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复合函数单调性(讲解+练习)

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课题:函数的单调性(二)

复合函数单调性

北京二十二中 刘青 教学目标 1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理. 2.会求复合函数的单调区间. 3.必须明确复合函数单调区间是定义域的子集. 教学重点与难点 1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间. 2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集. 教学过程设计 师:这节课我们将讲复合函数的单调区间,下面我们先复习一下复合函数的定义. 生:设 y=f(u)的定义域为 A,u=g(x)的值域为 B,若 A?B,则 y 关于 x 函数的 y=f[g(x)] 叫做函数 f 与 g 的复合函数,u 叫中间量. 师:很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间. (教师把所学过的函数均写在黑板上,中间留出写答案的地方,当学生回答得正确时, 由教师将正确答案写在对应题的下边.) (教师板书,可适当略写.) 例 求下列函数的单调区间. 1.一次函数 y=kx+b(k≠0). 解 当 k>0 时,(-∞,+∞)是这个函数的单调增区间;当 k<0 时,(-∞,+∞)是这 个函数的单调减区间.

k

2.反比例函数 y= x (k≠0).
解 当 k>0 时,(-∞,0)和(0,+∞)都是这个函数的单调减区间,当 k<0 时,(-∞, 0)和(0,+∞)都是这个函数的单调增区间.
3.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0).

b

b

解 当 a>1 时(-∞,- 2a )是这个函数的单调减区间,(- 2a ,+∞)是它的单调增

b

b

区间;当 a<1 时(-∞,- 2a )是这个函数的单调增区间,(- 2a ,+∞)是它的单调减区间;
4.指数函数 y=ax(a>0,a≠1). 解 当 a>1 时,(-∞,+∞)是这个函数的单调增区间,当 0<a<1 时,(-∞,+∞) 是这个函数的单调减区间. 5.对数函数 y=logax(a>0,a≠1). 解 当 a>1 时,(0,+∞)是这个函数的单调增区间,当 0<a<1 时,(0,+∞)是它的 单调减区间. 师:我们还学过幂函数 y=xn(n 为有理数),由于 n 的不同取值情况,可使其定义域分几 种情况,比较复杂,我们不妨遇到具体情况时,再具体分析. 师:我们看看这个函数 y=2x2+2x+1,它显然是复合函数,它的单调性如何? 生:它在(-∞,+∞)上是增函数. 师:我猜你是这样想的,底等于 2 的指数函数为增函数,而此函数的定义域为(-∞,+ ∞),所以你就得到了以上的答案.这种做法显然忽略了二次函数 u=x2+2x+1 的存在,没有考 虑这个二次函数的单调性.咱们不难猜想复合函数的单调性应由两个函数共同决定,但一时 猜不准结论.下面我们引出并证明一些有关的预备定理. (板书) 引理 1 已知函数 y=f[g(x)].若 u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d),又

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函数 y=f(u)在区间(c,d)上是增函数,那么,原复合函数 y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数. (本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.) 证明 在区间(a,b)内任取两个数 x1,x2,使 a<x1<x2<b. 因为 u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,所以 g(x1)<g(x2),记 u1=g(x1),u2=g(x2)即 u1<u2,且
u1,u2∈(c,d). 因为函数 y=f(u)在区间(c,d)上是增函数,所以 f(u1)<f(u2),即 f[g(x1)]<f[f(x2)], 故函数 y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数. 师:有了这个引理,我们能不能解决所有复合函数的单调性问题呢? 生:不能.因为并非所有的简单函数都是某区间上的增函数. 师:你回答得很好.因此,还需增加一些引理,使得求复合函数的单调区间更容易些. (教师可以根据学生情况和时间决定引理 2 是否在引理 1 的基础上做些改动即可.建议引
理 2 的证明也是改动引理 1 的部分证明过程就行了.) 引理 2 已知函数 y=f[g(x)].若 u=g(x)在区间(a,b)上是减函数,其值域为(c,d),又函
数 y=f(u)在区间(c,d)上是减函数,那么,复合函数 y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数. 证明 在区间(a,b)内任取两个数 x1,x2,使 a<x1<x2<b. 因为函数 u=g(x)在区间(a,b)上是减函数,所以 g(x1)>g(x2),记 u1=g(x1),u2=g(x2)即 u1>u2,
且 u1,u2∈(c,d). 因为函数 y=f(u)在区间(c,d)上是减函数,所以 f(u1)<f(u2),即 f[g(x1)]<f[f(x2)],故函
数 y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数. 师:我们明白了上边的引理及其证明以后,剩下的引理我们自己也能写出了.为了记忆
方便,咱们把它们总结成一个图表. (板书)
师:你准备怎样记这些引理?有规律吗? (由学生自己总结出规律:当两个函数的单调性相同时,其复合函数是增函数;当两个 函数的单调性不同时,其复合函数为减函数.) 师:由于中学的教学要求,我们这里只研究 y=f(u)为 u 的单调函数这一类的复合函数. 做例题前,全班先讨论一道题目.(板书). 例 1 求下列函数的单调区间:
y=log4(x2-4x+3) 师:咱们第一次接触到求解这种类型问题,由于对它的解题步骤、书写格式都不太清楚, 我们先把它写在草稿纸上,待讨论出正确的结论后再往笔记本上写. 师:下面谁说一下自己的答案? 生:这是由 y=log4u 与 u=x2-4x+3 构成的一个复合函数,其中对数函数 y=log4u 在定 义域(0,+∞)上是增函数,而二次函数 u=x2-4x+3,当 x∈(-∞,2)时,它是减函数,当 x ∈(2,+∞)时,它是增函数,.因此,根据今天所学的引理知,(-∞,2)为复合函数的单调
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减区间;(2,+∞)为复合函数的单调增区间. 师:大家是否都同意他的结论?还有没有不同的结论?我可以告诉大家,他的结论不正确.
大家再讨论一下,正确的结论应该是什么? 生:…… 生:我发现,当 x=1 时,原复合函数中的对数函数的真数等于零,于是这个函数没意
义.因此,单调区间中不应含原函数没有意义的 x 的值. 师:你说得很好,怎样才能做到这点呢? 生:先求复合函数的定义域,再在定义域内求单调区间. 师:非常好.我们研究函数的任何性质,都应该首先保证这个函数有意义,否则,函数
都不存在了,性质就更无从谈起了.刚才的第一个结论之所以错了,就是因为没考虑对数函 数的定义域.注意,对数函数只有在有意义的情况下,才能讨论单调性.所以,当我们求复合 函数的单调区间时,第一步应该怎么做?
生:求定义域. 师:好的.下面我们把这道题作为例 1 写在笔记本上,我在黑板上写. (板书) 解 设 y=log4u,u=x2-4x+3.由
u>0, u=x2-4x+3, 解得原复合函数的定义域为 x<1 或 x>3. 师:这步咱们大家都很熟悉了,是求复合函数的定义域.下面该求它的单调区间了,怎 样求解,才能保证单调区间落在定义域内呢? 生:利用图象. 师:这种方法完全可以.只是再说清楚一点,利用哪个函数的图象?可咱们并没学过画复 合函数的图象啊?这个问题你想如何解决? 生:…… 师:我来帮你一下.所有的同学都想想,求定义域也好,求单调区间也好,是求 x 的取 值范围还是求复合函数的函数值的取值范围?或是求中间量 u 的取值范围? 生:求 x 的取值范围. 师:所以我们只需画 x 的范围就行了,并不要画复合函数的图象.
(板书) 师:当 x∈(-∞,1)时,u=x2-4x+3 为减函数,而 y=log4u 为增函数,所以(-∞,1) 是复合函数的单调减区间;当 x∈(3,±∞)时,u=x2-4x+3 为增函数 y=log4u 为增函数,所 以,(3,+∞)是复合函数的单调增区间. 师:除了这种办法,我们还可以利用代数方法求解单调区间.下面先求复合函数单调减 区间. (板书) u=x2-4x+3=(x-2)2-1, x>3 或 x<1,(复合函数定义域) x<2 (u 减) 解得 x<1.所以 x∈(-∞,1)时,函数 u 单调递减.
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由于 y=log4u 在定义域内是增函数,所以由引理知:u=(x-2)2-1 的单调性与复合函数 的单调性一致,所以(-∞,1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增 区间.
(板书) u=x2-4x+3=(x-2)2-1, x>3 或 x<1,(复合函数定义域) x>2 (u 增) 解得 x>3.所以(3,+∞)是复合函数的单调增区间. 师:下面咱们再看例 2. (板书) 例 2 求下列复合函数的单调区间:
y=log 1 (2x-x2) 3
师:先在笔记本上准备一下,几分钟后咱们再一起看黑板,我再边讲边写.(板书)
解 设 y=log 1 u,u=2x-x2.由 3
u>0 u=2x-x2 解得原复合函数的定义域为 0<x<2.
由于 y=log 1 u 在定义域(0,+∞)内是减函数,所以,原复合函数的单调性与二次函数 3
u=2x-x2 的单调性正好相反. 易知 u=2x-x2=-(x-1)2+1 在 x≤1 时单调增.由 0<x<2 (复合函数定义域) x≤1,(u 增) 解得 0<x≤1,所以(0,1]是原复合函数的单调减区间. 又 u=-(x-1)2+1 在 x≥1 时单调减,由 x<2, (复合函数定义域) x≥1, (u 减) 解得 0≤x<2,所以?0,1=是原复合函数的单调增区间. 师:以上解法中,让定义域与单调区间取公共部分,从而保证了单调区间落在定义域内. 师:下面我们再看一道题目,还是自己先准备一下,就按照黑板上第一题的格式写. (板书)
例 3 求 y= 7 ? 6x ? x2 的单调区间.
(几分钟后,教师找一个做得对的或基本做对的学生,由他口述他的全部解题过程,教 师在黑板上写,整个都写完后,教师边讲边肯定或修改学生的做法,以使所有同学再熟悉一 遍解题思路以及格式要求.)
解 设 y= u ,u=7-6x-x2,由
u≥0, u=7-6x-x2 解得原复合函数的定义域为-7≤x≤1.
因为 y= u 在定义域[0+∞]内是增函数,所以由引理知,原复合函数的单调性与二
次函数 u=-x2-6x+7 的单调性相同. 易知 u=-x2-6x+7=-(x+3)2+16 在 x≤-3 时单调增加。由 -7≤x≤1,(复合函数定义域) x≤-3,(u 增)
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解得-7≤x≤-3.所以?-7,3?是复合函数的单调增区间.

易知 u=-x2-6x+7=-(x+3)2+16 在 x≥-3 时单调减,由

-7≤x≤1 (复合函数定义域)

x≥-3,

(u 减)

解得-3≤x≤1,所以[-3,1]是复合函数的单调减区间.

师:下面咱们看最后一道例题,这道题由大家独立地做在笔记本上,我叫一个同学到黑

板上来做.

(板书)

( 1 ) x2 ?2x?1

例 4 求 y= 2

的单调区间.

(学生板书)

(1)u 解 设 y= 2 .由
u∈R, u=x2-2x-1, 解得原复合函数的定义域为 x∈R.

(1)u 因为 y= 2 在定义域 R 内为减函数,所以由引理知,二次函数 u=x2-2x-1 的单调性
与复合函数的单调性相反. 易知,u=x2-2x-1=(x-1)2-2 在 x≤1 时单调减,由 x∈R, (复合函数定义域) x≤1, (u 减) 解得 x≤1.所以(-∞,1]是复合函数的单调增区间.同理[1,+∞)是复合函数的单调减
区间. 师:黑板上这道题做得很好.请大家都与黑板上的整个解题过程对一下. 师:下面我小结一下这节课.本节课讲的是复合函数的单调性.大家注意:单调区间必须
是定义域的子集,当我们求单调区间时,必须先求出原复合函数的定义域.另外,咱们刚刚 学习复合函数的单调性,做这类题目时,一定要按要求做,不要跳步.
(作业均为补充题) 作业 求下列复合函数的单调区间. 1.y=log3(x2-2x);(答:(-∞,0)是单调减区间,(2,+∞)是单调增区间.)

1

2.y=log 2 (x2-3x+2);(答:(-∞,1)是单调增区间,(2,+∞)是单调减区间.)

5

5

3.y= ? x2 ? 5x ? 6 ,(答:[2, 2 是单调增区间,][ 2 ,3]是单调减区间.)

1
4.y= 0.7 x ;(答:(-∞,0),(0,+∞)均为单调增区间.注意,单调区间之间不可以取并集.)

5.y= 23?x2 ;(答(-∞,0)为单调增区间,(0,+∞)为单调减区间)

(1) x?3 6.y= 3 ,(答(-∞,+∞)为单调减区间.)

7.y= 3log2x ;(答:(0,+∞)为单调减区间.)

log 1 (4x ? x2 )

8.y= ?

;(答:(0,2)为单调减区间,(2,4)为单调增区间.)

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4
9.y=

x2

? 6x

;(答:(0,3)为单调减区间,(3,6)为单调增区间.)

10.y= 7 2x?x2 ;(答(-∞,1)为单调增区间,(1,+∞)为单调减区间.)
课堂教学设计说明

1.复习提问简单函数的单调性.

2.复习提问复合函数的定义.

3.引出并证明一个引理,用表格的形式给出所有的引理. 4.对于例 1,教师要带着学生分析,着重突出单调区间必须是定义域的子集.例 2 中的第

一题,还是以教师讲解为主.例 2 中的第二题,过渡到以学生讲述自己解法为主.例 2 中的第

三题,以学生独立完成为主.

5.小结,作业. 我为什么要采取这几个环节呢?因为从以往的经验看,当要求学生求复合函数的单调区

间时,他往往不考虑这个函数的定义域,而这种错误又很顽固,不好纠正.为此,本节课我

在廛为什么要求复合函数的定义域,以及定义域与单调区间的关系上,投入了较大的精力.

力求使学生做到,想法正确,步骤清晰.为了调动学生的积极性,突出课堂的主体是学生, 我把四道例题分了层次,第一道由教师引导、逐步逐层导出解题思路,由教师写出解题的全

过程;第二题,思路由学生提供,格式还是再由教师写一遍,这样,既让学生有了获得新知

识的快乐,又不必因对解题格式的不熟悉而烦恼;后两道例题是以中上等的学生自己独立解 答为主的.每做完一道题,由教师简单地小结、修改,以使好学生掌握得更完备,较差的学

生能够跟得上.

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