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【新】河北省临漳县第一中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题 理-参考下载

小中高 精品 教案 试卷

河北省临漳县第一中学 2018-2019 学年高二数学上学期期中试题 理
一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分) 2 2 1. 实数集 R,设集合 P={x|x -4x+3≤0},Q={x|x -4<0},则 P∪(?RQ)=( A. B. C. D. 2. △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a= )

,c=2,cosA= ,则 b=(



A.

B.

C. 2

D. 3 .若

3. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 sinB·sinC=sin A,则△ABC 的形状是()
2

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 n 4. 已知数列{an}满足 a1=1,an+1=an+2 ,则 a10=( ) A. 1024 B. 1023 C. 2048 D. 2047 5. △ABC 中,a.b.c 分别为∠A.∠B.∠C 的对边,如果 a.b.c 成等差数列,∠B=30°, △ABC 的面积为 ,那么 b 等于( )

A. 6. 在△ABC 中, A.

B.

C.

D. )

,A=75°,B=45°,则△ABC 的外接圆面积为( B. π C. 2π D. 4π

7. 设 x,y 满足约束条件

,则 z=x+y 的最大值为(



A. 0

B. 1

C. 2 , 目标函数

D. 3 的最大值为 2,

8. 设 x, y 满足约束条件



的最小值为(



A.

B.

C.

D.

9. 给出如下四个命题: ①若“p 且 q”为假命题,则 p、q 均为假命题;
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②命题“若 a>b,则 2a>2b-1”的否命题为“若 a≤b,则 2a≤2b-1”; ③“? x∈R,x2+1≥1”的否定是“? x∈R,x2+1<1”; ④在△ABC 中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件. 其中正确的命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 方程 A. -3<m<0 11. 若曲线 A. C. 12. 已知双曲线 表示双曲线的一个充分不必要条件是( B. -3<m<2 C. -3<m<4 )

D. -1<m<3

表示椭圆,则 k 的取值范围是 B. D.



=1(a>0,b>0),点 A、F 分别为其右顶点和右焦点,B1(0,b), ) D.

B2(0,-b),若 B1F⊥B2A,则该双曲线的离心率为(
A. B. C.

二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分)

13. 在△ABC 中,a=

,b=1,∠A=

,则 cosB= ______ .

14. 若等差数列{an}满足 a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当 n= ______ 时,{an}的前 n 项和最大. 15. 若命题“? t∈R,t2-2t-a<0”是假命题,则实数 a 的取值范围是______. 16. 点 P 是椭圆 + =1 上一点, F1, F2 分别是椭圆的左、 右焦点, 若|PF1||PF2|=12, 则∠F1PF2

的大小______ .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70.0 分) 17. 已知 a,b,c 分别是△ABC 内角 A,B,C 的对边,且满足(b-c)2=a2-bc. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=3,sinC=2sinB,求△ABC 的面积.

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18. 设数列{an}满足 a1+3a2+…+(2n-1)an=2n. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{ }的前 n 项和.

19. 设集合 A={x|x <9},B={x|(x-2)(x+4)<0}. (1)求集合 A∩B; (2)若不等式 2x2+ax+b<0 的解集为 A∪B,求 a、b 的值.

2

20. 设 p:实数 x 满足 x2+2ax-3a2<0(a>0),q:实数 x 满足 x2+2x-8<0,且 p 是 q 的必 要不充分条件,求 a 的取值范围.

21. 已知椭圆 C:

(a>b>0)的两个焦点分别为 F1,F2,离心率为 ,过 F1 的直

线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点,且△MNF2 的周长为 8. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 y=kx+b 与椭圆 C 分别交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,试问点 O 到直线 AB 的 距离是否为定值,证明你的结论.
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22. 已知双曲线

的渐近线方程为

,左焦点为 F,过 A(a,0),B(0,

-b)的直线为 l,原点到直线 l 的距离是 . (1)求双曲线的方程;

(2)已知直线 y=x+m 交双曲线于不同的两点 C,D,问是否存在实数 m,使得以 CD 为直径的 圆经过双曲线的左焦点 F.若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

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答案和解析 1.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查了解不等式与集合的运算问题,是基础题. 解不等式求得集合 P、Q,再根据补集与并集的定义计算即可. 【解答】 2 解:实数集 R,集合 P={x|x -4x+3≤0}={x|1≤x≤3}, 2 Q={x|x -4<0}={x|-2<x<2}, ∴?RQ={x|x≤-2 或 x≥2}, ∴P∪(?RQ)={x|x≤-2 或 x≥1}=(-∞,-2]∪[1,+∞). 故选 D. 2.【答案】D 【解析】 解:∵a= ,c=2,cosA= , = = ,整理可得:3b2-8b-3=0,

∴由余弦定理可得:cosA= ∴解得:b=3 或故选:D. 由余弦定理可得 cosA=

(舍去).

,利用已知整理可得 3b -8b-3=0,从而解得 b 的值.

2

本题主要考查了余弦定理,一元二次方程的解法在解三角形中的应用,考查了计算能力和转 化思想,属于基础题. 3.【答案】C 【解析】 【分析】 b +c =a +bc,利用余弦定理可得 cosA=
2 2 2

,可得

.由 sin B?sinC=sin A,利正弦定理可

2

得:bc=a2,代入 b2+c2=a2+bc,可得 b=c.本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定 方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 本题主要考查了正余弦定理的应用,运用正余弦定理来判断三角形各个角之间的关系,属于 简单题. 【解答】 解:在△ABC 中,∵b2+c2=a2+bc,∴cosA= = = ,

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∵A∈(0,π ),∴



∵ , 2 ∴bc=a , 2 2 2 2 代入 b +c =a +bc,∴(b-c) =0,解得 b=c. ∴△ABC 的形状是等边三角形. 故选:C. 4.【答案】B 【解析】 解:∵数列{an}满足 a1=1,an+1=an+2 , ∴an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1)=1+2 +2 +…+2 =
1 2 n-1 n

=2 -1.(n∈N ).

n

*

∴a10=210-1=1023. 故选:B. 由已知递推式,利用累加求和及等比数列的前 n 项和公式即可求出. 正确理解递推式,熟练掌握“累加求和”方法及等比数列的前 n 项和公式是解题的关键. 5.【答案】B 【解析】 【分析】 2 2 2 由题意可得 2b=a+c.平方后整理得 a +c =4b -2ac.利用三角形面积可求得 ac 的值,代入余弦 定理可求得 b 的值.本题考查等差数列和三角形的面积,涉及余弦定理的应用,属基础题. 【解答】 解:∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c. 2 2 2 平方得 a +c =4b -2ac.① 又△ABC 的面积为 由 S△ABC= acsinB= ,且∠B=30°, ac sin30°= ac= ,解得 ac=6,

代入①式可得 a2+c2=4b2-12, 由余弦定理 cosB= 解得 b2=4+2 故选 B = = . = .

,又∵b 为边长,∴b=1+

6.【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查正弦定理,求出外接圆的半径是解决问题的关键,属基础题. 【解答】 解:在 中, , , ,
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∴ 则由正弦定理可得 故 故选

,设 =

的外接圆半径为 ,解得 , ,



的外接圆面积 .

7.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查线性规划的简单应用,考查约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,判断目 标函数的最优解是解题的关键. 解:x,y 满足约束条件 的可行域如图:

z=x+y 即 y=-x+z,当直线过点 A 时,直线 y=-x+z 的截距最大,z 的值最大. 由 解得 A(3,0),

所以 z=x+y 的最大值为 3. 故选 D. 8.【答案】C 【解析】 【分析】 先根据条件画出可行域,设

,再利用几何意义求最值,将最大值转化为 y 轴上的截 距,只需求出直线 ,过可行域内的点 (1,4)时取得最大值,从而得到一个关于 a, b 的等式,最后利用基本不等式求最小值即可 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应 用、简单的线性规划,以及利用几何意义求最 值,属于中档题. 【解答】 解: 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分, 当直线 过直线 与 的交点 时, 目标函数 取得最大 ,

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即 则 当且仅当 故选:C.

, ; 时等号成立;

9.【答案】C 【解析】 【分析】 本题以命题的真假判断与应用为载体考查了复合命题,四种命题,全称命题,充要条件等知 识点,难度中档.根据复合命题真假判断的真值表,可判断①;根据四种命题的定义,可判断 ②;根据全称命题的否定,可判断③;根据充要条件的定义,可判断④. 【解答】 解:①若“p 且 q”为假命题,则 p、q 存在至少一个假命题,但不一定均为假命题,故错误; ②命题“若 a>b,则 ”的否命题为“若 ,则 ”,故正确; ③“ , ”的否定是“ , ”,故正确; ④在 中,“ ”?“a>b”?“2RsinA>2RsinB”?“sinA>sinB”, 故“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件,故正确. 故选 C.

10.【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查双曲线的几何性质,涉及充分必要条件的判定,关键是掌握二元二次方程表示双曲 线的条件. 【解答】 解:根据题意,方程 表示双曲线,

则有(m-2)(m+3)<0,解可得-3<m<2, 要求方程 表示双曲线的一个充分不必要条件,

即要求的是{m|-3<m<2}的真子集; 依次分析选项:A 符合条件, 故选 A.

11.【答案】D 【解析】

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【分析】 曲线 表示椭圆,可得 ,解出即可得出.

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基 础题. 【解答】 解:∵曲线 表示椭圆,





解得-1<k<1,且 k≠0. 故选:D. 12.【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意,设 A(a,0),F(c,0),由向量的坐标计算公式可得 (a,b),进而分析可得 ? =(c,-b), =

=ac-b2=0,结合双曲线的几何性质,可得 c2-a2-ac=0,由

离心率公式变形可得 e2-e-1=0,解可得 e 的值,即可得答案.本题考查双曲线的几何性质, 关键是由 B1F⊥B2A 分析 a、b、c 的关系. 【解答】 解:根据题意,已知双曲线 设 A(a,0),F(c,0), 则 =(c,-b), ? =(a,b), =ac-b2=0, =1(a>0,b>0),点 A、F 分别为其右顶点和右焦点,

若 B1F⊥B2A,则有 又由 c2=a2+b2, 则有 c2-a2-ac=0, 变形可得:e2-e-1=0, 解可得 e= 故 e= 故选 C. , 或

(舍)

13.【答案】 【解析】

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解:∵a=

,b=1,∠A=



∴由正弦定理可得:sinB= ∵b<a,B 为锐角, ∴cosB= 故答案为: . = .

=

=



由已知利用正弦定理可求 sinB,利用大边对大角可求 B 为锐角,利用同角三角函数基本关系 式可求 cosB 的值. 本题主要考查了正弦定理,大边对大角,同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用,考 查了转化思想,属于基础题. 14.【答案】8 【解析】 解:由等差数列的性质可得 a7+a8+a9=3a8>0, ∴a8>0,又 a7+a10=a8+a9<0,∴a9<0, ∴等差数列{an}的前 8 项为正数,从第 9 项开始为负数, ∴等差数列{an}的前 8 项和最大, 故答案为:8. 可得等差数列{an}的前 8 项为正数,从第 9 项开始为负数,进而可得结论. 本题考查等差数列的性质和单调性,属中档题. 15.【答案】(-∞,-1] 【解析】 解:命题“? t∈R,t2-2t-a<0”是假命题, 则? t∈R,t2-2t-a≥0 是真命题, ∴△=4+4a≤0,解得 a≤-1. ∴实数 a 的取值范围是(-∞,-1]. 故答案为:(-∞,-1]. 命题“? t∈R,t2-2t-a<0”是假命题,则? t∈R,t2-2t-a≥0 是真命题,可得△≤0. 本题考查了方程与不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于 基础题. 16.【答案】60° 【解析】 解:椭圆 + =1,

可得 2a=8,设|PF1|=m,|PF2|=n, 可得 ,

化简可得:cos∠F1PF2= ∴∠F1PF2=60°
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故答案为:60°. 利用椭圆的定义,结合余弦定理,已知条件,转化求解即可. 本题考查椭圆的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力. 2 2 2 2 2 17.【答案】解:(1)∵(b-c) =a -bc,可得:b +c -a =bc, ∴由余弦定理可得:cosA= 又∵A∈(0,π ), ∴A= , (2)由 sinC=2sinB 及正弦定理可得:c=2b, ∵a=3,A= , ∴由余弦定理可得:a =b +c -2bccosA=b +c -bc=3b , ∴解得:b= ,c=2 , ∴S△ABC= bcsinA= 【解析】 = .
2 2 2 2 2 2

=

=,

(1)由已知等式可得 b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得 cosA= ,结合范围 A∈(0,π ),即可 求得 A 的值. (2)由 sinC=2sinB 及正弦定理可得 c=2b,又 a=3,A= ,由余弦定理可解得 b,c 的值,利 用三角形面积公式即可得解. 18.【答案】解:(1)数列{an}满足 a1+3a2+…+(2n-1)an=2n. n≥2 时,a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1). ∴(2n-1)an=2. ∴an= .

当 n=1 时,a1=2,上式也成立. ∴an= (2) ∴数列{ . = = }的前 n 项和= + . +…+ =1= .

【解析】 本题考查了数列递推关系、裂项求和方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. (1)利用数列递推关系即可得出. (2) = = .利用裂项求和方法即可得出.

19.【答案】解:集合 A={x|x2<9}={x|-3<x<3}, B={x|(x-2)(x+4)<0}={x|-4<x<2}; (1)集合 A∩B={x|-3<x<2};
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(2)∵A∪B={x|-4<x<3}, 且不等式 2x2+ax+b<0 的解集为(-4,3), ∴2x2+ax+b=0 的根是-4 和 3, 由根与系数的关系得 ,

解得 a=2,b=-24. 【解析】 (1)化简集合 A、B,根据交集的定义进行计算即可; (2)求出 A、B 的并集,再由根与系数的关系,即可求出 a、b 的值. 本题考查了集合的化简与运算,以及根与系数的关系应用问题,是基础题目. 20.【答案】解:因为 p:-3a<x<a q:-4<x<2,因为 p 是 q 的必要不充分条件,所以 p 能推出 q,q 不能推出 p. 所以{x|-3a<x<a}?{x|-4<x<2}, 故满足 【解析】 解两个不等式,将 p 和 q 表示为 x 的集合,然后由 p 是 q 的必要不充分条件得两个集合之 间的包含关系,结合数轴构造关于 a 的不等式,求解即可. 本题考查了充分条件、必要条件与集合关系之间的转化,考查了解不等式组,考查了推理能 力与计算能力,属于基础题. 21.【答案】解:(1)由题意知,4a=8,则 a=2, 由椭圆离心率 e= = ∴椭圆 C 的方程 = ,则 b2=3. ; 解得 0<a≤ .

(2)由题意,当直线 AB 的斜率不存在,此时可设 A(x0,x0),B(x0,-x0).又 A,B 两点 在椭圆 C 上, ∴ , ,

∴点 O 到直线 AB 的距离

当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+b.设 A(x1,y1),B(x2,y2) 联立方程 ,消去 y 得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0.

由已知△>0,x1+x2=-

,x1x2=



由 OA⊥OB,则 x1x2+y1y2=0,即 x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=0, 整理得:(k2+1)x1x2+kb(x1+x2)+b2=0, ∴ .

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∴7b2=12(k2+1),满足△>0. ∴点 O 到直线 AB 的距离 d= = = 为定值. 为定值.

综上可知:点 O 到直线 AB 的距离 d= 【解析】

(1)由题意可知:4a=8,e=

=

=

,即可求得 a 和 b 的值,求得椭圆方程;

(2)分类讨论,当直线斜率存在时,利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得 b 和 k 的 关系,利用点到直线的距离公式,即可求得点 O 到直线 AB 的距离是否为定值. 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,向量数 量积的坐标运算,点到直线的距离公式,考查计算能力,属于中档题. 22.【答案】解:(1)∵ 原点到直线 AB: ∴ ,(2 分) .(4 分) .(6 分)
2 2

的距离,

.故所求双曲线方程为
2 2

(2)把 y=x+m 代入 x -3y =3 中消去 y,整理得 2x +6mx+3m +3=0.(8 分) 设 C(x1,y1),D(x2,y2),则 因为以 CD 为直径的圆经过双曲线的左焦点 F,所以 可得 (x1+2)(x2+2)+y1y2=0 把 y1=x1+m,y1=x1+m 代入, 解得: (13 分) 2 解△>0,得 m >2, ∴ 满足△>0, ∴ (14 分) 【解析】 ,F(-2,0), ,(10 分)

(1)根据双曲线的渐近线方程及原点到直线 l 的距离是 (2)以 CD 为直径的圆经过双曲线的左焦点 F,可知

,即可求双曲线的标准方程; .将直线方程与双曲线方程联

立,可得一元二次方程,利用韦达定理可将向量关系转化为坐标关系,从而得解. 本题的考点是直线与圆锥曲线的综合问题,主要考查双曲线的标准方程求解,考查直线与双 曲线的位置关系,应注意判别式的验证.
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