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2018步步高第九章电磁感应专题强化十


专题强化十

电磁感应中的图象和电路问题

专题解读 1.本专题是运动学、动力学、恒定电流、电磁感应等观点的综合应用,高考常以 选择题的形式命题. 2.学好本专题,可以极大的培养同学们数形结合的推理能力和电路分析能力,针对性的专 题强化,可以提升同学们解决数形结合、电路分析的信心. 3.用到的知识有:左手定则、安培定则、右手定则、楞次定律、法拉第电磁感应定律、闭 合电路欧姆定律、牛顿运动定律、函数图象等.

命题点一 电磁感应中的图象问题 1.题型简述:借助图象考查电磁感应的规律,一直是高考的热点,此类题目一般分为两类: (1)由给定的电磁感应过程选出正确的图象; (2)由给定的图象分析电磁感应过程,定性或定量求解相应的物理量或推断出其他图象.常 见的图象有 B-t 图、E-t 图、i-t 图、v-t 图及 F-t 图等. 2.解题关键 弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点 等是解决此类问题的关键. 3.解决图象问题的一般步骤 (1)明确图象的种类,即是 B-t 图还是 Φ-t 图,或者 E-t 图、I-t 图等; (2)分析电磁感应的具体过程; (3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系; (4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关 系式; (5)根据函数关系式,进行数学分析,如分析斜率的变化、截距等; (6)画图象或判断图象. 4.求解电磁感应图象类选择题的两种常用方法 (1)排除法:定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均匀 变化还是非均匀变化),特别是分析物理量的正负,以排除错误的选项. (2)函数法:根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系,然后由函数关系对 图象进行分析和判断.

例1

(多选)如图 1 所示,电阻不计、间距为 L 的光滑平行金属导轨水平放置于磁感应强度

为 B、方向竖直向下的匀强磁场中,导轨左端接一定值电阻 R.质量为 m、电阻为 r 的金属棒 MN 置于导轨上, 受到垂直于金属棒的水平外力 F 的作用由静止开始运动, 外力 F 与金属棒 速度 v 的关系是 F=F0+kv(F0、k 是常量),金属棒与导轨始终垂直且接触良好.金属棒中 感应电流为 i,受到的安培力大小为 F 安,电阻 R 两端的电压为 UR,感应电流的功率为 P, 它们随时间 t 变化图象可能正确的有( )

图1

答案 BC E 解析 设金属棒在某一时刻速度为 v,由题意可知,感应电动势 E=BLv,回路电流 I= R+r BL B2L2 = v,即 I∝v;安培力 F 安=BIL= v,方向水平向左,即 F 安∝v;R 两端电压 UR= R+r R+r BLR B2L2 2 IR= v,即 UR∝v;感应电流功率 P=EI= v ,即 P∝v2. R+r R +r B2L2 B2L2 分析金属棒运动情况,由牛顿运动第二定律可得 F0+kv- v=ma,即 F0+(k- )v= R+r R +r ma.因为金属棒从静止开始运动,所以 F0>0 . B 2L 2 (1)若 k= ,金属棒水平向右做匀加速直线运动.所以在此情况下没有选项符合; R+r B 2L 2 (2)若 k> ,F 合随 v 增大而增大,即 a 随 v 增大而增大,说明金属棒在做加速度增大的加 R+r 速运动,根据四个物理量与速度的关系可知 B 选项符合; B 2L 2 (3)若 k< ,F 合随 v 增大而减小,即 a 随 v 增大而减小,说明金属棒在做加速度减小的加 R+r 速运动,直到加速度减小为 0 后金属棒做匀速直线运动,根据四个物理量与速度关系可知 C 选项符合. 综上所述,选项 B、C 符合题意.

电磁感应中图象问题的分析技巧 1.对于图象选择问题常用排除法:先看方向再看大小及特殊点. 2.对于图象的描绘:先定性或定量表示出所研究问题的函数关系,注意横、纵坐标表达的 物理量及各物理量的单位,画出对应物理图象(常有分段法、数学法). 3.对图象的理解:看清横、纵坐标表示的量,理解图象的物理意义.

1.如图 2(a),线圈 ab、cd 绕在同一软铁芯上.在 ab 线圈中通以变化的电流,用示波器测 得线圈 cd 间电压如图(b)所示.已知线圈内部的磁场与流经线圈的电流成正比,则下列描述 线圈 ab 中电流随时间变化关系的图中,可能正确的是( )

图2

答案 C 解析 由题图(b)可知在 cd 间不同时间段内产生的电压是恒定的, 所以在该时间段内线圈 ab 中的磁场是均匀变化的,则线圈 ab 中的电流是均匀变化的,故选项 A、B、D 错误,选项 C 正确. 2.(多选)如图 3 甲所示,光滑绝缘水平面,虚线 MN 的右侧存在方向竖直向下、磁感应强 度大小为 B=2 T 的匀强磁场,MN 的左侧有一质量为 m=0.1 kg 的矩形线圈 bcde,bc 边长 L1=0.2 m,电阻 R=2 Ω.t=0 时,用一恒定拉力 F 拉线圈,使其由静止开始向右做匀加速运

动,经过 1 s,线圈的 bc 边到达磁场边界 MN,此时立即将拉力 F 改为变力,又经过 1 s, 线圈恰好完全进入磁场,在整个运动过程中,线圈中感应电流 i 随时间 t 变化的图象如图乙 所示.则( )

图3 A.恒定拉力大小为 0.05 N B.线圈在第 2 s 内的加速度大小为 1 m/s2 C.线圈 be 边长 L2=0.5 m D.在第 2 s 内流过线圈的电荷量为 0.2 C 答案 ABD E 解析 在第 1 s 末,i1= ,E=BL1v1,v1=a1t1,F=ma1,联立得 F=0.05 N,A 项正确.在 R E′ 第 2 s 内,由题图乙分析知线圈做匀加速直线运动,第 2 s 末 i2= ,E′=BL1v2,v2=v1 R
2 +a2t2,解得 a2=1 m/s2,B 项正确.在第 2 s 内,v2 2-v1=2a2L2,得 L2=1 m,C 项错误.q

ΔΦ BL1L2 = = =0.2 C,D 项正确. R R 3.如图 4 所示,一直角三角形金属框,向左匀速地穿过一个方向垂直于纸面向里的匀强磁 场区域,磁场仅限于虚线边界所围的区域,该区域的形状与金属框完全相同,且金属框的下 边与磁场区域的下边在一直线上. 若取顺时针方向为电流的正方向, 则金属框穿过磁场的过 程中感应电流 i 随时间 t 变化的图象是( )

图4

答案 C 解析 在金属框进入磁场过程中, 感应电流的方向为逆时针, 金属框切割磁感线的有效长度 线性增大,排除 A、B;在金属框出磁场的过程中,感应电流的方向为顺时针方向,金属框 切割磁感线的有效长度线性减小,排除 D,故 C 正确.

命题点二 电磁感应中的电路问题 1.题型简述:在电磁感应问题中,切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的线圈都相当 于电源, 该部分导体或线圈与其他电阻、 灯泡、 电容器等用电器构成了电路. 在这类问题中, 常涉及计算感应电动势大小、计算导体两端电压、通过导体的电流、产生的电热等. 2.解决电磁感应中电路问题的“三部曲” “源”的分析 → 分离出电路中发生电磁感应的那部分导体或线圈即为电源,电阻即为内阻 ↓ “路”的分析 → 分析“电源”和电路中其他元件的连接方式,弄清串、并联关系 ↓ ΔΦ “式”的建立 → 根据E=Blv或E=n 结合闭合电路欧姆定律等列式求解 Δt 注意 “等效电源”两端的电压指的是路端电压,而不是电动势或内压降. 例2 (多选)如图 5(a)所示,一个电阻值为 R、匝数为 n 的圆形金属线圈与阻值为 2R 的电

阻 R1 连接成闭合回路.线圈的半径为 r1.在线圈中半径为 r2 的圆形区域内存在垂直于线圈平 面向里的匀强磁场,磁感应强度 B 随时间 t 变化的关系图线如图(b)所示.图线与横、纵轴 的交点坐标分别为 t0 和 B0.导线的电阻不计.在 0 至 t1 时间内,下列说法正确的是( )

图5 A.R1 中电流的方向由 a 到 b 通过 R1
2 nπB0r2 B.电流的大小为 3Rt0 2 nπB0r2 C.线圈两端的电压大小为 3t0

D.通过电阻 R1 的电荷量为

nπB0r2 2t1 3Rt0

①向里的匀强磁场;②B 随时间 t 变化. 答案 BD ΔΦ ΔB 解析 由图象分析可以知道,0 至 t1 时间内由法拉第电磁感应定律有 E=n =n S,面积 Δt Δt E 为 S=πr2 ,联立以上各式解得,通过电阻 R1 的电流大小 2,由闭合电路欧姆定律有 I= R1+R

nπB0r2 2 为 I= ,由楞次定律可判断通过电阻 R1 的电流方向为从 b 到 a,故 A 错误,B 正确; 3Rt0 2nπB0r2 2 线圈两端的电压大小为 U=I· 2R = ,故 C 错误;通过电阻 R1 的电荷量为 q=It1= 3t0 nπB0r2 2t1 ,故 D 正确. 3Rt0

电磁感应中图象问题的分析一般有定性与定量两种方法, 定性分析主要是通过确定某一物理 量的方向以及大小的变化情况判断对应的图象, 而定量分析则是通过列出某一物理量的函数 表达式确定其图象.

4.(多选)如图 6 所示, 在竖直方向上有四条间距均为 L=0.5 m 的水平虚线 L1、L2、L3、L4,在 L1、L2 之间和 L3、 L4 之间存在匀强磁场, 磁感应强度大小均为 1 T, 方向垂直于纸面向里. 现有一矩形线圈 abcd, 长度 ad=3L,宽度 cd=L,质量为 0.1 kg,电阻为 1 Ω,将其从图示位置由静止释放(cd 边 与 L1 重合),cd 边经过磁场边界线 L3 时恰好做匀速直线运动,整个运动过程中线圈平面始 终处于竖直方向,cd 边水平.(g 取 10 m/s2)则( )

图6 A.cd 边经过磁场边界线 L3 时通过线圈的电荷量为 0.5 C B.cd 边经过磁场边界线 L3 时的速度大小为 4 m/s C.cd 边经过磁场边界线 L2 和 L4 的时间间隔为 0.25 s D.线圈从开始运动到 cd 边经过磁场边界线 L4 过程,线圈产生的热量为 0.7 J 答案 BD 解析 cd 边从 L1 运动到 L2,通过线圈的电荷量为 q= ΔΦ BL2 1×0.5 = = C=0.25 C,故 A R R 1
2

BLv 错误; cd 边经过磁场边界线 L3 时恰好做匀速直线运动, 根据平衡条件有 mg=BIL, 而 I= , R mgR 0.1×10×1 联立两式解得 v= 2 2= 2 m/s=4 m/s,故 B 正确;cd 边从 L2 到 L3 的过程中,穿 BL 1 ×0.52 过线圈的磁通量没有改变,没有感应电流产生,不受安培力,线圈做匀加速直线运动,加速 1 度为 g, 设此过程的时间为 t1, 此过程的逆过程为匀减速运动, 由运动学公式得 L=vt1- gt2 , 2 1

L cd 边从 L3 到 L4 的过程做匀速运动,所用时间为 t2=v =0.125 s,故 cd 边经过磁场边界线 L2 和 L4 的时间间隔为 t1+t2>0.25 s,故 C 错误;线圈从开始运动到 cd 边经过磁场边界线 L4 1 过程,根据能量守恒得 Q=mg· 3L- mv2=0.7 J,故 D 正确. 2 5.如图 7 所示,由某种粗细均匀的总电阻为 3R 的金属条制成的矩形线框 abcd,固定在水平 面内且处于方向竖直向下的匀强磁场 B 中.一接入电路电阻为 R 的导体棒 PQ,在水平拉力 作用下沿 ab、dc 以速度 v 匀速滑动,滑动过程 PQ 始终与 ab 垂直,且与线框接触良好,不 计摩擦.在 PQ 从靠近 ad 处向 bc 滑动的过程中( )

图7 A.PQ 中电流先增大后减小 B.PQ 两端电压先减小后增大 C.PQ 上拉力的功率先减小后增大 D.线框消耗的电功率先减小后增大 答案 C 解析 如图所示,

设 PQ 左侧电路的电阻为 Rx,则右侧电路的电阻为 3R-Rx,所以外电路的总电阻为 R 外= Rx?3R-Rx? ,外电路电阻先增大后减小,所以路端电压先增大后减小,所以 B 错误;电路的 3R E 总电阻先增大后减小,再根据闭合电路的欧姆定律可得 PQ 中的电流 I= 先减小后增 R+R外 大,故 A 错 误;由于导体棒做匀速运动,拉力等于安培力,即 F=BIL,拉力的功率 P=BILv,故先减 Rx?3R-Rx? 3 小后增大,所以 C 正确;外电路的总电阻 R 外= ,最大值为 R,小于导体棒的电 3R 4 阻 R,又外电阻先增大后减小,由电源的输出功率与外电阻的变化关系可知,线框消耗的电 功率先增大后减小,故 D 错误.

题组 1 电磁感应中的图象问题 1.如图 1 所示,有一等腰直角三角形的区域,其斜边长为 2L,高为 L.在该区域内分布着如 图所示的磁场, 左侧小三角形内磁场方向垂直纸面向外, 右侧小三角形内磁场方向垂直纸面 向里,磁感应强度大小均为 B.一边长为 L、总电阻为 R 的正方形导线框 abcd,从图示位置 开始沿 x 轴正方向以速度 v 匀速穿过磁场区域.取沿 a→b→c→d→a 的感应电流方向为正, 则图中表示线框中电流 i 随 bc 边的位置坐标 x 变化的图象正确的是( )

图1

答案 D 解析 bc 边的位置坐标 x 在 L~2L 过程,线框 bc 边有效切割长度为 l1=x-L,感应电动势 E B?x-L?v 为 E=Bl1v=B(x-L)v,感应电流 i1= = ,根据楞次定律判断出感应电流方向沿 R R a→b→c→d→a,为正值,x 在 2L~3L 过程,ad 边和 bc 边都切割磁感线,产生感应电动势, 根据楞次定律判断出感应电流方向沿 a→d→c→b→a,为负值,有效切割长度为 l2=L,感 BLv 应电动势为 E=Bl2v=BLv,感应电流 i2=- .x 在 3L~4L 过程,线框 ad 边有效切割长度 R 为 l3=L-(x-3L)=4L-x,感应电动势为 E=Bl3v=B(4L-x)v,感应电流 i3= B?4L-x?v , R

根据楞次定律判断出感应电流方向沿 a→b→c→d→a, 为正值. 根据数学知识可知, D 正确. 2.将一段导线绕成如图 2 甲所示的闭合回路,并固定在水平面(纸面)内.回路的 ab 边置于 垂直纸面向里为匀强磁场Ⅰ中. 回路的圆环区域内有垂直纸面的磁场Ⅱ, 以向里为磁场Ⅱ的

正方向,其磁感应强度 B 随时间 t 变化的图象如图乙所示.用 F 表示 ab 边受到的安培力, 以水平向右为 F 的正方向,能正确反映 F 随时间 t 变化的图象是( )

图2

答案 B T 解析 根据 B-t 图象可知,在 0~ 时间内,B-t 图线的斜率为负且为定值,根据法拉第电 2 ΔB 磁感应定律 E=n S 可知,该段时间圆环区域内感应电动势和感应电流是恒定的,由楞次 Δt T 定律可知, ab 中电流方向为 b→a, 再由左手定则可判断 ab 边受到向左的安培力, 且 0~ 时 2 T 间内安培力恒定不变,方向与规定的正方向相反;在 ~T 时间内,B-t 图线的斜率为正且 2 为定值,故 ab 边所受安培力仍恒定不变,但方向与规定的正方向相同.综上可知,B 正确. 3.如图 3 所示的匀强磁场中有一根弯成 45° 的金属线 POQ,其所在平面与磁场垂直,长直 导线 MN 与金属线紧密接触,起始时 OA=l0,且 MN⊥OQ,所有导线单位长度电阻均为 r, MN 匀速水平向右运动的速度为 v,使 MN 匀速运动的外力为 F,则外力 F 随时间变化的规 律图象正确的是( )

图3

答案 C 解析 设经过时间 t,则 N 点距 O 点的距离为 l0+vt,直导线在回路中的长度也为 l0+vt, 此时直导线产生的感应电动势 E=B(l0+vt)v;整个回路的电阻为 R=(2+ 2)(l0+vt)r,回路 B?l0+vt?v Bv E 的电流 I= = = ; 直导线受到的外力 F 大小等于安培力, 即 F=BIL R ?2+ 2??l0+vt?r ?2+ 2?r Bv B 2v =B (l0+vt)= (l0+vt),故 C 正确. ?2+ 2?r ?2+ 2?r 4.(多选)在光滑水平桌面上有一边长为 l 的正方形线框 abcd,bc 边右侧有一等腰直角三角 形匀强磁场区域 efg,三角形腰长为 l,磁感应强度竖直向下,a、b、e、f 在同一直线上,其 俯视图如图 4 所示,线框从图示位置在水平拉力 F 作用下以速度 v 向右匀速穿过磁场区, 线框中感应电流 i-t 和 F-t 图象正确的是(以逆时针方向为电流的正方向, 以水平向右的拉 l 力为正,时间单位为v)( )

图4

答案 BD 解析 从 bc 边开始进入磁场到线框完全进入磁场的过程中,当线框 bc 边进入磁场位移为 x Bxv 时,线框 bc 边有效切割长度也为 x,感应电动势为 E=Bxv,感应电流 i= ,根据楞次定 R 律判断出感应电流方向沿 a→b→c→d→a,为正值.同理,从 bc 开始出磁场到线框完全出 磁场的过程中,根据 ad 边有效切割长度逐渐变大,感应电流逐渐增大,根据数学知识可知 A 错误,B 正确.在水平拉力 F 作用下向右匀速穿过磁场区,因此拉力大小等于安培力,而

B2L2v B2v3 2 安培力的表达式 F 安= ,而 L=vt,则有 F 安= t ,因此 C 错误,D 正确. R R 题组 2 电磁感应中的电路问题 5.(多选)如图 5 甲,固定在光滑水平面上的正三角形金属线框,匝数 n=20,总电阻 R=2.5 L Ω,边长 L=0.3 m,处在两个半径均为 r= 的圆形匀强磁场区域中.线框顶点与右侧圆心重 3 合,线框底边中点与左侧圆心重合.磁感应强度 B1 垂直水平面向上,大小不变;B2 垂直水 平面向下,大小随时间变化.B1、B2 的值如图乙所示,则( )

图5 A.通过线框的感应电流方向为逆时针方向 B.t=0 时刻穿过线框的磁通量为 0.1 Wb C.在 0.6 s 内通过线框中的电荷量约为 0.13 C D.经过 0.6 s 线框中产生的热量约为 0.07 J 答案 ACD 解析 磁感应强度 B1 垂直水平面向上,大小不变,B2 垂直水平面向下,大小随时间增大, 故线框向上的磁通量减小,由楞次定律可得,线框中感应电流方向为逆时针方向,选项 A 1 1 正确. t=0 时刻穿过线框的磁通量 Φ=B1× πr2+B2× πr2≈-0.005 2 Wb, 选项 B 错误. 在 2 6 ΔΦ 0.6 s 内通过线框的电荷量 q=n = R 1 20×?5-2?× π×0.12 6 C≈0.13 C,选项 C 正确.经过 2.5

?nΔΦ?2 0.6 s 线框中产生的热量 Q=I2RΔt= ≈0.07 J,选项 D 正确. RΔ t 6.如图 6 所示,水平面上有两根光滑金属导轨平行固定放置,导轨的电阻不计,间距为 l =0.5 m,左端通过导线与阻值 R=3 Ω 的电阻连接,右端通过导线与阻值为 RL=6 Ω 的小灯 泡 L 连接,在 CDEF 矩形区域内存在竖直向上、磁感应强度 B=0.2 T 的匀强磁场.一根阻 值 r=0.5 Ω、 质量 m=0.2 kg 的金属棒在恒力 F=2 N 的作用下由静止开始从 AB 位置沿导轨 向右运动,经过 t=1 s 刚好进入磁场区域.求金属棒刚进入磁场时:

图6 (1)金属棒切割磁感线产生的电动势; (2)小灯泡两端的电压和金属棒受到的安培力. 答案 (1)1 V (2)0.8 V 0.04 N,方向水平向左 解析 (1)0~1 s 棒只受拉力,由牛顿第二定律得 F=ma,金属棒进入磁场前的加速度 a= =10 m/s2. 设其刚要进入磁场时速度为 v,v=at=10×1 m/s=10 m/s. 金属棒进入磁场时切割磁感线,感应电动势 E=Blv=0.2×0.5×10 V=1 V. R· RL E (2)小灯泡与电阻 R 并联,R 并= =2 Ω,通过金属棒的电流大小 I= =0.4 A,小 R+RL R 并+ r 灯泡两端的电压 U=E-Ir=1 V-0.4×0.5 V=0.8 V. 金属棒受到的安培力大小 FA=BIl=0.2×0.4×0.5 N=0.04 N, 由右手定则和左手定则可判断 安培力方向水平向左. 7.如图 7 甲所示,两足够长平行光滑的金属导轨 MN、PQ 相距 0.8 m,导轨平面与水平面 夹角为 α,导轨电阻不计.有一匀强磁场垂直导轨平面斜向上,长为 1 m 的金属棒 ab 垂直 于 MN、PQ 放置在导轨上,且始终与导轨接触良好,金属棒的质量为 0.1 kg、与导轨接触 端间电阻为 1 Ω.两金属导轨的上端连接右端电路,电路中 R2 为一电阻箱.已知灯泡的电阻 RL=4 Ω,定值电阻 R1=2 Ω,调节电阻箱使 R2=12 Ω,重力加速度 g 取 10 m/s2.将开关 S 断开,金属棒由静止释放,1 s 后闭合开关,如图乙所示为金属棒的速度随时间变化的图象, 求: F m

图7 (1)斜面倾角 α 及磁感应强度 B 的大小; (2)若金属棒下滑距离为 60 m 时速度恰达到最大, 求金属棒由静止开始下滑 100 m 的过程中, 整个电路产生的电热; (3)改变电阻箱 R2 的阻值,当 R2 为何值时,金属棒匀速下滑时 R2 的功率最大,消耗的最大 功率为多少? 答案 (1)30° 0.5 T (2)32.42 J (3)1.562 5 W

Δv 1 解析 (1)开关 S 断开,由题图甲、乙得 a=gsin α= =5 m/s2,则 sin α= ,α=30° . Δt 2

BLvm F 安=BIL,I= , R总 4×12 R2RL R 总=Rab+R1+ =(1+2+ )Ω=6 Ω, R2+RL 4+12 由图乙得 vm=18.75 m/s,当金属棒匀速下滑时速度最大,有 mgsin α=F 安,所以 mgsin α= B2L2vm , R总 mgsin α· R总 = vm· L2 1 0.1×10× ×6 2 T=0.5 T. 18.75×0.82

得 B=

1 (2)由动能定理有 mg· s· sin α-Q= mv2 -0, 2 m 1 2 得 Q=mg· s· sin α- mvm ≈32.42 J. 2 (3)改变电阻箱 R2 的阻值后,设金属棒匀速下滑时的速度为 vm′,则有 mgsin α=BI 总 L, R2RL 4 Ω×R2 R 并′= = , R2+RL 4 Ω+R2 4 Ω×R2 2 mgsin α ? ? ? · R并′?2 BL U并 ?I总R并′? mgsin α 2 4 Ω+R2 R2 消 耗 的 功 率 P2 = = = =( )· = R2 R2 R2 BL R2
2 2

mgsin α 2 16R2 mgsin α 2 16 ( )· =( )· , BL BL 16 16+8R2+R2 2 +8+R2 R2 当 R2=4 Ω 时,R2 消耗的功率最大, P2m=1.562 5 W.


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