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福建省漳州八中、漳州二中、龙文中学、程溪中学、芗城中学五校2012届高三第一学期期末联考数学(文)试题


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福建省漳州八中、漳州二中、龙文中学、程溪中学、芗城中 学五校2012届高三第一学期期末联考数学(文)试题
(考试时间:120 分钟 总分:150 分)
参考公式: 样本数据 x1,x2,? ,xn 的标准差 锥体体积公式 V=

s=

1 ? ( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? ? n

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

S ? 4?R2 , V ?
其中 R 为球的半径

4 3 ?R 3

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.复数

(1 ? i) 2 = ( i2



A.2 B.-2 C.-2i D.2i 2.设全集 S={a,b,c,d,e},集合 A={a,c},B={b,e},则下面论断正确的是 ( A.A∪B=S
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B.A ? CSB

C.CSA B

D . CSA ∩ CSB= ?

3.△ABC 中, a = 1, b = 3 ,A=30°,则 B 等于 ( A.60°

) D.120° ( D.-2 )

B.60°或 120° C.30°或 150°

4.已知向量 a =(2,1), a ? b =(1,k),若 a ⊥ b ,则实数 k 等于 A.3 B.
1 2

C.-7

5.若 0 ? x ? y ? 1 ,则下列不等式正确的是( A. 3 y ? 3 x B. logx 3 ? log y 3

) D. ( ) x ? ( ) y
1 4 1 4

C. log4 x ? log4 y

6.要得到函数 y ? sin 2 x 的图象,只需将函数 y ? sin( 2 x ? A.向右平移
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?
3

) 的图象(



? ?

B.向右平移

? ?

C.向左平移

? ?

D.向左平移

? ?

7.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上的点 P ( m,?3) 到焦点的距离为 5,则抛物
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线方程为 A. x 2 ? 8 y ( ) B. x 2 ? 4 y

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C. x 2 ? ?4 y

D. x 2 ? ?8 y

8. 设 ? 、? 是两个不同的平面,l、 m 为两条不同的直线, 命题 p : 若平面 ? // ? ,l ? ? ,

m ? ? ,则 l // m ;命题 q : l // ? , m ? l , m ? ? ,则 ? ? ? ,则下列命题为真命
题的是 A. p 或 q ( ) B. p 且 q C. p 或 ?q D. p 且 ?q

9.若框图所给的程序运行结果为 S ? 90 ,那么判断框中应填 入的关于 k 的条件是 ( ) A. k ? 9 B. k ? 8 C. k ? 8 D. k ? 8

?x ? y ? 3 ? 0 ? 10. 若 O(0,0), A(?2,1), M ( x, y), 其中变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 , ?y ? 1 ?
则 OA ? OM 的最大值为( ) A.0 B.1 C.-3 D. ? 2

11.下列有关命题的说法正确的是 (

).

A.命题“若 x2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x2 ? 1 ,则 x ? 1 ” . B. “ x ? ?1 ”是“ x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件. C. “a ? 1 ”是直线a2 x ? y ? 1 ? 0和直线x ? ay ? 0垂直的充要条件
D.命题“ ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 ” 的逆否命题为真命题.

? x2 ( x ? 0) 12.已知 f ( x) ? ? 3 在 (??,??) 上是增函数,则实数 a 的取 2 ? x ? (a ? 1) x ? a ? 3a ? 4 ( x ? 0)
值范围是( A. (??, 1] ) B. [?1, 1] C.

(??, 1)

D. [?1, 4]

二、填空题:(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 已 知 函 数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2 x ? 5, x ? 0 x, x ? 0 ?l o 2 g

, 若 f (a) ? 3 , 则
2 正视图 2
2 2

. 14. 一 个 空 间 几 何 体 的 三 视 图 如 右 图 , 则 该 几 何 体 的 体 积 为 . 15.过点 M(1,2)的直线 l 与圆 C:(x-3)2+(y-4)2=25 交于 A,B 两点,C

a=

2 侧视图

俯视图

15 题图

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为圆心,当 AC ? CB ? 2 AM 时,直线 l 的一般式方程为

16. 设 A 1 , A2 , A 3 , A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若 A 1A 3 ? ?A 1A 2 (λ ∈R), 且 A1 A4 ? ? A1 A2 (μ ∈R),

1

?

?

1

?

o),D(d, ? 2 ,则称 A3 ,A4 调和分割 A1 , A2 ,已知点 C(c,

O) (c,d∈R)的调和分割点为 A(0,0),B(1,0)。
给出以下结论: ①.点 C 可能是线段 AB 的中点 ②.点 D 不可能是线段 AB 的中点 ③.点 C,D 可能同时在线段 AB 上 ④.点 C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 其中正确的是 .(请填写所有正确选项的序号)

三、解答题(本题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤)
17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ?是公差不为零的等差数列, a1 ? 1 且 a1 , a3 , a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)若 bn

? 4 an ? 2an 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

18. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (2 cos?x, cos2?x),b ? (sin?x,1) , (? ? 0 ) ,令 f ( x) ? a ? b ,且 f ( x) 的周 期为 ? (1) 求 f(

? ? ? )的值;(2)写出 f(x)在 [ ? , ] 上的单调递增区间. 2 2 4

19.(本题满分 12 分) 已知椭圆的中心在原点,一个焦点 F1(0,-2 2 ),且离心率 e 满足: 比数列. 抛物线 C 的顶点在原点,其焦点在椭圆的右顶点 (1)求椭圆及抛物线 C 的方程; (2)若圆 M 的圆心在抛物线 C 上,且与两坐标轴都相切,求圆 M 的 方程
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2 4 ,e, 成等 3 3

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20. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA=AB =1,PA⊥ 底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形, 且 M,N 分别 为 PA 与 BC 的中点 (1)求证:CD⊥ 平面 PAD (2)求证:MN∥ 平面 PCD; (3)在四棱锥 P-ABCD 的表面上任取一个点,求这个点在四棱锥 P-ABCD 侧面内的概 率. .

21. (本题满分 12 分) 从某小学随机抽取 100 名同学, 将他们的身高 (单位: 厘米) 数据绘制成频率分布直方图 (如 图) . (1)若要从身高在[ 120 , 130) ,[130 ,140) , [140 , 150]三组内的学生中,用分层抽样的 方法选取 12 人参加一项活动,求图中的 a 值及从身高在[140 ,150]内的学生中选取的人数

m
(2)在(1)的条件下,从身高在[130 ,150]内的学生中等可能地任选两名,求至少有一 名身高在 [140 ,150]内的学生被选的概率

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ln x, h( x) ? x ? x ? a.
2 2

(1)当 x ? ?? 1,1? 时, h( x) 的最大值为 0,求 a 值及函数 h( x) 图像在点(1, h(1) )处 的切线方程 (2)求函数 f ( x) 的极值; (3)设函数 k ( x) ? f ( x) ? h( x), 若函数 k ( x) 在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a 的 取值范围。

2011—2012 学年上学期期末考
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高三文科数学试题(参考答案)

17 解: 解: (Ⅰ)由题意知:公差 d ? 0 ,由 a1 ? 1, 且 a1 , a3 , a9 成等比数列得 a1 ? a9 ? a3 , 即 1? ?1 ? 8d ? ? ?1 ? 2d ? ,解得 d ? 1 ,或 d ? 0 (舍去) .......4 分
2

2

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19.(本题满分 12 分) 已知椭圆的中心在原点,一个焦点 F1(0,-2 2 ),且离心率 e 满足: 比数列. 抛物线 C 的顶点在原点,其焦点在椭圆的右顶点 (1)求椭圆及抛物线 C 的方程; (2)若圆 M 的圆心在抛物线 C 上,且与两坐标轴都相切,求圆 M 的方程

2 4 ,e, 成等 3 3

20 . (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA=AB =1,PA⊥ 底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形, 且 M,N 分别 为 PA 与 BC 的中点 (1)求证:CD⊥ 平面 PAD (2)求证:MN∥ 平面 PCD;

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21.从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方 图(如图) . (1)若要从身高在[ 120 , 130) ,[130 ,140) , [140 , 150]三组内的学生中,用分层抽样的 方法选取 12 人参加一项活动,求图中的 a 值及从身高在[140 ,150]内的学生中选取的人数

m
(2)在(1)的条件下,从身高在[130 ,150]内的学生中等可能地任选两名,求至少有一 名身高在[140 ,150]内的学生被选的概率 .解: (1)由频率分布直方图得 10(0.005+0.01+0.02+ a +0.035)=1 解得 a=0.03???2 分 ∴m ?

0.01 ? 12 ? 2 ??????5 分 0.01 ? 0.02 ? 0.03

(2) 从身高在[130 ,140]内的学生中选取的人数为

n?

0.02 ? 12 ? 4 ??????6 分 0.01 ? 0.02 ? 0.03

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设身高在[130 ,140]内的学生为 A1 , A2 , A3 , A4 ,身高在[140 ,150]内的学生为 B1 , B2 ,则从 6 人中选出两名的一切可能的结果为

( A1 , A2 ), ( A1 , A3 )(A1 , A4 )
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( A2 , A3 ), ( A2 , A4 )( A3 , A4 )

( A1 , B1 ), ( A1 , B2 )( A2 , B1 )

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( A2 , B2 ), ( A3 , B1 )( A3 , B2 ) ( A4 , B1 ), ( A4 , B2 )(B2 , B1 ) ???10 分
由 15 个基本事件组成.用 M 表示“至少有一名身高在[140 ,150]内的学生被选”这一事 件 , 则

M ?

?

( A1 , B1 ), ( A2 , B1 ), ( A3 , B1 )(A4 , B1 ) ( A1 , B2 ), ( A2 , B2 ), ( A3 , B2 )(A4 , B2 )(B1 , B2 )

?
事件 M 由 9 个基本事件组成,因而 P ( M ) ? 22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 ln x, h( x) ? x 2 ? x ? a.
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9 3 ? .??????12 分 15 5

(1)当 x ? ?? 1,1? 时, h( x) 的最大值为 0,求 a 值及函数 h( x) 图像在点(1, h(1) )处的切 线方程 (2)求函数 f ( x) 的极值; (3)设函数 k ( x) ? f ( x) ? h( x), 若函数 k ( x) 在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a 的取 值范围。 22.解:(1)∵函数 h( x) 在 ?? 1, ?递增,在? , 1 递减 ,∴ h( x) max ? h(?1) ? 2 ? a ? 0 2 2 ?

? ?

1? ?

?1 ? ? ?

解得 a=--2

????2 分

? h' ( x) ? 2x ? 1,? h' (1) ? 1,? 切线斜率为 1 ????3 分
∵ h(1) =--2 切点为(1,—2)∴切线方程为 y ? 2 ? x ? 1 即y ? x ? 3 ????4 分

(2) f ' ( x) ? 2 x ?

2 , 令f ' ( x) ? 0,? x ? 0,? x ? 1 ????5 分 x
(0,1) 减 1 0 1

x
f ' ( x)
f ( x)

(1,??)
+ 增

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所以 f ( x) 的极小值为 1,无极大值 (3) k ( x) ? f ( x) ? h( x) ? ?2 ln x ? x ? a

????8 分

? k ( x) ? ?

2 ? 1, 若k ( x) ? 0, 则x ? 2 x

????9 分

当 x ? ?1,2? 时, f ' ( x) ? 0 ;
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当 x ? ?2,3? 时, f ' ( x) ? 0

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故 k(x)在 x ? ?1,2? 上递减,在 x ? ?2,3? 上递增。????11 分

?k (1) ? 0, ?a ? 1, ? ? ? ?k (2) ? 0, ? ?a ? 2 ? 2 ln 2, ? 2 ? 2 ln 2 ? a ? 3 ? 2 ln 3. ?k (3) ? 0, ?a ? 3 ? 2 ln 3, ? ?
所以实数 a 的取值范围是 ?2 ? 2 ln 2,3 ? 2 ln 3? ????14 分

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