9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

(北师大专版)2014年高考数学(理)一轮复习方案--第4单元-平面向量


本课件是由精确校对的word书稿制作的“逐字编辑”课 件,如需要修改课件,请双击对应内容,进入可编辑状态。 如果有的公式双击后无法进入可编辑状态,请单击选中

此公式,点击右键、“切换域代码”,即可进入编辑状态。
修改后再点击右键、“切换域代码”,即可退出编辑状态。

第四单元

平面向量

第25讲 平面向量的概念及其线性运算 第26讲 平面向量基本定理及坐标表示 第27讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例

单元网络

返回目录

核心导语
一、概念与运算 1.定义——大小与方向,具体解题时要关注向量的 起点与终点. 2.关系——两个向量的共线、平行、相等、相反. 3.特殊向量——单位向量和零向量,特别关注零向 量在解题中的影响. 4.运算——向量的运算法则和运算的几何意义. 二、基本定理 1.线性关系——任意向量的线性表示. 2.坐标表示——直角坐标系下的向量表示,可以将 向量运算转化为实数运算.

返回目录

核心导语
三、数量积和应用 1.数量积——数量积将向量的模、夹角联系起来, 具有明显的几何意义和物理意义. 2.应用——关注向量在三角、平面几何、解析几何 中的应用.

返回目录

使用建议
1.编写意图 本单元内容是高中数学的工具性知识,出现在近几年 高考卷中主要有两个方面:一是平面向量本身的知识的基 础题,难度不大,多以选择题,填空题的形式出现;二是 以向量作为工具,考查其他的知识点的交汇与整合,以解 答题为主. 因此,编写时主要考虑以下几方面:(1)每课时的例 题、习题以巩固基础知识为主,重点是引导学生用向量知 识解决有关长度、夹角、垂直等问题,掌握应用向量知识 解决这类问题的方法;(2)适当配备平面向量综合问题的 “新热点”题型,其形式为向量与其他知识的综合,但严 格控制难度,用于训练学生对各个知识点之间联系的渗透, 构建知识网络,提高综合应用能力.

返回目录

使用建议
2.教学建议 本单元的特点是概念公式较多,有线性运算及坐标运 算、数量积等多种运算,数形结合紧密.平面向量是数形 结合的一种工具,研究向量的有关问题时,要结合图形进 行求解,因此,本单元的内容着重体现其应用性、工具性, 复习中应注意下面几点: (1)课堂教学的例题、习题以基础题和中档题为主,对 理科学生的要求一定要适度,不要拔高;应按照方向和大 小两要素,运用数形结合思想,掌握向量相关运算的法则 与常用技巧;在复习向量的加法、减法、数乘向量、向量 的数量积这四种运算过程中,要让学生特别关注向量运算 与实数运算的不同之处.

返回目录

使用建议
(2)要注意到向量具有代数形式和几何形式的“双重 身份”,向量在几何中应用广泛,备考复习中,要注意向 量的考查层次,分层次进行:一是本单元的基础知识,包 括向量的概念和线性运算,平面向量的基本定理,平面向 量的坐标运算和数量积等,这是基本要求;二是本单元内 的综合,特别是平面向量的坐标表示、线性运算、基本定 理以及数量积的应用,其中向量的数量积是平面向量的核

心内容,也是高考考查的热点;三是向量与其他知识的综
合,即用向量来解决代数、几何中的综合问题.

返回目录

使用建议

3.课时安排 本单元共3讲和一个45分钟滚动基础训练卷,一个单 元能力检测卷,每讲建议1课时完成,45分钟滚动基础训 练卷和单元能力检测建议各1课时完成,共需6课时.

返回目录

双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第25讲 平面向量的概念及其 线性运算

返回目录

考试大纲
1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念,理 解两个向量相等的含义. 2.理解向量的几何意义. 3.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意 义. 4.掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共 线的含义. 5.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

返回目录

第25讲
双 向 固 基 础

平面向量的概念及其线性运算

—— 知 识 梳 理 —— 一、向量的有关概念及表示
名称
向量

定义
大小 在平面中,既有________又有 方向 ________的量

表示
用a,b,c,?, 或,,?表示

大小 向量 向量a的________,也就是表示向量 长度 的模 a的有向线段的________(或称模)

→ |a| |AB| ________或________

零向 量

0 长度为________的向量

0 用________表示
返回目录

第25讲
双 向 固 基 础

平面向量的概念及其线性运算
(续表)

名称 单位 向量 平行 向量 相等 向量 相反 向量

定义 1 长度等于________个单位的向量 方向相同或相反的非零向量
相同 长度 ________相等且方向________的 向量 长度 相反 ________相等,方向________的 向量

表示 1 用e表示,|e|=________ a∥ b a=b 向量a的相反向量是 ________ -a

任意的 说明:零向量的方向是________,规定: 平行 零向量与任一向量________.
返回目录

第25讲
双 向 固 基 础

平面向量的概念及其线性运算

二、向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律

加法

求两个向量 和 ________的运算

三角形 ________法则

(1)加法交换律: b+a a+b=_______ (2)加法结合律: (a+b)+c= a+(b+c) _______

平行四边形 ___________法则
返回目录

第25讲
双 向 固 基 础

平面向量的概念及其线性运算
(续表)

减去一个向量相 减法 当于加上这个向 相反向量 量的__________ 三角形 ________法则 a+(-b) a-b=________

返回目录

第25讲
双 向 固 基 础

平面向量的概念及其线性运算
(续表)

|λ ||a| (1)|λa|=________ (2)当λ>0时, 实数λ与向量a的积是一个 λa与a的方向 向量 ________,这种运算叫做 数 相同 ________;当λ<0 数乘 乘 向量的________,记作 时,λa与a的方向 ________ λa 相反 ________;当λ=0 时,λa=________ 0

(1)对向量加法的 分配律: λ(a+b)=

λa+λb ________ (2)对实数加法的 分配律: (λ1+λ2)a=
λ1a+λ2a ________

返回目录

第25讲
双 向 固 基 础

平面向量的概念及其线性运算

三、向量的共线定理

向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使
________. b=λa

返回目录

第25讲
双 向 固 基 础

平面向量的概念及其线性运算

—— 疑 难 辨 析 ——
1.零向量的问题 (1)0 的模为 0,没有方向.( ) (2)零向量与任意向量平行,零向量与任意向量垂 直.( )

[答案] (1)? (2)√

返回目录

第25讲
双 向 固 基 础

平面向量的概念及其线性运算

[解析] (1)0 是特殊的向量,大小为 0,方向是不确 定的、任意的; (2)只要根据共线向量定理、两向量垂直的充要条件 即可得出.

返回目录

第25讲
双 向 固 基 础

平面向量的概念及其线性运算

2.共线向量的判断 (1)若 a∥b,b∥c,则 a∥c.( ) (2)非零向量 a 和 λa 共线,方向相同.( ) (3)A,B,C 三点共线的充要条件是对不在直线 AB → → 上 的任 意一 点 O, 存在实 数 t 使 得OC = tOA + (1 - → t)OB.( )

[答案] (1)? (2)? (3)√

返回目录

第25讲
双 向 固 基 础

平面向量的概念及其线性运算

[解析] (1)若 b=0,a,c 可能不共线;(2)λ>0 时,λa 和 a 同向;(3)根据共线向量定理三点 A,B,C 共线性的 → → 即OC → → 充要条件是, 存在实数 t 使得BC=tBA, → -OB=t(OA → → → → -OB),即OC=tOA+(1-t)OB.

返回目录

第25讲
双 向 固 基 础

平面向量的概念及其线性运算

3.平面向量线性运算的应用 → = 1 ( AC + → (1)△ABC 中 , D 是 BC 中 点 , 则 AD 2 → AB).( ) → → → (2)O 为△ABC 重心的充要条件是OA +OB +OC = 0.( ) → (3)四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件是AB+ → CD=0.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)?

返回目录

第25讲
双 向 固 基 础

平面向量的概念及其线性运算

→ → → → → → → [解析] (1) AD=AB+BD,AD=AC+CD,2AD= → → → → (AB+AC)+(BD+CD), → +CD=0,∴AD=1(AB+AC). → → → ∵BD → 2 → (2)取 BC 中点 D, 为△ABC 重心的充要条件是AO= O 2→ 2 1 → → 1 → → 1 → → → AD = ? (AB+AC )= (AB +AC)= (OB -OA +OC - 3 3 2 3 3 → → → → OA)整理即得OA+OB+OC=0. → → (3)当四边形 ABCD 为平行四边形有AB+CD=0,反 之不真,此时可能 A,B,C,D 四点共线.

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算
考点 考频
选择(1) 解答(1)

示例(难度)
2012年陕西T19(2)(A), 2012年广东T8(C)

点 面 讲 考 向

1.平面向量有关的概念

2.平面向量的线性运算
3.向量共线定理

选择(1)
选择(2) 解答(1)

2012年广东T3(A)
2012年浙江T5(B), 2012年陕西T19(B) 2012年辽宁T3(A), 2012年天津T7(C)

4.向量线性运算

选择(2)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,考 频分析2012年课标地区真题卷情况.
返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

?

探究点一

平面向量有关的概念问题

点 面 讲 考 向

例 1 给出下列四个命题: ①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; ②若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b; → → ③若AB=DC,则 ABCD 为平行四边形; ④若 a∥b,b∥c,则 a∥c. 其中不正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

[思考流程] 分析:结合平面向量的相关概念;推理: 考查共线向量、相等向量、零向量的概念;结论:得出命 题的真假,找出不正确的个数.
点 面 讲 考 向

[答案] D

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

点 面 讲 考 向

[解析] 两个向量起点相同,终点相同,则两向量相 等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点,①错; |a|=|b|,但 a,b 方向不确定,所以 a,b 不一定相等或相 → → 反,故②不正确;因为AB=DC,A,B,C,D 可能在同一 直线上,所以③错;零向量与任一非零向量都平行,当 b =0 时,a 与 c 不一定平行,④不正确.

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

点 面 讲 考 向

[点评] 解决这类与平面向量的概念有关的命题真假 的判定问题,其关键在于透彻理解平面向量的概念,还应 注意零向量的特殊性以及两个向量相等必须满足:(1)模 相等;(2)方向相同.

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

点 面 讲 考 向

归纳总结 对于向量的概念应注意以下几条: ①向量的两个特征:有大小,有方向,向量既可以用有向 线段表示,字母表示,也可以用坐标表示. ②相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量 一定是平行向量,而平行向量则未必是相等向量. ③向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但 向量的模是非负实数,故可以比较大小. ④向量是自由向量,所以平行向量就是共线向量,二者是 等价的.

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

变式题 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则 a=b;
点 面 讲 考 向

→ → ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB=DC是四 边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; ③若 a=b,b=c,则 a=c; ④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b. 其中正确命题的序号是________.

[答案] ②③

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

点 面 讲 考 向

[解析] ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方 向不一定相同. → → → → → → ②正确.∵AB=DC,∴|AB|=|DC|且AB∥DC, 又∵A,B,C,D 是不共线的四点, ∴四边形 ABCD 为平行四边形; 反之,若四边形 ABCD 为平行四边形, → → → → → → 则AB∥DC且|AB|=|DC|,因此AB=DC. ③正确.∵a=b,∴|a|=|b|且方向相同. 又 b=c,∴|b|=|c|且方向相同, ∴|a|=|c|且方向相同,故 a=c. ④不正确.当 a∥b 且方向相反时,不能得到 a=b, 故|a|=|b|且 a∥b 不是 a=b 的充要条件,而是必要不充分 条件.
返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

点 面 讲 考 向

2 2 (2)①取 a=1,则 r= 5,sinα = = 5;再取 a= 5 5 2 2 -1,r= 5,sinα =- =- 5,故①错误.②取α = 5 5 π π π 3 2π + ,β= ,可知 tanα =tan = ,tanβ = 3,故 6 3 6 3 θ tanα >tanβ 不成立, ②错误. ③∵θ 是第二象限角, ∴sin 2 θ 1 7 cos = sinθ >0,∴③正确.④由 sinx+cosx=- <-1 2 2 5 可知 x 为第三象限角,故 tanx>0,④不正确.

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

?

探究点二
例2

平面向量的线性运算
(1)[2012·石家庄模拟]

点 面 讲 考 向

图 4-25-1

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

如图 4-25-1,一直线 EF 与平行四边形 ABCD 的两边 → AB,AD 分别交于 E,F 两点,且交其对角线于 K,其中AE=
点 面 讲 考 向

1→ → 1 → → → AB,AF= AD,AK=λ AC,则 λ 的值为( 3 2 1 1 1 1 A. B. C. D. 5 4 3 2 → =0,|a|=1,|b|=2,则AD=( 1 1 2 2 A. a- b B. a- b 3 3 3 3 3 3 4 4 C. a- b D. a- b 5 5 5 5

)

(2)△ABC 中, 边的高为 CD, → =a,→ =b, b AB 若CB CA a? )

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:取 AC 中点 G 得比例关系;推 理:求出 AK 与 AG 的关系;结论:得出 λ 值. (2)分析:在△ABC 中计算 AB,AD 的长度;推理:通 AD → → → 过 的比值得出AD与AB的关系;结论:得到向量AD的表 AB 达式.
[答案] (1)A (2)D

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

点 面 讲 考 向

[解析] (1)本题主要考查向量的线性运算.属于 基础知识、基本运算的考查. 过点 F 作 FG∥CD 交 AC 于 G,则 G 是 AC 的中点, 1 AK 3 2 → =2AG=2?1AC=1AC,则 λ 的值 → → → 且 = = ,所以AK KG 1 3 5 5 2 5 2 1 为 . 5 (2)在直角三角形 ABC 中,CB=1,CA=2,AB= 5, 2 4 4 2 2 则 CD= ,所以 AD= CA -CD = 4- = ,所 5 5 5 AD 4 → =4AB=4(a-b)=4a-4b,选 D. → 以 = ,即AD AB 5 5 5 5 5
返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

[点评] 两个几何结论的向量表示:

点 面 讲 考 向

→ (1)若 D 为线段 AB 的中点,O 为平面内一点,则OD 1 → → = (OA+OB)(如图). 2 → =1(PA+ → (2)已知平面内不共线的三点 A,B,C,PG 3 → → → → → PB+PC)?G 为△ABC 的重心,特别地,PA+PB+PC= 0?P 为△ABC 的重心.

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①用已知向量来表示另外一些向量是用 向量解题的基本功,除利用向量的加、减法、数乘向量外, 还应充分利用平面几何的一些定理; ②在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运 用平行四边形法则、三角形法则,利用三角形中位线、相 似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转 化为与已知向量有直接关系的向量求解.

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

→ → → → 变式题 (1)已知|OA|=1,|OB|= 3,OA?OB=0,点 → → → C 在∠AOB 内,且∠AOC=30°,设OC=mOA+nOB(m,
点 面 讲 考 向

m n∈R),则 等于( ) n 1 3 A. B.3 C. D. 3 3 3

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

→ 1→ → (2)如图 4-25-2 所示,在△ABC 中,BD= DC,AE 2 → → → → =3ED,若AB=a,AC=b,则BE等于(
点 面 讲 考 向

)

图 4-25-2 1 1 1 1 A. a+ b B.- a+ b 3 3 2 4 1 1 1 1 C. a+ b D.- a+ b 2 4 3 3

[答案] (1)B (2)B
返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算
[解析] (1)方法一:如图所示:

点 面 讲 考 向

→ → → OC=OM+ON, → → 设|ON|=x,则|OM|= 3x. → → OA OB → OC= 3x? +x· →| → |OA |OB| → + 3xOB. → = 3xOA 3 m 3x ∴ = =3. n 3 x 3
返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算
方法二:如图所示,建立直角坐标系. → → 则OA=(1,0),OB=(0, 3),

点 面 讲 考 向

→ → → ∴OC=mOA+nOB=(m, 3n), 3n 3 ∴tan30°= = , m 3 m ∴ =3. n

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算
→ =3ED,∴ED=1AD. → → → (2)∵AE 4 → 1→ → 1→ ∵BD= DC,∴BD= BC, 2 3 → → → → 1→ → 1 → → ∴BE=BD-ED=BD- AD=BD- (AB+BD) 4 4 3 → 1→ 1 → 1→ = BD- AB= BC- AB 4 4 4 4 1→ 1→ 1 1 = AC- AB= b- a. 4 2 4 2

点 面 讲 考 向

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

?

探究点三

向量共线定理的应用

点 面 讲 考 向

例 3 已知向量 a, c 都不平行, b, 且λ 1a+λ2b+λ3c =0(λ1,λ2,λ3∈R),则( ) A.λ 1,λ2,λ3 一定全为 0 B.λ 1,λ2,λ3 中至少有一个为 0 C.λ 1,λ2,λ3 全不为 0 D.λ 1,λ2,λ3 的值只有一组

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

[思考流程] 分析:按照 λ1,λ2,λ3 几个为 0 分类;推 理: 若一个为零另两个共线或两个为零则另一个向量是零 向量;结论:得出和为零向量.
点 面 讲 考 向

[答案] C

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

点 面 讲 考 向

→ → → [解析] 在△ABC 中,设AB=a,BC=b,CA=c, 则 a,b,c 都不平行,且 a+b+c=0,排除 A,B.且有 2a+2b+2c=0,排除 D.

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

点 面 讲 考 向

[点评] 证明三点共线问题,可用向量共线来解决, 但要注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量 共线且有公共点时,才能得出三点共线;解决此类问题 的关键是利用向量共线定理得出 b=λa,即要证明 A,B, → → C 三点共线,只需证明AC=λAB,再利用对应系数相等, 列出方程组,解出系数.

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

归纳总结 向量共线的充要条件常用来解决三点共
点 面 讲 考 向

线和两直线平行问题.记住常用结论:A,B,C 三点共 线?存在实数 λ,μ,对任意一点 O(O 不在直线 BC 上), → → → OA=λOB+μOC(λ+μ=1).

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

变式题

(1)[2012·天津卷] 已知△ABC 为等边三角

→ → AQ → λ∈R. 形, AB=2, 设点 P, 满足AP=λAB,→ =(1-λ)AC, Q
点 面 讲 考 向

→ ?CP=-3,则 λ=( 若BQ → ) 2 1± 2 1 A. B. 2 2 1± 10 -3± 2 2 C. D. 2 2 (2)[2012·四川卷] 设 a,b 都是非零向量,下列四个 a b 条件中,使 = 成立的充分条件是( ) |a| |b| A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b 且|a|=|b|
返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

[答案] (1)A (2)C
[解析] (1)本题考查平面向量基本定理及向量的 数量积的运算,考查数据处理能力,中档题. → → → → (AP → BQ?CP=(AQ-AB)·→ -AC) → → (λAB → =[(1-λ)AC-AB]· → -AC) ? → → ? → → =-(1-λ)AC2-λAB2+??(1-λ)λ+1??AB?AC 3 1 =-2λ2+2λ-2=- ,解之得 λ= . 2 2 a b (2)要使得 = ,在 a,b 都为非零向量的前提下, |a| |b| 必须且只需 a,b 同向即可,对照四个选项,只有 C 满足 这一条件.

点 面 讲 考 向

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

?

探究点四

向量线性运算的简单应用

点 面 讲 考 向

→ =1NC, → 例 1 (1)如图 4-25-3,在△ABC 中,AN 3 → =mAB+ 2 AC,则实数 m 的值 → → P 是 BN 上的一点,若AP 11 为________.

图 4-25-3
返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

(2)在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和
点 面 讲 考 向

→ → → BC 的中点,若AC=λAE+μAF,其中 λ,μ∈R,则 λ+μ =________.

返回目录

第21讲

两角和与差的正玄、余弦和正切公式

→ AC → [思考流程] (1)分析: 依据点的位置用AB,→ 表示AP; → 推理:利用AP向量相等列出等式;结论:得出 m 值.
点 面 讲 考 向

→ → (2)分析:依据各个点的特殊位置;推理:用AE,AF表 → → → 示AC,AC=AC;结论:得出 λ,μ 的值.

3 [答案] (1) 11

4 (2) 3

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

点 面 讲 考 向

→ → → [解析] (1)如图,因为AP=AB+BP → → → → → =AB+kBN=AB+k(AN-AB) → +k1AC-AB → → =AB 4 → +k AC, → =(1-k)AB 4 k 2 所以 1-k=m,且 = , 4 11 8 3 解得 k= ,m= . 11 11

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

(2)如图,∵四边形 ABCD 是平行四边形,且 E,F 分 别为 CD,BC 的中点, → → → ∴AC=AD+AB
点 面 讲 考 向

→ → → → =(AE-DE)+(AF-BF) → +AF)-1(DC+BC) → → =(AE → 2 → +AF)-1AC, → =(AE → 2 → 2 → → ∴AC= (AE+AF), 3 2 4 ∴λ =μ= ,∴λ+μ= . 3 3

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

点 面 讲 考 向

[点评] (1)将同一个向量用两种方法线性表示后,利 用向量相等得出线性系数的关系. (2)利用向量共线定理解决三点共线问题时有两种方 → → 法,一是在三点所确定的向量中任选两个,如AB,AC,再 → → 看这两个向量能否满足AB=λAC;二是运用一个常见的结 → → → 且 论: =λOA+μOB, λ+μ =1, A, C 三点共线. OC 则 B, 它 的证明方法是运用向量共线定理和线性运算知识,结论的 结构特征非常明显,容易记忆.

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

点 面 讲 考 向

归纳总结 平面向量的线性运算包括向量的加法、向 量的减法及实数与向量的积,在解决这类问题时,经常出 现的错误有:忽视向量的终点与起点,导致加法与减法混 淆;错用数乘公式.对此,要注意三角形法则和平行四边 形法则适用的条件,运用平行四边形法则时两个向量的起 点必须重合;运用三角形法则时两个向量必须首尾相接, 否则就要把向量进行平移,使之符合条件.

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

点 面 讲 考 向

变式题设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合, 对于映 射 f: V→V, a∈V, a 的象为 f(a).若映射 f:V→V 满足: 记 对所有 a, b∈V 及任意实数 λ, 都有 f(λa+μb)=λf(a)+μ μ f(b),则 f 称为平面 M 上的线性变换.现有下列命题: ①设 f 是平面 M 上的线性变换,a,b∈V,则 f(a+b) =f(a)+f(b); ②若 e 是平面 M 上的单位向量,对 a∈V,设 f(a)=a +e,则 f 是平面 M 上的线性变换; ③对 a∈V,设 f(a)=-a,则 f 是平面 M 上的线性变 换; ④设 f 是平面 M 上的线性变换,a∈V,则对任意实数 k 均有 f(ka)=kf(a). 其中的真命题是________(写出所有真命题的编号).
返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

[答案] ①③④
[解析] ①当 λ=μ=1 时,f(a+b)=f(a)+f(b)成立, ②∵f(a)=a+e,∴f(λa+μb)=λa+μb+e. λ f(a)+μf(b)=λ(a+e)+μ(b+e)=λa+μb+(λ+μ)e. ∵f(λa+μb)≠λf(a)+μf(b). ∴f 不是平面 M 上的线性变换. ③∵f(a)=-a,∴f(λa+μb)=-λa-μb, λ f(a)=-λa,μf(b)=-μb, ∴f(λa+μb)=λf(a)+μf(b). ∴f 是平面 M 上的线性变换. ④∵f 是 M 上的线性变换, ∴当 λ=k, μ=0 时, f(λa 有 +μb)=f(ka)=kf(a)+0f(b)=kf(a).

点 面 讲 考 向

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

易错究源

12

解题时忽视零向量的特殊性致误

例 判断下列命题的正误: 若 a∥b,b∥c,则 a∥c.
[错解] 因为 a 与 b 共线,b 与 c 共线,所以 a 与 c 共线,命题正确.
多 元 提 能 力

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

[错因] 若 b 是零向量,则命题错误. [正解] 若 b 不是零向量,则共线可以传递,命题正 确;若 b 是零向量,则 a 与 c 不一定共线. 所以,命题是错误的.

多 元 提 能 力

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

多 元 提 能 力

自我检评 (1)下列命题正确的个数为( ) ①若 a∥b,则存在唯一实数 λ,使 b=λa 成立; ②设 e1,e2 是平面内的两个已知向量,则对平面内的 任意向量 a,存在唯一的一组实数 x,y,使 a=xe1+ye2 成 立; ③若向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,则表示 a,b,c 的三个有向线段构成三角形. A.0 B.1 C.2 D.3

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

多 元 提 能 力

(2)设 a,b 为平面向量,若存在不全为零的实数λ 1, λ2 使得 λ1a+λ2b=0,则称 a,b 线性相关,下面的命题中, a,b,c 均为已知平面 M 上的向量. ①若 a=2b,则 a,b 线性相关; ②若 a,b 为非零向量,且 a⊥b,则 a,b 线性相关; ③若 a,b 线性相关,b,c 线性相关,则 a,c 线性相 关; ④向量 a,b 线性相关的充要条件是 a,b 共线. 上述命题中正确的是________(写出所有正确命题的 编号).

[答案] (1)A (2)①④

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

[解析] ①当 a=0,b≠0 时,b=λa 不成立;②忽略了 e1,e2 不共线的条件,错误;③向量 a,b,c 满足 a+b+c= 0,a,b,c 可以共线,错误,所以选 A. (2)②若 a⊥b,则 a,b 不线性相关,命题错误;③b 为零 向量时,命题错误.

多 元 提 能 力

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

【备选理由】 例1是继续巩固向量的概念和线性运算,是对探究点 一的补充;例2是向量共线定理的应用,例3、例4是关于 三点共线的问题,是对探究点四的补充.

教 师 备 用 题
返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

例 1 如图所示,在平行四边形 ABCD 中,下列结论 中正确的是________.

→ → → → → ①AB=DC;②AD+AB=AC; → → → → → ③AB-AD=BD;④AD+CB=0.

教 师 备 用 题
返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

[答案] ①②④

→ [解析] ①显然正确; 由平行四边形法则知②正确; AB → → → → → → -AD=DB,故③不正确;④中AD+CB=AD+DA=0.

教 师 备 用 题
返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

例 2 如图,△ABC 中,O 是 BC 中点,过点 O 的直线 → → MN 分别交直线 AB,AC 于不同的两点 M,N,若AB=mAM, → → AC=nAN,求 m+n.

教 师 备 用 题
返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

解:连接 AO, → → → ∵M,O,N 三点共线,∴设AO=λ AM+(1-λ)AN, → → → → 又∵AB=mAM,AC=nAN, → =λ AB+1-λAC, → → ∴AO m n → =1AB+1AC, → → 根据条件易知AO 2 2 λ 1 1-λ 1 ∴ = , = ,∴m=2λ,n=2-2λ,∴m+n= m 2 n 2 2.
教 师 备 用 题
返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

→ =1BC, =1AC. → AF → → 例 3 如图所示, 在?ABCD 中, 已知AE 3 4 求证:B,F,E 三点共线.

教 师 备 用 题
返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

→ → → → → 证明:方法一:设BA=a,BC=b,则BE=BA+AE=a 1 + b. 3 → =b-a,∴AF=1AC=1(b-a). → → ∵AC 4 4 → =BA+AF=a+1(b-a)=a+1b-1a ∴BF → → 4 4 4 3 1 3? 1 ? = a+ b= ?a+3b?. ? 4 4 4? ? ? → 3→ ∴BF= BE. 4 → → ∴BF与BE共线,又它们有公共点 B, ∴B,F,E 三点共线.

教 师 备 用 题

返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

→ =1AC=1(AB+AD)=1(AB+3AE), → → → → → 方法二:∵AF 4 4 4 → =1AB+3AE. → → ∴AF 4 4 1 3 ∵ + =1, 4 4 ∴B,F,E 三点共线.

教 师 备 用 题
返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

→ → → 例 4 求证:若OC=λOA+μOB,且 λ+μ=1,则 A,B, → → → C 共线;反之,若向量OA,OB,OC的终点 A,B,C 共线, → → → 则存在实数 λ,μ,且 λ+μ=1,使得OC=λOA+μOB.

教 师 备 用 题
返回目录

第25讲

平面向量的概念及其线性运算

→ → → 证明:∵OC=λOA+μOB,λ+μ=1, → → → 则 μ=1-λ,OC=λOA+(1-λ)OB, → → → → 从而有OC-OB=λ(OA-OB), → → 即BC=λBA. → → → ∴A,B,C 共线,即向量OA,OB,OC的终点在一条 直线上. → → → → 反之:若OA,OB,OC的终点 A,B,C 共线,则AB与 → → → BC平行,故存在实数 m,使得BC=mAB. → → → → → → 又BC=OC-OB,AB=OB-OA,
教 师 备 用 题

→ → → → 故OC-OB=m(OB-OA), → → → ∴OC=-mOA+(1+m)OB, 令 λ=-m,μ=1+m,则存在实数 λ,μ,且 λ+μ=1, → → → 使得OC=λ OA+μOB.
返回目录

双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第26讲 平面向量基本定理及 坐标表示

返回目录

考试大纲
1.了解平面向量的基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运 算. 4.理解用坐标表示平面向量共线的条件.

返回目录

第26讲
双 向 固 基 础

平面向量基本定理及坐标表示

—— 知 识 梳 理 —— 一、平面向量的基本定理 如果e1 ,e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这 一 平 面 内 的 任 一 向 量 a , ________ 一 对 实 数 λ1 , λ2 , 使 有且只有 a=λ1e1+λ2e2 _______________.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这 基底 一平面内所有向量的一组________. 注意:e1 ,e2 是同一平面内的一组基底,如果有且只有 一对实数(λ1,λ2),使a=λ1e1+λ2e2,则a,e1,e2共面.

返回目录

第26讲
双 向 固 基 础

平面向量基本定理及坐标表示

二、两个向量的夹角 → 1.定义:已知两个________向量 a 与 b,作OA=a, 非零 → OB=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π )叫做向量 a 与 b 的夹角.

返回目录

第26讲
双 向 固 基 础

平面向量基本定理及坐标表示

2.a与b的几种特殊的位置关系如下表:
位置 关系 夹角 θ 同向 反向 垂直

0° ________

180° ________

90° ________

图形

返回目录

第26讲
双 向 固 基 础

平面向量基本定理及坐标表示

三、平面向量的正交分解 互相垂直 把一个向量分解为两个________ 的向量,叫做把向 量正交分解.

返回目录

第26讲
双 向 固 基 础

平面向量基本定理及坐标表示

四、平面向量的坐标表示 1.平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别 相同 取与x轴、y轴方向________的两个________向量i,j作为 单位 基底.由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量a 可表示成a=xi+yj,由于a与数对(x,y)是一一对应的,因 (x,y) a=(x,y) 此把________叫做向量a的坐标,记作________,其中x叫 做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标. 注意:两个向量相等的充要条件是这两个向量在 y轴 ________与________上的坐标分别相等. x轴

返回目录

第26讲
双 向 固 基 础

平面向量基本定理及坐标表示

2.平面向量的坐标运算
向 量

a

b

a+b

a-b

λa

(x1+x2,y1+y ) (x1-x2,y1-y2) 坐 (x1,y1) (x2,y2) ____________2 _____________ 标

(λx1,λy1) ________

返回目录

第26讲
双 向 固 基 础

平面向量基本定理及坐标表示

3.向量的坐标求法 (x2-x1,y2-y1) → 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB=_____________,即 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的________坐 终点 标减去________的坐标. 始点 注意:向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终 点的具体位置无关,只与其相对位置有关系. 4.向量平行的充要条件的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中a≠0,则 4.x1y2-x2y1=0 向量a与b共线?b=λa?_______________________.

返回目录

第26讲
双 向 固 基 础

平面向量基本定理及坐标表示

—— 疑 难 辨 析 ——
1.向量的线性表示 (1)平面内任意两个向量都可以作为一组基底. ( ) (2)a,b 不共线,若 λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则 λ1=λ2, μ1=μ2.( )

[答案] (1)? (2)√

返回目录

第26讲
双 向 固 基 础

平面向量基本定理及坐标表示

[解析] (1)平面内任意两个不共线的向量可以作为 一组基底;(2)根据平面向量基本定理,用一组基底表示 一个向量,基底的系数是唯一的.

返回目录

第26讲
双 向 固 基 础

平面向量基本定理及坐标表示

2.向量的坐标运算 → (1)[2012· 广东卷改编] 若向量BA=(2, CA=(4, 3),→ → 7),则BC=(-2,-4).( ) (2)已知向量 a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),则 c =-a+2b.( ) ? 1 ? ? (3)a=(1,2),b=?-2,-1?,则 a,b 能作为平面向 ? ? ? 量的一组基底.( )

[答案] (1)√ (2)√ (3)?

返回目录

第26讲
双 向 固 基 础

平面向量基本定理及坐标表示

→ → → [解析] (1) BC=BA-CA=(-2,-4). (2)设 c=λa+μb,则(3,4)=λ (1,2)+μ(2,3)=(λ +2μ,2λ+3μ), ?λ +2μ=3, ?λ =-1, ? ? ? ∴ 解得? ?2λ+3μ=4, ?μ=2. ? ? 1 (3)由于 1?(-1)-2?- =0,即 a,b 共线,所以 2 不能作为平面向量的一组基底.

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示
考点 考频 示例(难度)

1.平面向量基本定理 的应用
点 面 讲 考 向 2.平面向量的坐标运 算 3.平面向量共线的坐 标表示的应用 4.平面向量坐标运算 的简单应用

0
选择(2) 解答(2) 0 选择(1) 填空(1) 解答(2) 2012年安徽T8(B), 2012年江苏T9(B), 2012年江西T20(B) 2012年安徽T8(B), 2012年江西T20(A)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,考 频分析2012年课标地区真题卷情况.
返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

?

探究点一
例 1

平面向量基本定理的应用

点 面 讲 考 向

(1)[2012·山西五校联考] 在平行四边形 → =1AB, =1AD, 与 BF 相交于 G 点. → AF → → CE ABCD 中, AE 若 3 4 → → → AB=a,AD=b,则AG=( 2 1 2 3 A. a+ b B. a+ b 7 7 7 7 3 1 4 2 C. a+ b D. a+ b 7 7 7 7 )

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

(2)[2012· 大连模拟] 在△ABC 中, 过中线 AD 的中 → 点 E 任作一条直线分别交 AB,AC 于 M,N 两点,若AM
点 面 讲 考 向

→ → → =xAB,AN=yAC,则 4x+y 的最小值为( 9 9 5 A. B. C. 4 5 3 7 D. 4

)

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

[思考流程] (1)分析:依据两组三点共线各自性质; → → 推理:分别求出向量AG,令其相等;结论:得出向量AG;
点 面 讲 考 向

(2)分析:依据两组三点共线各自性质;推理:分别求 → 出向量AE并令其相等得到 x,y;结论:得到 4x+y 的最小 值.

[答案] (1)C (2)A

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

点 面 讲 考 向

[解析] (1)∵B,G,F 三点共线, → =λAF+(1-λ)AB=1λ b+(1-λ)a. → → ∴AG 4 ∵E,G,C 三点共线, → =μAE+(1-μ)AC=1μ a+(1-μ)(a+b). → → ∴AG 3 ?λ ? 4 =1-μ, 由平面向量基本定理得,? ?1-λ=1-2μ, 3 ? 4 ? ?λ =7, → =3a+1b. ∴? ∴AG 7 7 6 ?μ= , ? 7
返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

点 面 讲 考 向

→ =1(AB+AC),AE=1AD, → → → → (2)如图所示,由题意知AD 2 2 → → → → → 又 M,E,N 三点共线,NE=λNM,AE-AN=λ(AM- → AN), → → → 所以AE=λAM+(1-λ)AN(其中 0<λ<1),

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

点 面 讲 考 向

→ → → → 又AM=xAB,AN=yAC, 1 → → → → 所以 (AB+AC)=λxAB+(1-λ)yAC, 4 ?4λ x=1, ? 1 1 ? 因此有 解得 x= , y= , ?4(1-λ)y=1, 4λ 4(1-λ) ? 1 令 =t,则 t>1, λ 1 1 t 则 4x+y= + =t+ λ 4(1-λ) 4(t-1) 1 5 9 =(t-1)+ + ≥ , 4(t-1) 4 4 3 2 当且仅当 t= ,即 λ= 时取得等号. 2 3
返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

点 面 讲 考 向

[点评] 解决此类问题的关键在于以一组不共线的向 量为基底,通过向量的加、减、数乘,把其他相关的向量 用这一组基底表示出来,再利用向量相等建立方程组,从 而解出相应的值.通过下面变式题可以发现,只要是平面 内不共线的两个向量都可以作为基底,平面内的向量都可 以用这一组基底表示.

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

点 面 讲 考 向

归纳总结 平面向量基本定理的作用. ①平面向量基本定理是建立向量坐标的基础,它保证了向 量与坐标是一一对应的,即a与(x,y)一一对应,向量 → OA 一一对应点A(x,y). ②用向量证明几何问题的一般思路:先选择一组基底,并 运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式, 再通过向量的运算来证明.

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

变式题
点 面 讲 考 向

→ OB [2012· 黄冈质检] 两个非零向量OA,→ 不

→ OQ → 共线, → =mOA,→ =nOB(m, 且OP n>0), 直线 PQ 过△OAB 的重心,则 m,n 满足( ) 3 1 A.m+n= B.m=1,n= 2 2 1 1 C. + =3 D.以上全不对 m n

[答案] C

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

→ → → → [解析] 设重心为点 G,且PG=tPQ,所以OG=OP+ → → → → → → → PG =mOA +tPQ =mOA +t(nOB -mOA )=m(1-t)OA +
点 面 讲 考 向

→ → ntOB.设 OG 与 AB 交于点 D, 则点 D 为 AB 的中点, 所以OG 1 ? ?m(1-t)=3, 2→ 1 → → 1 1 = OD= (OA+OB).故? 消去 t 得 + = 3 3 m n ?nt=1, 3 ? 3.故选 C.

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

?

探究点二

平面向量的坐标运算

点 面 讲 考 向

例 2 (1)[2013·郑州模拟] 已知向量 a=(1,2),b =(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数,(a+λb)∥c,则 λ=( ) 1 1 A. B. C.1 D.2 4 2 (2)[2012· 重庆卷] 设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1, y),c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c,则|a+b|=( ) A. 5 B. 10 C.2 5 D.10

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:依据 a+λb 的坐标表示;推理: 利用平行向量坐标的关系列出关于 λ 的方程;结论:得出 λ 的值. (2)分析:依据向量的位置关系;推理:列出向量的坐 标关系得出 a,b 向量坐标;结论:得出向量 a+b 的模.
[答案] (1)B (2)B

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

点 面 讲 考 向

(1)a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2), 1 由(a+λb)∥c 得,4(1+λ)-3?2=0,解得 λ= .故选 B. 2 (2)因为 a⊥c, 所以 a· c=0, 2x-4=0, 即 解得 x=2, 由 b∥c,得-4=2y,解得 y=-2,所以 a=(2,1),b = (1 , - 2) , 所 以 a + b = (3 , - 1) , 所 以 |a + b| = 32+(-1)2= 10.

[解析]

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

点 面 讲 考 向

[点评] 利用向量的坐标运算解题,主要是利用加、 减、数乘运算法则进行,然后根据“相等的向量坐标相同” 这一原则,通过方程(组)进行求解.若已知有向线段两端 点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方 程思想的运用及正确使用运算法则.利用向量的坐标运算, 建立了向量与实数的联系,构造函数和方程,利用函数与 方程的思想解题.

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

点 面 讲 考 向

归纳总结 向量的坐标表示把点与数联系起来,实 际上是向量的代数表示,即引入平面向量的坐标可以使向 量运算代数化,成为数与形结合的载体,可以使很多几何 问题的解答转化为我们熟知的数量运算.

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

点 面 讲 考 向

变式题 (1)已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a+3b=( ) A.(-2,-4) B.(-3,-6) C.(-4,-8) D.(-5,-10) (2)[2012· 黄冈中学模拟] 已知两点 A(1,0),B(1, 3), O 为坐标原点, C 在第二象限, 点 且∠AOC=120°, → 设OC → → =-2OA+λ OB(λ∈R),则λ 等于( A.-1 B.2 C.1 D.-2
[答案] (1)C (2)C

)

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

点 面 讲 考 向

[解析] (1)由 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b, 得 1?m=2?(-2),m=-4,从而 b=(-2,-4),那么 2a+3b=2?(1,2)+3?(-2,-4)=(-4,-8). → → → (2) OC=-2OA+λOB=-2(1,0)+λ(1, 3)=(-2 +λ, 3λ ).因为∠AOC=120°,所以由 tan120°= 3λ =- 3,解得 λ=1. -2+λ

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

?

探究点三
例 3

平面向量共线的坐标表示的应用

(1)已知 a=(2,-3),b=(sinα ,cos2α ),

点 面 讲 考 向

? π α∈?- ? 2 ?

π? ? ) , ?,若 a∥b,则 tanα =( 2? 3 3 A.- B. 3 2 2 2 C. D.- 3 3 (2)在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 ABCD 的边 AB∥DC,AD∥BC.已知点 A(-2,0),B(6,8),C(8, 6),则 D 点的坐标为________.

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

[答案] (1)A (2)(0,-2)
[解析]
点 面 讲 考 向

sinα cos2α (1)∵a∥b,∴ = ,∴2cos2α 2 -3

=-3sinα , ∴2sin2α -3sinα -2=0, 1 ∵|sinα |≤1,∴sinα =- , 2 ? π π? 3 3 ? ? ∵α ∈?- , ?,∴cosα = ,∴tanα =- . 2 3 2 2? ? (2)由条件中的四边形 ABCD 的对边分别平行,可以 → 判断该四边形 ABCD 是平行四边形.设 D(x,y),则有AB → =DC,即(6,8)-(-2,0)=(8,6)-(x,y),解得(x,y) =(0,-2).
返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

[点评] 向量共线(平行)的坐标表示实质是把向量问题 转化为代数运算,它提供了通过坐标公式建立参数的方程
点 面 讲 考 向

(组),进而解方程(组)求出参数的值,来解决向量共线(平 行)的方法,也为点共线、线平行问题的处理提供了简易的

方法,体现方程的思想在向量中的运用.

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

点 面 讲 考 向

归纳总结 向量共线的充要条件的两种形式. ①a∥b?b=λa(a≠0). ②a∥b?x1y2-x2y1=0(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)). 向量共线定理常用于解决交点坐标问题和三点共线问题.

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

变式题 [2012·保定模拟] 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设向量 p=(a+c,b),q=(b-a, c-a),若 p∥q,则角 C 的大小为________.
点 面 讲 考 向

[答案] 60°

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

点 面 讲 考 向

[解析] 由 p∥q 得(a+c)(c-a)=b(b-a), 整理得 b2+a2-c2=ab, a2+b2-c2 1 由余弦定理得 cosC= = ,∴C=60°. 2ab 2

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

?

探究点四

平面向量坐标运算的简单应用

点 面 讲 考 向

例 4 [2012·哈尔滨模拟] 已知⊙C:(x+2)2+ (y-1)2=9 及定点 A(-1,1),M 是⊙C 上任意一点,点 N 在射线 AM 上,且|AM|=2|MN|,动点 N 的轨迹为 C, 求曲线 C 的方程.

返回目录

第21讲

两角和与差的正玄、余弦和正切公式

[思考流程] 条件:如题;目标:得曲线 C 的方程; → → 方法:设出 N 点坐标,根据AM和MN的向量关系列出坐标
点 面 讲 考 向

关系.

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

解:设 N(x,y),M(x0,y0),∵N 在射线 AM 上,且 → → → → |AM|=2|MN|,∴AM=2MN或AM=-2MN,
点 面 讲 考 向

→ → AM=(x0+1,y0-1),MN=(x-x0,y-y0), ?x0+1=2(x-x0), ?x0+1=-2(x-x0), ? ? ? ∴ 或? ?y0-1=2(y-y0) ?y0-1=-2(y-y0), ? ? 1 ? ?x0=3(2x-1), ?x0=2x+1, ? ∴? 或? ? ?y0=1(2y+1), ?y0=2y-1, 3 ? 代入圆的方程得(2x+5)2+(2y-2)2=81 或(2x+3)2+ (2y-2)2=9.

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

点 面 讲 考 向

归纳总结 坐标问题是高考中的一种常见题型,一 般情况下,题目难度不大,在复习时,首先要明晰向量平 行与垂直的两个充要条件,然后由题设条件建立相关参数 的方程组求解即可.

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

点 面 讲 考 向

变式题 设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, ? 3? ? b, 已知 c=2b, c, 向量 m=?sinA,2?, sinA+ 3cosA), ? n=(1, ? ? 且 m 与 n 共线. (1)求角 A 的大小; a (2)求 的值. c

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

点 面 讲 考 向

3 解:(1)∵m∥n,∴sinA(sinA+ 3cosA)- =0,即 2 ? π? ? sin?2A- ?=1. 6? ? ? π ? π 11π ? ? ∵A∈(0,π ),∴2A- ∈?- , . 6 ? 6 6 ? ? ? π π π ∴2A- = .∴A= . 6 2 3 π (2)由余弦定理及 c=2b,A= 得, 3 ? c ?2 π c ? ? 2 2 a =?2? +c -2·?ccos , 2 3 ? ? 3 2 a 3 2 a = c ,∴ = . 4 c 2

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

思想方法

8

向量坐标化在解题中的应用

例 [2012· 青岛模拟] 如图 4-26-1, 在四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=1,且∠B=90°,∠BCD=135°,记 → → → 向量AB=a,AC=b,则AD=( )

多 元 提 能 力

图 4-26-1

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

多 元 提 能 力

? 2? ? A. 2a-?1+ ?b 2? ? ? ? 2? ? B.- 2a+?1+ ?b 2? ? ? ? 2? ? C.- 2a+?1- ?b 2? ? ? ? 2? ? D. 2a+?1- ?b 2? ? ?

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

[分析] 根据图形特征建立坐标系,把向量坐标化后, 根据已知向量等式即可得出结果.
点 面 讲 考 向

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

[解析] B 根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形, 由∠BCD=135°,得∠ACD=135°-45°=90°.以 B 为原点,AB 所在直线为 x 轴,BC 所在直线为 y 轴建立如 图 4-26-2 所示的直角坐标系,并作 DE⊥y 轴于点 E, 则△CDE 也为等腰直角三角形,

多 元 提 能 力

图 4-26-2
返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示
由 CD=1,得 CE=ED= 2 ,则 A(1,0),B(0,0), 2

? 2 2? ? → → C(0,1),D? ,1+ ?,∴AB=(-1,0),AC=(-1, ? 2? ? 2 ? 2 2? ? → → → → 1),AD=? -1,1+ ?,令AD=λAB+μAC, ? 2? ? 2

多 元 提 能 力

? ?-λ-μ= 2-1, ?λ=- 2, ? 2 ? 则有? 得? 2 2 μ=1+ , ? ? 2 ? μ=1+ , ? 2 ? ? 2? ? → ∴AD=- 2a+?1+ ?b. 2? ? ?

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

自我检评 (1)[2012· 江西卷] 在直角三角形 ABC 中, 点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则 |PA|2+|PB|2 =( ) |PC|2 A.2 B.4 C.5 D.10 → → (2)已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在 x 轴上取一
多 元 提 能 力

→ → 点 P,使AP?BP有最小值,则 P 点的坐标是________.

[答案] (1)D (2)(3,0)

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

[解析] (1)考查向量基本定理、向量的线性运算、向量的 数量积及其应用,考查化归转化能力.解题的突破口是建立 平面直角坐标系转化为平面向量坐标运算问题求解,或利用 平面向量基本定理,将问题转化为只含基底的两个向量的运 算问题求解.

多 元 提 能 力

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

多 元 提 能 力

→ 1 → → 方法一:∵D 是 AB 中点,∴CD= (CA+CB).∵P 是 2 → =1(CA+CB),∴AP=CP-CA=-3CA+1 → → → → → → CD 中点,∴CP 4 4 4 → ,BP=CP-CB=1CA-3CB. → → CB → → → 4 4 → ?→ =0, → 2= 9 CA2+ 1 CB2,→ 2= 1 CA2+ 9 → → BP → ∵CA CB ∴AP 16 16 16 16 → 2,CP2= 1 CA2+ 1 CB2, → → CB → 16 16 |PA|2+|PB|2 ∴ =10. |PC|2

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

→ PA → → → 方法二: 是 AB 中点, →+PB=2PD, -PB=BA, ∵D ∴PA → → → → → → → → → → → ∴PA2+2PA?PB+PB2=4PD2,PA2-2PA?PB+PB2=BA2, ∴2(|PA|2+|PB|2)=4|PD|2+|AB|2.∵D 是 AB 的中点,∴2|CD| =|AB|.∵P 是 CD 中点,∴|CD|=2|PC|,∴|PA|2 +|PB|2 = |PA|2+|PB|2 10|CP|2,故 =10. |PC|2
多 元 提 能 力

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

多 元 提 能 力

方法三:以 C 为坐标原点,AC,BC 所在的直线为 x 轴, ?a b? y 轴, 建立平面直角坐标系, A(a, B(0, 则 D?2,2?, 设 0), b), ? ? ? ? 2 2 ?a b? 9a2 b2 9b2 a2 10(a +b ) ? ? P?4,4?,|PA|2+|PB|2= + + + = ,而 16 16 16 16 16 ? ? a2+b2 |PA|2+|PB|2 |PC|2= ,故 =10. 16 |PC|2 (2)设 P 点坐标为(x,0), → → 则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1). → → AP?BP=(x-2)(x-4)+(-2)?(-1) =x2-6x+10=(x-3)2+1. → → 当 x=3 时,AP?BP有最小值 1. 此时点 P 坐标为(3,0).

返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

【备选理由】 例1考查平面向量基本定理,用一组基底表示其他向 量;例2考查向量的坐标运算;例3是一道提高题,内容是 关于平面向量基本定理的应用.

教 师 备 用 题
返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

例 1 如图, 在△OAB 中, 延长 BA 到 C, AC=BA, 使 1 → 在 OB 上取点 D, DB= OB,DC 与 OA 交于点 E.设OA 使 3 → → → =a,OB=b,用 a,b 表示向量OC,DC.

教 师 备 用 题
返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

解:因为 A 是 BC 的中点, → =1(OB+OC), → → 所以OA 2 → → → 即OC=2OA-OB=2a-b. → =OC-OD=OC-2OB, → DC → → → 3 2 5 =2a-b- b=2a- b. 3 3

教 师 备 用 题
返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

例 2 已知△ABC 中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M, N 是 AB, 的中点, 是 BC 的中点, AC D MN 与 AD 交于点 F, → 求DF.

教 师 备 用 题
返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

解:因为 A(7,8),B(3,5),C(4,3), → → 所以AB=(-4,-3),AC=(-3,-5). → =1(AB+AC)=(-3.5, → → 又因为 D 是 BC 的中点,有AD 2 -4),而 M,N 分别为 AB,AC 的中点,所以 F 为 AD 的 1→ → 1→ 中点,故有DF= DA=- AD=(1.75,2). 2 2

教 师 备 用 题
返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

例 3 已知 G 是△ABC 的重心,直线 EF 过点 G 且与边 → =αAB,AF=βAC,则 1 + 1 → → → AB,AC 分别交于点 E,F,AE α β 的值为________.
[答案] 3

教 师 备 用 题
返回目录

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

解:连接 AG 并延长交 BC 于 D,∵G 是△ABC 的重 → =2AD=1(AB+AC). → → → 心,∴AG 3 3 → → → → → → 设EG=λGF,∴AG-AE=λ(AF-AG), → = 1 AE+ λ AF, → → ∴AG 1+λ 1+λ α → λ β → 1→ 1 → → → ∴ AB+ AC= AB+ AC,∵AB与AC不共线, 3 3 1+λ 1+λ 1 3 ? α ?1 ? = , ? = , 3 ?1+λ 1 1 ?α 1+λ ∴? ∴? ∴ + =3. ? λβ =1, 1= 3λ , α β ?β 1+λ ?1+λ 3 ? ?

教 师 备 用 题

返回目录

双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第27讲 平面向量的数量积与 平面向量应用举例

返回目录

考试大纲
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量 积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积 判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实 际问题.

返回目录

第27讲
双 向 固 基 础

平面向量的数量积与平面向量应用举例

—— 知 识 梳 理 —— 一、向量的数量积 1.向量数量积的概念 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量 |a||b|cosθ ____________叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即 |a||b|cosθ a·b=_______________,规定,零向量与任一向量的数量 0 积为________.

返回目录

第27讲
双 向 固 基 础

平面向量的数量积与平面向量应用举例

2.向量的投影

|a|cosθ 设两个非零向量a与b的夹角为θ ,________称为向量
a在b方向上的投影;________称为向量b在a方向上的投 |b|cosθ 影. 向量a在b方向上(或b在a方向上)的投影是一个
正数 ________,不是向量,当0°≤θ <90°,它是________; 数量

当θ =90°,它是________;当90°<θ ≤180°,它是 0
负数 ________.图4-27-1表示b在a方向上的投影的三种

情况:
返回目录

第27讲
双 向 固 基 础

平面向量的数量积与平面向量应用举例

图4-27-1 3.向量数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a| 与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.

返回目录

第27讲
双 向 固 基 础

平面向量的数量积与平面向量应用举例

二、向量数量积的性质

1.向量数量积的运算律
已知向量a,b,c和实数λ,则
a· b=b· a (1)交换律:________; λ(a· b) (2)数乘结合律:(λa)·b=________=________(λ∈R); a· (λb) (3)分配律:(a+b)·c=________=________. a· c+b· c c· (a+b)

返回目录

第27讲
双 向 固 基 础

平面向量的数量积与平面向量应用举例

2.向量数量积的性质

设a,b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量,θ是

|a|cosθ a与e的夹角,则(1)e·a=a·e=________;
(2)a⊥b?________; a· b=0
|a||b| (3)当a与b同向时,a·b=________;当a与b反向时,a·b

a?a |a|2 -|a||b| =________.特别地,a·a=________或|a|=________.
a· b |a||b| (4)cosθ=________.

≤ (5)|a·b|________|a||b|.
返回目录

第27讲
双 向 固 基 础

平面向量的数量积与平面向量应用举例

三、向量数量积的坐标表示

→=a=(x1,y1), =b=(x2,y2). → 已知两个非零向量OA OB
向量表示 向量a的模 a,b的数量积 a与b共线 a与b垂直 |a|= 坐标表示 |a|=

a2

x2+y2 1 1

a·b=|a||b|cosθ a∥b?b=λa a⊥b?a· b=0

a· 1x2+y1y2 b=x x1y2-x2y1=0 a∥b?_____________ a⊥b?x1x2+y1y2=0

x1y1+x2y2

a,b的夹角

cosθ=

x2 +y2? x2+y2 1 1 2 2 cosθ=________________
返回目录

第27讲
双 向 固 基 础

平面向量的数量积与平面向量应用举例

四、平面向量的主要应用

1.向量在平面几何中的应用
平面几何经常涉及距离(线段的长度)、夹角,而向量 运算,特别是向量的数量积涉及向量的模、夹角,因此可 以用向量方法解决部分几何问题,利用向量方法处理几何 问题一般有以下“三步曲”:

返回目录

第27讲
双 向 固 基 础

平面向量的数量积与平面向量应用举例

返回目录

第27讲
双 向 固 基 础

平面向量的数量积与平面向量应用举例

2.平面向量在解析几何中的应用,是以解析几何中

的坐标为背景的一种向量描述,它主要强调向量的坐标运
算,将向量问题转化为坐标问题,进而利用直线和圆锥曲 线的位置关系的相关知识来解答,坐标的运算是考查的主 体.

返回目录

第27讲
双 向 固 基 础

平面向量的数量积与平面向量应用举例

3.平面向量与其他数学知识的综合应用

(1)向量与三角函数交汇的问题是高考经常出现的问
题,命题以三角函数作为背景,是向量的坐标运算与解三 角形、三角函数图像和性质综合的问题; (2)平面向量与函数、不等式交汇的问题,主要是向量 与二次函数、基本不等式结合的问题为主,要注意自变量 的取值范围;

返回目录

第27讲
双 向 固 基 础

平面向量的数量积与平面向量应用举例

—— 疑 难 辨 析 ——
1.向量数量积的运算 (1)a· 是一个向量.( b ) (2)(a· c=a· c).( b)· (b· ) (3)a· b=0,则 a=0 或 b=0.(

)
? ? ?.( ?

? π (4)两个向量的夹角的范围是?0, ? 2 ?

)

[答案] (1)? (2)? (3)? (4)?

返回目录

第27讲
双 向 固 基 础

平面向量的数量积与平面向量应用举例

[解析] (1)a· 是一个实数.(2)(a· c 是一个与 c 共 b b)· 线的向量,a· c)是一个与 a 共线的向量,因此它们不一 (b· 定相等.(3)a· b=0,则 a=0 或 b=0 或 a⊥b.(4)两个向量 的夹角的范围是[0,π ].

返回目录

第27讲
双 向 固 基 础

平面向量的数量积与平面向量应用举例

2.向量数量积的坐标运算 a=(x1,y1),b=(x2,y2),若 a⊥b,则 x1y2-x2y1= 0.( )

[答案] ?
[解析] a⊥b?x1x2+y1y2=0.

返回目录

第27讲
双 向 固 基 础

平面向量的数量积与平面向量应用举例

3.向量数量积的应用 → → (1)已知△ABC 中,BC 边最长,AB=a,AC=b,且 a· b>0,则△ABC 的形状为钝角三角形.( ) → → → → (2)在四边形 ABCD 中,AB=DC,且AC?BD=0, 则四边形 ABCD 是矩形.( ) 2π (3)作用于同一点的两个力 F1 和 F2 的夹角为 ,且 3 |F1|=3,|F2|=5,则 F1+F2 大小为 19.( ) (4)已知一物体在共点力 F1=(lg2,lg2),F2=(lg5, lg2)的作用下产生位移 s=(2lg5,1),则共点力对物体做 的功 W 为 2.( )
[答案] (1)? (2)? (3)√ (4)√
返回目录

第27讲
双 向 固 基 础

平面向量的数量积与平面向量应用举例

[解析] (1)∵a· b=|a||b|cos∠BAC>0, ∴cos∠BAC>0, ∴0°<∠BAC<90°.又∵BC 边最长,则∠BAC 为△ABC → → 中最大的角,故△ABC 为锐角三角形.(2)∵AB=DC,即 → → 一组对边平行且相等,AC?BD=0 即对角线互相垂直, ∴四边形 ABCD 为菱形. (3)|F1+F2|2=F2+2F1? 2+F2= F 1 2 ? 1? 2π 2 2 2 |F1| +2|F1||F2|cos +|F2| =3 +2?3?5? ?-2? +52 = ? ? 3 ? ? 19 , ∴ |F1 + F2|= 19 .(4)W = (F1 + F2)·= (lg2 + lg5 , s 2lg2)· (2lg5,1)=(1,2lg2)· (2lg5,1)=2lg5+2lg2=2.

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例
考点 考频 选择(2) 填空(3) 解答(2) 选择(1) 填空(1) 填空(1) 0 示例(难度) 2012年湖南T7(B), 2012年课程标准 T13(B), 2012年山东T17(B) 2011年江西T11(A) 2012年课程标准 T13(B)

点 面 讲 考 向

1.平面向量的数量积

2.平面向量的垂直与夹角 问题 3.平面向量的模 4.平面向量的实际应用

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,考 频分析2012年课标地区真题卷情况.
返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

?

探究点一

平面向量的数量积的运算

例 1 在等边三角形 ABC 中,D 为 AB 的中点,AB
点 面 讲 考 向

=5. → → → (1)求AB?BC,|CD|; (2)若 a=(3,-4),b=(2,1),求(a-2b)· (2a+3b) 和|a+2b|.

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

[思考流程] (1)条件:等边三角形 ABC 中,D 为 AB → → → → 的中点,AB=5;目标:求AB?BC,|CD|;方法:求出AB
点 面 讲 考 向

→ 与BC的夹角 θ,代入公式 a· b=|a||b|cosθ 计算可得. (2)条件: a=(3,-4),b=(2, 目标:求(a-2b)· 1); (2a +3b)和|a+2b|;方法:利用平面向量数量积的运算性质结 合定义来求.

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

点 面 讲 考 向

→ → 解:(1)∵△ABC 是等边三角形,∴向量AB,BC的夹 ? ? → ? =|AB|?→ |? → → |BC cos120°=5?5??-1? 角为 120°, ∴AB BC ? 2? ? ? 25 =- . 2 → =1(CA+CB), → → ∵CD 2 1 → → 1 → → → → → ∴|CD|2= (CA+CB)2= (|CA|2+2CA?CB+|CB|2) 4 4 1 75 = ?(25+2?5?5?cos60°+25)= , 4 4 → |=5 3. ∴|CD 2

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

点 面 讲 考 向

(2)∵a-2b=(3,-4)-2(2,1)=(-1,-6), 2a+3b=2(3,-4)+3(2,1)=(12,-5), ∴(a-2b)· (2a+3b)=(-1)?12+(-6)?(-5)=-12 +30=18. ∵a+2b=(3,-4)+2(2,1)=(7,-2), ∴|a+2b|= 72+(-2)2= 53.

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

点 面 讲 考 向

[点评] 向量的数量积的运算结果是一个数量,平面 向量数量积的运算类似于多项式的乘法.我们遇到求向量 的模时,可先求向量模的平方.

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①求平面向量数量积的步骤是: (i)求 a 与 b 的夹角θ,θ∈[0°,180°].(ii)分别求|a|和|b|. (iii)求数量积,即a·b=|a||b|cosθ,若知道向量的坐标a= (x1 ,y1),b=(x2 ,y2),则求数量积时用公式a·b=x1x2 + y1y2计算. ②注意共线时θ=0°或180°,垂直时θ=90°,三种特殊 情况.

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

2π 变式题 (1)已知 e1,e2 是夹角为 的两个单位向量, 3 a=e1 -2e2 ,b=ke1 +e2.若 a· b=0,则实数 k 的值为 ________.
点 面 讲 考 向

(2)如图 4-27-2,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC= → → 2,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若AB?AF= 2, → → 则 AE ? BF 的 值 是 ________.

图 4-27-2
返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

5 [答案] (1) (2) 2 4
点 面 讲 考 向

[解析] (1)由题意知:a· b=(e1-2e2)· 1+e2)=0,即 (ke 2π 2π 2 2 ke1+e1?e2-2ke1?e2-2e1=0,即 k+cos -2kcos - 3 3 5 2=0,化简可求得 k= . 4 (2)以点 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴建立平面 → → 直角坐标系,则AB=( 2,0).设AF=(x,2),则由条件得 → → 2x= 2,得 x=1,从而 F(1,2),AE=( 2,1),BF=(1 → → - 2,2),于是AE?BF= 2.

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

?

探究点二

平面向量的垂直与夹角问题

点 面 讲 考 向

例 2 (1)[2012·石家庄模拟] 若向量 a=(1,2),b =(1,-1),则 2a+b 与 a-b 的夹角等于( ) π π π 3π A.- B. C. D. 4 6 4 4 (2)[2012·郑州质检] 已知 a,b 为非零向量,m=a+ 1 tb(t∈R),若|a|=1,|b|=2,当且仅当 t= 时,|m|取得最小 4 值,则向量 a,b 的夹角为( ) π π 2π 5π A. B. C. D. 6 3 3 6

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

点 面 讲 考 向

[答案] (1)C (2)C [解析] (1)因为 2a+b=(2,4)+(1,-1)=(3, 3),a-b=(0,3),所以|2a+b|=3 2,|a-b|=3.设 2a+ 2 b 与 a-b 的夹角为 θ,则 cosθ = ,又 θ∈[0,π ],所 2 π 以 θ= . 4 (2)∵m=a+tb,|a|=1,|b|=2,令向量 a,b 的夹角 为 θ , ∴|m| = |a + tb| = |a|2+t2|b|2+2t|a||b|cosθ = ? cosθ ?2 ? ? 2 2 4t +4tcosθ +1= 4?t+ ? +1-cos θ . 2 ? ? 1 1 cosθ 又∵当且仅当 t= 时,|m|最小,即 + =0, 4 4 2 1 2 ∴cosθ =- ,∴θ= π .故选 C. 2 3
返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

点 面 讲 考 向

[点评] 利用向量夹角公式时,不一定非得算出|a|, |b|和a·b的值,只要能得出它们的关系也可以求出比值; 求角时,注意向量夹角的取值范围是[0,π];若题目给出 向量的坐标表示,可直接套用公式cos〈a,b〉= x1x2+y 1y 2 求解. 2 x2+y1 x2+y2 1 2 2

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①坐标问题是高考中的一种常见题型, 一般情况下,题目难度不大,在复习时,首先要明晰向量 平行与垂直的两个充要条件,然后由题设条件建立相关参 数的方程组求解即可. ②已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2 ,y2),θ是向量a, a·b b的夹角,则cos〈a,b〉= |a||b| x1x2+y1y 2 = .
2 2 x2+y1· x2+y2 1 2

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

变式题 (1)已知|a|=2|b|≠0, 且关于 x 的方程 x2+|a|x +a· b=0 有实根,则 a 与 b 的夹角的取值范围是( )
点 面 讲 考 向
? π? ? A.?0, ? 6? ? ? ?π 2π ? C.? , 3 ?3 ?π ? ? B.? ,π ? ? ?3 ? ? ?π ? D.? ,π ? ?6 ? ?

? ? ? ?

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

(2)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ,有下列四 个命题:
点 面 讲 考 向
? 2π ? ? p1:|a+b|>1,θ∈?0, ?; 3 ? ? ? ?2π ? ? ? p2:|a+b|>1,θ∈? ,π ?; ? 3 ? ? π? ? p3:|a-b|>1,θ∈?0, ?; 3? ? ? ?π ? ? p4:|a-b|>1,θ∈? ,π ?. ? ?3 ?

其中的真命题是( ) A.p1,p4 B.p1,p3 C.p2,p3
[答案] (1)B (2)A

D.p2,p4

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

点 面 讲 考 向

[解析] (1)由关于 x 的方程 x2+|a|x+a· b=0 有实 根,得|a|2-4a· b≥0,而 a· b=|a||b|cosθ , 1 2 |a| 4 1 ∴cosθ ≤ = . 1 2 2 |a| 2 ?π ? ? 又 θ∈[0,π ],∴θ∈? ,π ?. ? ?3 ?

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例
2 2

点 面 讲 考 向

1 (2)因为|a+b|>1?|a| +2a· b+|b| >1?a?b>- ? 2 ? 1 2π ? ? |a||b|cosθ =cosθ >- ?θ ∈?0, ?, 2 3 ? ? ? 所以 p1 为真命题,p2 为假命题. 1 又 因 为 |a - b|>1 ? |a|2 - 2a· + |b|2>1 ? a ? b< ? b 2 ?π ? 1 ? |a||b|cosθ =cosθ < ?θ ∈? ,π ?,所以 p4 为真命题, ? 2 ?3 ? p3 为假命题.

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

?

探究点三

平面向量的模的求法

点 面 讲 考 向

例 3 (1)设向量 a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2, m),若(a+c)⊥b,则|a|=________. (2)[2012· 课程标准卷] 已知向量 a,b 夹角为 45°, 且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=________.

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:联想模长公式;推理:依据已 知条件, 求出 a 的坐标; 结论: 把横纵坐标代入模长公式, 求出|a|. (2)分析:考查|a± 2=(a± 2=a2±2a· b| b) b+b2;推理: 结合|a|2 =a2=a· a,实现向量与实数的转化,得到关于|b| 的方程;结论:求解方程得结论.

[答案] (1) 2 (2)3 2

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

点 面 讲 考 向

[解析] (1)因为 a+c=(3,3m),又 b=(m+1, 1),(a+c)⊥b,所以(a+c)· b=0,即(3,3m)· (m+1,1) 1 =6m+3=0,解得 m=- ,则 a=(1,-1).故|a|= 2. 2 (2)因为|2a-b|= 10, 平方得 4a2-4a· 2=10, b+b 得 2 4-4?|b|? +|b|2=10,解得|b|=3 2. 2

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

[点评] 向量a的坐标可以求出的,求长度问题直接利 用|a|= x2+y2 ,不能求出的往往结合|a|2=a2=a·a转化 来求.

点 面 讲 考 向

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

点 面 讲 考 向

归纳总结 利用数量积求长度问题是数量积的重要 应用,要掌握此类问题的处理方法: ①|a|2=a2=a·a. ②|a±b|2=(a±b)2=a2±2a·b+b2. ③若a=(x,y),则|a|= x2+y2.

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

变式题

(1)[2012·金华十校联考] 设向量 a,b 满足 )

|a|=1,|a-b|= 3,a· (a-b)=0,则|2a+b|=(
点 面 讲 考 向

A.2 C.4

B.2 3 D.4 3

(2)[2012· 安徽省城名校联考] 平面向量 a 与 b 夹角为 2π ,a=(3,0),|b|=2,则|a+2b|=( 3 A.7 C. 13 B. 37 D.3 )

[答案] (1)B

(2)C

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例
[解析] (1)a· (a-b)=0?a· b=|a|2=1, |a-b|= 3?(a-b)2=3?a2+b2-2a· b=3?b2=4, |2a + b| = (2a+b)2 = 4a2+b2+4a· = 12 = b

点 面 讲 考 向

2 3. (2)|a + 2b| = a2+4b2+4a· b 13.选 C. =
? 1? 9+16+4?3?2??-2?= ? ? ? ?

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

?

探究点四

平面向量的实际应用

点 面 讲 考 向

例 4 在正方形 ABCD 中,E,F 分别为 AB,BC 的 中点,试用向量法证明 AF⊥DE.

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

[思考流程] 条件:如题;目标:得出垂直关系;方 → → 法:建系或者选定基底向量表示AF,DE,求出数量积.
点 面 讲 考 向

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例
→ → 证明:方法一:设AB=a,AD=b,则|a|=|b|,a· b=

0,
点 面 讲 考 向

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例
→ =1a,BF=1b, → 由条件知,AE 2 2 → =AE-AD=1a-b, ∴DE → → 2 1 → → → → 1→ AF=AB+BF=AB+ BC=a+ b, 2 2 ? ? ? ? → ?AF=?1a-b???a+1b? → ? ∴DE ? ? 2 ? ?2 ? ? ? 1 1 1 = a2+ a?b-b· b2=0, a- 2 4 2 → → 即DE⊥AF,∴DE⊥AF.

点 面 讲 考 向

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

点 面 讲 考 向

方法二:建立如图直角坐标系,设正方形边长为 1, ? ?1 ? ? ? 1? ? ? ? ? → =?1,1?, 则 A(0,0),F?1,2?,D(0,1),E?2,0?,则AF ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? → =?1,-1?, DE ?2 ? ? ? 1 1 → → ∴AF?DE=1? + ?(-1)=0, 2 2 → → 即DE⊥AF,∴DE⊥AF.

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

[点评] 运用向量处理几何问题的方法有两种:基向 量法和坐标法,应根据已知条件选用,其基本思想是,把
点 面 讲 考 向

题中有关的线段表示为向量,将各种关系转化为向量运算, 然后利用向量运算来处理所求问题.

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①用平面向量解决平面解析几何问题时, 可以用基向量的方法和坐标法,在便于建立直角坐标系的 情况下,通过建立平面直角坐标系,使向量的坐标运算更 理想一些.在解决这类问题时,共线向量定理和平面向量 基本定理起主导作用. ②解决向量与三角知识的综合题的关键是把向量关系转化 为向量的有关运算,然后再进一步转化为实数运算(即坐 标运算).

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

点 面 讲 考 向

变式题 (1)已知力 F 与水平方向的夹角为 30°(斜向 上),F 的大小为 50 N,F 拉着一个重 80 N 的木块在动摩 擦系数 μ=0.02 的水平平面上运动了 20 m,则 F 和摩擦力 f 所做的功分别为________. (2)河水的流速为 2 m/s, 一艘小船想以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为 ________ m/s.

[答案] (1)500 3 J,-22 J

(2)2 26

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

点 面 讲 考 向

[解析] (1)力 F 作用下物体位移 s 所做的功 W= |F||s|· cos〈F,s〉 . 3 则 F· s=|F||s|cos30°=50?20? =500 3(J), 2 F 在竖直方向上的分力的大小为 1 |F|sin30°=50? =25(N). 2 所以,摩擦力 f 的大小为 |f|=(80-25)?0.02=1.1(N), 所以 f· s=|f||s|cos180° =1.1?20?(-1)=-22(J). 即 F,f 所做的功分别是 500 3 J,-22 J.

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

点 面 讲 考 向

(2)设河水的流速为 v1,小船在静水中的速度为 v2, 船的实际速度为 v,则|v1|=2,|v|=10,v⊥v1. ∴v2=v-v1,v·1=0, v ∴|v2|= v2-2v·1+v2= 100-0+4 v 1 = 104=2 26 (m/s).

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

易错究源

13

误解向量夹角致误

例 已知直线 y=2x 上一点 P 的横坐标为 a,有两个 → → 点:A(-1,1),B(3,3),那么向量PA与PB夹角为钝角的 一个充分不必要条件是( ) A.-1<a<2 B.0<a<1 C.-1<a<0 D.0<a<2
[错解] D 由题意设 P(a, 2a), 由数量积的性质知, → → 两向量的夹角为钝角的充要条件为:PA?PB=(-1-a,1 -2a)· (3-a,3-2a)=5a2-10a<0,解得 0<a<2,所以选 D.
返回目录

多 元 提 能 力

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

→ → [错因] 两向量的夹角为钝角的充要条件为: ? = PA PB (-1-a,1-2a)· (3-a,3-2a)=5a2-10a<0,且除去 P, A,B 三点共线这种特殊情况.
[正解] B 由题意设 P(a,2a),由数量积的性质知, → → 两向量的夹角为钝角的充要条件为:PA·PB=(-1-a,1 -2a)· (3-a,3-2a)=5a2-10a<0,且除去 P,A,B 三点 共线这种特殊情况,解得 0<a<2 且 a≠1.分析四个选项中 a 的取值范围,使得满足条件 a 的取值构成的集合只需真 包含在集合{a|0<a<2 且 a≠1}中即可,只有 B 选项符合.

多 元 提 能 力

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

x2 y2 自我检评 (1)[2012·潍坊质检] 已知椭圆 + =1 8 2 的两个焦点分别为 F1 和 F2,点 P 为椭圆上的动点,则当 ∠F1PF2 为 锐 角 时 ,点 P 的 纵坐 标 y0 的 取 值 范 围 是 ________.
多 元 提 能 力

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

(2)[2012·连云港模拟] 给出以下四个命题: ①对任意两个向量 a,b 都有|a· b|=|a||b|; ②若 a, 是两个不共线的向量, → =λ1a+b,→ = b 且AB AC a+λ2b(λ1,λ2∈R),则 A,B,C 共线?λ 1λ 2=-1; ③若向量 a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ),则 a +b 与 a-b 的夹角为 90°;
多 元 提 能 力

④若向量 a,b 满足|a|=3,|b|=4,|a+b|= 13,则 a, b 的夹角为 60°. 以上命题中,错误命题的序号是________.

6 6 [答案] (1)- <y0<0 或 0<y0< 3 3

(2)①②④

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

→ → [解析] (1)∠F1PF2 可视为PF1与PF2的夹角,因此可通过 → → PF1?PF2>0 建立关于 y0 的不等式求得 y0 的取值范围. 2 x2 y0 0 设 P(x0,y0),由于 P 点在椭圆上,所以 + =1, 8 2 → → → → ∵PF1?PF2=|PF1||PF2|cos∠F1PF2, 若∠F1PF2 为锐角,则 cos∠F1PF2>0, → → 故PF1?PF2>0, 而 F1(- 6,0),F2( 6,0), → → PF1=(- 6-x0,-y0),PF2=( 6-x0,-y0),

多 元 提 能 力

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

→ → 所以PF1?PF2=x2-6+y2>0. 0 0 又 x2=8-4y2,因此 8-4y2+y2-6>0, 0 0 0 0 6 6 解得- <y0< . 3 3 由于当 y0=0 时,点 P 在椭圆长轴上,∠F1PF2 不是锐角, 6 6 所以 y0 的取值范围是- <y0<0 或 0<y0< . 3 3
多 元 提 能 力

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

(2)①错,∵|a· b|=|a||b||cosθ |≤|a||b|. → → ②错.∵A,B,C 共线,∴AB=kAC,
?λ 1=k, ? ∴? ∴λ 1λ 2=1. ?λ2k=1, ?

多 元 提 能 力

④错,设向量 a,b 夹角为 θ,∵|a+b|2=13, ∴|a|2+|b|2+2a· b=13, 即 a· b=|a||b|· cosθ =-6, 1 ∴cosθ =- ,∴θ=120°. 2

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

【备选理由】 例1是在函数图像中考查数量积,比较新颖;例2是在 几何图形中结合平面向量基本定理考査数量积;例3是向 量在解析几何中的应用.

教 师 备 用 题
返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例
?π y=tan? ?4 ?

例1

函数

π? ? x- ?的部分图像如图所示,则 2?

→ → OB → (OB-OA)· =(

)

教 师 备 用 题

A.-4 C.-2

B.2 D.4

返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

[解析] D 依题意,由图知,A(2,0),B(3,1),所 → → OB → 以(OB-OA)· =4.

教 师 备 用 题
返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

例 2 在△ABC 中,AB⊥AC,AB=6,AC=4,D 为 AC 的中点, E 在边 AB 上, 3AE=AB, 与 CE 交于点 G, 点 且 BD → → 则AG?BC=________.

教 师 备 用 题
返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

教 师 备 用 题

4 [答案] - 5 → → [解析] 因为 B,G,D 三点共线,设AG=λAB+(1- → =λAB+1-λAC, → → λ)AD 2 → =μAE+(1-μ)AC=μ AB → → → E,G,C 三点共线,可设AG 3 → +(1-μ)AC, ? μ ?λ=3, 1 → 1→ 2 → 则? 解得 λ= ,所以AG= AB+ AC, 5 5 5 ?1-λ=1-μ, ? 2 ? ? →? → → → ?BC=?1AB+2AC??(AC-AB). → ? → ∴AG 5 ? ?5 → ?BC=-4. ∵AB⊥AC,AB=6,AC=4,∴AG → 5
返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

已知点 P(0,-3),点 A 在 x 轴上,点 Q 在 y 轴 → ?AM=0,AM=-3MQ,当点 A → → 的正半轴上,点 M 满足PA → 2 在 x 轴上移动时,求动点 M 的轨迹方程.

例3

教 师 备 用 题
返回目录

第27讲

平面向量的数量积与平面向量应用举例

解: M(x, 设 y)为所求轨迹上任一点, A(a, Q(0, 设 0), b)(b>0), → → → 则PA=(a,3),AM=(x-a,y),MQ=(-x,b-y). → → 由PA?AM=0,得 a(x-a)+3y=0.① 3→ → 由AM=- MQ得, 2 ?3 ? 3 3 ? (x-a,y)=- (-x,b-y)=?2x,2(y-b)?, ? 2 ? ? 3 x ? ? ?x-a=2x, ?a=-2, ∴? ∴? ?y=3y-3b, ?b=y . 3 ? 2 2 ? x x? x? 把 a=- 代入①,得- ?x+2?+3y=0, ? 2 2? ? ? 1 整理得 y= x2(x≠0). 4
返回目录

教 师 备 用 题



更多相关文章:
2014届高三北师大数学(理)一轮复习小题专项集训(8)平....doc
2014届高三北师大数学(理)一轮复习小题专项集训(8)平面向量 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2014届高三北师大数学(理)一轮复习小题专项集训(8)平面向量...
北师大版2017高考数学(理)总复习第4平面向量数系的....ppt
北师大版2017高考数学(理)总复习第4平面向量数系的扩充与复数的引入课件PPT_数学_高中教育_教育专区。高三数学,理科数学 高三一轮总复习 第四平面向量、...
...高考复习方案数学(理) 浙江专用 第4单元-平面向量_....ppt
2014全品高考复习方案数学(理) 浙江专用 第4单元-平面向量_高考_高中教育_教育专区。2014全品高考复习方案数学(理) 浙江专用 浙江省专用 新课标?人教A版 本课件...
高考复习方案(新课标)2016届高考数学一轮复习第4单元平....doc
【高考复习方案】 (新课标)2016 届高考数学一轮复习 第 4 单元 平 面向量课时作业 文 课时作业(二十三) [第 23 讲 平面向量的概念及其线性运算] (时间:30...
2014届高三北师大数学(理)一轮复习限时规范训练 第五....doc
2014届高三北师大数学(理)一轮复习限时规范训练 第五篇 第1平面向量的概念及其线性运算_高中教育_教育专区。2014届高三北师大数学(理)一轮复习限时规范...
2014届高三北师大数学(理)一轮复习限时规范训练 第五....doc
2014届高三北师大数学(理)一轮复习限时规范训练 第五篇 第3讲 平面向量的数量积_高中教育_教育专区。2014届高三北师大数学(理)一轮复习限时规范训练 第五...
高考数学(北师大理)一轮复习课件:第五章 平面向量 第....ppt
高考数学(北师大理)一轮复习课件:第五章 平面向量 第1节 - 1节 平面向量的概念及线性运算 最新考纲 1.了解向量的实际背景; 2.理解平面向量的概念,理解...
高考复习方案年高考数学(理,北师大)一轮复习课....ppt
【高考复习方案年高考数学(理,北师大)一轮复习课件第27讲 平面向量的数量积与平面向量的 - 双向固基础点面讲考向多元提能力教师备用题 第27讲 ...
高考复习方案2016年高考数学一轮复习第4单元第25讲平面....doc
高考复习方案2016年高考数学一轮复习第4单元第25讲平面向量基本定理及坐标表示同步作业理 - 课时作业(二十五) 基础热身 [第 25 讲 平面向量基本定理及坐标表示]...
高考复习方案2016年高考数学一轮复习第4单元第26讲平面....doc
高考复习方案2016年高考数学一轮复习第4单元第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例同步作业理 - 课时作业(二十六) [第 26 讲 平面向量的数量积与平面向量...
高考复习方案年高考数学(理,北师大)一轮复习课....ppt
【高考复习方案年高考数学(理,北师大)一轮复习课件第25讲 平面向量的概念
高考数学一轮复习第4单元第24讲平面向量的概念及其线性....doc
高考数学一轮复习第4单元第24讲平面向量的概念及其线性运算同步作业理 - 课时作业(二十四) 基础热身 [第 24 讲 平面向量的概念及其线性运算] (时间:30 分钟 ...
高考数学(北师大理)一轮复习课件:第五章 平面向量 第....ppt
高考数学(北师大理)一轮复习课件:第五章 平面向量 第2节 - 2节 平面向量基本定理及坐标表示 最新考纲 1.了解平面向量的基本定理及其意义;2.掌握平面向量...
...课程标准卷地区专版)数学总复习第4单元 平面向量(18....ppt
【2015高考复习方案】(人A课程标准卷地区专版)数学总复习第4单元 平面向量(185张ppt) - 课程标准卷地区专用 新课标?人教A版 本课件是由精确校对的word书稿制作...
【创新方案】(浙江专版)2014高考数学一轮复习 4.2 平....doc
【创新方案】(浙江专版)2014高考数学一轮复习 4.2 平面向量基本定理及坐标表示限时集训 理_高考_高中教育_教育专区。限时集训(二十四) 平面向量基本定理及坐标...
高考复习方案 】2015届高考数学(理,北师大)一轮复....ppt
【高考复习方案 】2015届高考数学(理,北师大)一轮复习课件第26讲 平面向量基本定理及坐标表示 - 双向固基础点面讲考向多元提能力教师备用题 第...
2019届高考数学(北师大理)一轮复习课件:第五章平面向....ppt
2019届高考数学(北师大理)一轮复习课件:第五章平面向量第1节(1) - 1 第1平面向量的概念及线性运算 最新考纲 1.了解向量的实际背景; 2.理解平面向量的...
【创新方案】(浙江专版)2014高考数学一轮复习 4.3 平....doc
【创新方案】(浙江专版)2014高考数学一轮复习 4.3 平面向量的数量积及平面向量的应用限时集训 理_学科竞赛_高中教育_教育专区。限时集训(二十五) 平面向量的...
2014高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-27讲 平面....ppt
2014高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-27讲 平面向量的应用 - 掌握平面向量在解析几何、三角函 数及数列等方面的综合应用.平面向量 是中学数学知识的一个...
2014高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-26讲 平面....ppt
2014高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-26讲 平面向量的数量积 - 理解平面向量数量积的含义及其物理意义,了解 平面向量的数量积与向量投影的关系,掌握数量积...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图