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高中数学必修五1.1.1 正弦定理练习


一、本节学习目标 1.理解正弦定理,并能初运应用它解斜三角形; 2. 熟练运用“向量”的方法解决有关几何问题. 二、重难点指引 1.重点:正弦定理的探究过程;渗透“数学地”发现问题的方法. 2.难点:正弦定理的探究过程. 三、学法指导 处理三角形问题要注意与三角形全等的判定相结合, 要从几何图形、 三角函及三角形的边角 关系等去分析三角形解的情况. 4.熟练应用定理. 四、教材多维研读 ▲ 一读教材 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的

的比相等,即

. ,已知

2.一般地,把三角形的三个角 A, B, C 和它们所对的边 a, b, c 叫做三角形的 三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 3.你能得到正弦定理的哪些变式? .

4. ?ABC 的面积公式: S ?ABC ? __________=__________=_________ ▲ 二读教材
? ? 1.已知:在 ?ABC 中, A ? 45 , C ? 30 , c ? 10 ,解此三角形.

? 2.已知:在 ?ABC 中, A ? 45 , AB ? 6 , BC ? 2 ,解此三角形.

▲ 三读教材 1.用正弦定理可解决下列那种问题 (1)已知三角形三边; (2)已知三角形两边与其中一边的对角; (3)已知三角形两边与第三边 的对角; (4)已知三角形三个内角;(5)已知三角形两角与任一边; 6)已知三角形一个内角 与它所对边之外的两边. 2.在 ?ABC 中,分别根据所给条件,指出解的个数: (1) a ? 4, b ? 5, A ? 30? ;
[来源:学科网]

(2) a ? 5, b ? 4, A ? 60? ;

(3) a ? 3, b ?

2, B ? 120? ;

(4) a ? 3, b ? 6, A ? 60? .

五、典型例析 例 1 在 ?ABC 中, a ? 15, b ? 10, A ? 60? ,则 cos B =

A .-

2 2 3

B .

2 2 3

C .-

6 3

D.

6 3

例 2 在 ?ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,判断 ?ABC 的形状.

例 3 如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5 3 ? 3 海里的两个观测点,现位于 A 点北 偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有 一 艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即即前往 航行速度为 30 海里/小时, 该救援船到达 D 点需 间?

?

?


A

D B

营救,其 要多长时

C

六、课后自测 ? 基础知识自测 1.已知 △ ABC 中, a ? A. 135 2.在 ?ABC 中,若 A. 30
?

2 , b ? 3 , B ? 60 ,那么角 A 等于(
C. 45 D. 30 ) D. 90 )
?



B. 90

sin A cos B ? ,则 B 的值为( a b
B. 45
?

C. 60

?

3.在 ?ABC 中,若

cos A b 4 ? ? ,则 ?ABC 是( cos B a 3

A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰或直角三角形 D.钝角三角形 4.已知 ?ABC ,根据下列条件,求相应的三角形中其它边和角的大小:

a ? 5, b ? 2, B ? 120? ; (1)A ? 60?, B ? 45?, a ? 10 ; (2) (3) b ? 3 6, c ? 6, B ? 120? .

5.如图,货轮在海上以 50 海里/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的 o o 水平角)为 155 的方向航行.为了确定船位,在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为 125 .半 o 小时后, 货轮到达 C 点处, 观测到灯 塔 A 的方位角为 80 . 求此时货轮与灯塔之间的距离 (答 案保留最简根号) . 北 B
155o 125o

北 ? 能力提升自测 1.如图: D, C, B 三点在地面同一直线上, DC ? a ,从 C , D 两 是 ? , ? ( ? ? ? ),则 A 点离地面的高度 AB 等于 A. C
80 o

A

点测得 A 点仰角分别 ( )

a sin ? sin ? sin(? ? ? ) a sin ? cos ? sin(? ? ? )

B.

a sin ? ? sin ? cos(? ? ? )
a cos? sin ? cos(? ? ? )

A

C.

D.

α D
)

β C B

2.在 ?ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有一解的是( A. b ? 7, c ? 3, C ? 30? C. a ? 6, b ? 6 3, B ? 60?

B. b ? 5, c ? 4 2 , B ? 45? D. a ? 20, b ? 30, A ? 30?

3.在 ?ABC 中,若 b ? 2c sin B ,则 ?C =_____________ 4 .已知 a, b, c 分别是的三个内角 A, B, C 所对的边,若 a ? 1, b ? 3 , A ? C ? 2 B , 则

sin C =
5.在 ?ABC 中,若
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.

tan A a 2 ? ,则△ABC 的形状是( tan B b 2
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A 直角三角形 B 等腰或直角三角形 C 不能确定 D 等腰三角形 ? 智能拓展训练 1.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A .
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(Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.

2.在 ? ABC 中,

AC cos B ? . AB cos C 1 ?? ? ,求 sin? 4 B ? ? 的值. 3 3? ?

(Ⅰ)证明 B ? C ; (Ⅱ)若 cos A =-

3.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分 别为 a, b, c ,已知 cos 2C ? ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)当 a ? 2 , 2 sin A ? sin C 时,求 c 的长.
[来源:Zxxk.Com]

1 4

1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理参考答案:

教材多维研读 ▲ 一读教材

a b c = = ;2.元素,解三角形; sin A sin B sin C 3.(1) a ? 2 R sin A,b ? 2 R sin B,c ? 2 R sin C ; a b c , sin B ? , sin C ? (2) sin A ? ; 2R 2R 2R (3) a : b : c ? sin A : sin B : sin C ; 1 1 1 4. S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2
1.正弦, ▲ 二读教材 1.解: ? A ? 45?, C ? 30?, A ? B ? C ? 180?,

[来源:学.科. 网 Z.X.X.K]

?B ?1 8 ? 0? ? A ? C ? ? 1 0 ? 5
a b c ? ? ?k sin A sin B sin C c c ? a ? sin A ? ? 10 2 , b ? sin B ? ?5 2? 6 sin C sin C
又∵

?

?

? 2.已知:在 ?ABC 中, A ? 45 , AB ? 6 , BC ? 2 ,解此三角形.

解: ∵

a b c ? ? ?k sin A sin B sin C

? sin C ? c ?

sin A 3 ,∴ C ? 60?或120 ? ? a 2

当 C ? 60? 时, B ? 75?, b ? 1 ? 3 ; 当 C ? 120 ? 时, B ? 15?, b ? 3 ? 1 ▲ 三读教材 1.②⑤; 【解析】(1)

b a 5 ? , sin B ? ? 1,? a ? b ? A ? 30? ? B, 两组解; sin B sin A 8

(2)

b a 2 3 ? , sin B ? ? 1,? a ? b ? A ? 60? ? B, 一组解; sin B sin A 5

(3)

b a 3 2 ? , sin A ? ? b ? a ? B ? 120? ? A, 无解; sin B sin A 4 b a 6 ? , sin B ? ? 1 ,无解. sin B sin A 2

(4)

课后自测 ? 基础知识自测 1. C 2. B 3. A 4.(1)C= 75 ? ,b=

10 6 15 2 ? 5 6 ,c= (2)无解(3)C=450,A=150,a≈2.2 3 3
1 BC = ? 50 =25, 2
∴AC =

5.解:在 ?ABC 中, ?ABC =155° -125° =30° , ?BCA =180° -155° +80° =105° ,

?BAC =180° -30° -105° =45° ,

由正弦定理,得

AC BC ? sin 30? sin 45?

BC ? sin 30? 25 2 (海里) ? sin 45? 2

答:船与灯塔间的距离为 ? 能力提升自测

25 2 海里. 2
4.1 5. B

[来源:学§科§网]

1. A 2. C ? 智能拓展训练

3. 30 ?或150 ?

1.解: (Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? 由 △ ABC 为锐角三角形得 B ?

1 , 2

π . 6

(Ⅱ) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ?

? ?

? ? ? A? ? ?

1 3 ?? ? ?? ? sin A ? 3 sin ? A ? ? . ? cos A ? sin ? ? A ? ? cos A ? cos A ? 2 2 3? ? ?6 ?
由 △ ABC 为锐角三角形知,

? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? A? ?B , ?B? ? ? . ? A? ? , 2 2 2 2 6 3 3 3 6
所以

[来源:学科网 ZXXK]

1 ? ?? 3 3 ?? 3 ? .由此有 sin ? A ? ? ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3, 2 ? 3? 2 2 3? 2 ?
? 3 3? ?. ? 2 , 2? ? ?

所以, cos A ? sin C 的取值范围为 ?

2.解: ( Ⅰ ) 证 明 : 在 △ ABC 中 , 由 正 弦 定 理 及 已 知 得

sin B cosB = .于是 sin C cosC

s i nB c o sC ? c o sB s i n C ? 0 , 即 s i ?n B ? C ? ? 0 . 因 为 ?? ? B ? C ? ? , 从 而

B ? C ? 0, 所以B ? C .
( Ⅱ ) 解 : 由

A? B ?C ?? 1 cos 2 B = ? cos?? ? 2B ? = ? cos A = . 3
2

和 ( Ⅰ )



A ? ? ? 2B

, 故

又 0 ? 2 B ? ? ,于是 sin 2 B ? 1 ? cos 2 B ?

2 2 . 3

从而 sin 4 B ? 2 sin 2 B cos 2 B ?

7 4 2 2 2 , cos 4 B ? cos 2 B ? sin 2 B ? ? . 9 9

所以 sin(4 B ?

?
3

) ? sin 4 B cos

?
3

? cos 4 Bsin

?
3

?

4 2 ?7 3 18 .
所以 sin C ?

3. (Ⅰ)解:因为 cos 2C ? 1 ? 2 sin C ? ?
2

1 ,及 0 ? C ? ? 4

10 . 4

(Ⅱ)解:当 a ? 2 , 2 sin A ? sin C 时,由正弦定理 .

a c ? ,得 c=4 sin A sin C


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