件叫做相互独立事件:
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② 如果事件 A1 , A2 ,? An 相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即

P( A1 ? A2 ? An )=

;

③ 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p ,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概 率为 . 3.如果 ? ? k 表示 n 次独立重复试验中某个事件恰好发生 k 次,则称随机变量 ? 服从 记做 4. 从 5. E (a? ? b) ? ,它的期望是 ,方差是 。 ,

如果 ? ? k 表示 n 次独立重复试验中某个事件恰好在第 k 次第一次发生,则称随机变量 ? 服 ,记做 ,它的期望是 , D(a? ? b) ? ,方差是 . 。

6.抽样方法包含 、 、 三种方法。 7. 频率分布直方图中每一个小矩形的面积等于数据落在相应区间上的频率, 所有小矩形的面积之和等于 1 8. 正态总体 N ( ? , ? ) 的函数 F (x) 转化为标准正态总体 N (0,1) 的函数为
2

.

1. (2006 年福建卷)在一个口袋中装有 5 个白球和 3 个黑球,这些球除颜色外完全相同。从中摸出 3 个 球,至少摸到 2 个黑球的概率等于 ( ) (A)

2 7

(B)

3 8

(C)

3 7

(D)

9 28

2. (2006 年安徽卷)在正方体上任选 3 个顶点连成三角形,则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率 .. 为( ) A.

3. (2006 年四川卷)设离散性随机变量 ? 可能取的值为

1 7

B.

2 7

C.

3 7

D.

4 7

1, 2,3, 4, P ?? ? k ? ? ak ? b ? k ? 1, 2,3, 4 ? ,又 ? 的数学期望 E? ? 3 ,则 a ? b ? _______
4. (四川理)已知一组抛物线 y ?
1 2 ax ? bx ? 1 ,其中 a 为 2,4,6,8 中任取的一个数,b 为 1,3,5,7 中任取 2

的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线 x=1 交点处的切线相互平行的概率是 (A)
1 12

(B)

7 60

(C)
2

6 25

(D)

5 25

5.(浙江理)已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2,? ) , P(? ≤ 4) ? 0.84 ,则 P(? ≤ 0) ? A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D, 0.84

四、典例体验:
1. 已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球.现从甲、 乙两个盒内各任取 2 个球. (Ⅰ)求取出的 4 个球均为黑球的概率; (Ⅱ)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (Ⅲ)设 ? 为取出的 4 个球中红球的个数,求 ? 的分布列和数学期望.

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2. 为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了 n 株沙柳, 各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为 p,设 ? 为成活沙柳的株数,数学期望 E? ? 3 ,标准差 ?? 为

(Ⅰ)求 n,p 的值并写出 ? 的分布列; (Ⅱ)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率

6 。 2

3.设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数, 用随机变量 ? 表示方程 x ? bx ? c ? 0 实根的个数 (重
2

根按一个计) . (Ⅰ)求方程 x ? bx ? c ? 0 有实根的概率;
2

(Ⅱ)求 ? 的分布列和数学期望; (Ⅲ)求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下,方程 x ? bx ? c ? 0 有实根的概率.
2

4. (2006 年全国卷 I)A、B 是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验。每个试验组由 4 只小白鼠组成,其中 2 只服用 A,另 2 只服用 B,然后观察疗效。若在一个试验组中,服用 A 有效的小白 鼠的只数比服用 B 有效的多,就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用 A 有效的概率为 效的概率为

2 ,服用 B 有 3

1 。 2

(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率; (Ⅱ)观察 3 个试验组,用 ? 表示这 3 个试验组中甲类组的个数,求 ? 的分布列和数学期望。

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5.在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 N ?70,100 ? .已知成绩在 90 分 以上(含 90 分)的学生有 12 名. (Ⅰ)试问此次参赛的学生总数约为多少人? (Ⅱ)若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生,试问设奖的分数线约为多少分? 可供查阅的(部分)标准正态分布表 ? ?x0 ? ? P?x ? x0 ?

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x0
1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1

0 0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821

1 0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826

2 0.8888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830

3 0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834

4 0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838

5 0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842

6 0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846

7 0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850

8 0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854

9 0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857

6.甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛:第一局由甲、乙参加而丙轮空,以后每一局由前一 局的获胜者与轮空者进行比赛, 而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或 打满 6 局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为 (Ⅰ) 打满 3 局比赛还未停止的概率; (Ⅱ)比赛停止时已打局数 ? 的分别列与期望 E ? .

1 ,且各局胜负相互独立.求: 2

五、能力提升:
1,甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是

2 3 和 .假设两人射击是否击中目标,相互之间没有 3 4

影响;每次射击是否击中目标,相互之间没有影响. (Ⅰ)求甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标的概率; (Ⅱ)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率; (Ⅲ)假设某人连续 2 次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击 5 次后,被中止射击的概率是多少? ...

2. (安徽理,)在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混 入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇) ,只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一 只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔.以ξ 表示笼内还剩下的果蝇的只数. .. ..... (Ⅰ)写出ξ 的分布列(不要求写出计算过程) ; (Ⅱ)求数学期望 Eξ ; (Ⅲ)求概率 P(ξ ≥Eξ

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六、专项训练:
(一) 选择题: 30 分 ) ( 1. (福建 5)某一批花生种子, 如果每 1 粒发芽的概率为 A.

12 125

B.

16 125

C.

48 125

4 , 那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 ( ) 5 96 D. 125

2. 设随机变量 ? 服从标准正态分布 N (0, ,已知 ? (?1.96) ? 0.025 ,则 P(| ? |? 1.96) = 1) A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975

3.连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,记向量 a = (m,n) 与向量 b ? (1 ? 1) 的夹角为 ? ,则 ,

? ? ? 0, ? 的概率是(
A.

? ?

?? ??



5 12

B.

1 2

C.

7 12

D.

5 6
2

4. 位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,

1 ?1? 并且向上、向右移动的概率都是 ,质点 P 移动五次后位`于点 (2, 的概率是 A. ? ? 3) 2 ?2?
?1? B. C ? ? ?2?
2 3 3

?1? C. C ? ? ?2?
2 3

2

?1? D. C C ? ? ?2?
1 2 2 3

3

5. 设集合 A ? {1 2} B ? {1 2 3},分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b ,确定平面上的一个点 ,, , ,

P(a,b) ,记“点 P(a,b) 落在直线 x ? y ? n 上”为事件 Cn (2 ≤ n ≤ 5,n? N) ,若事件 Cn 的概率 最大,则 n 的所有可能值为( )
A.3 B.4 C.2 和 5 D.3 和 4 6. (2006 年四川卷)从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数不 能被 3 整除的概率为 (A)

41 60

(B) )

38 54

(C)

35 54

(D)

19 54

(二) 填空题: 8 分 (

7. 随机变量 ? 的分布列如下:

?
P
其中 a,b,c 成等差数列,若 E? ?

?1

0

1

a
1 ,则 D? 的值是 3

b


c

8. 把 15 个相同的小球放入编号为 1,2,3,的三个盒子中,要求每个盒子不空,则每个盒子放球个数 不小于其编号的 2 倍的概率为: 。 (三) 、解答题: 37 分 ) ( 9. 袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球,从 A 中摸出一个红球的概率是 球的概率为 p.
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1 ,从 B 中摸出一个红 3

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www.TopSage.com 大家网 17 / 50 (Ⅰ) 从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个,有 3 次摸到红球即停止.(i)求恰好摸 5 次停止的概率;(ii) 记 5 次之内(含 5 次)摸到红球的次数为 ? ,求随机变量 ? 的分布率及数学期望 E ? .
(Ⅱ) 若 A、B 两个袋子中的球数之比为 12,将 A、B 中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是

2 ,求 p 的值. 5

10. (本小题满分 12 分) 购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则 可以获得 10 000 元的赔偿金. 假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险, 且各投保人是否出险相互独 立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为 1 ? 0.999 (Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率 p ; (Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元,为保证盈利的期望不小于 0,求每 位投保人应交纳的最低保费(单位:元) .
104



11. (北京理,本小题共13分) 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动 (以下简称活动) 该校合唱团共有 100 名学生, . 他们参加活 动的次数统计如图所示. (I)求合唱团学生参加活动的人均次数; (II)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次数恰 好相等的概率. (III)从合唱团中任选两名学生,用 ? 表示这两人参加活动 次数之差的绝对值, 求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? .

参加人数 50 40 30 20 10 1 2 3 活动次数

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专题四:立体几何
一、高考动向:
考查思维能力和空间想象能力,特别是使用向量代数方法解决立体几何几何问题的能力,以顺应几 何的改革方向,高考命题侧重于直线与平面之间的各种位置关系的考查,从川卷来看,一般是三小一大, 估计 26 分左右。 09 年高考客观题仍是侧重于点线面位置关系及空间角,有可能涉及求表面积和体积问题,难度不会 太大,主观题估计向新课标靠拢。 锥体和柱体作为载体,传统法和向量法都好解决问题仍是主旋律,主要考查线面的平行与垂直,角 与距离考查可能减少,也可能出现新的题型,如开放性试题,立体几何背景下的点的轨迹问题等,试题 新颖,立意巧妙,要注意训练。 知识点:

二、知识再现:
1.平面的基本性质(三个公理与三个推论) 2.线面平行与线面垂直 线线平行 线面平行

面面平行

线线垂直

线面垂直

面面垂直

3.三垂线定理及逆定理 在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线在 内的 垂直,那么它也和这条斜线垂直。 在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂 它也和这条斜线在这个平面内的 垂直。 4.棱柱、棱锥、球
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这个平面 直,那么

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www.TopSage.com 大家网 19 / 50 (1)正棱柱的定义:底面是 的 叫正棱柱 棱柱的体积公式:V= (S 为底面积,h 为棱柱的高) (2)正棱锥的定义:如果一个棱锥的底面是 ,且顶点在底面的射影是底面的 ,这样的棱锥叫 正棱锥。 正棱锥的性质:各 相等,侧面都是全等的 ,各等腰三角形底边上的高( )相 等。 棱锥的体积公式:V= (S 为底面积,h 为棱锥的高) (3)球:①球面距离 ②球的表面积与体积公式:设球的半径为 R,则 S 球= V 球= 5.空间角与距离 直线与平面所成 二面角及二面角的 空间角 异面直线所成的角 的角 平面角 范围 求解 方法 点到平面的距离:定义法、等积转换法、向量法 直线和平面的距离及平行平面的距离:转化为点面距离 异面直线的距离:定义法、转化为线面距或面面距、向量法

三、课前热身: 1.(安徽) .已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( ) A. 若m‖ ? , n‖? , 则m‖ n B. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? C. 若m‖? , m‖ ? , 则?‖ ? D. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n 2. 四川卷) M , N 是球心 O 的半径 OP 上的两点, NP ? MN ? OM , ( 设 且 分别过 N , M , O 作垂线于 OP
的面截球得三个圆,则这三个圆的面积之比为:( ) (A) 3,5,6 (B) 3, 6,8 (C) 5, 7,9 (D) 5,8,9 3.(湖南卷)长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 8 个顶点在同一球面上,且 AB=2,AD= 3 ,AA1=1,则顶点 A、B 间的 球面距离是( )

2? 2? D. 2 4 4.(陕西卷)如图, ? ? ?,? ? ? ? l,A ??,B ? ?,A,B 到 l 的距 a 和 b , AB 与 ?,? 所成的角分别是 ? 和 ? , AB 在 ?,? 内的射影分 和 n ,若 a ? b ,则( ) A. ? ? ?,m ? n B. ? ? ?,m ? n C. ? ? ?,m ? n D. ? ? ?,m ? n
A.2 2? B. 2? C.

?
A l a b B ?

离分别是 别是 m

5.(全国二)已知球的半径为 2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为 2,则 两圆的圆心距等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 ) 6. (北京卷) 如图, 动点 P 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的对角线 BD1 上. 过点 P 作垂直于平面 BB1 D1 D 的直线,与正方体表面相交于 M,N .设 BP ? x , MN ? y ,则函数 y ? f ( x) 的图象大致是( D1 A1 D M A B
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C1 B1 P N

y

y

y

y

C

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

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四、典例体验: 例 1.如图,在正三角形 ABC 中,D、E、F 分别为各边的中点,G、H、I、J 分别为 AF、AD、BE、DE 的 中 点 . 将 △ ABC 沿 DE 、 EF 、 DF 折 成 三 棱 锥 以 后 , GH 与 IJ 所 成 角 的 度 数 为 ( ) A.90° B.60° C.45° D.0°

例 2. 如图,已知△ABC 是正三角形,EA、CD 都垂直于平面 ABC,且 EA=AB=2a,DC=a,F 是 BE 的 中点.求证: (1)FD∥平面 ABC; (2)AF⊥平面 EDB.

E D F A
M

C

B

例 3. 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知平面

ABB1 A1 ? 平面 CBB1C1 ,AB ? BB1 ? BC ? 2 ,
?ABB1 ? ?CBB1 ? 600 ,棱 BB1 的中点为 O .
(1)求证: 面AOC ? 面AA1C1C ; (2)求点 A1 到平面 ABC 的距离.

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例 4.如图,棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=2,BD= 2 2 . (1)求点 C 到平面 PBD 的距离. (2) 在线段 PD 上是否存在一点 Q ,使 CQ 与平面 PBD 所成的角的正弦值为 z 的位置,若不存在,说明理由. P

2 6 ,若存在,指出点 Q 9

A D y

x

B

C

例 5. 如图, 平行四边形 BCDS 中, B 作 BA ? SD , 过 垂足 A 为 SD 的中点, SA ? AB ? 1 , ?S B 且 将 A 沿 AB 折成直二面角. (1) 求二面角 S —CD—A 的大小; (2)求点 A 到平面 SCD 的距离.

例 6 . 浙 江 卷 : 如 图 , 矩 形 ABCD 和 梯 形 BEFC 所 在 平 面 互 相 垂 直 , BE//CF ,

? BCF= ? CEF= 90? ,AD= 3 ,EF=2。
(Ⅰ)求证:AE//平面 DCF; (Ⅱ)当 AB 的长为何值时,二面角 A-EF-C 的大小为 60? ?
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D A C B H E G F

五、能力提升
1.注重线面关系的平行与垂直 2.角与距离的计算 3.注重得分点的规范书写

六、专项训练
1.给出下列四个命题 ①垂直于同一直线的两条直线互相平行.②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线 l1 , l2 与同 一平面所成的角相等,则 l1 , l2 互相平行.④若直线 l1 , l2 是异面直线,则与 l1 , l2 都相交的两条直线是异 面直线.其中假命题的个数是 ( ) . A.1 B.2 C.3 D.4 2.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成一个 120°的二面角,点 C 到达点 C1,这时异面直线 AD 与 BC1 所成角 的余弦值是 ( )

2 3 1 B. C. 2 4 2 3.两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体,可放棱长
A. 为 1 的正方体内,使正四棱锥的底面 ABCD 与正方 体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上, ... 则这样的几何体体积的可能值有 ( ) A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.无穷多个

D.

3 4

4. 正方体 A′B′C′D′—ABCD 的棱长为 a, 在 AB 上滑 EF 且|EF|=b(b<a=,Q 点在 D′C′上滑动,则四面体 A′—EFQ 的体积为 A.与 E、F 位置有关 B.与 Q 位置有关 C.与 E、F、Q 位置都有关 D.与 E、F、Q 位置均无关,是定值
A'

动, (
D' Q B'


C'

5.如图,在四面体 ABCD 中,截面 AEF 经过四 面体的内切球(与四个面都相切的球)球心 且与 BC,DC 分别截于 E、F,如果截面将四 面体分成体积相等的两部分,设四棱锥 A-
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A
D A E F B C

O,

O

D F

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B E

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C

www.TopSage.com 大家网 BEFD 与三棱锥 A-EFC 的表面积分别是 S1, S2,则必有 ( ) A.S1?S2 B.S1?S2 C.S1=S2 D.S1,S2 的大小关系不能确定
6.已知球 o 的半径是 1,ABC 三点都在球面上,AB 两点和 AC 两点的球面距离都是 是
p ,则二面角 B-OA-C 的大小是 3

23 / 50

p ,BC 两点的球面距离 4

( C.
p 2

) D.
2p 3
D A C S

A.

p 4

B.

p 3

7.已知正四棱锥的体积为 12,底面对角线的长为 2 6 , 则侧面与底面所成的二面角等于_______________. 8.多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的, 如图,正方体的一个顶点 A 在平面 ? 内,其余顶 点在 ? 的同侧,正方体上与顶点 A 相邻的三个顶 点到 ? 的距离分别为 1,2 和 4,P 是正方体的其 余四个顶点中的一个,则 P 到平面 ? 的距离可能 是: ( ) ①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7 以上结论正确的为______________. (写出所有正 确结论的编号) .. D

D1

C1B A1 B1

C B

?
A1

A 第 8 题图

9. 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面△ ABC 是等腰直角三角形,?BAC ? 90 , P 为 A1 B 的中点,
0

且 CP ? A1 B ,求二面角 P ? AC ? B 的大小. B1 P

A1

C1

A B C

10.三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示,截
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面 A1 C1 B1 大家网,大家的! A B D C



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A1B1C1 , ?BAC ? 90? , A1 A ? 平面 ABC , A1 A ? 3 , AB ? 2 , AC ? 2 , A1C1 ? 1 ,
(Ⅰ)证明:平面 A1 AD ? 平面 BCC1 B1 ; (Ⅱ)求二面角 A ? CC1 ? B 的大小.

BD 1 ? . DC 2

11. 如图:在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1中, AD ? AA1 ? 1, AB ? 1 ,点 E 在棱 AB 上移动,小蚂蚁从点 A 沿长 方体的表面爬到点 C1,所爬的最短路程为 2 2 . (1)求证:D1E⊥A1D; (2)求 AB 的长度; (3)在线段 AB 上是否存在点 E,使得二面角

? D1 ? EC ? D的大小为 。若存在,确定 4

点 E 的位置;若不存在,请说明理由.

专题五:解析几何
一、高考动向:
解析几何是高中数学的一个重要内容,从近几年的高考试题看,约占总分的 20%,一般是一大(解答 题)三小(选择题、填空题)或一大两小。 小题以中档题居多,主要是考查直线、圆和圆锥曲线的性质及线性规划问题,一般可利用数形结合方 法解决。 大题一般以直线和曲线的位置关系为命题背景,并结合函数、方程、数列、不等式、平面向量、导数 等知识,考查轨迹方程、探求曲线性、求参数取值范围、求最值与定值、探求存在性问题。对求轨迹问题,
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www.TopSage.com 大家网 25 / 50 主要涉及圆锥曲线位置关系的题目, 要充分应用等价化归的思想方法把几何条件转化为代数 (坐标) 问题, 进而利用韦达定理处理;对于最值、定值问题,常采用①几何法:利用图形性质来解决,②代数法:建立 目标函数,再求函数的最值,确定某几何量的值域或取值范围,一般需要建立方程或不等式,或利用圆锥 曲线的有界性来求解;对于圆锥曲线中的“存在性”型的题目,可以先通过对直线特殊位置的考查(如直 线垂直 x 轴)探求出可能的结论,然后再去解决更一般的情况,这样也可以实现“分步得分”的解题目的。 思想方法上注意定义法、消参法、相关点法、解析法、解方程(组) 、数形结合思想、化归与转化思想、 函数与方程思想等。

二、知识再现:
1. 求 直 线 方 程 时 , 若 所 设 直 线 方 程 不 是 一 般 式 , 则 应 考 虑 所 设 方 程 所 不 包 括 的 情 况 , 如 和 ,求出的方程最后要化为 。求解时根据需要可设 方程简化求解过程。 2.求线性规划问题的关键是根据已知条件,找出 和 ,利用图象法求得最优解,求最优 解时,若没有特殊要求,一般为 ,若实际问题要求的最优解是整数解,则需适当调整。 3.处理直线与圆的位置关系有两种方法:一是 ;二是直线方程与圆的方程联立, 利用 ,对于直线与圆相交的问题,注意利用 三者之间的关系来解决,处理圆与圆 的位置关系,可用两圆的 之间的关系,若已知两圆相交,则它们的交线方程即 为 . 4. 椭 圆 为 为

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上 一 点 P( x0 , y 0 ) 到 它 的 左 、 右 两 焦 点 的 距 离 分 别 a2 b2
, ,其中最小值为 ;通径长为 。 ;最大值为 ;焦点到相应准线的距离

5.双曲线 最小值为 线的距离为

x2 y2 , r1 的 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 右支上一点 P( x0 , y 0 ) 到它的左焦点的距离 r1 是 a2 b2 ; P( x0 , y 0 ) 到它的右焦点的距离 r2 是 ,r2 的最小值为 ;焦点到相应准
;通径长为
2

。 , x1 x2 ? ,② AB ? ______? _______ ;⑤

6.若过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,设 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) , ? 为直线 AB 的倾斜角,则有下列性质: ① y1 y 2 ? ( 通 径 长 为 2 p ) ③ S ?AOB ? ________④ 以 AB 为 直 径 的 圆 与 抛 物 线 的 准 线 ,

1 1 ? ? ________。 AF BF
7.有关弦的问题: ①弦的中点问题: “韦达定理”或“点差法” 。②弦长公式:若直线与圆锥曲线交于 A( x1 , y1 ) ,

B( x2 , y 2 ) ( x1 ? x2 ) ,则弦长 AB ? ______ ? 1 ? k 2

?x1 ? x 2 ?2 ? 4 x1 x 2

? __________ ? 1 ? __
三、课前热身:

1 k2

? y1 ? y 2 ?2 ? 4 y1 y 2

? x ? y ? 5 ≥ ?, ? 1. (2007 北京)若不等式组 ? y ≥ a, 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是( ?0 ≤ x ≤ 2 ?
A. a ? 5 B. a≥ 7 C. 5 ≤ a ? 7 D. a ? 5 或 a≥ 7 2. 2007(07 年四川)已知抛物线 y-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B,则|AB|等于 A.3 B.4 C.3 2 D.4 2



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2 2

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3. 选择题 (2006 年安徽卷) 若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 A. ?2 B. 2 C. ?4

x y 则 ? ? 1 的右焦点重合, 6 2 D. 4

p 的值为 (



x2 y 2 ? ? 1 的长轴 4. (2006 年四川卷)如图,把椭圆 25 16
AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部
分于 P , P , P , P , P , P , P 七个点, F 是椭圆的一个焦点, 1 2 3 4 5 6 7 则 PF ? P2 F ? P3 F ? P4 F ? P5 F ? P6 F ? P7 F ? ____________. 1
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 5.已知 PA ? (x ? 5, y) , PB ? (x ? 5, y) ,且 | PA | ?| PB| ? , 则 | 2x ? 3y ? 12 | 的最大值和最小值分别是 6

_________________

四、典例体验:
例1 过点 P(2,1) 的直线 l 与 x , y 的正半轴交于 A, B 两点,

(1) 当 ???? 的面积最小时求直线 l 的方程。 (2) 当 PA ? PB 最小时求直线 l 的方程。

例 2 (课本 P )直线 y ? x ? 2 与抛物线 y ? 2 x 相交于点 A 、 B ,求证 OA ? OB 。 130
2

变式 1:已知抛物线 y ? ? x 与直线 y ? k ( x ? 1) 相交于点(2)当 ???? 的面积等于 10 时求 k 的值
2

变式 2:抛物线 y ? 2 px 与怎样的直线的两交点 A 、 B 有 OA ? OB ?
2

变式 3:抛物线 y ? 2 px 上的两点 A 、 B 满足 OA ? OB ,则直线 AB 经过什么样的点?
2

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例 3.已知双曲线 C :

y2 x2 ? ? 1 ,直线 l 过点 A 2 ,0 ,斜率为 k ,当 0 ? k ? 1 时,双曲线的上支上 2 2

?

?

有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时点 B 的坐标。

.

例 4

(2008 天津理 21)已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 F1 ?? 3,0? ,一条渐近线的方程是

5x ? 2 y ? 0 .
(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)若以 k ?k ? 0? 为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M,N,线段 MN 的垂直平分线与两 坐标轴围成的三角形的面积为

81 ,求 k 的取值范围. 2

例 5(08 全国 21)双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经过右焦点 F 垂

AB OB 成等差数列,且 BF 与 FA 同向. 直于 l1 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知 OA 、 、
(Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.

??? ??? ??? ? ? ?

??? ?

??? ?

例 6(2008 陕西理 20)已知抛物线 C : y ? 2 x ,直线 y ? kx ? 2 交 C 于 A,B 两点, M 是线段 AB 的
2

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中点,过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N . (Ⅰ)证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (Ⅱ)是否存在实数 k 使 NA?NB ? 0 ,若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由.

??? ??? ? ?

五、能力提升
相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及,其实在课本中还可找到典型的范例,你知 道吗? 解析几何解答题在历年的高考中常考常新, 体现在重视能力立意, 强调思维空间, 是用活题考死知 识的典范. 考题求解时考查了等价转化, 数形结合, 分类讨论, 函数与方程等数学思想, 以及定义法, 配方法, 待定系数法, 参数法, 判别式法等数学通法.

六、专项训练
(一)选择题: (30 分) 1.如果双曲线经过点 (6, 3) ,且它的两条渐近线方程是 y ? ? 1 x ,那么双曲线方程是() 3 A. x ? y ? 1
36 9
2 2

B. x ? y ? 1 81 9

2

2

C. x ? y 2 ? 1 9

2

D. x ? y ? 1 18 3

2

2

2 2 2 2 2.已知椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 和双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 有公共的焦点,那么双曲线的的渐近线方程为( ) 2m 3n 3m 5n

A. x ? ? 15 y
2

B. y ? ? 15 x
2
2 2

C. x ? ? 3 y 4

D. y ? ? 3 x 4

3.已知 F1 , F2 为椭圆 x2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点,M 为椭圆上一点, MF 垂直于 x 轴, 1 a b 且 ?F1MF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为( A. 1 2 B. 2 2
2 2



C. 3
3

D. 3
2

4.二次曲线 x ? y ? 1,当 m ?[?2, ?1] 时,该曲线的离心率 e 的取值范围是( )
4 m

A. [ 2 , 3 ] 2 2

B. [ 3 , 5 ] 2 2

C. [ 5 , 6 ]
2 2

D. [ 3 , 6 ] 2 2

5.直线 m 的方程为 y ? kx ?1 ,双曲线 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1,若直线 m 与双曲线 C 的右支相交于不重合 的两点,则实数 k 的取值范围是( ) A. (? 2, 2) B. (1, 2) C. [? 2, 2) D. [1, 2)

6.已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 ,若抛物线过点 A(?1, 0) , B(1,0) ,且以圆的切线为准线,则抛物线的焦 点的轨迹方程为( )
2 2 A. x ? y ? 1(y ? 0)

3

4

2 2 B. x ? y ? 1(y ? 0)

4

3

2 2 C. x ? y ? 1(x ? 0)

3

4

2 2 D. x ? y ? 1(x ? 0)

4

3

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二、填空题: 分) (8

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2 2 1 7.已知 P 是以 F1 、 F2 为焦点的椭圆 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 上一点,若 PF1 ? PF2 ? 0 tan ?PF1 F2 ? ,则 2 2 2 a b 椭圆的离心率为 ______________ .
2 2 8. 已知椭圆 x +2y =12, 是 x 轴正方向上的一定点, A 若过点 A, 斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长为 4 13 , 3 点 A 的坐标是______________ .

9.P 是椭圆 x ? y ? 1上的点, F1 , F2 是椭圆的左右焦点,设 | PF1 | ? | PF2 |? k ,则 k 的最大值与最小值之差 4 3 是______________ . 10.给出下列命题: ①圆 (x ? 2)2 ? (y ? 1)2 ? 1 关于点 M(?1, 2) 对称的圆的方程是 (x ? 3)2 ? (y ? 3) 2 ? 1 ; ②双曲线 x ? y ? 1 右支上一点 P 到左准线的距离为 18,那么该点到右焦点的距离为 29 ; 16 9 2 ③顶点在原点,对称轴是坐标轴,且经过点 (?4, ?3) 的抛物线方程只能是 y2 ? ? 9 x ;
4
2 2

2

2

④P、Q 是椭圆 x 2 ? 4y2 ? 16 上的两个动点,O 为原点,直线 OP,OQ 的斜率之积为 ? 1 ,则 | OP |2 ? | OQ |2 4 等于定值 20 . 把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ . 三、解答题 11.已知两点 A( 2, 0) , B(? 2, 0) ,动点 P 在 y 轴上的射影为 Q, PA ? PB ? 2PQ 2 , (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)设直线 m 过点 A,斜率为 k,当 0 ? k ? 1时,曲线 E 的上支上有且仅有一点 C 到直线 m 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时点 C 的坐标.
??? ??? ? ? ???? ?

12.如图, F1 (?3, 0) , F2 (3, 0) 是双曲线 C 的两焦点,直线 x ? 4 是双曲线 C 的右准线, A1 , A 2 是双曲线
3

C 的两个顶点,点 P 是双曲线 C 右支上异于 A 2 的一动点, 线分别于 M,N 两点, (1)求双曲线 C 的方程; (2)求证: F1M ? F2 N 是定值.
???? ???? ? ?
F1

y M

A 直线 A1P 、 2 P 交双曲线 C 的右准
P F2

A1 o N

A2

x

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13.已知 ?OFQ 的面积为 S,且 OF ? FQ ? 1 ,建立如图所示坐标系, (1)若 S ? 1 , | OF |? 2 ,求直线 FQ 的方程;
??? ?

??? ??? ? ?

y Q

2 ??? ? (2)设 | OF |? c(c ? 2) , S ? 3 c ,若以 O 为中心,F 为焦点的椭圆过点 Q, 4
| ? ? ? ? O 取得最小值时的椭圆方程. Q |

o

F

x





14.已知点 H(?3, 0) ,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上,且满足 HP ? PM ? 0 ,
???? ? 3 ???? PM ? ? MQ , 2

??? ???? ?

(1)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C; (2)过点 T(?1, 0) 作直线 m 与轨迹 C 交于 A、B 两点,若在 x 轴上存在一点

y P H o T Q E M B

E(x 0 , 0) ,使得 ?ABE 为等边三角形,求 x 0 的值.

A

x

2 2 15.已知椭圆 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 的长、短轴端点分别为 A、B,从此椭圆上一点 M 向 x 轴作垂线,恰好 2 2

a

b

通过椭圆的左焦点 F1 ,向量 AB 与 OM 是共线向量. (1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任意一点, F1 、 F2 分别是左、右焦点,求∠ F1QF2 的取值范围;

16.已知两点 M(-1,0) ,N(1,0)且点 P 使 MP ? MN , PM ? PN , NM ? NP 成公差小于零的等差数列, (Ⅰ)点 P 的轨迹是什么曲线?
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(Ⅱ)若点 P 坐标为 ( x 0 , y 0 ) , ? 为 PM与PN 的夹角,求 tanθ .

专题六:数列与不等式
一、高考动向:
1、数列在高考中所占比例约为 10%左右. 一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题,客观性试 题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前 n 项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩 等比数列所有项和等内容,对基本的计算技能要求比较高,解答题大多以考查数列内容为主,并涉及到 函数、方程、不等式知识的综合性试题,在解题过程中通常用到等价转化,分类讨论等数学思想方法, 是属于中高档难度的题目. 2、不等式在高考中所占比例约为 10—15%,内容主要有不等式的性质、证明、解不等式以及不 等式的应用。不等式常与集合、函数、导数、数列、解几等知识综合考查。不等式的性质、重要不等式 常结合其它知识以小题的形式出现。全面掌握各种类型的不等式(包括无理、指数、对数不等式)的解 法,解不等式与证明不等式注意单调性法的应用,注意数列不等式的证明和不等式的恒成立问题。

二、知识再现:
1、 _________________叫做数列。 2、 等差数列、等比数列定义及性质 等差数列 定义 通项公式 前 n 项和公式 1、d>0 时数列__;d<0 时__; 2、a1+an=______=_______=? 3、若 m,n,p,q∈N+,且 m+n=p+q,则 ________ 4、 每隔相同的项抽出的项按次序构 成的数列为_____。 5、连续几项之和构成_____。 6、Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成____ 7、 {man+k}为_____ 1、__时数列递增;__时递减; 2、a1?an=______=_______=? 3、若 m,n,p,q∈N+,且 m+n=p+q,则 ________ 4、 每隔相同的项抽出的项按次序构 成的数列为_____。 5、连续几项之和构成_____。 6、 {man},{an2}为_____ 等比数列





3、无穷等比数列公比|q|<1,则各项和 S=______。 4、 ⑴平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b 为正数) :

a2 ? b2 2 ? ____ ? _____ ? (当 a = b 时取等) 1 1 2 ? a b

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2 2 2 2

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a ? b 2 a ?b a ? b 2 a ?b (当 a = b 时, ( ) ? ) ? ? ab ) 2 2 2 2 ⑵含立方的几个重要不等式(a、b、c 为正数) : 3 3 2 2 ① a ?b ? a b ? ab
特别地, ab ? ( ② a ?b ?c ?3abc ? (a ? b ? c)(a ?b ?c ?ab ? ac ? bc)
3 3 3 2 2 2

; ? a 3 ?b 3 ?c 3 ? 3abc ( a ? b ? c ? 0等式即可成立 , a ? b ? c或a ? b ? c ? 0时取等 )
3

abc ?

3 3 3 a?b?c a ? b ? c ? 3 a ?b ? c ? abc ? ? ? ? ? 3 3 3 ? ?

1 ab ? ba ? ac ? (a ? ?b ? c) 2 ( a ? b ? c时取等 ) 3
⑶绝对值不等式:

a 1 ?a 2 ?a 3 ? a 1 ? a 2 ? a 3 a ? b ? a ? b ? a ? b (ab ? 0时,取等)

⑷算术平均≥几何平均(a1、a2…an 为正数) :

a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n

(a1=a2…=an 时取等)

三、课前热身:

1.等差数列 ?an ? , a1 =-5,它的前 11 项的算术平均值为 5。若从中抽去一项,余下 10 项的算术平均值为 4,则抽去的是( ) A. a 8 B. a 9 C. a10 D. a11

2.已知非负实数 x , y 满足 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 且 3x ? 2 y ? 7 ? 0 ,则 x ? y 的最大值是( ) A.

7 3

B.

8 3
(B) a 2 ?

C. 2

D. 3 )

3、设 a、b、c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是( .... (A) | a ? b |?| a ? c | ? | b ? c | (C) | a ? b | ?
1 ?2 a?b

1 a
2

?a?

1 a

(D) a ? 3 ? a ? 1 ? a ? 2 ? a .

4. 设等比数列 {a n } 的公比为 q, n 项和为 Sn, Sn+1,Sn,n+2 成等差数列, q 的值为 前 若 S 则 5.数列{a n }的通项公式为 a n ? (a 为实常数),则 a 的值等于
1 前 n 项和为 S n ,若 lim aS n ? 1 n?? (2n ? 1)(2n ? 3)



四、典例体验: 例 1、已知 y ? f ?x ? 是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f ?1? ? 1 ,若 m, n ∈[-1,1] m ? n ? 0 时 , f (m) ? f (n) >0 m?n
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(1)用定义证明 f ? x ? 在[-1,1]上是增函数; (2)解不等式
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1? ? ? 1 ? f ?x? ? ? f ? ?; 2? ? ? x ?1? 2 (3)若 f ?x ? ? t ? 2at ? 1 对所有 x ∈[-1,1] a ∈[-1,1]恒成立,求实数 t 的取值范围 ,
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例 2、数列 ?a n ?的前项和为 ?s n ? ,已知 a1 ?

1 , s n ? n 2 an ? n(n ? 1), n ? 1,2,3,...... 2

(1) 写出 s n 与 s n ?1 的递推关系式。并求 s n 关于 n 的表达式; (2) 设 f n ( x) ?

s n n?1 x , bn ? f n ' ( p), ( p ? R), ,求数列 ?bn ? 的前项和 ?Tn ? 。 n

例 3、数列{xn}由下列条件确定: x1 ? a ? 0, x n ?1 ? (Ⅰ)证明:对 n≥2,总有 x n ?

1 a ( x n ? ), n ? N . 2 xn

a;

(Ⅱ)证明:对 n≥2,总有 x n ? x n ?1 ;

例 4、已知函数 f ( x) ? ln x . (1) 求函数 g ( x) ? f ( x ? 1) ? x 的最大值; (2) 当 0 ? a ? b 时,求证: f (b) ? f (a) ?

2a(b ? a) a2 ? b2

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例 5、求证: log m (m ? 1) ? log m?1 (m ? 2)

(m ? 1)

例 5、在直角坐标平面上有一点列 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) ?, Pn ( xn , y n ) ? ,对一切正整数 n ,点 Pn 位于 1 函数 y ? 3x ?

13 5 的图象上,且 Pn 的横坐标构成以 ? 为首项, ? 1为公差的等差数列 ?x n ? . 4 2

⑴求点 Pn 的坐标; ⑵设抛物线列 c1 , c 2 , c3 ,?, c n ,? 中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴, n 条抛物线 c n 的顶点为 Pn , 第 且过点 Dn (0, n ? 1) ,记与抛物线 c n 相切于 Dn 的直线的斜率为 k n ,求:
2

1 1 1 ? ??? . k1 k 2 k 2 k 3 k n ?1 k n

例 6、已知数列{an}满足 a1 ? (1)求证:2<an <3; (2)求证: a n ?1 ? 2 ? lim (3)n→∞ a n .

a 2 5 , a n ?1 ? n ? 2 an 2

1 (a n ? 2) ; 4

五、能力提升 1.求数列的通项要掌握三种题型: (1)已知前几项写出一个通项公式; (2)已知求 a n ;(3) 已知递推 关系式求 a n . 2.求数列前 n 项和的方法: (1)直接法; (2)倒序相加法; (3)错位相减法; (4)分组转化法; (5) 裂项相消法.

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3.常用不等式的放缩法:①

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1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2 ? ? ? (n ? 2) n n ? 1 n(n ? 1) n n(n ? 1) n ? 1 n
? 1 2 n ? 1 n ? n ?1 ? n ? n ? 1(n ? 1)

② n ?1 ? n ?

1 n ? n ?1

4、常见函数求最值举例(x 为正数) : ① x(1 ? x) 2 ?

1 1 2 4 ? 2 x(1 ? x)(1 ? x) ? ( ) 3 ? 2 2 3 27
2 x 2 (1 ? x 2 )(1 ? x 2 ) 1 2 3 4 2 3 ? ( ) ? ? y? 2 2 3 27 9
2 2

② y ? x(1 ? x 2 ) ? y 2 ?

类似于 y ? sin x cos x ? sin x(1 ? sin x) ③ | x ? 1 |?| x | ? | 1 | ( x与 1 同号,故取等) ? 2 x x x

六、专项训练
(一).选择题: (30 分) * 1.已知数列{log2(an-1)}(n∈N )为等差数列,且 a1=3,a2=5,则
l i m n ??

(

1 1 1 )= ? ? ?? ? a 2 ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n
B.





A.2

3 2

C.1

D.

1 2


2.已知数列 {a n } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 = (
3 2

A.0

B. ? 3

C. 3

D.

3.已知数列 ?x n ? 满足 x 2 ? A.

x1 1 , xn ? ( xn ?1 ? xn ?2 ) , n ? 3,4,? .若 lim x n ? 2 ,则 x1 ? x?? 2 2
C.4 D.5 ( C )

3 2
2

B.3

4、不等式 4 x ? x ? x 解集是 A (0,2) B (2,+∞)

?2,4?

D (-∞,0)∪(2,+∞) ( )

5、在 ?ABC 中三边长为 a,b,c,若 A、是锐角 B、是直角

1 1 1 , , 成等差数列,则 b 所对的角 a b c
C、是钝角

D、不能确定 )

x2 y2 ? 2 ? 1(b ? 0) 上变化,则 x 2 ? 2 y 的最大值为 ( 6.若动点( x, y )在曲线 4 b
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C.

?b 2 ? ?4 A. ? 4 ?2b ?
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(0 ? b ? 4), (b ? 4)

?b 2 ? ?4 B. ? 4 ?2b ?

(0 ? b ? 2), (b ? 2)

b2 ?4 4

D.2 b

二.填空题: 分) (8 7 等差数列{an}共有 2n+1 项,其中奇数项之和为 319,偶数项之和为 290,则其中间项为_________
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8、设 a,b ?R ,且 a+b =1,则 2a ? 1 ? 2b ? 1 的最大值是_____.


三、解答题: (37 分) 9 (12 分) 已知数列{an}为等差数列,公差 d≠0,由{an}中的部分项组成的数列
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a b1 ,a b2 ,?,a bn ,?为等比数列,其中 b1=1,b2=5,b3=17
(1)求数列{bn}的通项公式;

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(2)记 Tn ? C n b1 ? C n b2 ? C n b3 ? ? ? C n bn ,求 lim
1 2 3 n

Tn n n ?? 4 ? b
n

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10 (12 分) 设数列 ?a n ?的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和 S n 满足关系式
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3tSn ? (2t ? 3) S n?1 ? 3t (t ? 0, n ? 2,3,4?)
(1)求证
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数列 ?a n ?是等比数列;

(2)设数列 ?a n ?的公比为 f (t ) ,作数列 ?bn ? ,使 b1 ? 1, bn ? f ( 通项 bn ; (3)求和
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1 )( n ? 2,3,4?) ,求数列 ?bn ? 的 bn?1

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b1b2 ? b2 b3 ? b3b4 ? ? ? b2 n?1b2 n ? b2 n b2 n?1

11、 (13 分) 函数 f ( x) ? e ? ln( x ? 1) ? 1 (x≥o)
x

(1)求函数 f(x)的最小值; (2)已知 0≤y<x,求证: e
x? y

? 1 ? ln( x ? 1) ? ln( y ? 1)

专题七:数学思想方法概述
一、高考动向:
数学思想和方法是数学知识在更高层次上的慨括。高考对数学思想和方法的考查必然要结合数学知 识考查进行,注重通性、通法,淡化技巧。在中学数学教学与高考考查中,共识的数学思想有:函数与 方程、数形结合、分类与睁合、化归与转化、特殊与一般、有限与无限、或然与必然等思想。数学基本 方法有:待定系数法、换元法、配方法、割补法、反证法、数学归纳法等。
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二、知识再现:
1、函数思想是对函数概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析 和解决问题,方程的思想是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观 察处理问题。 2、转化与化归思想是指把待解决的问题通过转化归结为在已有范围内可解的问题的一种思维方式. 3、在研究和解决数学问题时,当问题所给对象不能进行统一研究,我们就需要根据数学对象的本质 属性的相同点和不同点,将对象区分为不同种类,然后逐类进行研究和解决,从而达到解决整个问题的 目的,这一思想方法,我们称它为“分类讨论的思想” .分类讨论本质上是“化整为零,积零为整”的解 题策略.? 4、数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种 重要思想方法。

三、课前热身: 1、设集合 A ? {1, 2} ,则满足 A ? B ? {1, 2,3} 的集合 B 的个数是(
(A)1 (B)3 (C)4

) (D)8

2、 如果实数x、y满足( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3,则 的最大值为(

y x

)

A.

1 2

B.

3 3

C.

3 2

D. 3


3、一条直线过点(5,2) ,且在 x 轴,y 轴上截距相等,则这直线方程为( A. x ? y ? 7 ? 0 C. x ? y ? 7 ? 0或2 x ? 5 y ? 0 B. 2 x ? 5y ? 0

D. x ? y ? 7 ? 0或2 y ? 5x ? 0

4、 已知关于 x 的方程

3 x 2 -(2 m-8)x + m 2 -16 = 0 的两个实根 x 、 x 满足 x < < x ,则 2
1 2 1 2

实数 m 的取值范围________: 5、已知关于 x 的方程 sin
2

x + a cos x -2 a = 0 有实数解,求实数 a 的取值范围_________.

四、典题体验:
(一)函数与方程思想 例 1 已知

5b ? c ? 1, (a、b、c∈R) ,则有( 5a



(A)

b 2 ? 4ac (B) b 2 ? 4ac (C) b 2 ? 4ac (D) b 2 ? 4ac

(二)数形结合 例 2. 解不等式 x ? 2 ? x

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例 3. 已知0 ? a ? 1,则方程a A. 1 个 B. 2 个

|x |

?|log a x| 的实根个数为(

)

C. 3 个

D. 1 个或 2 个或 3 个

(三)分类讨论法 例 4、 ?ABC中,已知 sin A ?

1 5 , cos B ? ,求 cos C 2 13

例 5、 设k ? R,问方程(8 ? k ) x ? ( k ? 4) y ? (8 ? k )( k ? 4) 表示什么曲线?
2 2

(四)化归与转化的思想 例 6、如果,三棱锥 P—ABC 中,已知 PA⊥BC,PA=BC=l,PA,BC 的公垂线 ED=h.求证三棱锥 P—ABC 的 体积 V ?

1 2 l h. 6

(五) 常用数学的方法(配方法、待定系数法、换元法) 例 7、 设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于 x 轴,离心率为 近距离是 2,求双曲线方程.

5 ,已知点 P(0,5)到该双曲线上的点的最 2

例 8、点 P(x,y)在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上移动时,求函数 u=x2+2xy+4y2+x+2y 的最大值. 4

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五、能力提升
1、函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程 f(x)=0 的解就是函数 y=f(x) 的图像与 x 轴的交点的横坐标,函数 y=f(x)也可以看作二元方程 f(x)-y=0 通过方程进行研究 2、应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简,尽可能是等价转化。常见的 转化有:正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、 常量与变量的转化、数学语言的转化等。 3、引起分类讨论原因,通常有以下几种:①涉及的数学概念是分类定义的(如|x|的定义,P 点分线 段的比等) ;②公式、定理、性质或运算法则的应用范围受到限制;③几何图形中点、线、面的相对位置 不确定;④求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性;⑤数学问题中含有参变量,这些参变量的 不同取值会导致不同结果.? 分类讨论的一般步骤是: (1)确定讨论对象和确定研究的全域; (2)进行科学分类(按照某一确定 的标准在比较的基础上分类)“比较”是分类的前提, , “分类”是比较的结果.分类时,应不重复,不遗 漏; (3)逐类讨论; (4)归纳小结,整合得出结论. 4、实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系; ③曲线与方程的对应关系;④所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

六、专项训练
(一).选择题: (30 分) 1、若 sin x ? cos x ? 1,则 sin x ? cos x (n ? N ) 的值为 (
n n



A. 1
x

B. ?1
2

C. 1或 ? 1

D. 不能确定

2、 y=2 , =log2x, =x , =cos2x 这四个函数中, 0<x1<x2<1 时, f 在 y y y 当 使 ( 恒成立的函数的个数是 ( )? A.0 B.1 C.2 D.3 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2 ) > 2 2

【解析】 用图像法,只有上凸函数才满足题意,即只有 y=log2x 才满足上式,故选 B.? 3、已知方程 ( x ? 2 x ? m)( x ? 2 x ? n) ? 0 的四个根组成一个首项为
2 2

A.1

B.

3 4

C.

1 2

1 的等差数列,则 m ? n ? ( 4 3 D. 8

)

4、 设数列 an} { 是等差数列, n 是其前 n 项和, S 且满足 a1>0, 12>0, 13<0, S S 则使 Sn 最大的 n 的值为( A.1 B.6 C.7 D.12 5、设定义域为 R 的函数 f ( x) ? ? 同实数解的充要条件是( A. b ? 0 且 c ? 0 C. b ? 0 且 c ? 0 ) B. b ? 0 且 c ? 0 D. b ? 0 且 c ? 0

)

?| lg | x ? 1 ||, 0, ?

x ?1 x ?1

,则关于 x 的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 7 个不
2

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( )

x2 y2 x2 y2 6、曲线 ? ? 1(m ? 6) 与曲线 ? ? 1(5 ? m ? 9) 的 10 ? m 6 ? m 5?m 9?m
(A)焦距相等 二.填空题: 分) (8 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同

7、 (2006 辽宁)若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为 ? ,则 cos? =______.

8、 若集合M ? ?( x,y) ?

? ? ? ?

? ? x ? 3 cos? ? (0 ? ? ? ? )?,集合N ? {( x,y)| y ? x ? b} ? ? y ? 3 sin ? ?


且M ? N≠?,则b的取值范围为

三、解答题: (37 分) 9. (12 分)已知 a ? R, 函数 f ( x) ? x x ? a .
2

(Ⅰ)当 a=2 时,求使 f(x)=x 成立的 x 的集合; (Ⅱ)求函数 y=f (x)在区间[1,2]上的最小值.

10(12 分)设集合 A={ x | 4 ? 2
x

x ?1

? a ? 0, x ? R }

(1)若 A 中有且只有一个元素,求实数 a 的取值集合 B; 2 (2)当 a∈B 时,不等式 x -5x-6<a(x-4)恒成立,求 x 的取值范围.

11(13 分)对任意函数 f(x), x∈D,可按图示构造一个数列发生器,其工作原理如下 ①输入数据 x0∈D,经数列发生器输出 x1=f(x0); ②若 x1 ? D,则数列发生器结束工作;若 x1∈D,则将 x1 反馈回输入端,再输出 x2=f(x1),并依此规 律继续下去。现定义 f ( x) ? (1)若输入 x0=

4x ? 2 x ?1

49 ,则由数列发生器产生数列{xn},请写出{xn}的所有项; 65

(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数列,试求输入的初始数据 x0 的值;
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www.TopSage.com 大家网 (3)若输入 x0 时,产生的无穷数列{xn},满足对任意正整数 n 求 x0 的取值范围
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均有 xn<xn+1;
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xi∈D No 结束

Yes

附 I:高中数学中的易忘、易错、易混点梳理
高三数学复习的策略非常重要,如果在复习中心浮气躁、东一榔头西一棒,或者不根据自己的实际 情况,盲目地随大流,都难以取得良好的复习效果。为了争取最佳的复习效果,在高三后期及时调整自 己的复习方略是非常必要的。 确定复习策略的依据有两条,一是高考的考试大纲(或《考试说明》,二是自己的实际情况。复习 ) 工作的目的,就是努力使自己的数学水平达到考试大纲的要求。经常梳理自己的知识系统,结合自己的 具体情况制定数学复习策略,及时调整数学复习方法,是每一位同学都需要重视的工作。只有摸清自己 的易忘、易错、易混点,才能完善学科知识和能力结构,明确复习重点,做到查漏补缺。 系统地梳理知识,需要用心体会,耐心地将平时含糊不清、似是而非的概念、公式彻底理清。如: 异面直线上两点间的距离公式 EF ?
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d 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos ? 中正、负号如何确定;给定区间内,求
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二次函数的最值的讨论依据是什么; y ? sin(? x ? ? ) 的图形变换的顺序;应用导数确定函数极值点、单 调区间的基本步骤等等,这一些易忘点、易错点、易混点,需要自己及时“回到课本”逐一弄懂,千万 不能一带而过,也不要以为记住概念和公式就万事大吉了。例如,梳理“数列求和”不但要求记住公式, 还应该从公式的推导过程中去体会“倒序求和”“错位相减求和”“拆项求和”等方法和技巧,进而把 、 、 握“归纳、递推” 、 “化归、转化”等数学思想。数学思想方法是更高层次的抽象和概括,它能够进行 广泛的迁移,形成解决数学问题的通性通法。又如整理“不等式的解法”时,如果只是机械地分类型罗 列几种解法,那么遇到一个陌生的不等式,仍然没有办法。只有当我们把握了解不等式的思想方法才能 变化自如,融会贯通。梳理知识还应该注意一题多解、一题多变,不断地比较和提炼,使方法最优化。 根据今年高考的考试大纲(或《考试说明》,结合同学们平时数学学习时的易忘、易错、易混点, ) 现对高中数学的一些知识点、技能点和一些重要的结论进行了一个比较全面的梳理,供同学们查漏补缺 时参考。 一、集合与函数 1.进行集合的交、并、补运算时,不要忘了全集和空集的特殊情况,不要忘记了借助数轴和文氏图进行 求解. 2.你会用补集的思想解决有关问题吗? 3.求不等式(方程)的解集,或求定义域(值域)时,你按要求写成集合的形式了吗? [问题]: x | y ?

?

x 2 ? 1 、 y | y ? x 2 ? 1 、 ( x, y ) | y ?

? ?
?
2

? ?

x 2 ? 1 的区别是什么?

?

4.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么? 5.解一元一次不等式(组)的基本步骤是什么? [问题]:如何解不等式: a ? 1 x ? b ? 0 ?
2

?

6.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?注意到对二次项系数 及对称轴进行讨论了吗? 7.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件? [问题]:请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 8.什么是映射、什么是一一映射? [问题]:已知:A={1,2,3},B={1,2,3},那么可以作 个 A 到 B 上的映射,那么可以作 个 A 到 B 上的一一映射. 9.函数的表示方法有哪一些?如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性?单调性、周期性、奇偶性在函 数的图象上如何反应?什么样的函数有反函数?如何求反函数?互为反函数的图象间有什么关系?求一 个函数的解析式或一个函数的反函数时,你注明函数的定义域了吗? [问题]:已知函数 f ?x ? ? log 3 x ? 2, x ? ?1,9?, 求函数 y ? ? f ?x ?? ? f x
2

? ? 的单调递增区间.(你处理函数
2

问题是是否将定义域放在首位) [ 问 题 ] : 已 知 函 数 f ?x ? ? 2 x ? 3 , 函数y ? g ?x ?的 图 象 与 y ? f x ?1 y ? x对称,求g ?11?的值 . 10.如何正确表示分数指数幂?指数、对数的运算性质是什么? 11.你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗? [问题]:已知函数 f ?x ? ? log a x在x ? ?3,?? ? 上,恒有 f ? x ? ? 1 ,则实数 a的 取值范围是:
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?1

?x ? 1?

的图象关于直线



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www.TopSage.com 大家网 12.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?(定义法、导数法)

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13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围 (恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗? [问题]:写出函数 f ( x) ? x ?

m (m ? 0) 的图象及单调区间. x ? [c, d ] 时,求函数的最值.这种求函数的最 x

值的方法与利用均值不等式求函数的最值的联系是什么? [问题]:证明“函数 f (x) 的图象关于直线 x ? a 对称”与证明“函数 f (x) 与函数 g (x) 的图象关于直线

x ? a 对称”有什么不同吗?
二、数列 14.如何判断等差数列、等比数列?等差数列、等比数列的通项公式和求和公式如何推导? 15.解决等差(等比)数列计算问题通常的方法有哪两种? ①基本量方法:抓住 a1 , d (q ) 及方程思想; ②利用等差(等比)数列性质). [问题]:在等差数列 ?a n ?中,a16 ? a17 ? a18 ? a9 ? ?36 ,其前 n项的和为 S n ,?1?求 S n 的最小值;

?2?求Tn

? a1 ? a 2 ? ? ? a n

16.解决一些等比数列的前 n 项和问题,你注意到要对公比 q ? 1 及 q ? 1 两种情况进行讨论了吗? 17.在“已知 S n ,求 a n ”的问题中,你在利用公式 a n ? S n ? S n ?1 时注意到 n ? 2 了吗?( n ? 1时,应有

a1 ? S1 )
18.解决递推数列问题通常有哪两种处理方法?(①猜证法;②转化为等差(比)数列问题) [问题]:已知: a1 ? 1, a n ? 2a n ?1 ? 3 , 求a n .
n

19.你知道 lim q 存在的条件吗?( ? 1 ? q ? 1) ,你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗?你知道
n n??

无穷数列 {a n } 的前 n 项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在? 20.一般数列的求和问题你能够找到一些办法吗?(倒序相加法、错位相减法、拆项裂项法) *21.用数学归纳法证明问题的基本步骤是什么?你注意到“用数学归纳法证明中,必须用上归纳假设” 吗? 1.自然数有关的命题常用数学归纳法证明,其步骤是: (1)验证命题对于第一个自然数 n=n0 (k≥n0) 时成立;(2)假设 n=k 时成立,从而证明当 n=k+1 时命题也成立, (3)得出结论. 2.(1)、 (2)两个步骤在推理中的作用是:第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,二者缺一不可。 第二步证明时要一凑假设,二凑结论. 三.三角函数 22.正角、负角、零角、象限角的概念你清楚吗?,若角的终边在坐标轴上,那它归哪个象限呢?你知 道锐角与第一象限的角;终边相同的角和相等的角的区别吗? 23.角度与弧度如何换算?你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗? 24.三角函数的定义及单位圆内的三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的定义你知道吗?
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25.诱导公式, C (? ? ? ) , C (? ? ? ) , S (? ? ? ) , S (? ? ? ) 及二倍角公式你熟记了吗?你会推导每个三角公式吗?还 记得某些特殊角( 0 , 30 ,45 ,60 ,90 ,120 135 ,150 等)的三角函数值吗? 26.掌握正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质.你会写三角函数的单调区间吗?会写简单的三 角 不 等 式 的 解 集 吗 ? (要 注 意 数 形 结 合 与 书写 规 范 , 可 别 忘 了 k ?Z ) 你是否清楚函数 ,
0
0 0 0 0 0 0 0

y ? A sin(?x ? ? ) 的图象可以由函数 y ? sin x 经过怎样的变换得到吗?
[ 问 题 ] : 如 何 把 函 数 y ? 2 s i n x 的 图 象 变 成 函 数 y ? 2 s i n3(x ? 3

?
3

) 的图象?如何把函数

y ? 2 s i nx( ?

?
3

) 的图象变成函数 y ? 2 sin(3x ?

?
3

) 的图象?

27.你会用五点法画 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 的草图吗?哪五点?会根据图象求参数 A, ? , ? , B 的值吗? 28.你会求三角函数的周期吗?(先化简再求) [辅助角公式在求周期、化简时起着重要作用:

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 (

a a ?b
2 2

sin x ?

b a ?b
2 2

cos x) ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) ]

29.在三角函数中求一个角时,注意考虑两方面了吗?(先求出某一个三角函数值,再判定角的范围) 30.反三角的概念(反正弦函、反余弦函及反正切) ,你知道 arcsin a, arccosa, arctan a 的含义吗? 31.三角函数中的和、差、倍、降幂公式、辅助角公式在求值、化简、和证明时“正用”及“逆用”“变 、 用”你都掌握了吗? [问题]:已知 sin ? cos ? ?

1 , 求 t ? cos? sin ? 的变化范围. 2

四.平面向量 32.你熟悉平面向量的运算(和、差、实数与向量的积、数量积) 、运算性质和运算的几何意义吗? 33.你通常是如何处理有关向量的模(长度)的问题? (利用 | a | 2 ? a ; | a |?
? ?2

x2 ? y2 )

34.你知道解决向量问题有哪两种途径? (①向量运算;②向量的坐标运算) 35.你弄清“ a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 ”与“ a// b ? x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0 ”了吗? [问题]:两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别? (1) .在实数中:若 a ? 0 ,且 ab=0,则 b=0,但在向量的数量积中,若 a ? 0 ,且 a ? b ? 0 ,不能推出
? ? ? ? ?
? ? ? ?

b?0.
? ? ? ? ? ?

?

(2) .已知实数 a, b, c, (b ? o) ,且 ab ? bc ,则 a=c,但在向量的数量积中没有 a ? b ? b ? c ? a ? c . (3) .在实数中有 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ,但是在向量的数量积中 ( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c ) ,这是因为左
? ?
? ? ? ? ? ?

边是与 c 共线的向量,而右边是与 a 共线的向量.
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36.向量的平移公式、函数图象的平移公式你掌握了吗? 37.正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗?三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特 点? 五.不等式 38.不等式证明的基本方法你都掌握了吗?(比较法;分析法;综合法;数学归纳法)重要不等式是指 哪几个不等式?由它们推出的均值不等式串是什么? [问题]:若 a ? b ,求证 | 1 ? a ? 1 ? b |?| a ? b | .(注意方法)
2 2

[ 问 题 ] : 若 a, b, c 是 不 等 边 三 角 形 的 三 边 长 , 其 面 积 为 证:

1 ,外接圆半径为 1,求 4

1 1 1 ? ? ? a? b? c. a b c 1 1 4 1 1 n [问题]:求证 ;若 恒成立,求 n 的最大值. ? ? ? ? a ?b b?c a ?c a ?b b?c a ?c
39.利用均值不等式求最值时,你是否注意到: “一正;二定;三等”. 40.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么? 41.解含参数不等式怎样讨论?注意解完之后为什么要写上: “综上,原不等式的解集是??”. [问题]: (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,求 a 的范围.
2

42.你会用不等式 || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 解(证)一些简单问题吗? 43.处理不等式恒成立问题有哪些常用的方法? 六.解析几何 44.直线的斜率公式、点到直线的距离公式、到角公式、夹角公式你记住了吗? 45.何为直线的方向向量?直线的方向向量与直线的斜率有何关系? 46.在用点斜式、斜截式求直线的方程时,你是否注意到 k 不存在的情况? [问题]:截距是距离吗?“截距相等”意味着什么? 47.解决线性规划问题的基本步骤是什么?请你注意解题格式和完整的文字表达.(①设出变量,写出目 标函数②写出线性约束条件③画出可行域④作出目标函数对应的系列平行线,找到并求出最优解⑦应用 题一定要有答。 ) 48.你知道解决直线与圆的位置关系问题常常利用圆心到直线的距离吗?直线与圆锥曲线的位置关系怎 样判断? 49.三种圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质你掌握了吗? 50.利用圆锥曲线第二定义解题时,你是否注意到定义中的定比前后项的顺序?如何利用第二定义推出 圆锥曲线的焦半径公式?如何应用焦半径公式? 51.用圆锥曲线方程与直线方程联立求解时,在得到的方程中你注意到 ? ? 0 这一条件了吗?圆锥曲线 本身的范围你注意了吗? 52.曲线与直线相交时,弦长如何求,弦长公式你记得吗? 53.解析几何问题的求解中,平面几何知识利用了吗?题目中是否已经有坐标系了,是否需要建立直角 坐标系? 54.求轨迹的几种基本方法是什么?每一种方法的基本步骤是怎样的?
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55.圆、和椭圆的参数方程是怎样的?常用参数方程的方法解决哪一些问题? 七.立体几何 56.平面的基本性质是什么?(三个公理,三个推论) 57. 上述各个公理和推论的意义和作用是什么?(请注意在表示点、 面之间的关系时的符号的规范性.) 线、 [问题]:三个平面两两相交,有三条交线,证明:这三条交线两两平行或相交于一点. [问题]:已知: a // b // c, a ? d ? A, b ? d ? B, c ? d ? C 证明:a、b、c、d 共面. 58.你掌握了空间图形在平面上的直观画法吗?(斜二测画法) 。 59.理解空间两直线位置关系分类方法,掌握平行直线的性质(公理 4) ,理解异面直线的概念和判定定 理.你知道如何证明空间两直线的位置关系吗?(相交、平行和异面) 60.线面平行和面面平行的定义、判定和性质定理你掌握了吗?线线平行、线面平行、面面平行这三者 之间的联系和转化在解决立几问题中的应用是怎样的?每种平行之间转换的条件是什么? 61.线面垂直和面面垂直的定义、判定和性质定理你掌握了吗?线线垂直、线面垂直、面面垂直这三者 之间的联系和转化在解决立几问题中的应用是怎样的?每种垂直之间转换的条件是什么? 62.三垂线定理及其逆定理你记住了吗? 63.求线面角的关键是什么?(找直线的射影).异面直线所成的角如何求? 64.你知道从确定平面外一点向平面作射影的三种常用方法吗?(①面面垂直 ? 线面垂直;②从角的顶 点出发引角所在平面的一条斜线,若该斜线与角的两边成等角,则该斜线在此平面上的射影是角平分线 所在直线;③利用特殊三棱锥顶点在底面上射影的位置) 65.你知道作二面角的平面角的主要方法是什么?(定义法、三垂线定理、垂面法) 66.你知道公式: cos? 2 ? cos? 1 cos? 和 cos? ?

S' 中每一字母的意思吗?能够熟练地应用它们解题 S

吗? 67.空间向量的意义及其向量的加减、数乘、数量积运算的法则是什么?向量共线、共面、垂直的充要 条件是什么? 68.空间向量的基本定理.空间任一向量可由空间基向量唯一表示出来.你知道利用向量解决几何问题的 一般步骤是什么? 69.空间向量的夹角的坐标运算公式.你知道如何运用夹角公式求直线与平面所成的角、直线与平面内 的直线所成的角、二面角及其平面角吗?请注意这些角的意义、求法和角的取值范围. 70.空间向量的距离的坐标运算公式.分清几个距离的意义和计算方法(公式). 你知道如何运用距离 公式求点到直线的距离、直线到与直线平行的平面的距离、两个平行平面间的距离、异面直线间的距离 吗? 71.你知道异面直线上两点间的距离公式 EF ?

d 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos ? 如何运用吗?

72.棱柱及其性质、平行六面体与长方体及其性质、长方体对角线定理及其证明.这些知识你掌握了吗? (注意运用向量的方法解题) 73.棱锥及其性质、正棱锥及其性质、正多面体的种类你掌握了吗? 74.球及其性质;地球经度线和纬度线的意义、球面距离的求法;球的表面积和体积公式. 这些知识你 掌握了吗? 八. 排列、组合和概率
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www.TopSage.com 大家网 47 / 50 75.你掌握了解决排列、组合应用题的常见方法吗?(①考虑特殊元素;②考虑特殊位置;③捆绑法; ④插入法;⑤先选后排法;⑥排除法;⑦列举法.) 76.二项式展开式的通项公式记得吗?用赋值法求出二项展开式的奇次项系数之和与偶次项系数之和, 你还记得吗? 77.你掌握了三种常见的概率公式吗?(①等可能事件的概率公式;②互斥事件有一个发生的概率公式; ③相互独立事件同时发生的概率公式.)
[问题]:某人每次射击击中的概率是 0.2,射击中每次射击的结果是相互独立的,求他在 10 次射击 中击中目标的次数不超过 5 次的概率. 78. n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率公式为 Pn (k ) ? C n p (1 ? p)
k k n?k

,你在运用时有过

差错吗? *79.理解随机变量,离散型随机变量的定义,你能够写出离散型随机变量的分布列吗?

?
P

X1 P1

X2 P2

? ?

Xn Pn

? ?

(1)期望值 E ? = x1p1 + x2p2 + ? + xnpn + ? ; (2)方差 D ? = ( x1 ? E? ) p1 ? ( x2 ? E? ) p2 ? ? ? ? ? ( xn ? E? ) pn ? ? ? ? ;
2 2 2

(3)标准差 ?? ?

D? ; E (a? ? b) ? aE? ? b; D(a? ? b) ? a 2 D? ;

[问题]:某人每次投篮投中的概率为 0.1,每次投篮的结果是相互独立的,求他首次投篮投中时所需 要投篮次数的分布列及他在 5 次内投中的概率. *80.你知道二项分布的定义和有关性质吗? ξ ~B(n,p),其中 n,p 为参数, P(? ? k ) ? C n p q
k k n?k

,

记为: C n p q

k

k

n?k

? b(k ; n, p) ; 二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布, 比如投硬币, 投骰子 ,

射击等等。怎样的离散型随机变量 ? 服从二项分布?又二项分布的期望与方差分别是什么?(若 ? ~ B(n,p),则 E ? =np, D ? =npq,这里 q=1- p). 81.你知道哪几种常见的抽样方法?它们各自的特点及适用范围是怎样的? (1)简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法) ; (2)系统抽样,也叫等距离抽样; (3)分层抽样,常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形. 82.如何对总体分布进行估计?(用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地, 样本容量越大,这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图;理解频率分布直方 图矩形面积的几何意义.) *83.你还记得一般正态总体 N ( ? , ? ) 如何化为标准正态总体 N (0,1) 吗?(对任一正态总体 N ( ? , ? )
2 2

来说,取值小于 x 的概率 F ( x) ? ?( 的概率)
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x??

?

) ,其中 ?(

x??

?

) 表示标准正态总体 N (0,1) 取值小于

x??

?

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TopSage.com *84.两个变量之间的关系有哪两种?(①函数关系;②相关关系.)你知道对于具有相关关系的两个变 量的一组观测值,如何求出的回归直线方程吗? *85.你了解假设检验的基本思想吗?
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(1)提出统计假设,确定随机变量服从正态分布 N ( ? , ? ) ;
2

(2)确定一次试验中的取值 a 是否落入范围 (? ? 3? , ? ? 3? ) ; (3)作出推断:如果 a∈ (? ? 3? , ? ? 3? ) ,接受统计假设; 如果 a ? (? ? 3? , ? ? 3? ) 由于这是小概率事件,就拒绝假设; (4) 相关系数 r,衡量变量 y 与 x 之间的相关程度,|r|?1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;且|r| 越接近于 0,相关程度越小. 九.导数及其应用 *86.你理解数列极限的定义吗? 你会求一些简单数列的极限吗? (1)掌握数列极限的直观描述性定义; (2)掌握数列极限的四则运算法则,注意其适用条件:一是数列{an}{bn}的极限都存在;二是仅适用 于有限个数列的和、差、积、商; (3)对于无穷数列的和(或积) ,应先求和(或积) ,再求极限; (4)常用的几个数列极限: lim C ? C (C 为常数) ;
n ??

lim

n??

1 n ? 0 ; lim q ? 0 ( a <1,q 为常数). n?? n

(5)无穷递缩等比数列各项和公式: S ? lim Sn ?
n ??

a1 (0< q ? 1 ). 1? q

*87. 你理解函数的极限吗? 你会求一些简单函数的极限吗? (1)当 x 趋向于无穷大时,函数的极限为 a ? lim f ( x) ? lim f ( x) ? a .
n ? ?? n ? ??

(2)当 x ? x0 时函数的极限为 a ? lim? f ( x) ? lim? f ( x ) ? a .
x ? x0 x ? x0

(3)掌握函数极限的四则运算法则. *88. 你理解函数的连续性吗? (1)如果对函数 f(x)在点 x=x0 处及其附近有定义,而且还有 lim f ( x ) ? f ( x 0 ) ,就说函数 f(x)
x ? x0

在点 x0 处连续; (2)若 f(x)与 g(x)都在点 x0 处连续, 则 f(x)±g(x),f(x)g(x),

f ( x) (g(x)≠0)也在点 x0 处连续; g ( x)

(3)若 u(x)在点 x0 处连续,且 f(u)在 u0=u(x0)处连续,则复合函数 f[u(x)]在点 x0 处也连续; (4)连续函数的极限运算:如果函数在点 x0 处有极限,那么 lim f ( x ) ? f ( x 0 ) .
x ? x0

89. f (x) 在点 x 0 处可导的定义你还记得吗?( lim

?x ?0

f ( x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) (或 lim )存在) x ? x0 x ? x0 ?x

它的几何意义和物理意义分别是什么?利用导数可解决哪些问题?具体步骤还记得吗? 90 . 你 会 用 “ f (x) 在 其 定 义 域 内 可 导 , 且 不 恒 为 零 , 则 f (x) 在 某 区 间 I 上 单 调 递 增 ( 减 )
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”解决有关函数的单调性问题吗? ? f / ( x) ? 0(? 0) 对 x ? I 恒成立。 91.你知道“函数 f (x) 在点 x 0 处可导”是“函数 f (x) 在点 x 0 处连续”的什么条件吗? 92. 你知道导数有哪一些应用? 93. 你知道求可导函数最大值与最小值的步骤吗? 求可导函数极值的步骤:①求导数 f ?(x) ;②求方程 f ?( x) ? 0 的根和使 f ?(x) 不存在的 x 值;③ 检验 f ?(x) 在方程 f ?( x) ? 0 的根和使 f ?(x) 不存在的 x 的左右的符号,如果左正右负,那么函数

y ? f (x) 在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数 y ? f (x) 在这个根处取得极小值.
求可导函数最值的步骤:①求 y ? f (x) 在 (a, b) 内的极值;②将 y ? f (x) 在各极值点的极值与

f (a)、f (b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个是最小值.

十.复数
*94.你了解复数、实数、虚数、纯虚数、模、共轭复数的概念和复数的几何表示吗? *95.请你熟练掌握、灵活运用以下结论: (1) a+bi=c+di ? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R); (2) 复数是实数的条件: ①z=a+bi∈R ? b=0 (a,b∈R); ②z∈R ? z= z ; ③ z∈R ? z ≥0;
2

*96.复数是纯虚数的条件你知道吗? ①z=a+bi 是纯虚数 ? a=0 且 b≠0(a,b∈R); ②z 是纯虚数 ? z+ z =0(z≠0); ③z 是纯虚数 ? z <0;
2

*97.复数的代数形式及其运算法则你掌握了吗? 设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R) (1)z 1± z2 = (a ± c) + (b ± d)i. (2)z1.z2 = (a+bi)?(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i ; (3) z1÷z2 = ac ? bd ? bc ? ad i (z2≠0) ; c2 ? d 2 c2 ? d 2
(1) z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? 2( z1 ? z2 );
2 2 2 2

*98.为了快速、准确地进行复数运算,请记住几个重要的结论: (2) z ? z ? z 2 ? z 2 ;
(3)若z为虚数,则 z ? z 2 ;
2

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?4?(1 ? i)

2

? ?2i;

?5? 1 ? i ? i; 1 ? i ? ?i;

1? i 1? i 4n 4 n ?1 (6)i ? 1; i ? i; i 4 n ? 2 ? ?1; i 4 n ? 3 ? ?i.

99.中学数学解题中常用的思想方法你知道吗? (函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和化归转化的思想) 100.高中数学课本中的几个研究性学习的材料你清楚吗?(分期付款问题、杨辉三角、欧拉公式、*复 数的三角形式等) 要真正梳理清楚这些知识,关键是在理解的基础上去记忆,决不能死记硬背。同学们有了清晰的知识背 景,和完善的知识结构的同时,再进行必要的独立练习,巩固“双基” ,就能提高综合解题能力和数学应 试水平。在这里我也要提醒同学们,在数学复习中要避免两个极端,要么,埋头看书、整理,懒得独立 练习;要么,埋头练习、陷入题海。前者,忽视了数学是一门思维的科学,离开了解题实践,数学思维 无法展开,无法将学到的知识、方法内化为自己的能力。后者,忽视了有的放矢,容易重复机械操练, 缺乏反思、提炼,事倍功半。 此外,同学们在梳理知识和独立练习的过程中,要勤于反思,举一反三,多联系知识的发生和形成过程, 多总结通性通法和规范思路, 多关注思想方法和探究创新, 在复习中抱着开放的心态和锲而不舍的精神, 开展“研究性复习” ,始终保持旺盛的斗志和灵活的思维,数学成绩一定能够取得比较大的突破。 备注: (1) 这 100 个问题中,有相当大一部分“易忘、易错、易混点”(2)打“*”号的部分是理 。 科的要求,文科不需要掌握。

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