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2.1.2指数函数及其性质教学设计与反思


指数函数及其性质教学设计 课题:指数函数及其性质 课型:新授课 (本节课是我在任教第一学期讲的公开课,所以在教学设计上有多次修改,下面的教案是最初完成的)

一、教学目标 1.知识与技能目标: 理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象、性质及其简单应用。 2. 过程与方法目标: 通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力,体会数形结合和分类讨论的 思想、方程的思想以及从特殊到一般的数学方法,增强识图用图的能力。 3.情感态度与价值观目标:通过学习,使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系,构建和 谐的课堂氛围,培养学生勇于提问,善于探索的思维品质,认识到数学是来源于生活,并且服务 于生活的。 二、重点和难点 重点:指数函数的定义、图象、性质及其应用。 难点:用数形结合的方法,从具体到一般的探索指数函数图象,概括指数函数性质的过程。 三、教法学法 教法:启发诱导和合作探究相结合,引导学生主动观察与思考,合作交流、共同探索来完成本节课的 教学。 学法:从学生原有的函数概念、性质等知识出发,组织、引导学生独立思考,通过合作交流、共同探 索来寻求用从具体到一般的思想解决问题的方法。

四、教学基本流程

从生活实例引入课题

构建指数函数的概念

描点法画指数函数的图象

探索指数函数的性质

典例剖析与随堂训练

课堂小结 结与作业

五、教学过程 (一)创设情景,引入新课 问题 1:某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,??一个这样的细胞分裂 x 次后,得 到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗? 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为 y

? 2x 。

问题 2: 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的 84%.求出这种物 质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系。 设最初的质量为 1,时间变量用 x 表示,剩留量用 y 表 示。 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为 y

? 0.84x 。

引导学生观察,两个函数中,底数是常数,指数是自变量。

(二) 师生互动、探究新知 1.指数函数的定义 指数函数:一般地,函数

y ? a x (a>0 且 a≠1)

叫做指数函数,其中 x 为自变量,a 是常数,定义

域为 R 老师:定义中底数 a 满足 a>0 且 a≠1,为什么定义中规定 a>0 且 a≠1 呢?然后引导学生探讨若不满 足条件时, y ? a 会怎样呢?
x

学生: 通过交流合作、教师引导,可以得出如下结论: (1)若a=0,则 当x>0时, a
x

? 0 ,当x≤0时, a x 无意义。
x

(2)若a<0,则对于x的某些数值,可使 a x 无意义。如 (?2) ,这时对于 x ? 实数范围内函数值不存在。 (3)若a=1,则对于任何 x ? R , a ? 1 是一个常量,没有研究的必要性。
x

1 1 , x ? ,??,在 4 2

以上三种情况都不利于我们研究指数函数,所以规定:a>0 且a≠1. 老师:学习了指数函数的定义,如何判断一个函数是否是指数函数?(通过多 媒体给出随堂练习) 下列函数中, 哪些是指数函数?(学生每人都有学案,预习之后已经完成) (1) y ? (?3) x (2) y ? x
2

(3)

y ? ?4 x

(4)

y ? 5x?1

(5)

y ? 4x

学生:分组讨论,合作交流,找出代表回答。

答案: (1)(2)、(3)、(4)不是 (5)是 2. 指数函数的性质 老师:在前面的学习中,我们是从哪些方面来研究函数? 学生: 函数三要素(对应法则、定义域、值域) 、函数图象和函数的基本性质(单调性、奇偶性等) 。 老师:指数函数是我们在学习了函数基本概念和性质以后接触到的第一个具体函数。根据这个思路, 同学们先来完成下面的问题:请同学们先动手画一画下面两个函数的图象。 在学生画图的过程中,进一步明确作图的一般步骤(列表→描点→连线)最后在多媒体上将这两个图 象给予展示。然后提出思考问题。 思考 1:函数 y ? 2 x 的图象与 y ? ( ) 的图象有什么关系 ?

1 x 2 1 x x 可否利用 y ? 2 的图象画出 y ? ( ) 的图象? 2

x 学生动手利用描点法画图,接下来用多媒体给出 y ? 2 x 、 y ? ( ) 、 y ? 3 x 、 y ? ( ) 、 y ? 10x

1 2

1 3

x

1 x ) 这六个函数的图象,并用几何画板演示随着 a 的变化图形的变化规律,引导学生观察 10 图象,组织学生讨论,合作交流,得出 a ? 1 和 0 ? a ? 1 这两种情况在图象上的特点。在此环节中,
和y?( 学生通过对具体的函数进行观察归纳,合作交流,加之多媒体的演示,将具体化为抽象。最后我先 给出表格,引导学生小组讨论,根据图象填写表格。 思考 2:通过图象,你能发现指数函数的哪些特征? 1、图象在直角坐标系的哪些象限? 2、图象与坐标轴的相交情况? 3、图象的上升下降趋势与底数有什么关系? 4、在 y 轴的两侧函数值的范围分别是多少? 指数函数

y ? a x (a>0 且 a≠1)的图象和性质如下
0 ? a ?1 a ?1

y
图象

y (0,1) 0 x y=1 (0,1) 0 x

y=1

定义域 值域 性 质 定点 单调性

R (0,+∞) 过(0 , 1),即 x = 0 在 R 上是减函数 时, y = 1 在 R 上是增函数

(三) 典例分析、巩固训练 例 1:已知指数函数 值。 解:因为

f ( x) ? a x (a>0

且 a≠1)的图像经过点(3,π ) ,求 f (0) , f (1) , f (?3) 的

f ( x) ? a x 的图像过点 (3, ? ) ,所以 f (3) ? ? ,即 a 3 ? ? .
1 3

解得 a ? ?

,于是 f ( x) ? ?
3

x 3

.

所以 f (0) ? 1 , f (1) ?

? , f ( ?3) ? 1 . ?

提问:根据本题,你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗? 从方程思想来看,求指数函数就是确定底数,因此只要一个条件,即可求出指数函数。 例 2:比较下列各题中的两个值的大小 (1)1.7
8
? 3

2.5

1.7

3

(2)0.8

-0。1

0.8

-0。2

7 (3) ( 7 )

7 ? ( )7 8

4

(4)1.7

0.3

0.9

3.1

解答:(1)(2)两题底相同,指数不同 (3)题可化为同底的,利用函数的单调性比较大小。 (4)题底不同,指数也不同,可以借助中间值 1,再用单调性比较大小。 练习:比较下列各题中两个值的大小: (1)3 与 3 (2)0.5 (3)1.5
-1.2 2.5 3

,0.5

-1.5

0.3

0.9

3。1

(四) 小结归纳 (1)通过本节课的学习,你学到了哪些知识? 指数函数的概念; 指数函数的图象及其性质 (2)你学会了哪些数学思想方法? 数形结合思想、分类讨论、方程的思想、从特殊到一般的抽象概括的方法。 (五) 布置作业 (1)必做题:课本 59 页,A 组 5,7,8 (2)选做题:课本 60 页,B 组 4。 (六) 板书设计 2.1.2. 指数函数及其性质

一.指数函数的概念 1.定义 2.几点说明

二.图象和性质 表格(略)

三.应用 例1 . 例2 .

(七)教学反思 “指数函数及性质”的教学共分两个课时完成,这是第一课时。本节课主要学习了指数函数的定义, 研究了指数函数的图像及相关的性质。回顾这节课,心中有很多感想,也有下面一些思考: 一. 反思教学中的设计 1.这节课是在学生系统的学习了函数概念,基本掌握了函数性质的基础上进行学习的,具有初步的 函数知识,但是对于研究具体的初等函数的性质的基本方法和步骤还比较陌生,对于指数函数要怎么 样进行较为系统的研究对学生来说是有困难的,因此这节课的每一个环节以我引导,以学生的自主探 究为主来完成是符合学情的,在讲解指数函数概念时,引导性问题不够,修改后添加。 2.设计“指数函数的图象及性质”, “ a 的大小对函数图象的影响”三个问题,让学生通过观察几 何画板软件画图操作、主动思考来达到对知识的发现和接受,改变过去机械接受和死记结论的状况, 符合新课改的理念,同时也完成了这节课的主要教学任务,但是添加教学环节的设计意图,能够提示 教师在具体授课过程中,努力实现教学目标,修改后添加。 3.在对底数 a 的范围的思考及三个探究性问题后都设置了练习,能及时反馈学生对所探求到的知识 的掌握程度,便于及时调整课堂教学行为,作业布置的时候应该留有思考题,让程度好一点儿的学生 有思考方向,让本节课留有韵味。 二.反思教学过程 在整个的教学过程中,始终体现以学生为本的教育理念。在学生已有的认知基础上进行设问和引导, 关注学生的认知过程,强调学生的品德、思维和心理等方面的发展。重视讨论、交流和合作,重视探 究问题的习惯的培养和养成。同时,考虑不同学生的个性差异和发展层次,使不同的学生都有发展, 体现因材施教的原则。在教学的过程中,考虑到学生的实际,有意地设计了一些铺垫和引导,既巩 固旧有知识,又为新知识提供了附着点,充分体现学生的主体地位。 三.存在的问题 1.没有充分调动学生的积极性,课堂气氛显得沉闷。 2.尽量放手让学生自己去解决问题,教师自己讲得偏多,学生的主体作用体现得不够。 3.指数函数概念部分的教学时间稍多,后面教学过程稍显仓促,学生自主探究的时间不够,因此违

背了教学设计的初衷。 当然我会通过对学生作业的批改获得更全面的对学生知识掌握的评价和课堂效果的反思,并在后续的 时间里修订课堂设计方案,达到预期的教学效果,实现学生的目标掌握和能力发展。以下是修改后的 教案:

指数函数及其性质教学设计 课题:指数函数及其性质 课型:新授课 (本节课是我在任教第一学期讲的公开课,所以在教学设计上有多次修改,下面的教案是最初完成的)

一、教学目标 1.知识与技能目标: 理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象、性质及其简单应用。 2. 过程与方法目标: 通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力,体会数形结合和分类讨论的 思想、方程的思想以及从特殊到一般的数学方法,增强识图用图的能力。 3.情感态度与价值观目标:通过学习,使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系,构建和 谐的课堂氛围,培养学生勇于提问,善于探索的思维品质,认识到数学是来源于生活,并且服务 于生活的。 二、重点和难点 重点:指数函数的定义、图象、性质及其应用。 难点:用数形结合的方法,从具体到一般的探索指数函数图象,概括指数函数性质的过程。 三、教法学法 教法:启发诱导和合作探究相结合,引导学生主动观察与思考,合作交流、共同探索来完成本节课的 教学。 学法:从学生原有的函数概念、性质等知识出发,组织、引导学生独立思考,通过合作交流、共同探 索来寻求用从具体到一般的思想解决问题的方法。

四、教学基本流程

从生活实例引入课题

构建指数函数的概念

描点法画指数函数的图象

探索指数函数的性质

典例剖析与随堂训练

五、教学过程 (一)创设情景,引入新课

课堂小结 结与作业

问题 1:某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,??一个这样的细胞分裂 x 次后,得 到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗? 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为 y

? 2x 。

问题 2: 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的 84%.求出这种物 质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系。 设最初的质量为 1,时间变量用 x 表示,剩留量用 y 表 示。 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为 y

? 0.84x 。

引导学生观察,两个函数中,底数是常数,指数是自变量。 学情预设:PPT 上有相应的示意图,教师负责引导学生思考具体的问题 设计意图:用函数的观点来分析问题,为引出指数函数的模型 生体会指数函数的概念来自于生活,并服务于生活。 (二) 师生互动、探究新知 1.指数函数的定义 老师:提出探究问题 1:上述问题中的两个对应关系能否构成函数关系? 提出探究问题 2:上述两个函数有什么样的共同特征? 学生:通过思考讨论不难得出探究 1 的结论:能够构成函数关系。

y ? a x (a>0 且 a≠1)准备,以利于学

引导学生通过观察得出两个函数的共同特征: (1)幂的形式都一样; (2)幂的底数都是一个正常数; (3)幂的指数都是一个变量。 老师:如果可以用字母 a 代替其中的底数,那么上述两式就可以表示成

y ? a x 的形式,自变量在

指数位置,我们把具有这种形式的函数叫做指数函数。 设计意图 :引导学生从具体问题、实际问题中抽象出指数函数的模型, 由学生归纳出指数函数的概 念,培养学生观察、分析、归纳等抽象思维能力。 指数函数:一般地,函数

y ? a x (a>0 且 a≠1)

叫做指数函数,其中 x 为自变量,a 是常数,定义

域为 R。 、 老师:定义中底数 a 满足 a>0 且 a≠1,为什么定义中规定 a>0 且 a≠1 呢?然后引导学生探讨若不满 足条件时,

y ? a x 会怎样呢?
x

学生: 通过交流合作、教师引导,可以得出如下结论: (1)若a=0,则 当x>0时, a

? 0 ,当x≤0时, a x 无意义。

(2)若a<0,则对于x的某些数值,可使 在实数范围内函数值不存在。 (3)若a=1,则对于任何 x ? R , a
x

a x 无意义。如 (?2) x ,这时对于 x ? 1 , x ? 1 ,??,
2

4

? 1 是一个常量,没有研究的必要性。

以上三种情况都不利于我们研究指数函数,所以规定:a>0 且a≠1. 设计意图: 1.通过对 a 的范围的具体分析,使学生进一步掌握指数函数一般形式。 2.讨论出 a>0 且 a≠1,为下面研究性质是对底数的分类做准备. 老师:学习了指数函数的定义,如何判断一个函数是否是指数函数?(通过多 媒体给出随堂练习) 下列函数中, 哪些是指数函数?(学生每人都有学案,预习之后已经完成) (1) y ? (?3) (4)
x

(2) (5)

y ? x2
y ? 4x

(3)

y ? ?4 x

y ? 5x?1

学生:分组讨论,合作交流,找出代表回答。 答案: (1)(2)、(3)、(4)不是。 (5)是 学情预设:学生可能会在(4)的判断上出现错误。在学生判断的过程中我适时给予指导,提醒学生必 须在形式上一模一样。 设计意图:进一步加深学生对指数函数概念的理解,使学生认识到“指数函数”的定义是形式定义。

2. 指数函数的性质 老师:在前面的学习中,我们是从哪些方面来研究函数? 学生: 函数三要素(对应法则、定义域、值域) 、函数图象和函数的基本性质(单调性、奇偶性等) 。 老师:指数函数是我们在学习了函数基本概念和性质以后接触到的第一个具体函数。根据这个思路, 同学们先来完成下面的问题:请同学们先动手画一画下面两个函数的图象。 在学生画图的过程中,进一步明确作图的一般步骤(列表→描点→连线)最后在多媒体上将这两个图 象给予展示。然后提出思考问题。 思考 1:函数 y ? 2 x 的图象与 y ? ( ) 的图象有什么关系 ?

1 x 2 1 x x 可否利用 y ? 2 的图象画出 y ? ( ) 的图象? 2

x 学生动手利用描点法画图,接下来用多媒体给出 y ? 2 x 、 y ? ( ) 、 y ? 3 x 、 y ? ( ) 、 y ? 10x

1 x ) 这六个函数的图象,并用几何画板演示随着 a 的变化图形的变化规律,引导学生观察 10 图象,组织学生讨论,合作交流,得出 a ? 1 和 0 ? a ? 1 这两种情况在图象上的特点。在此环节中,
和y?( 学生通过对具体的函数进行观察归纳,合作交流,加之多媒体的演示,将具体化为抽象。最后我先 给出表格,引导学生小组讨论,根据图象填写表格。

1 2

1 3

x

思考 2:通过图象,你能发现指数函数的哪些特征? 1、图象在直角坐标系的哪些象限? 2、图象与坐标轴的相交情况? 3、图象的上升下降趋势与底数有什么关系? 4、在 y 轴的两侧函数值的范围分别是多少? 设计意图: 1. 通过引导学生对具体的函数进行观察归纳,合作交流,更好的让学生体会从具体到一般的数学思 想方法。 2.提高学生的动手能力,将具体化为抽象,并感受了对底数的分类讨论的思维方式,从而达到了突破 重点的目的. 指数函数

y ? a x (a>0 且 a≠1)的图象和性质如下

0<a<1

a>1

y
图象

y (0,1) 0 x y=1 (0,1) 0 x

y=1

定义域 值域 性 质 定点 单调性

R (0,+∞) 过(0 , 1),即 x = 0 时, y = 1 在 R 上是减函数 在 R 上是增函数

设计意图: 通过观察图象的特点和函数性质的建构培养学生的数形结合思想、 分类讨论思想和抽象概括 思想,同时表格的完成将会使学生体会到很大的成功感,也将学生思考的热情带入高潮。 (三) 典例分析、巩固训练 例 1:已知指数函数 值。 解:因为

f ( x) ? a x (a>0

且 a≠1)的图像经过点(3,π ) ,求 f (0) , f (1) , f (?3) 的

f ( x) ? a x 的图像过点 (3, ? ) ,所以 f (3) ? ? ,即 a 3 ? ? .
1 3

解得 a ? ?

,于是 f ( x) ? ?
3

x 3

.

所以 f (0) ? 1 , f (1) ?

? , f ( ?3) ? 1 . ?

提问:根据本题,你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗? 从方程思想来看,求指数函数就是确定底数,因此只要一个条件,即可求出指数函数。 设计意图:让学生明确底数是确定指数函数的要素,同时向学生渗透方程的思想。 例 2:比较下列各题中的两个值的大小
2.5 3 -0。1 -0。2

(1)1.7
8
? 3

1.7

(2)0.8

0.8

7 (3) ( 7 )

7 ? ( )7 8

4

(4)1.7

0.3

0.9

3.1

设计意图:利用指数函数的单调性判断大,引导学生观察这些指数值的特征,思考比较大小的方法。 解答:(1)(2)两题底相同,指数不同 (3)题可化为同底的,利用函数的单调性比较大小。

(4)题底不同,指数也不同,可以借助中间值 1,再用单调性比较大小。

练习:比较下列各题中两个值的大小: (1)3 与 3 (2)0.5 (3)1.5
-1.2 2.5 3

,0.5

-1.5

0.3

0.9

3。1

设计意图:是对于例题 2 的强化训练,学生自己思考或讨论,回忆比较数的大小的方法,结合题实际, 选择合理的方法比较数的大小,一是利用函数的单调性;二是中间量法。 设计意图:这是指数函数性质的简单应用,使学生在解题过程中加深对指数函数的图像及性质的理解 和记忆,再比较大小。 (四) 小结归纳 1 通过本节课的学习,你学到了哪些知识? 指数函数的概念;指数函数的图象及其性质 2 你学会了哪些数学思想方法? 数形结合思想、分类讨论、方程的思想、从特殊到一般的抽象概括的方法。 设计意图: 通过两个问题让学生在小结中明确本节课的学习内容和方法,进一步强化本节课的学习 重点。 (五) 布置作业 (1)必做题:课本 59 页,A 组 5,7,8 (2)选做题:课本 60 页,B 组 4 (3)思考题 A 先生从今天开始每天给你 10 万元,而你承担如下任务:第一天给 A 先生 1 元,第二天给 A 先生 2 元,, 第三天给 A 先生 4 元,第四天给 A 先生 8 元,依次下去,?,A 先生要和你签定 15 天的合同,你同意吗? 又 A 先生要和你签定 30 天的合同,你能签这个合同吗? 设计意图:遵循因材施教的原则,尊重学生的个体差异,让不同的学生有不同的发展。使基础一般的 同学可以通过必做题巩固知识,基础好的同学可以有拓展的空间。

(六) 板书设计 2.1.2. 指数函数及其性质 一.指数函数的概念 二.图象和性质 三.应用

1.定义 2.几点说明 (七)教学反思

表格(略)

例1 . 例2 .

修改后的教案,效果明显比第一次试讲好多了,当然现在的教学设计仍然存在很多问题,只能在 后续教学过程中,反思与修改,当然我会通过对学生作业的批改获得更全面的对学生知识掌握的评价 和课堂效果的反思,并在后续的时间里修订课堂设计方案,达到预期的教学效果,实现学生的目标掌 握和能力发展。



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