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全国数学联赛金牌教练 高中奥数辅导:第十二讲 联赛训练之直线 圆 圆锥曲线 平面向量


全国高中数学联赛

金牌教练员讲座

兰州一中数学组

第十二讲:联赛训练之直线 圆 圆锥曲线 平面向量
一,基础知识导引 <一>,直线与圆 1,两点间的距离公式:设 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ) ,则 P1 P2 ?
( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) ;
2 2

2,线段的定比分点坐标公式:设 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ) ,点 P ( x , y ) 分 P1 P2 的比为 ? ,则
x ? x1 ? ? x 2 1? ?

,y ?

y1 ? ? y 2 1? ?

( ? ? ? 1)

3,直线方程的各种形式 (1),点斜式: y ? y 0 ? k ( x ? x 0 ) ; (2),斜截式: y ? kx ? b ; (3),两点式:
x a y b
y ? y1 y 2 ? y1 ? x ? x1 x 2 ? x1

(4),截距式:

?

? 1( a , b ? 0 ) ;(5),一般式: A x ? B y ? C ? 0( A , B 不同为零);

(6)参数方程: ?

? x ? x 0 ? t co s ? ? y ? y 0 ? t sin ?

( t 为参数, ? 为倾斜角, t 表示点 ( x , y ) 与 ( x 0 , y 0 ) 之间的距离)

4,两直线的位置关系 设 l1 : A1 x ? B1 y ? C 1 ? 0, l 2 : A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 (或 l1 : y ? k 1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b 2 ).则 (1), l1 // l 2 ? A1 B 2 ? A2 B1 ? 0 且 A1C 2 ? A2 C 1 ? 0 (或 k 1 ? k 2 且 b1 ? b 2 ); (2), l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B 2 ? 0 (或 k 1 ? k 2 ? ? 1 ). 5,两直线的到角公式与夹角公式: (1),到角公式: l1 到 l 2 的到角为 ? ,则 tan ? ?
k 2 ? k1 1 ? k1 k 2

,( 0 ? ? ? 1 8 0 );
0 0

(2),夹角公式: l1 与 l 2 的夹角为 ? ,则 tan ? ?

k 2 ? k1 1 ? k1 k 2

,( 0 ? ? ? 9 0 ).
0 0

6,点 P0 ( x 0 , y 0 ) 到直线 l : A x ? B y ? C ? 0 的距离: d ? 7,圆的方程

A x0 ? B y0 ? C A ?B
2 2

.

(1),标准方程: ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? R ,其中 ( a , b ) 为圆心坐标,R 为圆半径;
2 2 2

25

(2),一般方程: x ? y ? D x ? E y ? F ? 0 ,其中 D ? E ? 4 F ? 0 ,圆心为 ( ?
2 2
2 2

D 2

,?

E 2

),

半径为

1 2

D ? E ? 4F .
2 2

(3),参数方程: ? <二>,圆锥曲线

? x ? a ? R co s ? ? y ? b ? R sin ?

,其中圆心为 ( a , b ) ,半径为 R.

椭圆 定义 与两个定点的距离的 和等于常数
x
2 2

双曲线 与两个定点的距离的 差的绝对值等于常数
x a
2 2 2 2

抛物线 与一个定点和一条定 直线的距离相等
y ? 2 px
2

?

y b

2 2

?1

?

y b

2 2

?1

标准方程

a

(或 x ? 2 py )
2

(或

x b

2 2

?

y a

? 1 ),

(或

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1)

参数方程

? x ? a cos ? ? ? y ? b sin ? ? x ? b sin ? ? y ? a co s ?

? x ? a se c ? ? ? y ? b ta n ? ? x ? b ta n ? ? y ? a se c ?

? x ? 2 pt 2 ? ? y ? 2 pt ? x ? 2 pt ? y ? 2 pt
2

(或 ? 焦点

)

(或 ?

)

(或 ?
p 2

)
p 2

( ? c , 0) 或 (0, ? c ) c ? a ?b
2 2 2

( ? c , 0) 或 (0, ? c ) c ? a ?b
2 2 2

(

, 0 ) 或 (0 ,

)

正数 a,b,c, p 的关系 离心率

(a ? b ? 0 )
c a

( a ? 0, b ? 0 )
e?
2 2

e?
2

?1

c a

?1
2

e ?1

准线 渐近线

x ? ?

a

(或 y ? ?

a

)

x ? ?

a

(或 y ? ?
x (或 x ? ?

a

)

x ? ?

p 2

(或 y ? ?

p 2

)

c

c
y ? ?

c
b a

c
b a P F ? x0 ? p 2 p 2 y)

P F1 ? a ? ex 0 P F 2 ? a ? ex 0

P F1 ? ? ex 0 ? a P F 2 ? ? ex 0 ? a

(或 P F ? y 0 ?

)

焦半径

(或 P F1 ? a ? ey 0

( P F1 ? ? ey 0 ? a ,

26

P F 2 ? a ? ey 0 )

P F 2 ? ? ey 0 ? a ),

(点 P 在左或下支) 统一定义 到定点的距离与到定 直线的距离之比等于定值 的点的集合 ,(注:焦点要与对应 准线配对使用) 5,整体处理

二,解题思想与方法导引. 1,函数与方程思想 2,数形结合思想. 3,分类讨论思想. 4,参数法. 三,习题导引 <一>,选择题 1,在平面直角坐标系中,方程 A,三角形 B,正方形
x? y 2a ? x? y 2b

? 1( a , b 为相异正数),所表示的曲线是

C,非正方形的长方形
5 3 x? 4 5

D,非正方形的菱形

2,平面上整点(坐标为整数的点)到直线 y ?
34 170
2

的距离中的最小值是
1 30

A,

B,

34 85

C,

1 20
0

D,

3,过抛物线 y ? 8( x ? 2 ) 的焦点 F 作倾斜角为 6 0 的直线,若此直线与抛物线交于 A,B 两点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点,则线段 PF 的长等于 A,
16 3

B,
x
2

8 3

C,

16 3

3

D, 8 3

4,若椭圆

?

y

2

? 1 上一点 P 到左焦点的距离等于它到右焦点距离的 2 倍,则 P 点坐标为

36

20

A, (3, 1 5 )
x a
2 2

B, ( ? 3, 1 5 )
y b
2 2

C, (3, ? 1 5 )

D, ( ? 3, ? 1 5 )

5,过椭圆

?

? 1 ( a ? b ? 0) 中心的弦 AB, F ( c , 0 ) 是右焦点,则 ? A F B 的最大面积为

A, b c
x a
2 2

B, a b
? y b
2 2

C, a c

D, b

2

6,已知 P 为双曲线
?
2

? 1 上的任意一点, F1 , F 2 为焦点,若 ? F1 P F 2 ? ? ,则 S ? F P F ? 1 2
a b sin ?

A, b c o t

2

B,

1 2

C, b ? a tan
2 2

?
2

D, ( a ? b ) sin ?
2 2

<二>,填空题 7,给定点 P (2, ? 3), Q (3, 2) ,已知直线 ax ? y ? 2 ? 0 与线段 PQ(包括 P,Q 在内)有公共点, 则 a 的取值范围是 .

8,过定点 F ( a , 0) ( a ? 0 ) 作直线 l 交 y 轴于 Q 点,过 Q 点作 Q T ? F Q 交 x 轴于 T 点,

27

延长 TQ 至 P 点,使 Q P ? T Q ,则 P 点的轨迹方程是
x a
2 2

.

9,已知椭圆

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 与直线 x ? y ? 1 交于 M,N 两点,且 O M ? O N ,( O 为

原点),当椭圆的离心率 e ? [

3 3

,

2 2

] 时,椭圆长轴长的取值范围是

.

10,已知 F1 , F 2 是椭圆

x

2

?

y

2

? 1 的两个焦点,M 是椭圆上一点,M 到 y 轴的距离为

16

12

M N ,且 M N 是 M F1 和 M F 2 的等比中项,则 M N 的值等于
2 2

.

11,已知点 A 为双曲线 x ? y ? 1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上, ? A B C 是 等边三角形,则 ? A B C 的面积等于 12,若椭圆
x
2

.
x
2

?

y

2

? 1 ( m ? n ? 0 )和双曲线

?

y

2

m

n

a

b

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 有相同的焦点 F1 ,

F2 ,P 为两条曲线的一个交点,则 P F1 P F 2 的值为

.

<三>,解答题 13,设椭圆
x
2

?

y

2

? 1 有一个内接 ? P A B ,射线 OP 与 x 轴正向成

?
3

角,直线 AP,BP 的斜率

2

6

适合条件 k A P ? k B P ? 0 . (1),求证:过 A,B 的直线的斜率 k 是定值; (2),求 ? P A B 面积的最大值. ? 14,已知 ? A O B ? ? (? 为常数且 0 ? ? ? ),动点 P,Q 分别在射线 OA,OB 上使得 ? P O Q
2

的面积恒为 36.设 ? P O Q 的重心为 G,点 M 在射线 OG 上,且满足 O M ? (1),求 O G 的最小值; (2),求动点 M 的轨迹方程.

3 2

OG .

15,过抛物线 y ? 2 px ( p 为不等于 2 的素数)的焦点 F,作与 x 轴不垂直的直线 l 交抛物线
2

于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 MN 于 P 点,交 x 轴于 Q 点. (1),求 PQ 中点 R 的轨迹 L 的方程; (2),证明:L 上有无穷多个整点,但 L 上任意整点到原点的距离均不是整数. 四,解题导引 1,D 令 y ? x ,得 y ? x ? ? a ,令 y ? ? x 得 x ? ? y ? ? b ,由此可见,曲线必过四个点: ( a , a ) ,

28

( ? a , ? a ) , ( b , b ) , ( ? b , ? b ) ,从结构特征看,方程表示的曲线是以这四点为顶点的四边形,易知

它是非正方形的菱形. 2,B
d ? 2 5 x0 ? 1 5 y0 ? 1 2 850 ? 5(5 x 0 ? 3 y 0 ) ? 1 2 5 34

,当 5 x 0 ? 3 y 0 ? ? 2 (可取 x 0 ? y 0 ? ? 1 )时,

d m in ?

34 85

(其中 ( x 0 , y 0 ) 为平面上任意整点).
3 x ,因此 A,B 两点的横坐标
4 3

3,A 此抛物线的焦点与原点重合,得直线 AB 的方程为 y ?
2

满足方程: 3 x ? 8 x ? 16 ? 0 .由此求得弦 AB 中点的横坐标 x 0 ?

,纵坐标 y 0 ?

4 3
4 3

,进而

求得其中垂线方程为 y ?
16 3

4 3

? ?

1 3

(x ?

4 3

) ,令 y ? 0 ,得 P 点的横坐标 x ? 4 ?

?

16 3

,

即 PF=

.

4,C 设 P ( x 0 , y 0 ) ,又椭圆的右准线为 x ? 9 ,而 P F1 ? 2 P F2 ,且 P F1 ? P F 2 ? 1 2 , 得 P F 2 ? 4 ,又
P F2 9 ? x0 ? e? 2 3

,得 x 0 ? 3 ,代入椭圆方程得 y 0 ? ? 1 5 .
1 2 ? (2b ) ? c ? bc ;

5,A (1)当 A B ? x 轴时, S ? A F B ?

? y ? kx 2 2 2 k a b ? 2 2 (2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设 AB 的方程为 y ? kx ,由 ? x 2 消去 x 得 y ? 2 . y 2 2 b ?k a ? 2 ?1 ? 2 b ?a

设 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 y 1 ?

ka b b ?k a
2 2 2

, y2 ? ?

ka b b ?k a
2 2 2

,

S ?AFB ?

1 2

c ( y1 ? y 2 ) ?

1 2

c

2ab b ?k a
2 2 2

k ? abc

k
2

2 2 2

b ?k a

? abc b k

1
2 2

? bc .
2

?a

6,A 由 F1 F2

2

? P F1

2

? P F2

2

? 2 P F1 P F 2 co s ? ? ( P F1 ? P F 2 ) ? 2 P F1 P F 2
2
2

(1 ? cos ? ) ,得 P F1 P F 2 ?

2b

1 ? co s ?

, S ?F PF ?
1 2

1 2

P F1 P F 2 sin ? ? b

2

sin ? 1 ? co s ?

? b co t
2

?
2

.

7, [ ?

4 1 , ] 5 2

设线段 PQ 上任意一点 M ( x 0 , y 0 ) 且令

PM PQ

? t (0 ? t ? 1) ,则 x 0 ? (1 ? t )2 ? 3 t

29

= 2 ? t , y 0 ? (1 ? t )( ? 3) ? t ? 2 ? ? 3 ? 5 t ,故 a (2 ? t ) ? ( ? 3 ? 5 t ) ? 2 ? 0 , t ? 由0 ? t ? 1 得0 ? 8, y ? 4 a x
2

1 ? 2a a?5

,

1 ? 2a a?5

? 1 ,解得 ?

4 5

? a ?

1 2

.

设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? a ) ,则 Q 点坐标为 (0, ? ka ) ,直线 QT 的方程为
2 2

y ? ?

1 k

x ? ka ,所以 T 点坐标为 ( ? k a , 0 ) ,从而 P 点坐标为 ( k a , ? 2 ka ) ,设 P 的坐标为

? x ? k 2a 2 ,消去 k 可得 P 点轨迹方程为 y ? 4 a x . ( x , y ) ,则 ? ? y ? ?2 ka
2 ? x2 y ? 2 ? 2 ?1 2 2 2 2 2 2 2 由? a ,可得 ( a ? b ) x ? 2 a x ? a ? a b ? 0 b ?x ? y ? 1 ?

9, [ 5 , 6 ]



由 O M ? O N 得 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 ,即 2 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0 ,将 x1 ? x 2 ? ?
a ?a b
2 2 2

2a
2

2 2

a ?b

,

x1 x 2 ?

a ?b
2

2

代入得

1 a
2

?

1 b
2

? 2 ,即

1 b
2

? 2?

1 a
2

,因为

3 3

?

c a

?

2 2

,得

1 3

? 1?

b a

2 2

?

1 2

,得

1 2

?

b a

2 2

?

2 3

,有

3 2

? a ? (2 ?
2

1 a
2

) ? 2 ,解得 5 ? 2 a ?

6.

10,

8 5 5

延长 NM 与椭圆
1 2

x

2

?

y

2

? 1 的右准线 l : x ? 8 相交于 D,设 M ( x , y ) ,则

16

12

M D ? 8 ? x ,因 e ?

, 2 a ? 8 ,得 M F 2 ?
64 5

1 2

MD ?

1 2

(8 ? x ) , M F1 ? 8 ? M F 2 ?

1 2

(8 ? x ) ,

又 MN

2

? M F1 M F 2 ,得 x ?
2

,故 M N ?

8 5 5

.

11, 3 3

设点 C 在 x 轴上方,由 ? A B C 是等边三角形得直线 AB 的斜率 k ?

3 3

,又直线

过 A ( ? 1, 0) 点,故方程为 y ?

3 3

x?

3 3

,代入双曲线方程 x ? y ? 1 ,得点 B 的坐标为
2 2

( 2,

3 ) ,同理可得 C 的坐标为 ( 2, ? 3 ) ,所以 ? A B C 的面积为 [ 2 ? ( ? 1)] 3 ? 3 3 .

12, m ? a
P F1 ?

不妨设 P 为第一象限的一点,则 P F1 ? P F 2 ? 2 m , P F1 ? P F2 ? 2 a ,.得
a ? m , P F2 ? m ? a ,于是 P F1 P F2 ? m ? a .

30

13,:(1)证明:易知直线 OP 的方程为 y ? P(1,

3 x ,将此方程代入 3 x ? y ? 6 ,可求得交点
2 2

3 ) .由题意可设直线 PA,PB 的方程分别为 y ?

3 ? ? k ( x ? 1) 和 y ?
k ? 2 3k ? 3
2

3 ? k ( x ? 1) ,
k ? 2 3k ? 3
2

分别与椭圆方程联立,可求得 A,B 的横坐标分别为 x A ?
? k (2 3k ? 6) 3? k
2

3? k

2

, xB ?

3? k

2

.

从而 y A ?

?

3, yB ?

k (?2 3k ? 6) 3? k
2

? 3,

所以 k A B ?

yB ? yA xB ? x A

?

12k 3? k
2

?

3? k

2

?

3 (定值).

4 3k

(2)不妨设直线 AB 的方程为 y ?
( b ? 6 ) ? 0 ,有 A B
2
2 2

3 x ? b ,与椭圆方程联立,并消去 y 得 6 x ? 2 3 bx +
2
2 2 2

? ( x A ? x B ) ? ( y A ? y B ) ? 4 ( x A ? x B ) 4[( x A ? x B ) ? 4 x A x B ]
3 3 2 3 4 3

= 4[( ?

b) ?
2

( b ? 6 )] ? ?
2

b ? 16
2

点 P 到战线 AB 的距离 d ?
2 2

3? 2

3?b

?

b 2

,所以 S

2 ?PAB

?

1 4

?

b

2

? (1 6 ?

4 3

b )=

2

4

b

(1 2 ? b ) ?
2

1 12

[

b ? (1 2 ? b )
2

] ? 3 ,当且仅当 b ? 12 ? b ,即 b ? ?
2
2 2

6 时,

12

2

( S ? P A B ) m ax ?

3.

14,解(1),以 O 为原点, ? A O B 的平分线为 x 轴建立直角坐标系,则可设 P ( a co s
Q ( b co s

?
2

, a sin

?
2

)

?
2

, ? b sin

?
2

) .于是 ? O P Q 的重心 G ( x G , y G ) 的坐标为 1 3 1 ( a co s ( a sin

xG ? yG ?

?
2

? b co s ? b sin 2 9

?
2

? 0) ? ? 0) ?
2

1 3 1 3

( a ? b ) co s ( a ? b ) sin
2

?
2

,

?

?
2

?
2 2 9

3 2 1 2 2 2 2 2 O G ? xG ? y G ? ( a ? b ) ? 9 1 2 4 2 ? ? 2 a b ? a b co s ? ? a b co s 9 9 9

a b (co s

?
2

? sin

?
2

)=

1 9

(a ? b ) ?
2 2

a b co s ?

?
2

.
72 sin ?

又已知 S ? O P Q ?

1 2

a b sin ? ? 3 6, 得 a b ?

,于是 O G ?

4

9 sin ?

?

72

? co s

2

?
2

31

?

1 6 co t

?
2

? 4 co t

?
2

,且当 a ? b ?
3 2

72 sin ?

时等号成立,故 O G
xG ? 1 2
72 sin ?

m in

? 4 co t

?
2

.
1 2 ( a ? b)

(2),设 M ( x , y ) ,则由 O M ?
s in

O G 得, x ?
x co s ?

3 2
y

( a ? b ) co s

?
2

?0,y ?

3 2

yG =

?
2

,得 a ?

x co s
2

?
2

?

y sin

?
2

,b ?

?
2

sin

?
2

,代入 a b ?

,并整理得

x

2

3 6 co t

?
2

?

y

3 6 tan

?
2

? 1( x ? 0 ) ,这就是所求动点 M 的轨迹方程.

15,解:(1)抛物线 y ? 2 px 的焦点为 (
2

p 2

, 0 ) ,设 l 的直线方程为 y ? k ( x ?

p 2

) (k ? 0) .

? y 2 ? 2 px 1 2 2 ? 2 2 2 由? p 得 k x ? ( p k ? 2 p ) x ? p k ? 0 ,设 M,N 的横坐标分别为 x1 , x 2 4 ? y ? k(x ? ) ? 2

则 x1 ? x 2 ?

pk ? 2 p
2

k

2

,得 x P ?

x1 ? x 2 2

?

pk ? 2 p
2

2k

2

, yP ? k (

pk ? 2 p
2

2k
2

2

?

p 2

)?

p k

,

而 P Q ? l ,故 PQ 的斜率为 ?

1 k

,PQ 的方程为 y ?

p k

? ?

1 k

(x ?

pk ? 2 p 2k
2

).

代入 y Q ? 0 得 x Q ? p ?

pk ? 2 p
2

2k

2

?

3 pk ? 2 p
2

2k

2

.设动点 R 的坐标 ( x , y ) ,则

1 p ? x ? ( x P ? xQ ) ? p ? 2 2 ? p ? 2 k 2 ,因此 p ( x ? p ) ? 2 ? 4 y ( y ? 0 ) , ? k ?y ? 1 (y ? y ) ? p P Q ? 2 2k ?

故 PQ 中点 R 的轨迹 L 的方程为 4 y ? p ( x ? p )( y ? 0) .
2

(2),显然对任意非零整数 t ,点 ( p ( 4 t ? 1), p t ) 都是 L 上的整点,故 L 上有无穷多个整点.
2

反设 L 上有一个整点(x,y)到原点的距离为整数 m,不妨设 x ? 0, y ? 0, m ? 0 ,则
? x 2 ? y 2 ? m 2 (i ) ? ,因为 p 是奇素数,于是 p y ,从 ( ii ) 可推出 p x ,再由 ( i ) 可推出 ? 2 ? 4 y ? p ( x ? p )( ii ) ? ? x1 2 ? y 1 2 ? m 1 2 ( iii ) ? p m ,令 x ? px1 , y ? py1 , m ? pm 1 ,则有 ? , 2 ( iv ) ? 4 y 1 ? x1 ? 1 ?

32

由 ( iii ) , ( iv ) 得 x1 ?
2

x1 ? 1 4

? m 1 ,于是 (8 x1 ? 1) ? (8 m 1 ) ? 1 7 ,即
2

2

2

(8 x1 ? 1 ? 8 m 1 )(8 x1 ? 1 ? 8 m 1 ) ? 17 ,于是 8 x1 ? 1 ? 8 m 1 ? 17 , 8 x1 ? 1 ? 8 m 1 ? 1 ,

得 x1 ? m 1 ? 1 ,故 y 1 ? 0 ,有 y ? p y1 ? 0 ,但 L 上的点满足 y ? 0 ,矛盾! 因此,L 上任意点到原点的距离不为整数.

33


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