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高二数学期中试题(理科)答案


高二数学期中试题(理科)参考答案
1.B. 2.解析: ∵u=-2a,∴u∥a,∴l⊥α,故选 B. B 3.解析: 如图, → → → → → → → AC′=AB+BC+CC′=AB+BC-C′C, 1 1 所以 x=1,2y=1,3z=-1,所以 x=1,y= ,z=- , 2 3 1 1 7 因此 x+y+z=1+ - = . 2 3 6 答案: B 4.解析: 以 DA, DC, 1 所在直线为 x 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系, B(1,1,0), DD y z 则 E(1,0,1),C(0,1,0),D1(0,0,2). → → ∴BE=(0,-1,1),CD1=(0,-1,2). → → BE· 1 CD 3 3 10 → → ∴cos〈BE,CD1〉= = = .故选 C. 10 → → 2× 5 |BE||CD1| 答案: C 5.解析: 设 n=(x,y,1)是平面 ABC 的一个法向量. → → ∵AB=(-5,-1,1),AC=(-4,-2,-1), 1 3 ? -4x-2y-1=0, ∴?x= ,? y=- , ∴{-5x-y+1=0,? 2 2
?

答案:

1 3 ∴n=?2,-2,1?. ? ?

→ 又AD=(-2,-1,3),设 AD 与平面 ABC 所成的角为 θ,

7 → |AD· 2 1 n| 则 sin θ= = = ,∴θ=30° .故选 C. 7 2 → |AD||n| 答案: C 6.【答案】B 【解析】? y ? 选B 7.A 8.B 9.解析:以点 D 为原点,DA,DC,DD1 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设正 → → 方体的棱长为 1,则A1C=(-1,1,-1),AC1=(-1,1,1).

1 2 1 x ? ln x,? y? ? x ? ,由y?≤0,解得-1≤x≤1,又x ? 0,? 0 ? x≤1,故 2 x

1

1 → → 又可以证明 A1C⊥平面 BC1D,AC1⊥平面 A1BD,又 cos〈AC1,A1C〉= ,结合图形可 3 1 知平面 A1BD 与平面 C1BD 所成二面角的余弦值为 .故选 B. 3 答案: B 10.【答案】D. 【解析】? f ( x) ?

2 2 1 ? ln x,? f ' ( x) ? ? 2 ? ,令 f ' ( x) ? 0 ,则 x ? 2 ,当 0 ? x ? 2 时 x x x

f ' ( x) ? 0 ,当 x ? 2 时 f ' ( x) ? 0 ,所以 x ? 2 为 f (x) 极小值点,故选 D.
11.【答案】C 【解析】由函数 f ( x) 在 x ? ?2 处取得极小值可知 x ? ?2 , f ?( x) ? 0 ,则 xf ?( x) ? 0 ;

x ? ?2 , f ?( x) ? 0 则 ?2 ? x ? 0 时 xf ?( x) ? 0 , x ? 0 时 xf ?( x) ? 0 ,选 C.
12.D 13.解析: 因为 a-2b=(8,-5,13),所以|a-2b|= 82+?-5?2+132= 258. 答案: 258

14.【答案】 y ? 4 x ? 3 【解析】函数的导数为 f ' ( x) ? 3 ln x ? 1 ? x ?

3 ? 3 ln x ? 4 ,所以在 (1,1) 的切线斜率为 x

k ? 4 ,所以切线方程为 y ? 1 ? 4( x ? 1) ,即 y ? 4 x ? 3 .
15. e ?

1 e

16. ? 3 ? k ? ?1或1 ? k ? 3

17.解:由题意知: f ( x) ? x (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x ? x ? tx ? t ,则
2 3 2

f ' ( x) ? ?3x 2 ? 2 x ? t
∵ f (x) 在区间 (?1,1) 上是增函数,∴ f ' ( x) ? 0 即 t ? 3x ? 2 x 在区间 (?1,1) 上是恒成立,
2

2 设 g ( x) ? 3x ? 2 x ,则 g ( x) ? 3( x ? ) ?
2

1 3

1 ,于是有 3

t ? g ( x) max ? g (?1) ? 5
∴当 t ? 5 时, f (x) 在区间 (?1,1) 上是增函数
2 2 又当 t ? 5 时, f ' ( x) ? ?3 x ? 2 x ? 5 ? ?3( x ? ) ?

1 3

14 , 3

2

在 (?1,1) 上,有 f ' ( x) ? 0 ,即 t ? 5 时, f (x) 在区间 (?1,1) 上是增函数 当 t ? 5 时,显然 f (x) 在区间 (?1,1) 上不是增函数 ∴t ? 5 18.【解析】 (方法一) f ( x) ? ax ? (I) 当且仅当 ax ? 1( x ?

1 1 ? b ? 2 ax? ? b ? b ? 2 , ax ax

1 ) 时, f ( x) 的最小值为 b ? 2 。 a

(II)由题意得: f (1) ?

3 1 3 ? a? ?b ? , ① 2 a 2 1 1 3 f ?( x) ? a ? 2 ? f ?(1) ? a ? ? , ② ax a 2

由①②得: a ? 2, b ? ?1 。 19. 【解析】 (Ⅰ)因 f ( x) ? ax ? bx ? c 故 f ?( x) ? 3ax ? b
3 2

由于 f ( x) 在点 x ? 2 处

取得极值 故有 ?

? f ?(2) ? 0 ? 12a ? b ? 0 ?12a ? b ? 0 ? a ?1 即? ,化简得 ? 解得 ? ? f (2) ? c ? 16 ?8a ? 2b ? c ? c ? 16 ?4a ? b ? ?8 ?b ? ?12

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

f ( x) ? x 3 ? 12 x ? c , f ?( x) ? 3x 2 ? 12

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2, x2 ? 2 当 x ? (??, ?2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 (??, ?2) 上为 增函数; 当 x ? (?2, 2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 (?2, 2) 上为减函数 当 x ? (2, ??) 时 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (2, ??) 上为增函数。

3

20.解析: 设正方体的棱长为 1,如图所示,

→ → → 以AB,AD,AA1为单位正交基底建立空间直角坐标系. (1)依题意,得 B(1,0,0), 1 E?0,1,2?,A(0,0,0),D(0,1,0), ? ? 1 → → 所以BE=?-1,1,2?,AD=(0,1,0), ? ? 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 因为 AD⊥平面 ABB1A1, → 所以AD是平面 ABB1A1 的一个法向量, 设直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角为 θ, → → |BE· | AD 1 2 则 sin θ= = = . 3 → → 3 |BE|· | ×1 |AD 2 2 即直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为 . 3 1 → → (2)依题意,得 A1(0,0,1),BA1=(-1,0,1),BE=(-1,1, ), 2 设 n=(x,y,z)是平面 A1BE 的一个法向量, → → 则由 n· 1=0,n· =0, BA BE 1 ? -x+y+ z=0 , 得?-x+z=0? 2
?

1 所以 x=z,y= z. 2 取 z=2,得 n=(2,1,2).

4

设 F 是棱 C1D1 上的点, 则 F(t,1,1)(0≤t≤1). → 又 B1(1,0,1),所以B1F=(t-1,1,0), 面 B1F?平面 A1BE, → 于是 B1F∥平面 A1BE?B1F· n=0 ?(t-1,1,0)· (2,1,2)=0 ?2(t-1)+1=0 1 ?t= ?F 为 C1D1 的中点. 2 这说明在棱 C1D1 上存在点 F 使 B1F∥平面 A1BE. 21. 解:设圆锥的底面半径为 r ,高为 h ,体积为 V ,则 由 h ? r ? R ,所以
2 2 2

V ?

1 1 1 1 ?r 2 h ? ? ( R 2 ? h 2 )h ? ?R 2 h ? ?h 3 , (0 ? h ? R) 3 3 3 3

∴V ' ?

1 2 3 ?R ? ?h 2 ,令 V '? 0 得 h ? R 3 3

┅┅┅┅┅┅┅ (6 分)

易知: h ?

3 R 是函数 V 的唯一极值点,且为最大值点,从而是最大值点。 3
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (8 分)

∴当 h ?

3 R 时,容积最大。 3

把h ?

3 6 R 代入 h 2 ? r 2 ? R 2 ,得 r ? R 3 3 2 6 ? 3
┅┅┅┅┅┅┅ (11 分)

由 R? ? 2?r 得 ? ?

即圆心角 ? ?

2 6 ? 时,容器的容积最大。 3

答:扇形圆心角 ? ?

2 6 ? 时,容器的容积最大。 3

┅┅┅┅

(12 分)

22. 解:解方程组 ?

? y ? kx ?y ? x ? x
2

2 得:直线 y ? kx 分抛物线 y ? x ? x 的交点的横坐标为

x ? 0和 x ? 1? k
5

┅┅

抛物线 y ? x ? x 2 与 x 轴所围成图形为面积为
1 1 1 1 S ? ? ( x ? x 2 )dx ? ( x 2 ? x 3 ) |1 ? 0 0 2 3 6

由题设得
1? k 1? k S ? ? ( x ? x 2 )dx ? ? kxdx 0 0 2

??
又S ?

1? k

0

( x ? x 2 ? kx)dx ?

(1 ? k ) 3 6

3 1 1 4 (1 ? k ) 3 ? ,从而得: k ? 1 ? ,所以 6 2 2

6



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