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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 5.4 平面向量应用举例


中小学一对一课外辅导专家

§ 5.4

平面向量应用举例

1.向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧: 问题类型 线平行、点共线等问题 所用知识 共线向量定理 公式表示 a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0, 其中 a=(x1,y1),b=(x2,y2) a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0, 垂直问题 数量积的运算性质 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 a, b 为非零向量 夹角问题 长度问题 数量积的定义 数量积的定义 a· b cos θ= (θ 为向量 a,b 的夹角) |a|· |b| |a|= a2= x2+y2,其中 a=(x,y)

(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤: 平面几何问题― ― →向量问题― ― →解决向量问题― ― →解决几何问题 2.平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量作为一个运算工具,经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合, 当平面向量给出的形式中含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知 数的关系式.在此基础上,可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题. 此类问题的解题思路是转化为代数运算,其转化途径主要有两种:一是利用平面向量平行或 垂直的充要条件;二是利用向量数量积的公式和性质. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) → → (1)若AB∥AC,则 A,B,C 三点共线.( √ ) (2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决.( √ )
设向量 运算 还原

(3) 实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运 算.( √ )

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→ → (4)在△ABC 中,若AB· BC<0,则△ABC 为钝角三角形.( × )

→ (5)已知平面直角坐标系内有三个定点 A(-2,-1),B(0,10),C(8,0),若动点 P 满足:OP= → → → OA+t(AB+AC),t∈R,则点 P 的轨迹方程是 x-y+1=0.( √ )

1. 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(3,4),B(5,2), C(-1, -4),则这个三角形是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 答案 B → → 解析 ∵AB=(2,-2),CB=(6,6), → → ∴AB· CB=12-12=0, → → ∴AB⊥CB,∴△ABC 为直角三角形. π 2. (2014· 山东)已知向量 a=(1, 3), b=(3, m). 若向量 a, b 的夹角为 , 则实数 m 等于( 6 A.2 3 答案 B 解析 ∵a· b=(1, 3)· (3,m)=3+ 3m, 又 a· b= 12+? 3?2× π 32+m2×cos , 6 π 32+m2×cos , 6 B. 3 C.0 D.- 3 B.直角三角形 D.等腰直角三角形

)

)

∴3+ 3m= ∴m= 3.

12+? 3?2×

y → → 0, ?, 3. 平面上有三个点 A(-2, y), B? y), 若AB⊥BC, 则动点 C 的轨迹方程为__________. 2 ? ? C(x, 答案 y2=8x (x≠0) y y → → 2,- ?,BC=?x, ?, 解析 由题意得AB=? 2? ? ? 2? → → → → 又AB⊥BC,∴AB· BC=0, y? ? y ? 2 即? ?2,-2?· ?x,2?=0,化简得 y =8x (x≠0).

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4.已知平面向量 a=(1,cos θ),b=(1,3sin θ),若 a 与 b 共线,则 tan 2θ 的值为________. 答案 3 4

解析 由 a∥b 得 3sin θ-cos θ=0, 2 3 1 3 ∴tan θ= ,∴tan 2θ= = . 3 1 4 1- 9

题型一 向量在平面几何中的应用 例 1 如图所示, 四边形 ABCD 是正方形, P 是对角线 DB 上的一点(不包括 端点),E,F 分别在边 BC,DC 上,且四边形 PFCE 是矩形,试用向量法 证明:PA=EF. 思维点拨 正方形中有垂直关系,因此考虑建立平面直角坐标系,求出所

求线段对应的向量,根据向量知识证明. 证明 建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为 1,DP=

λ(0<λ< 2), 则 A(0,1),P( E(1, 2 2 λ, λ), 2 2

2 2 λ),F( λ,0), 2 2

2 2 2 2 → → ∴PA=(- λ,1- λ),EF=( λ-1,- λ), 2 2 2 2 → ∴|PA|= → |EF|= ? ?- 2 2 2 λ? +?1- λ?2 = 2 2 λ2- 2λ+1, λ2- 2λ+1,

2 2 λ-1?2+?- λ?2 = 2 2

→ → ∴|PA|=|EF|,即 PA=EF. 思维升华 用向量方法解决平面几何问题可分三步: (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为
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向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. → → (1)在边长为 1 的菱形 ABCD 中, ∠BAD=60° , E 是 BC 的中点, 则AC· AE等于( 3+ 3 A. 3 C. 3 9 B. 2 9 D. 4 )

→ → → → (2)在△ABC 所在平面上有一点 P,满足PA+PB+PC=AB,则△PAB 与△ABC 的面积的比值 是( )

1 1 2 3 A. B. C. D. 3 2 3 4 答案 (1)D (2)A 解析 (1)建立如图平面直角坐标系,则 A(- 1 - ). 2 ∴E 点坐标为( 3 1 ,- ), 4 4 3 3 ,0),C( ,0),B(0, 2 2

1 → → 3 3 ∴AC=( 3,0),AE=( ,- ), 4 4 3 3 9 → → ∴AC· AE= 3× = . 4 4 → → (2)由已知可得PC=2AP, ∴P 是线段 AC 的三等分点(靠近点 A), 1 易知 S△PAB= S△ABC,即 S△PAB∶S△ABC=1∶3. 3 题型二 向量在三角函数中的应用 例 2 已知在锐角△ABC 中, 两向量 p=(2-2sin A, cos A+sin A), q=(sin A-cos A,1+sin A), 且 p 与 q 是共线向量. (1)求 A 的大小; (2)求函数 y=2sin2B+cos? C-3B? ? 2 ?取最大值时,B 的大小.
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解 (1)∵p∥q, ∴(2-2sin A)(1+sin A)-(cos A+sin A)(sin A-cos A) =0, 3 3 ∴sin2A= ,sin A= , 4 2 ∵△ABC 为锐角三角形,∴A=60° . (2)y=2sin2B+cos? =2sin2B+cos?

?C-3B? ? ? 2 ?

?180° -B-A-3B? ? 2 ? ?

=2sin2B+cos(2B-60° ) =1-cos 2B+cos(2B-60° ) =1-cos 2B+cos 2Bcos 60° +sin 2Bsin 60° 1 3 =1- cos 2B+ sin 2B=1+sin(2B-30° ), 2 2 当 2B-30° =90° ,即 B=60° 时,函数取最大值 2. 思维升华 解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键:准确利用向量的坐标运算化简已知

条件,将其转化为三角函数中的有关问题解决. (1)已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=( 3,-1),n =(cos A,sin A).若 m⊥n,且 acos B+bcos A=csin C,则角 A,B 的大小分别为( π π A. , 6 3 π π C. , 3 6 2π π B. , 3 6 π π D. , 3 3 )

(2)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c,设向量 m=(a+b,sin C),n=( 3 a+c,sin B-sin A),若 m∥n,则角 B 的大小为________. 5π 答案 (1)C (2) 6 解析 (1)由 m⊥n 得 m· n=0,

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即 3cos A-sin A=0, π? 即 2cos? ?A+6?=0, π π 7π ∵ <A+ < , 6 6 6 π π π ∴A+ = ,即 A= . 6 2 3 又 acos B+bcos A=2Rsin Acos B+2Rsin Bcos A =2Rsin(A+B)=2Rsin C=c=csin C, π ∴sin C=1,C= , 2 π π π ∴B=π- - = . 3 2 6 (2)∵m∥n, ∴(a+b)(sin B-sin A)-sin C( 3a+c)=0, a b c 又∵ = = , sin A sin B sin C 则化简得 a2+c2-b2=- 3ac, a2+c2-b2 3 5π ∴cos B= =- ,∵0<B<π,∴B= . 2ac 2 6 题型三 平面向量在解析几何中的应用 → → → 例 3 (1)已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),且 A、B、C 三点共线,当 k<0 时, 若 k 为直线的斜率,则过点(2,-1)的直线方程为________. → → (2)设 O 为坐标原点,C 为圆(x-2)2+y2=3 的圆心,且圆上有一点 M(x,y)满足OM· CM=0, y 则 =________. x 答案 (1)2x+y-3=0 (2)± 3

→ → → 解析 (1)∵AB=OB-OA=(4-k,-7), → → → → → BC=OC-OB=(6,k-5),且AB∥BC, ∴(4-k)(k-5)+6×7=0,

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解得 k=-2 或 k=11. 当 k<0 时可知 k=-2,则过点(2,-1)且斜率为 k=-2 的直线方程为 y+1=-2(x-2),即 2x +y-3=0. → → (2)∵OM· CM=0,∴OM⊥CM, ∴OM 是圆的切线,设 OM 的方程为 y=kx, 由 |2k| y = 3,得 k=± 3,即 =± 3. x 1+k2 向量的共线和数量积在解析几何中可以解决一些平行、共线、垂直、夹角及最值

思维升华

问题,在解题中要充分重视数量积及其几何意义的作用. 跟踪训练 3 (2013· 湖南改编)已知 a,b 是单位向量,a· b=0.若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c| 的最大值为________. 答案 2+1

解析 方法一 ∵a,b 是单位向量,∴|a|=|b|=1. 又 a· b=0,∴a⊥b,∴|a+b|= 2. ∴|c-a-b|2=c2-2c· (a+b)+2a· b+a2+b2=1. ∴c2-2c· (a+b)+1=0. ∴2c· (a+b)=c2+1. ∴c2+1=2|c||a+b|cos θ(θ 是 c 与 a+b 的夹角). ∴c2+1=2 2|c|cos θ≤2 2|c|. ∴c2-2 2|c|+1≤0. ∴ 2-1≤|c|≤ 2+1. ∴|c|的最大值为 2+1. 方法二 建立如图所示的直角坐标系,由题意知 a⊥b,且 a 与 b 是单位 → → → 向量,∴可设OA=a=(1,0),OB=b=(0,1),OC=c=(x,y).

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∴c-a-b=(x-1,y-1), ∵|c-a-b|=1, ∴(x-1)2+(y-1)2=1, 即点 C(x,y)的轨迹是以 M(1,1)为圆心,1 为半径的圆. 而|c|= x2+y2,

∴|c|的最大值为|OM|+1, 即|c|max= 2+1.

三审图形抓特点 → → 典例:如图所示,把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若AD=xAB → +yAC,则 x=________,y=________. 审题路线图 图形由一副三角板构成 ↓(注意一副三角板的特点) 令|AB|=1,|AC|=1 ↓(一副三角板的两斜边等长) |DE|=|BC|= 2 ↓(非等腰三角板的特点) |BD|=|DE|sin 60° = 2× 3 6 = 2 2

↓(注意∠ABD=45° +90° =135° ) → → AD在AB上的投影即为 x ↓x=|AB|+|BD|cos 45° =1+ → → ↓AD在AC上的投影即为 y ↓y=|BD|· sin 45° = 6 2 3 × = . 2 2 2 6 2 3 × =1+ 2 2 2

→ → → → → 解析 方法一 结合图形特点,设向量AB,AC为单位向量,由AD=xAB+yAC知,x,y 分别
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→ → → 为AD在AB,AC上的投影.又|BC|=|DE|= 2, 6 → → ∴|BD|=|DE|· sin 60° = . 2 → → ∴AD在AB上的投影 x=1+ 6 6 2 3 cos 45° =1+ × =1+ , 2 2 2 2

6 3 → → AD在AC上的投影 y= sin 45° = . 2 2 → → → → → → 方法二 ∵AD=xAB+yAC,又AD=AB+BD, → → → → ∴AB+BD=xAB+yAC, → → → ∴BD=(x-1)AB+yAC. → → → → → 又AC⊥AB,∴BD· AB=(x-1)AB2. → → → 设|AB|=1,则由题意|DE|=|BC|= 2. 又∠BED=60° , 6 → → → ∴|BD|= .显然BD与AB的夹角为 45° . 2 → → → ∴由BD· AB=(x-1)AB2, 得 6 ×1×cos 45° =(x-1)×12. 2 3 +1. 2

∴x=

3 → → → 同理,在BD=(x-1)AB+yAC两边取数量积可得 y= . 2 答案 1+ 3 2 3 2

温馨提醒 突破本题的关键是, 要抓住图形的特点(图形由一副三角板构成). 根据图形的特点, 利用向量分解的几何意义,求解方便快捷.方法二较方法一略显繁杂.

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方法与技巧 1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数的结合提供了前提,运用 向量的有关知识可以解决某些函数问题. 2.以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类 综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的 一般方法. 失误与防范 1.注意向量夹角和三角形内角的关系,两者并不等价. 2.注意向量共线和两直线平行的关系. 3.利用向量解决解析几何中的平行与垂直,可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况.

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.(2014· 福建)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形 ABCD 所在平面内 → → → → 任意一点,则OA+OB+OC+OD等于( → A.OM → C.3OM 答案 D 解析 因为点 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,所以点 M 是 AC 和 BD 的中点,由平行 → → → → → → → → → → → 四边形法则知OA+OC=2OM,OB+OD=2OM,故OA+OC+OB+OD=4OM. → → → → → 2.平面四边形 ABCD 中,AB+CD=0,(AB-AD)· AC=0,则四边形 ABCD 是( A.矩形 B.梯形
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)

→ B.2OM → D.4OM

)

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C.正方形 答案 D → → → → → → → → → → 解析 AB+CD=0?AB=-CD=DC?四边形 ABCD 是平行四边形, (AB-AD)· AC=DB· AC= → → 0?DB⊥AC,所以平行四边形 ABCD 是菱形. → → → →2 3.在△ABC 中,(BC+BA)· AC=|AC| ,则△ABC 的形状一定是( A.等边三角形 C.直角三角形 答案 C → → → →2 解析 由(BC+BA)· AC=|AC| , → → → → 得AC· (BC+BA-AC)=0, → → → → → → 即AC· (BC+BA+CA)=0,2AC· BA=0, → → ∴AC⊥BA,∴A=90° . → → 又根据已知条件不能得到|AB|=|AC|, 故△ABC 一定是直角三角形. → → 4.已知点 A(-2,0)、B(3,0),动点 P(x,y)满足PA· PB=x2-6,则点 P 的轨迹是( A.圆 C.双曲线 答案 D → → 解析 PA=(-2-x,-y),PB=(3-x,-y), → → ∴PA· PB=(-2-x)(3-x)+y2=x2-6, ∴y2=x. π 5.若函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )在一个周期内的图象如图所示, 2 → → M,N 分别是这段图象的最高点和最低点,且OM· ON=0(O 为坐标原点),则 A 等于( ) B.椭圆 D.抛物线 ) B.等腰三角形 D.等腰直角三角形 ) D.菱形

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π 7 7 7 A. B. π C. π D. π 6 12 6 3 答案 B π 7 解析 由题意知 M( ,A),N( π,-A), 12 12 → → π 7 又OM· ON= × π-A2=0, 12 12 ∴A= 7 π. 12

15 → → 6.已知在△ABC 中,AB=a,AC=b,a· b<0,S△ABC= ,|a|=3,|b|=5,则∠BAC=________. 4 答案 150° → → 解析 ∵AB· AC<0,∴∠BAC 为钝角, 1 15 又 S△ABC= |a||b|sin∠BAC= . 2 4 1 ∴sin∠BAC= ,∴∠BAC=150° . 2 7.已知|a|=2|b|,|b|≠0 且关于 x 的方程 x2+|a|x-a· b=0 有两相等实根,则向量 a 与 b 的夹角 是________. 答案 2π 3

解析 设向量 a 与 b 的夹角为 θ, 由已知可得 Δ=|a|2+4a· b=0, 即 4|b|2+4· 2|b|· |b|cos θ=0, 1 2π ∴cos θ=- ,又∵0≤θ≤π,∴θ= . 2 3 → → 8. 已知在平面直角坐标系中, O(0,0), M(1,1), N(0,1), Q(2, 3), 动点 P(x, y)满足不等式 0≤OP· OM → → → → ≤1,0≤OP· ON≤1,则 z=OQ· OP的最大值为________. 答案 3 → → → 解析 ∵OP=(x,y),OM=(1,1),ON=(0,1), → → → → ∴OP· OM=x+y,OP· ON=y,

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中小学一对一课外辅导专家 ?0≤x+y≤1, 即在? 条件下,求 z=2x+3y 的最大值,由线性规划知识,当 x=0,y=1 时, ?0≤y≤1
zmax=3. 9.已知△ABC 中,∠C 是直角,CA=CB,D 是 CB 的中点,E 是 AB 上一点,且 AE=2EB, 求证:AD⊥CE. 证明 建立如图所示的直角坐标系, 设 A(a,0),则 B(0,a),E(x,y). a ∵D 是 BC 的中点,∴D(0, ). 2 → → 又∵AE=2EB, 即(x-a,y)=2(-x,a-y),

?x-a=-2x, ? a 2 ∴? 解得 x= ,y= a. 3 3 ? ?y=2a-2y,
a a → ∵AD=(0, )-(a,0)=(-a, ), 2 2 → → a 2 OE=CE=( , a), 3 3 a 2 a → → ∴AD· CE=-a× + a× 3 3 2 1 1 =- a2+ a2=0. 3 3 → → ∴AD⊥CE,即 AD⊥CE. π 3π 10.已知 A,B,C 三点的坐标分别为 A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),其中 α∈( , ). 2 2 → → (1)若|AC|=|BC|,求角 α 的值. π → → (2)若AC· BC=-1,求 tan(α+ )的值. 4 → 解 (1)∵AC=(cos α-3,sin α), → BC=(cos α,sin α-3),

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→ ∴|AC|= = ?cos α-3?2+sin2α

10-6cos α, 10-6sin α.

→ |BC|=

→ → 由|AC|=|BC|得 sin α=cos α, π 3π 5 又 α∈( , ),∴α= π. 2 2 4 → → (2)由AC· BC=-1, 得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1, 2 π 2 ∴sin α+cos α= ,∴sin(α+ )= >0. 3 4 3 π 3π 由于 <α< , 2 2 3π π π 7 ∴ <α+ <π,∴cos(α+ )=- . 4 4 4 3 π 14 故 tan(α+ )=- . 4 7 B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟)
?x,x≥y, ?y,x≥y, ? ? 11.(2014· 浙江)记 max{x,y}=? min{x,y}=? 设 a,b 为平面向量,则 ? ? ?y,x<y, ?x,x<y,

(

)

A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|} B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|} C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2 D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2 答案 D 解析 由于|a+b|,|a-b|与|a|,|b|的大小关系与夹角大小有关,故 A,B 错.当 a,b 夹角为锐 角时,|a+b|>|a-b|,此时,|a+b|2>|a|2+|b|2;当 a,b 夹角为钝角时,|a+b|<|a-b|,此时,|a -b|2>|a|2+|b|2;当 a⊥b 时,|a+b|2=|a-b|2=|a|2+|b|2,故选 D.

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1 12.(2013· 浙江)设△ABC,P0 是边 AB 上一定点,满足 P0B= AB,且对于边 AB 上任一点 P, 4 → → → → 恒有PB· PC≥P0B· P0C,则( A.∠ABC=90° C.AB=AC 答案 D 解析 设 BC 中点为 M, → → → → → → ?PB+PC?2 ?PB-PC?2 则PB· PC=? ? -? ? ? 2 ? ? 2 ? 1→ → =PM2- CB2, 4 1→ → → → 同理P0B· P0C=P0M2- CB2, 4 → → → → ∵PB· PC≥P0B· P0C恒成立, → → ∴|PM|≥|P0M|恒成立. 即 P0M⊥AB, 1 取 AB 的中点 N,又 P0B= AB, 4 则 CN⊥AB,∴AC=BC.故选 D. → → → 13.已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m),若∠ABC 为锐角,则实 数 m 的取值范围是________. 3 1 1 答案 (- , )∪( ,+∞) 4 2 2 → → → 解析 由已知得AB=OB-OA=(3,1), → → → AC=OC-OA=(2-m,1-m). → → 若AB∥AC,则有 3(1-m)=2-m, 1 解得 m= . 2 → → 由题设知,BA=(-3,-1),BC=(-1-m,-m). ) B.∠BAC=90° D.AC=BC

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∵∠ABC 为锐角, → → ∴BA· BC=3+3m+m>0, 3 可得 m>- . 4 1 → → 由题意知,当 m= 时,AB∥AC. 2 3 1 1 故当∠ABC 为锐角时,实数 m 的取值范围是(- , )∪( ,+∞). 4 2 2 14.已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90° ,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点, → → 则|PA+3PB|的最小值为________. 答案 5 解析 方法一 以 D 为原点,分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图 所示的平面直角坐标系,设 DC=a,DP=x. ∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x), → → PA=(2,-x),PB=(1,a-x), → → ∴PA+3PB=(5,3a-4x), → → |PA+3PB|2=25+(3a-4x)2≥25, → → ∴|PA+3PB|的最小值为 5. → → 方法二 设DP=xDC(0<x<1). → → ∴PC=(1-x)DC, → → → → → PA=DA-DP=DA-xDC, → → → → 1→ PB=PC+CB=(1-x)DC+ DA. 2 → → 5→ → ∴PA+3PB= DA+(3-4x)DC, 2 25 → 5 → → → → → |PA+3PB|2= DA2+2× ×(3-4x)DA· DC+(3-4x)2· DC2 4 2 → =25+(3-4x)2DC2≥25,
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→ → ∴|PA+3PB|的最小值为 5. 15.在△ABC 中,设内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=(cos A,sin A),向量 n =( 2-sin A,cos A),若|m+n|=2. (1)求内角 A 的大小; (2)若 b=4 2,且 c= 2a,求△ABC 的面积. π 解 (1)|m+n|2=(cos A+ 2-sin A)2+(sin A+cos A)2=4+2 2(cos A-sin A)=4+4cos( + 4 A). π ∵4+4cos( +A)=4, 4 π ∴cos( +A)=0. 4 π π π ∵A∈(0,π),∴ +A= ,A= . 4 2 4 (2)由余弦定理知:a2=b2+c2-2bccos A, π 即 a2=(4 2)2+( 2a)2-2×4 2× 2acos , 4 解得 a=4 2,∴c=8. 1 2 ∴S△ABC= ×4 2×8× =16. 2 2

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