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一道数学高考试题的思考_论文

溶  2 0 1 3年第 1 5期  一 道数学 高考试题 的思考  何 生 财  ( 甘肃省永靖县移民中学,甘肃 永靖 7 3 1 6 0 0 )   摘  要:对一道数学题进行一番思考,对它变换、延拓、归纳,从而得到一般性的规律 , 这是一种探索的思维方法,是教好  数 学的有 力武器,须要在教 学中给 予足 够的重视 。   关 键 词 :原型 ;变换 ;充分性 ;必要性;延拓;总结  作者简 介 :何生财,中学数学一级教师,现于甘肃省永靖县移民中学任教。   学 会思考应从一 点一滴做起 。一道题看似 平淡无奇然 ,如  Y I Y 2 =一 2 p r ,F  ̄ q y l Y z = 一 p 2 得r =   ,由此 可得 :直线 L与  果 我们对它进 行一番深入 地思考 ,则别有 一番洞天 。本 文仅 以  X 的交点为 ( ÷,0 )。   个数 学题为例 ,阐述这个观 点。   。 . . 一 做一道试题  同 理 可 得 :若 直线 L与 抛 物 线 y 。 = 2 p x( p >0 ) 相 交 于  例 1 .若 直 线 L过 y = 8 X 2 抛 物 线 的 焦 点 ,且 与 抛 物 线 相 交 于  A (   , Y   ) , B ( x 2 , Y : ) 两点, 且M   z = P   , 则直线 L 与x 轴 相 的交 点 为 ( 一   A (  , Y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 两 点 ,则 (  )   O )。   2   一 、 A . Y , Y 2 :- 6 4  B .   2 =一 8   C .   = 4  O . X 1 X 2 =1 6   , 解析 :做 此题最简单 的方法是:特殊地 ,当直线 L与 X轴  例 5 .已 知 : 直 线 L与 抛 物 线 Y   = 2 p x( p >0 ) 相 交 于  (  ,  ) , B ( x 2 , Y   )两 点 ,且 X 1 X 2 =   ,求 直线 L 与 x轴 的交 点 。   垂直时,因为直线 L 过抛物线的焦点,所 以 X 1 = X 2 =   / / = 2 。再  A 解 析: 设 直 线 L与 X轴 的 交 点为 M ( r , 0 ),则直 线 L的  有抛物线 的定义 ,得 —p = - 4 , Y 2   p : 4 , 即 屯- - 4 ,Y l Y 2 = - 1 6 。 排出   方 程 为 :x = m y — r ,将 此 方 程 代 入 抛 物 线 方 程 ,并 整 理 , 得  A ,B ,D选项 ,应选 C选项 。   二 、例 1 在 课本 中的原型  例2 .若 直 线 L过 抛 物 线 y   = 2 p x 的 焦 点 ,且 与 物 线 交 于  A ( x t ,   t ) , B ( x : , Y 2 ) 两点 ,则 X 2 : Y 1 Y 2 = 一 +2 ( r —p m   )  + ,   =0 ,A:4 ( r —p m。 )   一4 r   =p m  ( p m   一2 r ) >0 可   能 , 即 r   譬时 , X I   : r 2 而  = 等 , . ? . , 2 :  , 即 r = ±   ,   由 此 可得 : 直线 L过   , o ) 或( 一   / 4o ) 。   , , 。  一 解析 :‘ . ‘ 直 线 L过 抛 物 线 y : = 2 p   的焦点 (   ,0 )。   。 . 综 上 所 得: 若 直 线 L与 抛 物 线 y   = 2 p   (> O )相 交 于  入 抛 物 线 方 程,   并 整 理,   得 Y   一 2 p m y — P   0,而  A (  ,  ) , B ( x 2 , Y 2 ) 两 点 ,贝 0   A = ( - 2 p m )   一 4 ( 一 P   ) = 4 p   m   + 4   。 > 0 ,. ‘ .   = 一 P   , 再将 此式两 边  一P   §直线 L过(  , o ) = = > X 1 X 2 :   ; ;   平方 ,得 y ; =P   , ̄ 1 2 p x 。 . 2 p x   = p   ,由于X l   x 2 > 0 ,. 。 . x l x   =  。   . 可 设 直 线 L方 程 为 : x = m y +   ,此 方 程 代  五、归纳总结  三、进行变换  例3 . 若 直 线 L过 ( 一   ,o ), 且 与 抛 物 线y = 2 p   ( p > O )   Y l Y 2 : 7 P   营直 线 L过 ( 一  , 0 )   =   A;   , x 1 x 2 :   相交于A (  , Y   ) , B ( x 2 ,  ) 两点,  则  l X 2= 一 = = > 直线 L过  P o )或 直 线 L过 ( 一   P o )。   , = ,  一 。  解 析: 。 . ‘ 直线 L过 ( 一 ÷,O )。   可 设 直 线 L方 程 为 : x = m y一 旦 ,此 方 程 代  入 抛 物 线 方 程,   并 整 理,   得 y : : 2 p m y +p 2 : 0,而  则  A: ( 一 2 p m )   一 4 p 。 = 4 p   m   一 4 p   =4 p   (  一 1 ) > 0 ,即 m< - 1或  m >1 ,. 。 .   = - p   ,再 将 此 式 两 边 平 方 ,得 2   ; = P   ,即  。 六、进行延拓  对上面规律 ,更一般化推广 :   若直线 L 与抛物线y 。  2 p x ( p > 0 ) 相 交于A ( x 。  ) , , B ( x


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