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【名师一号】高考数学一轮总复习 2不等式证明的基本方法课件(选修4-5)

选修 4-5 不等式选讲 第二节 不等式证明的基本方法 基础回扣· 自主学习 热点命题· 深度剖析 高考明方向 1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、放 缩法、数学归纳法. 2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式. 3.能利用均值不等式求一些特定函数的最值. 备考知考情 1.不等式的证明是考查的重点, 主要考查学生分析解决问题的 能力.题型主要为解答题,难度为中档题.如全国卷Ⅰ22 题. 2.柯西不等式主要用来求最值和证明不等式, 要能够将所给关 系式通过“配”“凑”,转化为可以利用柯西不等式的形式.一 般以二元、三元为主,难度中等. J 基础回扣· 自主学习 理教材 夯基础 厚积薄发 知 识 梳 理 知识点一 基本不等式 定理 1:设 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab.当且仅当 a=b 时,等 号成立. a+b 定理 2:如果 a、b 为正数,则 2 ≥ ab,当且仅当 a=b 时, 等号成立. a+b+c 3 定理 3:如果 a、b、c 为正数,则 ≥ abc,当且仅当 3 a=b=c 时,等号成立. 定理 4:(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1、a2、?、 a1+a2+?+an n an 为 n 个正数,则 ≥ a1a2?an,当且仅当 a1=a2 n =?=an 时,等号成立. 知识点二 柯西不等式 (1)设 a,b,c,d 均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2, 当且仅当 ad=bc 时等号成立. 2 2 (2)若 ai,bi(i∈N*)为实数,则(?a2 )( b ) ≥ ( a b ) ? ? i i i i ,当且仅 i =1 i=1 i=1 n n n b1 b2 bn 当 = =?= (当 ai=0 时,约定 bi=0,i=1,2,?,n)时等号 a1 a2 an 成立. (3)柯西不等式的向量形式:设 α,β 为平面上的两个向量,则 |α ||β|≥ |α·β|,当且仅当 α,β 共线时等号成立. 知识点三 不等式证明的基本方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、 放缩法等. 对 点 自 测 知识点一 基本不等式 1. 若 0<a<b<1 ,则 a + b,2 ab , a2 + b2,2ab 中最大的一个是 ________. 解析 ∵a+b>2 ab,a2+b2>2ab. 又(a2+b2)-(a+b)=a(a-1)+b(b-1). ∵0<a<1,0<b<1,∴a(a-1)+b(b-1)<0. ∴a2+b2<a+b. 答案 a+b 2 .已知 x , y ∈ R ,且 ________. ? 1?? 1? ? ? ?1+ ??1+ ?≥?1+ x?? y ? ? ? ? 1? ? 1? xy = 1 ,则 ?1+ x? ?1+y ? 的最小值为 ? ?? ? 解析 1 ? ?2 =4. xy? ? 答案 4 知识点二 柯西不等式 3.已知 x,y,z 为正数,且 x+y+z=1,则 x2+y2+z2 的最小 值是__________. 解析 1 1 1· z) ×3=3. 2 1 x2 +y2 + z2 =(12 +12 +12)(x2 +y2 +z2)×3 ≥(1· x+1· y+ 答案 1 3 4.若 a,b,c∈(0,+∞),且 a+b+c=1,则 a+ b+ c的 最大值为________. 解析 ( a + b + c )2 = (1× a + 1× b + 1× c )2≤(12 + 12 +12)(a+b+c)=3. 1 当且仅当 a=b=c=3时,等号成立. ∴( a+ b+ c)2≤3,故 a+ b+ c的最大值为 3. 答案 3 知识点三 不等式证明的基本方法 a+m a 5.已知 a、b、m 均为正数,且 a<b,M= ,N= ,则 M、 b b+m N 的大小关系是________. a a+m m?a-b? 解析 M-N= - = <0,即 M<N. b b+m b?b+m? 答案 M<N 1 1 1 6.设 a,b,c 为正实数,求证: 3+ 3+ 3+abc≥2 3. a b c 证明 因为 a,b,c 为正实数, 3 1 1 1 1 1 1 由平均不等式可得 3+ 3+ 3≥3 ··, a b c a3 b3 c3 1 1 1 3 即 3+ 3+ 3≥ . a b c abc 1 1 1 3 所以 3+ 3+ 3+abc≥ +abc. a b c abc 而 3 +abc≥2 abc 3 · abc=2 3. abc 1 1 1 所以 3+ 3+ 3+abc≥2 3. a b c R 热点命题· 深度剖析 研考点 知规律 通法悟道 问 题 探 究 问题 1 在证明不等式时综合法和分析法有怎样的关系? 综合法:由条件出发推导出所要证明的不等式成立. 分析法:从结论出发寻找使结论成立的充分条件,综合法与 分析法是对立统一的两种方法.在实际解题时,常常用分析法探 求解题思路,用综合法表达. 问题 2 在什么条件下用分析法证明不等式? 如果不适合用反证法、归纳法,而综合法又不易操作时,通 过分析又容易找到使要证明结论成立的已知条件,这时用分析法. 问题 3 用反证法证明不等式要把握哪几方面内容? (1)必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能,要逐 一论证,缺少任何一种可能,证明都是不完全的. (2)反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件进 行论证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行论证,就 不是反证法. (3)推导出来的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与 假设矛盾,有的与定理、公理相违背等等,但推导出的矛盾必须 是明显的. 高 频 考 点 考点一 比较法证明不等式 【例 1】 已知 a≥b>0,求证:2a3-b3


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