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10.3二项式定理-34页精选文档_图文

§10.3 二项式定理

基础知识 自主学习

要点梳理

1.二项式定理 (a+b)n=C0nan+C1nan-1b1+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn(n∈N*). 这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做

(a+b)n的二项展开式,其中的系数Cnr (k=0,1,2,…n)叫做 二

项式系数 .式中的

C

r n

a

n

?

r

b

r

叫做二项展开式的

通项 ,用

Tr+1表示,即展开式的第

k+1

项;T = r+1

C

r n

a

n

?

r

b

r
.

2.二项展开式形式上的特点

(1)项数为 n+1

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n,即 a 与 b 的指数

的和为 n . (3)字母 a 按 降幂 排列,从第一项开始,次数由 n 逐项

减 1 直到零;字母 b 按 升幂 排列,从第一项起,次数由

零逐项增 1 直到 n.

(4)二项式的系数从 C

0 n

3.二项式系数的性质

,C1n,一直到

Cnn-1,

C

n n

.

(1)对称性:与首末两端 “等距离”的两个二项式系数相等,

即 Cnm=Cnn-m.

n+1

(2)增减性与最大值:二项式系数Crn,当r< n+1

2 时,二项式

系数是递增的;当r> 2 时,二项式系数是递减的.

n

当n是偶数时,

中间的一项

C

2 n

取得最大值.

n ?1

n?1

当n是奇数时,中间两项

C

2 n



C

2 n

相等,且同时取得

最大值.

(3)各二项式系数的和 (a+b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n,即 C0 n+C1 n+C2 n+...+Cn r+...+Cn n=2n.

二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的

二项式系数的和,即 C1n+C3n+C5n+

= C0n+Cn2+C4n+

n -1

=2

[难点正本 疑点清源] 1.二项式的项数与项
(1)二项式的展开式共有 n+1 项,Crnan-rbr是第 r+1 项.即 r+1 是项数,Crnan-rbr 是项. (2)通项是 Tr+1=Crnan-rbr (r=0,1,2,……,n).其中含有 Tr+1,a,b,n,r 五个元素,只要知道其中四个即可求第五
个元素. 2.二项式系数与展开式项的系数的异同
在 Tr+1=Crnan-rbr 中,Crn就是该项的二项式系数,它与 a,b
的值无关;Tr+1 项的系数指化简后除字母以外的数,如 a=2x,
b=3y,Tr+1=Crn2n-r·3rxn-ryr,其中 Crn2n-r3r 就是 Tr+1 项的系


基础自测 1.若(x-1)4=a0+a1 x+a2 x2+a3 x3+a4 x4,则 a0+a2+a4 的
值为____8____.
解析 ∵(x-1)4=1+C14x(-1)3+C24x2(-1)2+C34x3(-1)+ x4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4, ∴a0=1,a2=C24=6,a4=1,∴a0+a2+a4=8.

2.在????x4+1x????10 的展开式中常数项是__4_5___(用数字作答).
解析 Tr+1=C1r0(x4)10-r ???1x???r=Cr10x40-5r, 令40-5r=0得r=8,则展开式中常数项为 C810=C210=45.

3.(2010·全国Ⅱ)若(x-ax)9 的展开式中 x3 的系数是-84, 则 a=___1_____.
解析 Tr+1=C9rx9-rx-r(-a)r=(-a)rCr9x9-2r. 令9-2r=3,得r=3. ∴x3的系数为-a3C39=-84, ∴a3=1,∴a=1.

4.(2010·江西)(2- x)8 展开式中不含 x4 项的系数的和为
(B ) A.-1 B.0 C.1 D.2

解析

(2-

x

)8展开式的通项Tr+1=C

r 8

·28-r·(-

Cr8·28-r·(-1)r·x

k 2

.由2r=4得r=8.

x )r=

∴展开式中x4项的系数为C88=1. 又∵(2- x)8展开式中各项系数的和为(2-1)8=1,

∴展开式中不含x4项的系数的和为0.

5.若(1+ 2)5=a+b 2(a、b 为有理数),则 a+b 等于( C )

A.45

B.55

C.70

D.80

解析 ∵(1+ 2)5=1+5 2+20+20 2+20+4 2 =41+29 2=a+b 2,又 a、b 为有理数, ∴?????ab==4219,, ∴a+b=41+29=70.

题型分类 深度剖析

题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数

例1

?

在二项式

? ?

?

x+ 2

1
4

? ?
x??

n的展开式中,前三项的系数成等差

数列,求展开式中的有理项和二项式系数最大的项.

思维启迪:利用已知条件前三项的系数成等差数 列求出 n,再用通项公式求有理项.

解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1,n2,18n(n-1), ∴2·n2=1+18n(n-1),

解得n=8或n=1(不合题意,舍去),

∴Tr+1=Cr8

x

8?r 2

(

2

1
4

x

)r

=Cr82-r

4?
x

3 4

r



当4-r∈Z时,Tr+1为有理项,

∵0≤r≤8且r∈Z,∴r=0,4,8符合要求.

故有理项有3项,分别是 T1=x4,T5=385x,T9=2156x-2.
∵n=8,∴展开式中共9项, 中间一项即第5项的二项式系数最大且为T5=385x.

探究提高 求二项展开式中的指定项,一般是利用通项公式进 行,化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时, 指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数r+1,代回 通项公式即可.

变式训练1 已知n为正偶数,且 ???x2-21x??? n的展开式中第4项的 二项式系数最大,则第4项的系数是______.(用数字作答)
解析 n为正偶数,且第4项二项式系数最大,故展开式共7 项,n=6,第4项系数为C36???-12???3=-52.

题型二 二项式系数和或各项的系数和的问题 例2 在(2x-3y)10的展开式中,求:
(1)二项式系数的和; (2)各项系数的和; (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项系数和与偶数项系数和; (5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.

思维启迪:求二项式的系数的和,常用赋值法求解.
解 设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,(*) 各项系数和即为 a0+a1+…+a10,奇数项系数和为 a0+ a2+…+a10,偶数项系数和为 a1+a3+a5+…+a9,x 的 奇次项系数和为 a1+a3+a5+…+a9,x 的偶次项系数和 a0+a2+a4+…+a10. 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.

(1)二项式系数的和为C010+C110+…+C1100=210. (2)令x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1.
(3)奇数项的二项式系数和为C010+C210+…+C1100=29, 偶数项的二项式系数和为C110+C310+…+C910=29. (4)令x=y=1,得到a0+a1+a2+…+a10=1,① 令x=1,y=-1(或x=-1,y=1),
得a0-a1+a2-a3+…+a10=510,② ①+②得2(a0+a2+…+a10)=1+510, ∴奇数项的系数和为1+2510; ①-②得2(a1+a3+…+a9)=1-510, ∴偶数项的系数和为1-2510.

(5)x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9=1-2510; x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10=1+2510.

探究提高 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重

要的方法,对形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m (a、b∈R)的

式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x

=1即可;对形如(ax+by)n (a,b∈R)的式子求其展开式

各项系数之和,只需令x=y=1即可.

(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各

项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=

f?1?+f?-1? 2

,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=

f?1?-f?-1? 2.

变式训练 2 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7. 求:(1)a1+a2+…+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6; (4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.
解 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1,① 令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.② (1)∵a0=C07=1,∴a1+a2+a3+…+a7=-2. (2)(①-②)÷2,

得a1+a3+a5+a7=-12-37=-1 094. (3)(①+②)÷2, 得a0+a2+a4+a6=-12+37=1 093. (4)∵(1-2x)7展开式中,a0,a2,a4,a6大于零, 而a1,a3,a5,a7小于零, ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7| =(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7), ∴由(2)、(3)即可得其值为2 187.

题型三 二项式定理的综合应用 例 3 (1)已知 n∈N*,求 1+2+22+23+…+24n-1 除以 17 的余
数; (2)求(1.999)5 精确到 0.001 的近似值.
思维启迪:(1) 先用等比数列前n项和公式求和,然后转化成 含17的二项式. (2)把(1.999)5转化为二项式,适当展开,根据精确度的要求, 取必要的几项即可.

解 (1)∵1+2+22+23+…+24n-1 =11--224n=24n-1=16n-1

=(17-1)n-1

=17n+C1n·17n-1·(-1)+C2n·17n-2·(-1)2+…+

Cnn-1·17·(-1)n-1+Cnn·(-1)n-1



17[17n



1



C

1 n

·17n



2·( -

1)



C

2 n

·17n



3·( -

1)2







Cnn-1·(-1)n-1]+(-1)n-1,

∴当 n 为偶数时,所求余数为 0,当 n 为奇数时,所求余

数为 15.

(2) (1.999)5=(2-0.001)5=25-C15×24×0.001+C25×23×0.0012 -C35×22×0.0013+… 第三项 T3=C25×23×0.0012=0.000 08<0.001, 以后各项的绝对值更小. ∴(1.999)5≈25-C15×24×0.001=31.920.
探究提高 (1)二项式定理的一个重要用途是做近似计算:当n 不很大,|x|比较小时,(1+x)n≈1+nx. (2)利用二项式定理还可以证明整除问题或求余数问题,在证明 整除问题或求余数问题时要进行合理的变形,使被除式(数)展 开后的每一项都含有除式的因式,要注意变形的技巧.

变式训练 3 求证:(1)32n+2-8n-9 能被 64 整除(n∈N*); (2)3n>(n+2)·2n-1 (n∈N*,n>2).
证明 (1)∵32n+2-8n-9=32·32n-8n-9 =9·9n-8n-9=9(8+1)n-8n-9 =9(C0n8n+C1n8n-1+…+Cnn-1·8+Cnn·1)-8n-9 =9(8n+C1n8n-1+…+Cnn-282)+9·8n+9-8n-9 =9×82(8n-2+C1n·8n-3+…+Cnn-2)+64n =64[9(8n-2+C1n8n-3+…+Cnn-2)+n], 显然括号内是正整数,∴原式能被 64 整除.

(2) 利用二项式定理对 3n=(2+1)n 展开证明. 因为 n∈N*,且 n>2,所以 3n=(2+1)n 展开后至少有 4 项. (2+1)n=2n+C1n·2n-1+…+Cnn-1·2+1≥2n+n·2n-1+2n+ 1>2n+n·2n-1=(n+2)·2n-1, 故 3n>(n+2)·2n-1.

易错警示 14.混淆二项展开式的项与项数以及二项式系数与项的系数致
误 试题:(5 分)(x y-y x)4 的展开式中 x3y3 的系数是________, 此项为第________项. 学生答案展示 6 2
审题视角 本题所求的是 x3y3 的系数,而不是二项式 系数;第 2 问是项数

解析 (x y-y x)4的展开式的通项为

Cr4x4-r

2? 4
y2

r
(?1)ryr x 2

=(-1)rCr4

4? r
x2

y

2?

r 2

.令???4-2r=3,

??2+2r=3,

得r=2.

故展开式中x3y3的系数为(-1)2·C

2 4

=6.由于r=2,所以此项

为第3项.

正确答案 6 3

批阅笔记 (1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的 概念,解题时要注意弄清题意,看清题目求的是什么. (2)二项展开式中Tr+1是第r+1项,而不是第r项.学生混淆了 项数r+1与r的关系.

思想方法 感悟提高

方法与技巧

1.通项公式最常用,是解题的基础. 2.对三项或三项以上的展开问题,应根据式子的特点,转化
为二项式来解决,转化的方法通常为集项、配方、因式分

解,集项时要注意结合的合理性和简捷性.

3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨

论对k的限制;求有理项时要注意到指数及项数的整数性.

4.性质1是组合数公式C

r n

=C

n-r n

的再现,性质2是从函数的角

度研究二项式系数的单调性,性质3是利用赋值法得出的二

项展开式中所有二项式系数的和.

5.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时 根据题意,给字母赋值,是求解二项展开式各项系数和的 一种重要方法.
6.二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项 数、二项式系数等方面的内在联系,涉及到二项展开式中 的项和系数的综合问题,只需运用通项公式和二项式系数 的性质对条件进行逐个分析,对于与组合数有关的和的问 题,赋值法是常用且重要的方法,同时注意二项式定理的 逆用.

失误与防范 1.要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)
数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来. 2.根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化,学生易
出错. 3.通项公式是第r+1项而不是第k项.
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