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2015届高考数学总复习(人教A版,理科)配套题库: 数列的综合应用(含答案解析)]


第5讲
一、选择题

数列的综合应用
( ).

1.已知{an}为等比数列.下面结论中正确的是 A.a1+a3≥2a2 C.若 a1=a3,则 a1=a2
2 2 B.a2 1+a3≥2a2

D.若 a3>a1,则 a4>a2

解析 设公比为 q,对于选项 A,当 a1<0,q≠1 时不正确;选项 C,当 q=-
2 1 时不正确;选项 D,当 a1=1,q=-2 时不正确;选项 B 正确,因为 a1 + 2 2 a3 ≥2a1a3=2a2 .

答案 B 2. 满足 a1=1, log2an+1=log2an+1(n∈N*), 它的前 n 项和为 Sn, 则满足 Sn>1 025 的最小 n 值是 A.9 B.10 C.11 D.12 ( ).

解析 因为 a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N*),所以 an+1=2an,an=2n-1,Sn =2n-1,则满足 Sn>1 025 的最小 n 值是 11. 答案 C 3.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生 1 产. 已知该生产线连续生产 n 年的累计产量为 f(n)=2n(n+1)(2n+1)吨, 但如 果年产量超过 150 吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该 厂这条生产线拟定最长的生产期限是 A.5 年 B.6 年 C.7 年 ( ). D.8 年

解析 由已知可得第 n 年的产量 an=f(n)-f(n-1)=3n2.当 n=1 时也适合, 据 题意令 an≥150?n≥5 2,即数列从第 8 项开始超过 150,即这条生产线最多 生产 7 年. 答案 C 4.在等差数列{an}中,满足 3a4=7a7,且 a1>0,Sn 是数列{an}前 n 项的和,若 Sn 取得最大值,则 n= A.7 B.8 C.9 ( D.10 ).

解析 设公差为 d,由题设 3(a1+3d)=7(a1+6d),

4 所以 d=-33a1<0. ? 4 ? 解不等式 an>0,即 a1+(n-1)?-33a1?>0, ? ? 37 所以 n< 4 ,则 n≤9, 当 n≤9 时,an>0,同理可得 n≥10 时,an<0. 故当 n=9 时,Sn 取得最大值. 答案 C 5.设 y=f(x)是一次函数,若 f(0)=1,且 f(1),f(4),f(13)成等比数列,则 f(2)+ f(4)+…+f(2n)等于 A.n(2n+3) C.2n(2n+3) B.n(n+4) D.2n(n+4) ( ).

解析 由题意可设 f(x)=kx+1(k≠0), 则(4k+1)2=(k+1)×(13k+1),解得 k=2, f(2)+f(4)+…+f(2n)=(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2×2n+1)=2n2+3n. 答案 A 6.若数列{an}为等比数列,且 a1=1,q=2,则 Tn= 1 n 2 1? 2? D. ?1- n? 2? 3? 1 ?1? 解析 an=2n-1,设 bn= =? ?2n-1, anan+1 ?2? 1 ?1? ?1? 则 Tn=b1+b2+…+bn= +? ?3+…+? ?2n-1 2 ?2? ?2? 1? 1? ?1- n? 4 ? 2? 2? 1? = = ?1- n?. 4 1 3? ? 1- 4 答案 C B.1- 二、填空题 7.设关于 x 的不等式 x2-x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为 an,数列{an}的 前 n 项和为 Sn,则 S100 的值为________. 可化为( ) 1 A.1- n 4 1? 2? C. ?1- n? 4? 3? 1

a1a2 a2a3



1

+…+

1

anan+1

的结果

解析 由 x2-x<2nx(n∈N*),得 0<x<2n+1,因此知 an=2n. 100?2+200? ∴S100= =10 100. 2 答案 10 100 a c 8.已知 a,b,c 成等比数列,如果 a,x,b 和 b,y,c 都成等差数列,则 x+y= ________. a+b b+c 解析 赋值法.如令 a,b,c 分别为 2,4,8,可求出 x= 2 =3,y= 2 =6, a c x +y=2. 答案 2 9.设曲线 y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,令 an =lg xn,则 a1+a2+a3+…+a99 的值为________. 解析 由 y′=(n+1)xn(x∈N*),所以在点(1,1)处的切线斜率 k=n+1,故切 线方程为 y=(n+1)(x-1)+1, 令 y=0 得 xn= n , 所以 a1+a2+a3+…+a99 n+1

1 2 99 1 =lg x1+lg x2+…+lg x99=lg(x1· x2· …· x99)=lg2×3×…× =lg = 99+1 99+1 -2. 答案 -2 10.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若数列{an}的各项按如下规律排列: n-1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 , , , , , , , , , ,…, , ,…, 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n n n ,…,有如下运算和 结论: 3 ①a24=8; ②数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列; n2+n ③数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前 n 项和为 Tn= 4 ; 5 ④若存在正整数 k,使 Sk<10,Sk+1≥10,则 ak=7. 其中正确的结论有________.(将你认为正确的结论序号都填上) 解析 依题意, 将数列{an}中的项依次按分母相同的项分成一组, 第 n 组中的

数的规律是:第 n 组中的数共有 n 个,并且每个数的分母均是 n+1,分子由 1 依次增大到 n,第 n 组中的各数和等于 对于①,注意到 21= 1+2+3+…+n n =2. n+1

6?6+1? 7?7+1? <24< 2 2 =28,因此数列{an}中的第 24 项应

3 是第 7 组中的第 3 个数,即 a24=8,因此①正确. 对于②、③,设 bn 为②、③中的数列的通项,则 bn= 1+2+3+…+n n =2,显然该数列是等差数列,而不是等比数列,其前 n 项和 n+1
2 1 n?n+1? n +n 等于2× 2 = 4 ,因此②不正确,③正确.

62+6 1 对于④,注意到数列的前 6 组的所有项的和等于 4 =102,因此满足条件 5 的 ak 应是第 6 组中的第 5 个数,即 ak=7,因此④正确. 综上所述,其中正确的结论有①③④. 答案 ①③④ 三、解答题 11.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S5=35,a5 和 a7 的等差中项为 13. (1)求 an 及 Sn; (2)令 bn= 4 (n∈N*),求数列{bn}的前 2 an-1 n 项和 Tn.

解 (1)设等差数列{an}的公差为 d, 因为 S5=5a3=35,a5+a7=26, ?a1+2d=7, 所以? 解得 a1=3,d=2, ?2a1+10d=26, 所以 an=3+2(n-1)=2n+1, n?n-1? Sn=3n+ 2 ×2=n2+2n. (2)由(1)知 an=2n+1, 4 1 1 1 所以 bn= 2 = =n- , an-1 n?n+1? n+1

1 ? 1? ?1 1? ?1 ? 所以 Tn=?1-2?+?2-3?+…+?n-n+1? ? ? ? ? ? ? 1 n =1- = . n+1 n+1 12.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,且 a1,a2+ 5,a3 成等差数列. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 3 (3)证明:对一切正整数 n,有a +a +…+a <2.
1 2 n

(1)解

当 n=1 时,2a1=a2-4+1=a2-3,

① ② ③

当 n=2 时,2(a1+a2)=a3-8+1=a3-7, 又 a1,a2+5,a3 成等差数列,所以 a1+a3=2(a2+5), 由①②③解得 a1=1. (2)解 ∵2Sn=an+1-2n+1+1,

∴当 n≥2 时,有 2Sn-1=an-2n+1, an+1 3 an 两式相减整理得 an+1-3an=2n,则 2n -2·n-1=1, 2 an+1 3? an ? a1 即 2n +2=2?2n-1+2?.又20+2=3,知 ? ?
? ? ? an ? ? n-1+2?是首项为 2 ? ? ? ?

3 3,公比为2的等比数列,

an ?3? ∴ n-1+2=3?2?n-1, ? ? 2 即 an=3n-2n,n=1 时也适合此式,∴an=3n-2n. (3)证明 1 由(2)得a =
n

1 . 3 -2n
n

?3? 当 n≥2 时,?2?n>2,即 3n-2n>2n, ? ? 1 ? 3 1 1 1 1? ?1? ?1? ?1? ∴a +a +…+a <1+?2?2+?2?3+…+?2?n=1+2?1-2n-1?<2. ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 n 13.已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为 14,且 a1,a3,a7 恰为等比 数列{bn}的前三项.

(1)分别求数列{an},{bn}的前 n 项和 Sn,Tn; SnTn (2)记数列{anbn}的前 n 项和为 Kn,设 cn= K ,求证:cn+1>cn(n∈N*). n (1)解 ?4a1+6d=14, 设公差为 d,则? 2 ??a1+2d? =a1?a1+6d?,

解得 d=1 或 d=0(舍去),a1=2, n?n+3? 所以 an=n+1,Sn= 2 . 又 a1=2,d=1,所以 a3=4,即 b2=4. b2 所以数列{bn}的首项为 b1=2,公比 q=b =2,
1

所以 bn=2n,Tn=2n+1-2. (2)证明 因为 Kn=2· 21+3· 22+…+(n+1)· 2n, ① ②

故 2Kn=2· 22+3· 23+…+n· 2n+(n+1)· 2n+1, ①-②得-Kn=2· 21+22+23+…+2n-(n+1)· 2n+1, ∴Kn=n· 2
n+1

SnTn ?n+3??2 -1? ,则 cn= K = . 2n+1 n

n

?n+4??2n+1-1? ?n+3??2n-1? cn+1-cn= - 2n+2 2n+1 2n+1+n+2 = >0, 2n+2 所以 cn+1>cn(n∈N*). 14.设数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+1=a2Sn+a1,其中 a2≠0. (1)求证:{an}是首项为 1 的等比数列; n (2)若 a2>-1,求证:Sn≤2(a1+an),并给出等号成立的充要条件. 证明 (1)由 S2=a2S1+a1,得 a1+a2=a2a1+a1, 即 a2=a2a1. a2 因 a2≠0,故 a1=1,得a =a2,
1

又由题设条件知 Sn+2=a2Sn+1+a1,Sn+1=a2Sn+a1, 两式相减得 Sn+2-Sn+1=a2(Sn+1-Sn),

an+2 即 an+2=a2an+1,由 a2≠0,知 an+1≠0,因此 =a . an+1 2 an+1 综上, a =a2 对所有 n∈N*成立.从而{an}是首项为 1,公比为 a2 的等比数 n 列. n (2)当 n=1 或 2 时,显然 Sn=2(a1+an),等号成立.
-1 设 n≥3,a2>-1 且 a2≠0,由(1)知,a1=1,an=an 2 ,

所以要证的不等式化为:
n-1 n n -1 1+a2+a2 2+…+a2 ≤ (1+a2 )(n≥3), 2 n n+1 n 即证:1+a2+a2 2+…+a2≤ 2 (1+a2)(n≥2),

当 a2=1 时,上面不等式的等号成立.
n-r 当-1<a2<1 时,ar 2-1 与 a2 -1,(r=1,2,…,n-1)同为负; n-r 当 a2>1 时,ar 2-1 与 a2 -1,(r=1,2,…,n-1)同为正; n-r r n-r n 因此当 a2>-1 且 a2≠1 时,总有(ar 2-1)(a2 -1)>0,即 a2+a2 <1+a2,(r

=1,2,…,n-1). 上面不等式对 r 从 1 到 n-1 求和得
n-1 n 2(a2+a2 2+…+a2 )<(n-1)(1+a2). n n+ 1 n 由此得 1+a2+a2 2+…+a2< 2 (1+a2).

n 综上,当 a2>-1 且 a2≠0 时,有 Sn≤2(a1+an),当且仅当 n=1,2 或 a2=1 时 等号成立.



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