9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2016


知能整合提升

1.归纳三种圆锥曲线定义、标准方程、几何性质
椭圆 平面内与两个定 双曲线 平面内与两个定点 抛物线 平面内与一个定

点 F1,F2 的距离 F1,F2 的距离的差的 点 F 和一条定直 定义 之和等于常数(大 绝对值等于常数(小 线 l(l 不经过点 F)

于|F1F2|)的点的轨 于|F1F2|且大于零)的 距离相等的点的 迹 标准方程 点的轨迹 轨迹 y2=2px(p>0)

x2 y2 x2 y2 a2+b2=1(a>b>0) a2-b2=1(a>0,b>0)

椭圆 关系式 图形 a2-b2=c2 封闭图形

双曲线 a2+b2=c2

抛物线

无限延展, 但有渐近 无限延展,没有 线 渐近线 无对称中心 一条对称轴 两个 c e=a,且 e>1 e 决定开口大小 一个 e=1 2p 决定开口大小

对称性 顶点 离心率 决定形状 的因素 四个

对称中心为原点 两条对称轴

c e=a,且 0<e<1 e 决定扁平程度

2.待定系数法求圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆、双曲线的标准方程 求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两 方面,一般先确定焦点的位置,再确定参数,当焦点位置不 确定时,要分情况讨论,也可将方程设为一般形式:椭圆方 1 1 程为 Ax +By =1(A>0,B>0,A≠B),其中当A>B时,焦点在
2 2

1 1 x 轴上,当A<B时,焦点在 y 轴上;双曲线方程为 Ax2+By2 =1(AB<0),当 A<0 时,焦点在 y 轴上,当 B<0 时,焦点在 x 轴上.

另外,在求双曲线的标准方程的过程中,根据不同的已 知条件采取相应方法设方程,常常可以简化解题过程,避免 x2 y2 出错.如与已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲 x 2 y2 线方程可设为a2-b2=λ(λ≠0);已知所求双曲线为等轴双曲 线,其方程可设为 x2-y2=λ(λ≠0).

(2)抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程时,先确定抛物线的方程类型,再 由条件求出参数 p 的大小.当焦点位置不确定时,要分情况 讨论,也可将焦点在 x 轴或 y 轴上的抛物线方程设为一般形 式 y2=2px(p≠0)或 x2=2py(p≠0),然后建立方程求出参数 p 的值.

3.三法应对离心率 (1)定义法:由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆 (双曲线)的焦点在 x 轴上还是 y 轴上都有关系式 a2-b2=c2(a2 c +b =c )以及 e=a,已知其中的任意两个参数,可以求其他
2 2

的参数,这是基本且常用的方法.

(2)方程法:建立参数a与c之间的齐次关系式,从而求出其
离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方法. (3)几何法:求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据 平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质,建立参数 之间的关系.通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更

形象、直观.

4.直线与圆锥曲线的位置关系

(1)从几何的角度看,直线和圆锥曲线的位置关系可分为三
类:无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点.其 中,直线与圆锥曲线仅有一个公共点,对于椭圆,表示直线与 其相切;对于双曲线,表示与其相切或直线与双曲线的渐近线 平行;对于抛物线,表示与其相切或直线与其对称轴平行.

(2)从代数的角度看,可通过将表示直线的方程与曲线的方
程组成方程组,消元后利用所得形如一元二次方程根的情况来 判断.

5.解轨迹问题的策略技巧

(1)解决轨迹问题首先要明确圆锥曲线的性质,做好对图形
变化可能性的总体分析,选好相应的解题策略和拟定好具体的 方法,如参数的选取、相关点的变化规律及限制条件等,注意 将动点的几何特性用数学语言来表述. (2)要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件,也就是曲线上

点的坐标的取值范围.

(3)求轨迹方程的几种常用方法:

①直接法:建立适当的坐标系,设动点为(x,y),根据几
何条件直接寻求x,y之间的关系式. ②代入法:利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动 点的关系,把所求动点转换为已知动点.具体地说,就是用所 求动点的坐标x,y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足

的曲线的方程,由此即可求得所求动点坐标 x , y 之间的关系
式.

③定义法:如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲
线、抛物线等曲线的定义,则可直接利用这些已知曲线的方程 写出动点的轨迹方程. ④参数法:选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作 为参数,用参数表示动点的坐标(x,y),即得动点轨迹的参数

方程,消去参数,可得动点轨迹的普通方程.

热点考点例析

圆锥曲线的定义
利用圆锥曲线的定义解题的策略

(1) 在求轨迹方程时,若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定
义,则根据圆锥曲线的定义,写出所求的轨迹方程; (2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题 时,常用定义结合解三角形的知识来解决; (3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的

距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解
决.总之,圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用,要注 意灵活运用.

已知椭圆上的两点 (1)求椭圆的标准方程;

? P(3,4),Q? ?

? 4 5,3 10?. ?

(2)若椭圆的两焦点为 F1,F2,M 为椭圆上一点,且∠ F1MF2=90° ,求△F1MF2 的面积.

思维点击: (1)用待定系数法求椭圆方程.(2)利用椭圆 定义和直角三角形面积公式求△F1MF2 的面积.

(1)设椭圆方程为 Ax2+By2=1(A>0,B>0, 1 ? 9A+16B=1, ? ?A=45, ? A≠B),则? 解得? 160 1 5A+ 9 B=1, ? ? ? B=20, ? x2 y2 ∴椭圆的标准方程为45+20=1. (2)由题意知:|MF1|+|MF2|=6 5, |MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2=100, 由①②解得|MF1|· |MF2|=40, 1 ∴S△F1MF2=2|MF1|· |MF2|=20. ① ②

1.已知双曲线的焦点在 x 轴上,离心率为 2,F1,F2 为 左、右焦点,P 为双曲线上一点,且∠F1PF2=60° ,S△PF1F2 =12 3,求双曲线的标准方程.
解析: 如图所示,设双曲线方程为 x2 y2 a2-b2=1(a>0,b>0). c ∵e=a=2,∴c=2a.

由双曲线的定义, 得||PF1|-|PF2||=2a=c, 在△PF1F2 中,由余弦定理,得: |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60° =(|PF1|-|PF2)2+2|PF1||PF2|(1-cos 60° ), 即 4c2=c2+|PF1||PF2|. ①

又 S△PF1F2=12 3, 1 ∴2|PF1||PF2|sin 60° =12 3, 即|PF1||PF2|=48. ②

由①②,得 c2=16,c=4,则 a=2,b2=c2-a2=12. x2 y2 ∴所求的双曲线方程为 4 -12=1.

圆锥曲线的方程与性质的应用
圆锥曲线的方程与性质的应用主要体现在已知圆锥曲线的 方程研究其几何性质,已知圆锥曲线的性质求其方程.重在考 查基础知识,基本思想方法,属于低中档题目,其中对离心率 的考查是重点.

x2 y2 设双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,直 a2 线 l:x= c (c 为双曲线的半焦距的长)与两条渐近线交于 P, Q 两点,如果△PQF 是直角三角形,则双曲线的离心率 e= _____.
思维点击: 解答本题的关键是利用双曲线的性质和题 目条件,建立 a,b,c 的关系,注意对△PQF 这一特征三角 形分析,可找到问题的突破口.

由双曲线的对称性,知|PF|=|QF|, 又∵△PQF 是直角三角形, ∴∠PFQ=90° , ∠PFO=45° . b 渐近线为 y=± ax .

由题意知点 P

?a2 ab? 坐标为? c , c ?, ? ?

a2 ab ∴ c =c- c 即 a=b, 2a c ∴e=a= a = 2.

答案:

2

2.如图,椭圆 C1,C2 与双曲线 C3,C4 的离心率分别是 e1,e2 与 e3,e4,则 e1,e2,e3,e4 的大小关系是( )

A.e2<e1<e3<e4 C.e1<e2<e3<e4

B.e2<e1<e4<e3 D.e1<e2<e4<e3

2 b 解析: 椭圆离心率为 e,则 e2=1-a2,

∴0<e2<e1<1. b2 双曲线的离心率为 e′,则 e′=1+a2.∴1<e3<e4. 因此 0<e2<e1<1<e3<e4. 答案: A

直线与圆锥曲线的位置关系问题
直线与圆锥曲线的位置关系,主要涉及判定直线与圆锥曲 线的交点个数、求弦长、最值等问题,它是圆锥曲线的定义、 性质与直线的基础知识的综合应用,涉及数形结合、函数与方

程、分类讨论等数学思想方法.直线与圆锥曲线的位置关系主
要有:

(1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题,应注意数形结
合; (2) 有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关 系; (3) 有关垂直问题,要注意运用斜率关系及根与系数的关

系,设而不求,简化运算.

x2 2 已知椭圆 2 +y =1. (1)求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程; (2)过 N(1,2)的直线 l 与椭圆相交,求 l 被椭圆截得的弦 的中点轨迹方程.

解析: 设弦的两端点为 A(x1, y1), B(x2, y2 ) , 中点 M(x0, y0),则有 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.
2 x2 x 1 2 2 由 2 +y2 = 1 , + y 1 2=1. 2

?x2-x1??x2+x1? 两式作差得: +(y2-y1)(y2+y1)=0, 2 y2-y1 x2+x1 x0 ∴ =- =-2y . x2-x1 2?y2+y1? 0

x0 即 kAB=-2y . 0



x (1)设弦中点为 M(x,y),由①式,2=-2y,∴x+4y= 0. 故所求的轨迹方程为 x+4y=0(在已知椭圆的内部).

(2)不妨设 l 交椭圆于 A,B,弦中点为 M(x,y). x 由①式,kl=kAB=-2y, y-2 x y-2 又∵kl=kMN= ,∴-2y= . x-1 x-1 整理得 x2+2y2-x-4y=0, 此式对 l 的方程为 x=1 时也 成立. ∴所求中点轨迹方程是 x2+2y2-x-4y=0(在已知椭圆 的内部).

1 x2 y2 3. 已知直线 y=-2x+2 和椭圆a2+b2=1(a>b>0)相交于 A,B 两点,M 为 AB 的中点.若|AB|=2 5,直线 OM 的斜 1 率为2,求椭圆方程.

解析:

1 ? ?y=-2x+2, 依题意,列方程组? 2 2 ?x 2+y 2=1. ?a b

消去 y,整理得(a2+4b2)x2-8a2x+16a2-4a2b2=0. 设直线与椭圆的交点 A(x1,y1),B(x2,y2), 设弦 AB 中点 M(x0,y0), 16a2-4a2b2 8a2 则 x1+x2= 2 ,x x = 2 . a +4b2 1 2 a +4b2

x1 +x2 4a2 ∴x0 = 2 = 2 , a +4b2 -2a2 1 8b2 ∴y0=-2x0+2= 2 2+2= 2 2, a +4b a +4b 1 y0 1 8b2 1 由 kOM=2得x =2,∴4a2=2,∴a2=4b2, 0 8×4b2 从而 x1+x2= 2 =4, 4b +4b2 16×4b2-4×4b2· b2 x 1 x2 = =8-2b2. 2 2 4b +4b

∵|AB|=2 5,∴ ?x1-x2?2+?y1-y2?2=2 5, ∴ ?1+k2??x1-x2?2=2 5, 即(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] =20,
? 1? 2 ∴?1+4?[4 -4(8-2b2)] =20, ? ?
2 2 x y 解得 b2=4,∴a2=16.∴所求椭圆的方程是16+ 4 =1.

轨迹问题
求动点的轨迹方程的一般方法 (1)直接法:当动点直接与已知条件发生联系时,在设曲线 上动点的坐标为 (x ,y) 后,可根据题设条件将普通语言运用基 本公式 ( 如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公 式、定比分点坐标公式、面积公式等)变换成表示动点坐标(x, y) 间的关系式 ( 等式 ) 的数学语言,从而得到轨迹方程.这种求

轨迹方程的方法称为直接法.直接法求轨迹经常要联系平面图
形的性质.

(2)定义法:若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定 义,可以设出其标准方程,然后用待定系数法求解,这种求轨

迹方程的方法称为定义法.利用定义法求轨迹要善于抓住曲线
的定义特征. (3) 代入法:若所求轨迹上的动点 P(x , y) 与另一已知曲线 C:F(x,y)=0上的动点Q(x1,y1)存在着某种联系,可把点Q的 坐标用点P的坐标表示出来,然后代入已知曲线C的方程F(x,

y) = 0 ,化简即得所求轨迹方程,这种求轨迹的方法叫做代入
法(又称相关点法).

(4)设而不求法:求弦中点的轨迹方程,常常运用“设而不

求”的技巧,通过中点坐标及斜率的代换,达到求出轨迹方程
的目的,这种求轨迹方程的方法叫做设而不求法,也称做“平 方差法”. 特别提醒:(1)在求轨迹方程时,定义法常被忽略,致使简 易的轨迹方程求法变得复杂,应注意定义法在求轨迹方程中的

应用.
(2)轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,求轨迹时应先求出 轨迹方程,然后说明方程表示何种图形.

一动圆过定点 A(2,0),且与定圆 x2+4x+y2-32 =0 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.
思维点击: 设圆心坐标 ―→ 利用两圆内切 ―→

转化为椭圆定义 ―→ 得到圆心的轨迹方程

将圆的方程化为标准形式为 (x+2)2+y2= 62,这时,已知圆的圆心坐标为 B(-2,0),半径为 6,如图: 设动圆圆心 M 的坐标为(x,y),由于动圆与已知圆相内切, 设切点为 C.

∴已知圆 ( 大圆) 半径与动圆 ( 小圆 ) 半径之差等于两圆心 的距离,即|BC|-|MC|=|BM|, 而|BC|=6, ∴|BM|+|CM|=6,又|CM|=|AM|, ∴|BM|+|AM|=6, 根据椭圆的定义知 M 的轨迹是以点 B(-2,0)和点 A(2,0) 为焦点,线段 AB 的中点(0,0)为中心的椭圆. ∴a=3,c=2,b= a2-c2= 5, x2 y2 ∴所求圆心的轨迹方程为 9 + 5 =1.

4.若动圆P过点N(-2,0),且与另一圆M:(x-2)2+y2=8
相外切,求动圆P的圆心的轨迹方程.
解析: 设 P(x,y),因为动圆 P 过点 N,所以|PN|是该 圆的半径,又因为动圆 P 与圆 M 外切,所以有|PM|=|PN|+ 2 2,即|PM|-|PN|=2 2,故点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点, 实轴长为 2 2, 焦距|MN|为 4 的双曲线的左支, 即有: a= 2, c=2,∴b= c2-a2= 2, x2 y2 从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为 2 - 2 =1(x≤- 2).

1.过抛物线x2=4y的焦点F作直线交抛物线于P1(x1,y1), P2(x2,y2)两点,若y1+y2=6,则|P1P2|的值为( A.5 B.6 )

C.8
答案: C

D.10

解析: |P1P2|=y1+y2+p=6+2=8.

x2 y2 2.椭圆49+24=1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1,F2 的连线互相垂直,则△PF1F2 的面积为( A.28 C.22 B.24 D.20 )

解析:

|PF1|+|PF2|=14,

(|PF1|+|PF2|)2=196, |PF1|2+|PF2|2=(2c)2=100, 相减得 2|PF1|· |PF2|=96. 1 S=2|PF1|· |PF2|=24.故选 B. 答案: B

x2 y2 3.已知 F1,F2 为双曲线 5 - 4 =1 的左、右焦点,P(3,1) 为双曲线内一点,点 A 在双曲线的右支上,则|AP|+|AF2|的 最小值为( A. 37+4 C. 37-2 5 ) B. 37-4 D. 37+2 5

解析:

如图所示,连接 F1P 交双曲线右支于点 A0.

∵|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2 5, ∴要求 |AP| + |AF2| 的最小值,只需求 |AP| + |AF1| 的最小 值.

当 A 落在 A0 处时, |AP|+|AF1|=|PF1|最小, 最小值为 37, ∴|AP|+|AF2|的最小值为 37-2 5.

答案: C

4.设斜率为2的直线l 过抛物线y2 =ax(a≠0)的焦点F且和y
轴交于点 A,若△ OAF(O为坐标原点 ) 的面积为4 ,则抛物线方 程为( ) B.y2=±8x D.y2=8x A.y2=±4x C.y2=4x

解析: 抛物线 y =ax 的焦点 F 方程为
? a? y=2?x-4?, ? ? ? a? A?0,-2?, ? ?

2

?a ? 的坐标为?4,0?,直线 ? ?

它与 y 轴的交点为

1?a? ? a? ?- ?,解得 a=± 所以 S△OAF=2?4?· 8, 2 ? ?? ? 所以抛物线的方程是 y2=± 8x,故选 B. 答案: B

x2 y 2 x2 y2 5.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)和椭圆16+ 9 =1 有 相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双 曲线的方程为________.

解析:

x2 y2 椭圆16+ 9 =1 的焦点坐标为 F1(- 7,0),

7 x2 y2 x2 F2( 7, 0), 离心率为 e= 4 .由于双曲线a2-b2=1 与椭圆16+ y2 2 2 = 1 有相同的焦点,因此 a + b =7.又双曲线的离心率 e= 9 a2+b2 7 7 2 7 2 2 2 = ,所以 = ,所以 a = 2 , b = c - a = 3, a a a 4 x2 y2 故双曲线的方程为 4 - 3 =1. x 2 y2 答案: 4 - 3 =1

6.一动圆与圆(x+3)2+y2=1外切,又与圆(x-3)2+y2=9

内切,则动圆圆心的轨迹方程为________.
解析: 如图所示,设动圆圆心 坐标为 M(x,y),圆 M 与圆 O1 外切 于 A,与圆 O2 内切于 B, 则|MO1|=|MA|+1, |MO2|=|MB|-3, ① ②

①-②得|MO1|-|MO2|=4.

由双曲线定义知,M 点轨迹是以(± 3,0)为焦点,实轴长 2a=4 的双曲线右支,即 a=2,c=3,∴b= c2-a2= 5, x2 y2 ∴轨迹方程为 4 - 5 =1(x≥2). x 2 y2 答案: 4 - 5 =1(x≥2)

x2 2 7.直线 l:y=kx+1 与曲线 C: 2 +y =1 交于 M,N 两 4 2 点,当|MN|= 3 时,求直线 l 的方程.

kx+1, ? ?y= 解析: 由?x2 2 消去 y 得(1+2k2)x2+4kx=0, +y =1 ? ?2 -4k 解得 x1=0,x2= (x ,x 分别为 M,N 的横坐标), 1+2k2 1 2

4k ? ? 4 2 由|MN|= 1+k |x1-x2|= 1+k · ?1+2k2?= 3 ,解得 k ? ?
2 2?

?

=± 1,代入 y=kx+1 得 x+y-1=0 或 x-y+1=0, 综上所述,所求直线方程是 x+y-1=0 或 x-y+1=0.

8 .已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3) ,且点
F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆C的方程; (2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共 点,且直线 OA与l 的距离等于 4?若存在,求出直线 l 的方程;

若不存在,说明理由.

解析:

x2 y2 (1) 依题意,可设椭圆 C 的方程为 a2 + b2 =

1(a>b>0),且可知左焦点为 F′(-2,0).
? ?c=2, 从而有? ? ?2a=|AF|+|AF′|=3+5=8, ? ?c=2, 解得? ? ?a=4,

又 a2=b2+c2,所以 b2=12, x 2 y2 故椭圆 C 的方程为16+12=1.

3 (2)不存在.假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=2x ? 3 ?y=2x+t, +t.由? 2 2 x y ? + =1, ?16 12 得 3x2+3tx+t2-12=0, 因为直线 l 与椭圆 C 有公共点, 所以 Δ=(3t)2-4×3(t2-12)≥0, 解得-4 3≤t≤4 3.

另一方面, 由直线 OA 与 l 的距离 d=4 可得

|t| =4, 9 4+1

从而 t=± 2 13, 由于± 2 13?[-4 3,4 3],所以符合题意的直线 l 不存 在.



更多相关文章:
2016临沂市中考数学试卷.doc
2016临沂市中考数学试卷 - 2016 年山东省临沂市中考数学试卷 一、 (共
2016年北京天气预报.xls
2016年北京天气预报 - 日期 2016.01.01 2016.01.02 2016.01.03 2016.01.04 2016.01.05 2016.01.06 2016.01.07 201...
office2016激活密钥.txt
office2016激活密钥 - 下面这组秘钥有多种版本,既有适合Office套装专业版、标准版的 Office Professional Plus 2016:XQNVK-8JYDB-WJ9W3...
浙建站信[2016]25号.doc
浙建站信[2016]25号 - 关于营改增后浙江省建设工程材料价格信息发布工作调整的通知 -2016-04-19 -- 浙建站信[2016]25 号 各市建设工程造价管理站(处、办),...
国发〔2016〕54号:国务院关于积极稳妥降低企业杠杆率的....doc
国发〔2016〕54号:国务院关于积极稳妥降低企业杠杆率的意见 - 课后测试 测
(2016)142号文附表.doc
(2016)142号文附表 - 附件 3: 结构实体检验标识(样式) 楼层 □施
2016年成都土地市场年报(内部文件)最终版_图文.ppt
2016年成都土地市场年报(内部文件)最终版 - 2016年成都土地市场年报 成
2016INS指南解读_图文.ppt
2016INS指南解读 - 以循证医学为基础的静脉输液实践指南... 3 2016 INS新指南中国行( 2016/5/28 - 6/6...
中国联通2016年年报_图文.pdf
中国联通2016年年报 - 2016年度业绩 2017年3月15日 HKEx:
长沙市2016年逐日气温数据.xls
长沙市2016年逐日气温数据 - 本文档数据都是从官方网站搜集,对于相关人士来说
2016-2017年新出规范目录1_图文.xls
2016-2017年新出规范目录1 - 销售往来 2016-2017年新出规范目
2016年雅思大作文题目.doc
2016年雅思大作文题目 - 2016 年 1 月 9 日 (教育、政府) Mo
优化方法 2016.doc
优化方法 2016 - 优化方法上机大作业 上机大作业Ⅰ: 编写程序求解下述问题
2016年下半年时事政治(精选).doc
2016年下半年时事政治(精选) - 2016 年 7---12 月国内外大事
office2016安装方法.doc
office2016安装方法 - 微软官方序列号(产品激活密钥):NKGG6-WBPCC-HXWMY-6DQGJ-CPQVG。 Office2016 安装激活教程:《安装 Office2016 ...
【McKinsey】2016中国数字消费者调查报告.pdf
【McKinsey】2016中国数字消费者调查报告 - McKinsey iConsumer China 2016 survey How savvy, social shoppers are ...
2016中考专题全国.doc
2016中考专题全国 - 圆 (2016) 中考专题 一、 选择题 1. (2016 山东省济宁市) 如图, 在⊙O 中, A.40° B.30° C.20° D.15° = ∠AOB=40....
Office2016 training_图文.ppt
Office2016 training - 2015 Lenovo Intern
2016年中考英语真题汇编动词时态和语态(已经编辑好....doc
2016年中考英语真题汇编动词时态和语态(已经编辑好,可直接打印) - 1.
2016最新规范目录_图文.xls
2016最新规范目录 - 常用最新规范目录 序号 1 2 3 4 5 6 7 8
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图