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兴山区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

兴山区高级中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 16? ? )

座号_____

姓名__________

分数__________

16 32 16 32     B. 16? ?     C. 8? ?     D. 8? ? 3 3 3 3

【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算,意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力. 2. 如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是 AA1,AD 的中点,则 CD1 与 EF 所成角为( )

A.0° A.   B. C.

B.45° D.

C.60°

D.90° )

3. 在正方体 8 个顶点中任选 3 个顶点连成三角形,则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为(

2(a-x) ,x<1 若 f(-6)+f(log 6)=9,则 a 的值为( 4. 已知函数 f(x)= log 2 2x,x ≥ 1 A.4 B.3

{

)



C.2 A.1   B.2 C.3

D.1 ) D.4

5. 数列{an}是等差数列,若 a1+1,a3+2,a5+3 构成公比为 q 的等比数列,则 q=(

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6. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S4=﹣2,S5=0,则 S6=( A.0 B.1 C.2

) D.3 )

7. 数列 1, , , , , , , , , ,…的前 100 项的和等于( A. B. C. D.

8. 已知函数 y=f(x)对任意实数 x 都有 f(1+x)=f(1﹣x) ,且函数 f(x)在[1,+∞)上为单调函数.若数 列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 f(a6)=f(a23),则{an}的前 28 项之和 S28=( A.7 B.14 C.28 D.56 )

9. “互联网 ? ”时代,倡导读书称为一种生活方式,调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶 段的阅读情况,拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为 50 的样本进行调 查,已知该小区有老年人 600 人,中年人 600 人,青年人 800 人,则应从青年人抽取的人数为( A.10 B.20 C.30 ) 10.已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形,如图所示,则该几何体的体积等于( ) D.40

A. 12 3 一点,则 ?PAB 的面积为( A. 2 3 B.

B. 16 3
2 2

C. 20 3

D. 32 3

3 x ? 4 y ? 11 ? 0 与圆 C: 3 x ? 4 y ? 4 ? 0 上任意 ( x ? 2) ? y ? 4 交于 A、B 两点, P 为直线 n: 11. 已知直线 m:
) C. 3 3 ) D. 4 3

3 3 2

12.函数 f(x)=3x+x 的零点所在的一个区间是( A.(﹣3,﹣2) B.(﹣2,﹣1)
2 2

C.(﹣1,0) D.(0,1)

13.已知点 P 是双曲线 C:

x y ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 左支上一点, F1 , F2 是双曲线的左、右两个焦点,且 2 a b PF1 ? PF2 , PF2 与两条渐近线相交于 M , N 两点(如图),点 N 恰好平分线段 PF2 ,则双曲线的离心率
) B.2 C. 3 D. 2

是( A. 5

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【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识,意在考查运算求解能力. 14.设全集 U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩?UN=﹛2,4﹜,则 N=( A.{1,2,3} A.(1,+∞) C.   B.{1,3,5} C.{1,4,5} D.{2,3,4} ) )

15.(m+1)x2﹣(m﹣1)x+3(m﹣1)<0 对一切实数 x 恒成立,则实数 m 的取值范围是( B.(﹣∞,﹣1) D.

二、填空题
16.为了近似估计 π 的值,用计算机分别产生 90 个在[﹣1,1]的均匀随机数 x1,x2,…,x90 和 y1,y2,…,y90, 在 90 组数对(xi,yi)(1≤i≤90,i∈N*)中, 经统计有 25 组数对满足 ,则以此估计的 π 值为      .

    17.命题“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 4 x ? 2 ? ?1 ”的否命题为 18.函数 f(x)=x﹣
x



的值域是  . .

? ?3 ? a ,x ? 1 19.设函数 f ? x ? ? ? ,若 f ? x ? 恰有 2 个零点,则实数的取值范围是 ? ?? ? x ? 3a ?? x ? 2a ? ,x ? 1

三、解答题
20.由四个不同的数字 1,2,4,x 组成无重复数字的三位数. (1)若 x=5,其中能被 5 整除的共有多少个? (2)若 x=9,其中能被 3 整除的共有多少个?

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(3)若 x=0,其中的偶数共有多少个? (4)若所有这些三位数的各位数字之和是 252,求 x.

21.已知函数 (Ⅰ)求函数 (Ⅱ)若 的最大值; ,求函数





的单调递增区间.

22.△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,asinAsinB+bcos2A= (Ⅰ)求 ; (Ⅱ)若 c2=b2+ a2,求 B.

a.

23.已知数列{an}满足 a1=﹣1,an+1=

(n∈N*).

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(Ⅰ)证明:数列{ (Ⅱ)令 bn=

+ }是等比数列;

,数列{bn}的前 n 项和为 Sn.

①证明:bn+1+bn+2+…+b2n< ②证明:当 n≥2 时,Sn2>2(     + +…+ )

24.(本小题满分 12 分)

?? ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , m ? (sin B,5sin A ? 5sin C ) , ? n ? (5sin B ? 6sin C ,sin C ? sin A) 垂直.

(1)求 sin A 的值; (2)若 a ? 2 2 ,求 ?ABC 的面积 S 的最大值.

25.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线 x﹣6y﹣7=0 垂直,导 函数 f′(x)的最小值为﹣12. (1)求 a,b,c 的值; (2)求函数 f(x)的单调递增区间,并求函数 f(x)在[﹣1,3]上的最大值和最小值.

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兴山区高级中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为 2 高为 4 的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为 2 的四棱锥, 因此该几何体的体积为 V ? 2. 【答案】C 【解析】解:连结 A1D、BD、A1B, ∵正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是 AA1,AD 的中点,∴EF∥A1D, ∵A1B∥D1C,∴∠DA1B 是 CD1 与 EF 所成角, ∵A1D=A1B=BD, ∴∠DA1B=60°. ∴CD1 与 EF 所成角为 60°. 故选:C.

1 1 32 ?? 22 ? 4 ? ? 4 ? 4 ? 2 ? 8? ? ,故选 D. 2 3 3

【点评】本题考查异面直线所成角的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.   3. 【答案】C 【解析】解:正方体 8 个顶点中任选 3 个顶点连成三角形,所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上, 在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个, 所以共有 4×6=24 个, 而在 8 个点中选 3 个点的有 C83=56, 所以所求概率为 故选:C 【点评】本题是一个古典概型问题,学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础,同时有利于理解概率的概 念,有利于计算一些事件的概率,有利于解释生活中的一些问题.   4. 【答案】 【解析】选 C.由题意得 log2(a+6)+2log26=9. =

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即 log2(a+6)=3, ∴a+6=23=8,∴a=2,故选 C. 5. 【答案】A 【解析】解:设等差数列{an}的公差为 d, 由 a1+1,a3+2,a5+3 构成等比数列, 得:(a3+2)2=(a1+1)(a5+3), 整理得:a32+4a3+4=a1a5+3a1+a5+3 即(a1+2d)2+4(a1+2d)+4=a1(a1+4d)+4a1+4d+3. 化简得:(2d+1)2=0,即 d=﹣ . ∴q= = =1.

故选:A. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了等比数列的性质,是基础的计算题.   6. 【答案】D 【解析】解:设等差数列{an}的公差为 d, 则 S4=4a1+ 联立解得 ∴S6=6a1+ 故选:D 【点评】本题考查等差数列的求和公式,得出数列的首项和公差是解决问题的关键,属基础题.   7. 【答案】A 【解析】解: d=3 d=﹣2,S5=5a1+ , d=0,

=1× 故选 A.   8. 【答案】C 【解析】解:∵函数 y=f(x)对任意实数 x 都有 f(1+x)=f(1﹣x),且函数 f(x)在[1,+∞)上为单调函数.

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∴函数 f(x)关于直线 x=1 对称, ∵数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 f(a6)=f(a23), ∴a6+a23=2. 则{an}的前 28 项之和 S28= 故选:C. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前 n 项和公式、函数的对称性,考查了推理能力与计算能力 ,属于中档题.   9. 【答案】B 【解析】 试题分析:设从青年人抽取的人数为 x,? 考点:分层抽样. 10.【答案】C 【解析】 =14(a6+a23)=28.

x 800 ? ,? x ? 20 ,故选 B. 50 600 ? 600 ? 800

考点:三视图. 11.【答案】 C
2 2

【解析】解析:本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算. 圆心 C 到直线 m 的距离 d ? 1 , | AB |? 2 r ? d ? 2 3 ,两平行直线 m、n 之间的距离为 d ? ? 3 ,∴ ?PAB 的面积为

1 | AB | ?d ? ? 3 3 ,选 C. 2

12.【答案】C 【解析】解:由函数 f(x)=3x+x 可知函数 f(x)在 R 上单调递增, 又 f(﹣1)= ﹣1<0,f(0)=30+0=1>0,

∴f(﹣1)f(0)<0, 可知:函数 f(x)的零点所在的区间是(﹣1,0). 故选:C. 【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性,属于基础题.

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  13.【答案】A. 【 解 析 】

14.【答案】B 【解析】解:∵全集 U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩CuN=﹛2,4﹜, ∴集合 M,N 对应的韦恩图为 所以 N={1,3,5} 故选 B

  15.【答案】C 【解析】解:不等式(m+1)x2﹣(m﹣1)x+3(m﹣1)<0 对一切 x∈R 恒成立, 即(m+1)x2﹣(m﹣1)x+3(m﹣1)<0 对一切 x∈R 恒成立 若 m+1=0,显然不成立 若 m+1≠0,则 解得 a 故选 C. 【点评】本题的求解中,注意对二次项系数的讨论,二次函数恒小于 0 只需   . .

二、填空题
16.【答案】   .

【解析】设 A(1,1),B(﹣1,﹣1),则直线 AB 过原点,且阴影面积等于直线 AB 与圆弧所

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围成的弓形面积 S1,由图知,

,又

,所以

【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式,属于中档题.   17.【答案】若 x ? 1 ,则 x 2 ? 4 x ? 2 ? ?1 【解析】 试题分析:若 x ? 1 ,则 x 2 ? 4 x ? 2 ? ?1 ,否命题要求条件和结论都否定. 考点:否命题. 18.【答案】 (﹣∞,1] . 【解析】解:设 =t,则 t≥0, ,开口向下,在区间[0,+∞)上单调减,

f(t)=1﹣t2﹣t,t≥0,函数图象的对称轴为 t=﹣ ∴f(t)max=f(0)=1, ∴函数 f(x)的值域为(﹣∞,1]. 故答案为:(﹣∞,1].

【点评】本题主要考查函数的值域的求法.换元法是求函数的值域的一个重要方法,应熟练记忆.   ?1 1 ? 19.【答案】 ? , ? ? [3 ,? ?) ?3 2? 【 解 析 】

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考 点:1、分段函数;2、函数的零点. 【方法点晴】本题考查分段函数,函数的零点,以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论 的思想、数形结合思想和转化化归思想,综合性强,属于较难题型.首先利用分类讨论思想结合数学结合思想, 对 g ? x ? ? 3x ? a 于轴的交点个数进行分情况讨论,特别注意: 1. 在 x ? 1 时也轴有一个交点式,还需 3a ? 1 且

2a ? 1 ;2. 当 g ?1? ? 3 ? a ? 0 时, g ? x ? 与轴无交点,但 h ? x ? 中 x ? 3a 和 x ? 2a ,两交点横坐标均满足 x ? 1 .

三、解答题
20.【答案】   【解析】 【专题】计算题;排列组合. 【分析】(1)若 x=5,根据题意,要求的三位数能被 5 整除,则 5 必须在末尾,在 1、2、4 三个数字中任选 2 个,放在前 2 位,由排列数公式计算可得答案; (2)若 x=9,根据题意,要求的三位数能被 3 整除,则这三个数字为 1、2、9 或 2、4、9,分“取出的三个数 字为 1、2、9”与“取出的三个数字为 2、4、9”两种情况讨论,由分类计数原理计算可得答案; (3)若 x=0,根据题意,要求的三位数是偶数,则这个三位数的末位数字为 0 或 2 或 4,分“末位是 0”与“末 位是 2 或 4”两种情况讨论,由分类计数原理计算可得答案; (4)分析易得 x=0 时不能满足题意,进而讨论 x≠0 时,先求出 4 个数字可以组成无重复三位数的个数,进而 可以计算出每个数字用了 18 次,则有 252=18×(1+2+4+x),解可得 x 的值. 【解答】解:(1)若 x=5,则四个数字为 1,2,4,5; 又由要求的三位数能被 5 整除,则 5 必须在末尾, 在 1、2、4 三个数字中任选 2 个,放在前 2 位,有 A32=6 种情况, 即能被 5 整除的三位数共有 6 个; (2)若 x=9,则四个数字为 1,2,4,9; 又由要求的三位数能被 3 整除,则这三个数字为 1、2、9 或 2、4、9,

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取出的三个数字为 1、2、9 时,有 A33=6 种情况, 取出的三个数字为 2、4、9 时,有 A33=6 种情况, 则此时一共有 6+6=12 个能被 3 整除的三位数; (3)若 x=0,则四个数字为 1,2,4,0; 又由要求的三位数是偶数,则这个三位数的末位数字为 0 或 2 或 4, 当末位是 0 时,在 1、2、4 三个数字中任选 2 个,放在前 2 位,有 A32=6 种情况, 当末位是 2 或 4 时,有 A21×A21×A21=8 种情况, 此时三位偶数一共有 6+8=14 个, (4)若 x=0,可以组成 C31×C31×C21=3×3×2=18 个三位数,即 1、2、4、0 四个数字最多出现 18 次, 则所有这些三位数的各位数字之和最大为(1+2+4)×18=126,不合题意, 故 x=0 不成立; 当 x≠0 时,可以组成无重复三位数共有 C41×C31×C21=4×3×2=24 种,共用了 24×3=72 个数字, 则每个数字用了 =18 次,

则有 252=18×(1+2+4+x),解可得 x=7. 【点评】本题考查排列知识,解题的关键是正确分类,合理运用排列知识求解,第(4)问注意分 x 为 0 与否 两种情况讨论. 21.【答案】 【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合 【试题解析】(Ⅰ)由已知

当 (Ⅱ) 即 函数 当

,即

, 时,

时, 递增

,令 的递增区间为

,且注意到

22.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由正弦定理得,sin2AsinB+sinBcos2A= 即 sinB(sin2A+cos2A)= sinA sinA,

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∴sinB=

sinA,

= a2,得 cosB= )a2,

(Ⅱ)由余弦定理和 C2=b2+ 由(Ⅰ)知 b2=2a2,故 c2=(2+

可得 cos2B= ,又 cosB>0,故 cosB= 所以 B=45° 【点评】 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用. 解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问 题进行了互化.   23.【答案】 【解析】(Ⅰ)证明:∵数列{an}满足 a1=﹣1,an+1= ∴nan=3(n+1)an+4n+6, 两边同除 n(n+1)得, 即 也即 又 a1=﹣1,∴ ∴数列{ , , , , (n∈N*),

+ }是等比数列是以 1 为首项,3 为公比的等比数列.

(Ⅱ)(ⅰ)证明:由(Ⅰ)得, ∴ , < ,

=3n﹣1,∴



原不等式即为: 先用数学归纳法证明不等式: 当 n≥2 时, 证明过程如下: 当 n=2 时,左边= = <



,不等式成立 < ,

假设 n=k 时,不等式成立,即

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则 n=k+1 时,左边= < = < + ,

∴当 n=k+1 时,不等式也成立. 因此,当 n≥2 时, 当 n≥2 时, ∴当 n≥2 时, 又当 n=1 时,左边= 故 bn+1+bn+2+…+b2n< . (ⅱ)证明:由(i)得,Sn=1+ 当 n≥2, = =2 ﹣ , , … =2? 将上面式子累加得, 又 =1﹣ =1﹣ , ∴ 即 >2( , ), < , ﹣ , =(1+ , )2﹣(1+ )2 < , , ,不等式成立 ,

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∴当 n≥2 时,Sn2>2(

+

+…+

).

【点评】本题考查等比数列的证明,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意构造法、累加法、裂项求和 法、数学归纳法、放缩法的合理运用,综合性强,难度大,对数学思维能力的要求较高.   24.【答案】(1) 【解析】 试题分析:(1)由向量垂直知两向量的数量积为 0,利用数量积的坐标运算公式可得关于 sin A,sin B,sin C 的等式,从而可借助正弦定理化为边的关系,最后再余弦定理求得 cos A ,由同角关系得 sin A ; (2)由于已 知边及角 A ,因此在(1)中等式 b ? c ? a ?
2 2 2

4 ;(2)4. 5

6bc 中由基本不等式可求得 bc ? 10 ,从而由公式  5

1 S ? bc sin A 可得面积的最大值. 2 ?? ? 试题解析:(1)∵ m ? (sin B,5sin A ? 5sin C ) , n ? (5sin B ? 6sin C ,sin C ? sin A) 垂直, ?? ? 2 2 2 ∴ m ? n ? 5sin B ? 6sin B sin C ? 5sin C ? 5sin A ? 0 ,

考点:向量的数量积,正弦定理,余弦定理,基本不等式.111] 25.【答案】 【解析】解:(1)∵f(x)为奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x),即﹣ax3﹣bx+c=﹣ax3﹣bx﹣c,∴c=0. ∵f′(x)=3ax2+b 的最小值为﹣12,∴b=﹣12. 又直线 x﹣6y﹣7=0 的斜率为 ,则 f′(1)=3a+b=﹣6,得 a=2,

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∴a=2,b=﹣12,c=0; (2)由(1)知 f(x)=2x3﹣12x,∴f′(x)=6x2﹣12=6(x+ 列表如下: x f′(x) f(x) ∵f(﹣1)=10,f( (﹣∞,﹣ + 增 )=﹣8 ) ﹣ 0 极大 )和( ,f(3)=18, )=﹣8 . (﹣ ﹣ 减 ,+∞). , )(x﹣ ) 0 极小 ), ( ,+∞) + 增

所以函数 f(x)的单调增区间是(﹣∞,﹣

∴f(x)在[﹣1,3]上的最大值是 f(3)=18,最小值是 f(  

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