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【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第3章 第8讲_图文

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课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训

第8讲 解三角形应用举例

第三章 第8讲

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不同寻常的一本书,不可不读哟!

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测 量和几何计算有关的实际问题.

第三章 第8讲

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1 个重要关系
常用三角关系式 A+B+C=π,sin(A+B)=sinC,cos(A+B) =-cosC,sinA+2 B=cosC2,cosA+2 B=sinC2.

2点必须注意 1. 利用解三角形的知识解决实际问题中的高度、长度及角 度的问题时,要注意转化思想的应用. 2. 仰角、俯角和方位角是不同的,仰角和俯角是对于水平 线而言的,方位角是相对于正北方向而言的.

第三章 第8讲

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3个必记步骤 1. 阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未 知,理清量与量之间的关系. 2. 根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题 的模型,并进一步明确是用正弦定理,还是用余弦定理来解 题. 3. 将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关 单位问题、近似计算的要求等.

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课前自主导学

第三章 第8讲

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1. 实际问题中的有关概念及常用术语 (1)基线 在测量上,根据测量需要适当确定的________叫做基线. (2)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰 角,在水平线下方的角叫俯角(如图①).

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(3)方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方 位角为α(如图②). (4)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图③)

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①北偏东α:指北方向顺时针旋转α到达目标方向. ②东北方向:指北偏东45°或东偏北45°. ③其他方向角类似.

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(5)坡角与坡比

坡面与水平面所成的锐二面角叫做坡角,坡面的垂直高 度 h 与水平宽度 b 之比即 i=hb=tanα(其中 α 为坡角)叫做坡 比(如图).

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(6)视角 观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角(如 图).

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(1)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α, β之间的关系是__________.
(2)若点A在点C的北偏东30°,点B在点C的南偏东60°, 且AC=BC,则点A在点B的________.

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2.解三角形应用题的一般步骤 (1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求,理 清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形模 型. (3)选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形的解还原为实际问题,注意实际问题中的单 位、近似计算要求.

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(1)如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧, 在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,∠ACB= 45° , ∠ CAB = 105° 后 , 就 可 以 计 算 出 A 、 B 两 点 的 距 离 为 ________m.

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(2)轮船A和轮船B在中午12时离开海港C,两艘轮船航行方 向的夹角为120°,轮船A的航行速度是25海里/小时,轮船B的 航行速度是15海里/小时,下午2时两船之间的距离是________ 海里.

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1. 线段 填一填:(1)α=β
(2)北偏西 15° 提示:如图所示, ∠ACB=90°, 又 AC=BC,∴∠CBA=45°,

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而 β=30°,∴α=90°-45°-30°=15°.∴点 A 在点 B 的

北偏西 15°.

2.填一填:(1)50 2

提示:∠B=180°-∠ACB-∠CAB=30°,

由正弦定理得sin∠ABACB=sAinCB,

∴AB=AC·ssinin∠BACB=50×1

2 2 =50

2(m).

2

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(2)70 提示:设轮船 A、B 航行到下午 2 时时所在的位置分别 是 E、F,则依题意有 CE=25×2=50,CF=15×2=30,且 ∠ECF=120°, EF= CE2+CF2-2CE·CFcos120° = 502+302-2×50×30cos120°=70.

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核心要点研究

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例1 [2013·成都段考]如图所示,为了测量河对岸A,B两 点间的距离,在这岸定一基线CD,现已测出CD=a和∠ACD= 60°,∠BCD=30°,∠BDC=105°,∠ADC=60°,试求 AB的长.

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[审题视点] 在△BCD中,应用正弦定理求出BC长,在 △ABC中,应用余弦定理求出AB的长.
[解] 在△ACD中,已知CD=a,∠ACD=60°,∠ADC = 60° , 所 以 AC = a.∵∠BCD = 30° , ∠ BDC = 105° , ∴∠CBD=45°.

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在△BCD 中,由正弦定理可得 BC=assiinn14055°°=

3+1 2 a.

在△ABC 中,已经求得 AC 和 BC,又因为∠ACB=30°,

所以利用余弦定理可以求得 A,B 两点之间的距离为 AB=

AC2+BC2-2AC·BC·cos30°=

2 2 a.

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(1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角 形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在 另一确定的三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如都可用,就选便于计算 的定理. (3)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的 问题,这时最好画一个空间图,再画一个平面图,处理问题 既清楚又不易出错.

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[变式探究] 某炮兵阵地位于地面A处,两观察所分别位于 地 面 C 和 D 处 , 已 知 CD = 6 km , ∠ ACD = 45° , ∠ ADC = 75°,目标出现于地面B处时,测量得∠BCD=30°,∠BDC =15°,如图,求炮兵阵地到目标的距离.

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解:在△ACD 中,∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=

60°,CD=6,∠ACD=45°,根据正弦定理有 AD=CDsinsi6n04°5°

= 23CD.同理,在△BCD 中,∠CBD=180°-∠BCD-∠

BDC=135°,CD=6,∠BCD=30°,

根据正弦定理得

BD=CsDins1in3350°°=

2 2 CD.

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又在△ABD 中,∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°,

根据勾股定理有 AB= AD2+BD2=

23+12CD=

42 6

CD= 42(km). 所以炮兵阵地到目标的距离为 42 km.

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例2 [2013·无锡调研]如图,山脚下有一小塔AB,在塔底 B 测 得 山 顶 C 的 仰 角 为 60° , 在 山 顶 C 测 得 塔 顶 A 的 俯 角 为 45°,已知塔高AB=20 m,求山高CD.(塔底的宽度忽略不计)

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[审题视点] 过点C作CE∥DB,延长BA交CE于点E,在 △AEC中建立关系解题.
[解] 如图,设 CD=x m, 则 AE=x-20 m, tan60°=CBDD,

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∴BD=taCn6D0°=

x= 3

3 3x

(m).

在△AEC 中,x-20= 33x,

解得 x=10(3+ 3) m.故山高 CD 为 10(3+ 3) m.

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奇思妙想:本例改为“在200米的山顶上,测得山下一塔
顶和塔底的俯角分别为30°,60°,求塔高”,该如何解答? 解:如图,∠ACE=30°,∠BCE=60°,设塔高 AB 为 x

米,BD=200tan30°=2003 3,20C0- E x=tan30°,

∴200-x=2030,x=4030.

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(1)测量高度时,要准确理解仰、俯角的概念;仰角、俯角 都是同一铅垂面内,视线与水平线的夹角;(2)分清已知和待 求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形内应用正、余弦定 理.

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[变式探究] [2013·西宁模拟]要测量底部不能到达的电视 塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶 A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,求电视塔的高度.

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解:如图,设电视塔 AB 高为 x m, 则在 Rt△ABC 中,由∠ACB=45°得 BC=x.在 Rt△ADB 中,∠ADB=30°, ∴BD= 3x.

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在△BDC中,由余弦定理得, BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos120°, 即(x)2=x2+402-2·x·40·cos120°, 解得x=40,∴电视塔高为40米.

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例3 [2013·临川模拟]如图, 渔 船 甲 位 于 岛 屿 A 的 南 偏 西 60° 方 向的B处,且与岛屿A相距12海里, 渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿 A出发沿正北方向航行,若渔船甲 同时从B处出发沿北偏东α的方向追 赶渔船乙,刚好用2小时追上.
(1)求渔船甲的速度; (2)求sinα的值.

第三章 第8讲

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[审题视点] 要求渔船甲的速度,关键是求出BC,而AB= 12,AC就是船乙2小时走的距离,因此AC=20,故可用余弦定 理求得BC,注意α=∠ACB,因此可在△ABC中求sin∠ACB或 cos∠ACB,从而获得sinα的值.

第三章 第8讲

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[解] (1)依题意,∠BAC=120°,AB=12,AC=10×2 =20,∠BCA=α.
在△ABC 中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC =122+202-2×12×20×cos120°=784. 解得 BC=28. 所以渔船甲的速度为B2C=14(海里/小时).

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(2)法一:在△ABC 中,因为 AB=12,∠BAC=120°,

BC=28,∠BCA=α,

由正弦定理,得sAinBα=sinB1C20°.



sinα=ABsBinC120°=12×28

3 2 =3143.

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法二:在△ABC 中,因为 AB=12,AC=20,BC=28, ∠BCA=α,由余弦定理,得 cosα=AC22+ACB×C2B-CAB2,
即 cosα=2022×+2208×2-21822=1134. 因为 α 为锐角,所以 sinα= 1-cos2α= 1-?1134?2= 33 14 .

第三章 第8讲

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测量角度问题也就是通过解三角形求角问题,求角问题可 以转化为求该角的函数值.如果是用余弦定理求得该角的余 弦,该角容易确定,如果用正弦定理求得该角的正弦,就需要 讨论解的情况了.

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[变式探究] 如图,为了解某海域海底构造,在海平面内 一条直线上的A,B,C三点进行测量.已知AB=50 m,BC= 120 m,于A处测得水深AD=80 m,于B处测得水深BE=200 m,于C处测得水深CF=110 m,求∠DEF的余弦值.

第三章 第8讲

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解:作 DM∥AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.

DF= MF2+DM2= 302+1702=10 298,

DE= DN2+EN2= 502+1202=130,

EF= ?BE-FC?2+BC2= 902+1202=150.

在△DEF 中,由余弦定理,得

cos∠DEF=DE22+DEE×F2-EFDF2

=1302+2×1510320-×11052× 0 298=1665.

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【选题·热考秀】 [2013·苏州模拟]
如图,在海岸 A 处发现北偏东 45°方向,距 A 处( 3-1)海里 的 B 处有一艘走私船.在 A 处北偏西 75°方向,距 A 处 2 海 里的 C 处的我方缉私船奉命以 10 3海里/小时的速度追截走 私船,此时走私船正以 10 海里/小时的速度,以 B 处向北偏 东 30°方向逃窜.

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问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出 所需时间.

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[规范解答] 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时,才能最 快截获(在 D 点)走私船,则 CD=10 3t 海里,BD=10t 海里,
在 △ ABC 中 , 由 余 弦 定 理 , 有 BC2 = AB2 + AC2 - 2AB·ACcosA=( 3-1)2+22-2( 3-1)·2·cos120°=6.
∴BC= 6海里.

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又∵sBinCA=sin∠ACABC,∴sin∠ABC=ACB·sCinA=2·sin1620°

= 22, ∴∠ABC=45°,∴B 点在 C 点的正东方向上,

∴∠CBD=90°+30°=120°,

在△BCD 中,由正弦定理,得sin∠BDBCD=sin∠CDCBD,

∴sin∠BCD=BD·siCn∠D CBD=10t1·s0in132t 0°=12.

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∴∠BCD=30°,∴缉私船沿北偏东 60°的方向行驶. 又在△BCD 中,∠CBD=120°,∠BCD=30°, ∴∠D=30°,∴BD=BC,即 10t= 6.∴t=106小时≈15 分钟. ∴缉私船应沿北偏东 60°的方向行驶,才能最快截获走 私船,大约需要 15 分钟.

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【备考·角度说】 No.1 角度关键词:审题视角 (1)分清已知条件和未知条件(待求). (2)将问题集中到一个三角形中,如△ABC和△BCD. (3)利用正弦定理或余弦定理求解.

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No.2 角度关键词:模板构建 利用正弦、余弦定理解决实际问题的方法步骤: 第一步:分析——理解题意,分清已知与未知,画出示意 图; 第二步:建模——根据已知条件与求解目标,把已知量与求 解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学 模型;

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第三步:求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角 形,求得数学模型的解;
第四步:检验——检验上述所求的解是否符合实际意义,从 而得出实际问题的解.

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经典演练提能

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1. [2012·湖南高考]在△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=

60°,则 BC 边上的高等于( )

3 A. 2
3+ 6 C. 2

33 B. 2
3+ 39 D. 4

答案:B

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cos60°=

AB2+BC2-AC2 2AB·BC



1 2





AB



3







AB·sin60°=323,选 B 项.

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2. [2013· 绍 兴 模 拟 ] 有 一 长 为 1 的 斜 坡 , 它 的 倾 斜 角 为

20°,现高不变,将倾斜角改为10°,则斜坡长为( )

A. 1

B. 2sin10°

C. 2cos10°

D. cos20°

答案:C

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解析:如图,∠ABC=20°,AB=1,∠ADC=10°,∴ ∠ABD=160°.
在△ABD 中,由正弦定理得 sinA1D60°=sinA1B0°, ∴AD=AB·ssiinn11600°°=ssiinn2100°°=2cos10°.故选 C 项.

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3. [2012·福建高考]已知△ABC 的三边长成公比为 2的 等比数列,则其最大角的余弦值为________.

答案:-

2 4

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解析:设△ABC 的最小边长为 a(m>0),则其余两边长为

2 a,2a , 故 最 大 角 的 余 弦 值 是

cosθ



a2+? 2a?2-?2a?2 2·a· 2a



2-2aa22=-

2 4.

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4. 一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯 塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在 船的南偏西60°方向,另一灯塔在船的南偏西75°方向,则这 只船的速度是每小时________.
答案:10海里

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解析:如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所 以∠CAD=∠CDA=15°,从而 CD=CA=10,在直角三角形 ABC 中,可得 AB=5,于是这只船的速度是05.5=10(海里/小 时).

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限时规范特训

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