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最新精编高中人教版选修4-5高中数学第15课时利用平均不等式求最大(小)值 公开课优质课教学设计

课 题: 第 15 课时 利用平均不等式求最大(小) 值 目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 1、重要的结论: 已知 x,y 都是正数,则: (1)、如果积 xy 是定值 P,那么当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P ; 1 (2)、如果和 x+y 是定值 S,那么当 x=y 时,积 xy 有最大值 S 2 。 4 二、典型例题: 例 1、当 x 取什么值时,函数 y ? 4 x 2 ? 9 有最小值?最小值是多少? x2 例 2、求函数 y ? x 2 ? 2x ? 6 ( x ? 0 )的最小值。 x ?1 例 3、小宁在某电脑城配置了一台总费用为 6400 元的电脑。假定在电脑的使 用过程中,每年的维修费用约为:第一年为 200 元,第二年 400 元,第三年 600 元,…,按等差数列递增。这台电脑使用多少年报废最合算? 分析: 例 4、如图,电灯挂在圆桌的正中央上方。假定它与桌面上 A 点的水平距离 是 a ,那么电灯距离桌面的高度 h 等于多少时,A 点处最亮?(亮度公式: I? k sin ? ,这里 k 为常数, r 是电灯到照射点的距离, ? 是照射到某点的光线 r2 r h 与水平面所成的角) 分析: a O A 3 例 5、求函数 y ? 2 x 2 ? , ( x ? 0) 的最大值,下列解法是否正确?为什么? x 解一: y ? 2 x 2 ? ∴ ymin ? 33 4 解二: y ? 2 x 2 ? 3 1 1 1 2 ? 2 x 2 ? ? ? 33 2 x 2 ? ? ? 33 4 x x x x x 3 3 3 3 12 时 ? 2 2x 2 ? ? 2 6x 当 2 x 2 ? 即 x ? x 2 x x y min ? 2 6 ? 3 12 ? 2 33 12 ? 26 324 2 答:以上两种解法均有错误。解一错在取不到“ = ” ,即不存在 x 使得 2x 2 ? 1 2 ? ;解二错在 2 6x 不是定值(常数) x x 正确的解法是:y ? 2 x 2 ? 3 3 3 3 3 9 3 ? 2x 2 ? ? ? 33 2 x 2 ? ? ? 33 ? 3 36 x 2x 2x 2x 2x 2 2 当且仅当 2 x 2 ? 3 3 3 6 即x ? 时 y min ? 3 36 2x 2 2 例 6、若 ? 4 ? x ? 1 ,求 x 2 ? 2x ? 2 的最值。 2x ? 2 解: x 2 ? 2 x ? 2 1 ( x ? 1) 2 ? 1 1 1 1 1 ? ? ? [(x ? 1) ? ] ? ? [?( x ? 1) ? ] 2x ? 2 2 x ?1 2 x ?1 2 ? ( x ? 1) ∵? 4 ? x ?1 ∴ ? ( x ? 1) ? 0 1 ?0 ? ( x ? 1) 从而 [?( x ? 1) ? 1 ]? 2 ? ( x ? 1) 1 1 ? [?( x ? 1) ? ] ? ?1 2 ? ( x ? 1) 即( x 2 ? 2x ? 2 ) min ? ?1。 2x ? 2 例 7、设 x ? R ? 且 x 2 ? y2 ? 1 ,求 x 1 ? y 2 的最大值 2 解:∵ x ? 0 1 y2 ∴ x 1? y2 ? 2 ? x2 ( ? ) 2 2 1 y2 y2 1 3 又 x2 ? ( ? ) ? (x2 ? ) ? ? 2 2 2 2 2 1 3 3 2 ∴ x 1 ? y 2 ? 2( ? ) ? 2 2 4 即 ( x 1 ? y 2 ) max ? 3 2 4 a b ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值 x y 例 8、已知 a, b, x, y ? R ? 且 a b ay xb 解: x ? y ? ( x ? y) ? 1 ? ( x ? y)( ? ) ? a ? b ? ? x y x y ? a?b?2 ay xb x ? 即 ? x y y ay xb ? ? ( a ? b)2 x y 当且仅当 a 时 ( x ? y) min ? ( a ? b ) 2 b 三、小结: 四、练习: 1.求下列函数的最值: 4 1? 、 y ? 2 x 2 ? , ( x ? R ? ) x (min=6) 2a 3 ( max ? ) 27 a 2?、 y ? x(a ? 2 x) , (0 ? x ? ) 2 2 2.1?、 x ? 0 时求 y ? 6 6 9 ? 3 x 2 的最小值, y ? 2 ? 3 x 的最小值 (9, 3 4 ) x 2 x 1 x ? log 3 (3x) 的最大值(5) 2?、设 x ? [ ,27 ] ,求 y ? log 3 9 27 3?、若 0 ? x ? 1 , 求 y ? x 4 (1 ? x 2 ) 的最大值 ( 4?、若 x, y ? R ? 且 2 x ? y ? 1 ,求 4 2 3 ,x ? ) 27 3 1 1 ? 的最小值 (3 ? 2 2 ) x y 3.若 a ? b ? 0 ,求证: a ? 1 的最小值为 3 b( a ? b) 4.制作一个容积为 16?m 3 的圆柱形容器(有底有盖),问圆柱底半径和高各取 多少时,用料最省?(不计加工时的损耗及接缝用料) ( R ? 2m, h ? 4m) 2、某种汽车购买时的费用是 10 万元,每年的保险费、养路费及汽油费合计 为 9 千元;汽车的维修费平均为:第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元, 依等差数列逐年递增。问这种汽车使用多少年报废最合算(即年平均费用最少)? 解:设这种汽车使用 n 年报废最合算 n 年汽车的维修总费用为 0.2 ? 0.4 ? 0.6 ? ? ? 0.2n ? n(n ? 1) ? 0.2 ? 0.1(n


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