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2016


3.1.3 导数的几何意义

自主学习 新知突破

1.了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间

的关系,通过函数的图象理解导数的几何意义.
2.了解导函数的概念,会求导函数. 3 .根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方 程.

设函数y=f(x)的图象如图所示,AB是过点A(x0,f(x0))与点

B(x0+Δx,f(x0+Δx))的一条割线,当点B沿曲线趋近于A时,割
线 AB 的斜率 kAB 与曲线在点 A 处的切线的斜率 k 之间有什么关 系?与f′(x0)有什么关系?

[提示]

割线AB的斜率kAB无限接近于曲线在点A处的切线

的斜率k,k=f′(x0).

导数的几何意义
函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y = f(x)

在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率.也就是说,曲线y= f(x)在点
P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0). y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) . 切线方程为______________________

函数y=f(x)的导函数
从求函数 f(x)在 x=x0 处导数的过程可以看到,当 x=x0 时, f′(x0)是一个______ 确定 的数.这样,当 x 变化时,f′(x)便是 x 的

导数 .y=f(x)的导 一个函数,我们称它为 f(x)的导函数(简称______)
函数有时也记作 y′, f?x+Δx?-f?x? lim Δx 即 f′(x)=y′=________________. Δx→0

“函数f(x)在点x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间 的区别与联系 (1)“函数在一点处的导数”,就是在该点的函数的改变量

与自变量的改变量的比的极限,它是一个数值,不是变数.

(2)“导函数”:如果函数 f(x)在开区间(a,b)内每一点都可 导,就说 f(x)在开区间(a,b)内可导,这时对于区间(a,b)内每一 个确定的值 x0,都对应着一个导数 f′(x0),这样就在开区间(a, b)内构成一个新的函数,我们把这一新函数叫做 f(x)在开区间(a, Δy b)内的导函数, 记作 f′(x)或 y′, 即 f′(x)=y′=li m =li m Δ x Δx→0 Δx→0 f?x+Δx?-f?x? . Δx

(3)导函数也简称导数.所以

(4)函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在 点 x=x0 处的函数值,f′(x0)=f′(x)|x=x .
0

所以求函数在一点处的导数,一般是先求出函数的导函数, 再计算这点的导函数值.

1.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是( A.在点x0处的斜率 B.在点(x0,f(x0))处切线与x轴所夹锐角的正切值 C.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率 D.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率

)

解析: 由导数的几何意义知,选项C正确.
答案: C

2 .已知曲线 y = 2x2 上一点 A(2,8) ,则点 A 处的切线斜率为

(

)
A.4 C.8 B.16 D.2

解析: 曲线在点 A 处的切线的斜率就是函数 y=2x2 在 x =2 处的导数. 2?2+Δx?2-2×22 Δy f′(2)= lim Δx= lim Δx Δx→0 Δx→0 8Δx+2?Δx?2 = lim =8,故选 C. Δ x Δx→0
答案: C

3.已知曲线y=3x2,则在点A(1,3)处的曲线的切线方程为 ____________. 2 2 Δy 3?x+Δx? -3x 解析: ∵Δx= =6x+3Δx, Δx

∴y′|x=1= lim (6+3Δx)=6.
Δx→0

通过验证得点 A(1,3)在曲线 y=3x2 上. ∴曲线在点 A(1,3)处的切线斜率为 6. ∴所求的切线方程为 y-3=6(x-1), 即 6x-y-3=0.
答案: 6x-y-3=0

2 4.求曲线 f(x)= x在点(-2,-1)处的切线方程. 2 解析: ∵点(-2,-1)在曲线 y= x上,
2 2 ∴曲线 y= 在点(-2, -1)处的切线斜率就等于 y= 在点(- x x 2,-1)处的导数. ∴k=f′(-2) f?-2+Δx?-f?-2? = lim Δx Δx→0

2 2 - -2+Δx -2 = lim Δx Δx→0 1 1 = lim =- , 2 - 2 + Δ x Δx→0 2 1 ∴曲线 y=x 在点(-2,-1)处的切线方程为 y+1=-2(x+ 2),整理得 x+2y+4=0.

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在点P处的切线
? 8? 1 3 已知曲线 y=3x 上一点 P?2,3?,如图所示. ? ?

(1)求曲线在点P处的切线的斜率; (2)求曲线在点P处的切线方程. [思路点拨]

1 3 (1)因为 y=3x , 1 1 3 3 3?x+Δx? -3x Δy 所以 y′= lim Δx= lim Δx Δx→0 Δx→0 3x2·Δx+3x?Δx?2+?Δx?3 1 =3 lim Δx Δx→0 1 =3 lim [3x2+3x·Δx+(Δx)2]=x2, Δx→0

所以 y′|x=2=22=4, 1 3 所以曲线 y=3x 在点 P 处的切线的斜率为 4. 1 3 8 (2)曲线 y=3x 在点 P 处的切线方程是 y-3=4(x-2), 即 12x -3y-16=0.

利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线

方程的步骤:
(1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0); (2)根据直线的点斜式方程,得切线方程为 y-y0=f′(x0)·(x-x0).

1 1.函数 y=f(x)=x 在 x=1 处的切线方程为________. Δy 解析: y′|x=1=f′(1)= lim Δx→0 Δx
1 -1 1+Δx f?1+Δx?-f?1? -1 = lim = lim = lim =-1, Δ x Δ x 1 + Δ x Δx→0 Δx→0 Δx→0 则切线方程为 y-1=-(x-1), 即 x+y-2=0.
答案: x+y-2=0

过点P的切线
1 求经过点(2,0)且与曲线 y=x相切的直线方程.
[思路点拨] 设切点? x0,y0? → 求曲线在? x0,y0? 处切线方程

→ 切线过? 2 ,0? → 得x0 → 得切线方程

可以验证点(2,0)不在曲线上,设切点为 P(x0, y0). 1 1 -x x0+Δx 0 由 y′|x=x = lim Δx Δx→0
0

-Δx = lim ?x0+Δx?· x0 Δx→0 Δx· -1 1 = lim =-x2, x ? x + Δ x ? 0 Δx → 0 0 0 1 故所求直线方程为 y-y0=-x2(x-x0), 0 4分 6分

由点(2,0)在所求的直线上,得 x2 0y0=2-x0, 1 再由 P(x0,y0)在曲线 y=x 上,得 x0y0=1, 联立可解得 x0=1,y0=1, 所以直线方程为 x+y-2=0. 8分 10 分 12 分

求曲线的切线方程,首先要判断所给点是否

在曲线上.若在曲线上,可用切线方程的一般方法求解;若不
在曲线上,可设出切点,写出切线方程,结合已知条件求出切 点坐标或切线斜率,从而得到切线方程.

2 .直线 l 过点 (2,2) 且与曲线 y = x3 - 3x 相切,求直线 l 的方

程.
解析: 直线 l 过点(2,2)与曲线 y=x3-3x 相切,设切点坐 标为(a,b), ?a+Δx?3-3?a+Δx?-a3+3a Δy 则 f′(a)= lim Δx= lim Δx Δx→0 Δx→0 ?Δx?3+3a· ?Δx?2+?3a2-3?Δx = lim Δx Δx→0 =3a2-3.

∴l 的方程为 y-b=(3a2-3)(x-a). 又直线 l 过点(2,2), ∴2-b=(3a2-3)(2-a) 又 b=a3-3a
? ?a=2, 解①,②得? ? ?b=2 ? ?a=-1, 或? ? ?b=2.

① ②

∴l 的方程为 9x-y-16=0 或 y=2.

求切点坐标
已知抛物线y=2x2+1分别满足下列条件,请求出切
点的坐标. (1)切线的倾斜角为45°; (2)切线平行于直线4x-y-2=0; (3)切线垂直于直线x+8y-3=0.

[思路点拨]

设出切点坐标? x0,y0? → 求出在该点处的导数

→ 利用所给条件建立方程 → 求出切点的坐标

解析: 设切点坐标为(x0,y0),则
2 Δy=2(x0+Δx)2+1-2x0 -1=4x0·Δx+2(Δx)2,

Δy ∴ =4x0+2Δx, Δx Δy 当 Δx→0 时, →4x0,即 f′(x0)=4x0. Δx

(1)∵抛物线的切线的倾斜角为 45° , ∴斜率为 tan 45° =1. 1 即 f′(x0)=4x0=1,得 x0= , 4
?1 9? ∴切点的坐标为?4,8?. ? ?

(2)∵抛物线的切线平行于直线 4x-y-2=0, ∴k=4,即 f′(x0)=4x0=4,得 x0=1, ∴切点坐标为(1,3). (3)∵抛物线的切线与直线 x+8y-3=0 垂直,
? 1? ?- ?=-1 k· ? 8?

即 k=8,

故 f′(x0)=4x0=8,得 x0=2, ∴切点坐标为(2,9).

解此类问题的步骤:

(1)先设切点坐标(x0,y0);
(2)求导函数f′(x); (3)求切线的斜率f′(x0); (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0; (5) 点 (x0 , y0) 在曲线 f(x) 上,将 (x0 , y0) 代入求 y0 得切点坐

标.

3.曲线 y= x3 -3x2+ 1在点P处的切线平行于直线 y =9x -

1,则切线方程为(
A.y=9x C.y=9x+26

)
B.y=9x-26 D.y=9x+6或y=9x-26

Δy f?x0+Δx?-f?x0? 解析: = Δx Δx
2 ?x0+Δx?3-3?x0+Δx?2+1-x3 + 3 x 0 0-1 = Δx

=(Δx)2+3x0Δx-3Δx+3x2 0-6x0.

2 所以 f′(x0) = lim [(Δx)2 + 3x0Δx - 3Δx + 3x 2 0 - 6x0] = 3x 0 - Δx→0

6x0,于是 3x2 0-6x0=9,解得 x0=3 或 x0=-1,因此,点 P 的坐 标为(3,1)或(-1,-3). 又切线斜率为 9,所以曲线在点 P 处的切线方程为 y=9(x- 3)+1 或 y=9(x+1)-3,即 y=9x-26 或 y=9x+6.

答案: D

试求过点P(3,5)且与y=x2相切的直线方程.
2 2 2 Δy ?x+Δx? -x 2xΔx+?Δx? 【错解】 = = =2x+Δx, Δx Δx Δx

当 Δx 趋近于零时的极限为 2x,即 f′(x)=2x. 所以切线的斜率为 k=6,切线方程为 y-5=6(x-3), 即 6x-y-13=0.

【错因】

求曲线上的点P处的切线与求过点P的切线有区

别,在点 P 处的切线,点P 必为切点;求过点 P的切线,点 P未 必是切点,应注意概念不同,其求法也有所不同.
【正解】 f′(x)=2x(解法同上), 设所求切线的切点为 A(x0,y0),
2 因为点 A 在曲线 y=x2 上,所以 y0=x0 ,

又因为 A 是切点, 所以过点 A 的切线的斜率为 f′(x0)=2x0, 因为所求的切线过 P(3,5)和 A(x0,x2 0)两点,

x2 0-5 所以其斜率为 , x0-3 x2 0-5 所以 2x0= ,解得 x0=1 或 x0=5, x0-3 从而切点 A 的坐标为(1,1)或(5,25), 当切点为(1,1)时,切线的斜率为 k1=2x0=2, 当切点为(5,25)时,切线的斜率为 k2=2x0=10, 因此所求的切线有两条, 方程分别为 y-1=2(x-1)和 y-25=10(x-5), 即 2x-y-1=0 和 10x-y-25=0.



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