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方程的根与函数的零点作业1


一、选择题 1.下列图象表示的函数中没有零点的是 ( )

[答案] A [解析] 没有零点就是函数图象与 x 轴没有交点,故选 A. 2.函数 f(x)=2x2-3x+1 的零点是 ( 1 A.- ,-1 2 1 C. ,-1 2 [答案] B 1 [解析] 方程 2x2-3x+1=0 的两根分别为 x1=1,x2= , 2 1 所以函数 f(x)=2x2-3x+1 的零点是 ,1. 2 3.方程 log3x+x=3 的解所在的区间为 ( A.(0,2) C.(2,3) [答案] C 2 [解析] 令 f(x)=log3x+x-3,则 f(2)=log32+2-3=log3 <0,f(3)=log33+3-3=1> 3 0,所以方程 log3x+x=3 的解所在的区间为(2,3),故选 C. 1 4.函数 f(x)=lnx- 的零点的个数是 ( x-1 A.0 C.2 [答案] C 1 [解析] 如答图所示,易知 y=lnx 与 y= 的图象有两个交点. x-1 ) B .1 D.3 ) B.(1,2) D.(3,4) ) 1 B. ,1 2 1 D.- ,1 2

1 5. 已知曲线 y=( )x 与 y=x 的交点的横坐标是 x0, 则 x0 的取值范围是 导学号 22840948 10 ( ) 1 A.(0, ) 2 1 C.( ,1) 2 [答案] A 1 [解析] 设 f(x)=( )x-x, 10 则 f(0)=1>0, 1 1 1 f( )=( )2 - = 0.1- 0.25<0, 2 10 2 f(1)= 1 1 -1<0,f(2)=( )2-2<0, 10 10
1

1 B.( ,2) 2 D.(1,2)

1 显然只有 f(0)· f( )<0,选 A. 2 6.下列函数中,在[1,2]上有零点的是 导学号 22840949 ( A.f(x)=3x2-4x+5 C.f(x)=lnx-3x+6 [答案] D [解析] A:3x2-4x+5=0 的判别式 Δ<0, ∴此方程无实数根,∴f(x)=3x2-4x+5 在[1,2]上无零点. B:由 f(x)=x3-5x-5=0 得 x3=5x+5. 在同一坐标系中画出 y=x3,x∈[1,2]与 y=5x+5,x∈[1,2]的图象,如图 1,两个图象 没有交点. B.f(x)=x3-5x-5 D.f(x)=ex+3x-6 )

∴f(x)=0 在[1,2]上无零点. C:由 f(x)=0 得 lnx=3x-6,在同一坐标系中画出 y=lnx 与 y=3x-6 的图象,如图 2 所示,由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点,因而方程 f(x)=0 在[1,2]内没有零点. D:∵f(1)=e+3×1-6=e-3<0,f(2)=e2>0, ∴f(1)· f(2)<0. ∴f(x)在[1,2]内有零点. 二、填空题 7 .函数 f(x) 为偶函数,其图象与 x 轴有四个交点,则该函数的所有零点之和为 ________. 导学号 22840950 [答案] 0 [解析] ∵y=f(x)为偶数,∴f(-x)=f(x),∴四个根之和为 0.
?2x2-x-1,x≤0, ? 8.函数 f(x)=? x 的零点的个数为________. 导学号 22840951 ?3 -4,x>0 ?

[答案] 2 1 [解析] 当 x≤0 时,令 2x2-x-1=0,解得 x=- (x=1 舍去);当 x>0 时,令 3x-4 2
?2x2-x-1,x≤0, ? =0,解得 x=log34,所以函数 f(x)=? x 有 2 个零点. ? ?3 -4,x>0

一、选择题 1 . 函 数 f(x) = ax2 + bx + c , 若 f(1)>0 , f(2)<0 , 则 f(x) 在 (1,2) 上 零 点 的 个 数 为 导学号 22840954 ( A.至多有一个 C.有且仅有一个 [答案] C [解析] 若 a=0,则 f(x)=bx+c 是一次函数,由 f(1)· f(2)<0 得零点只有一个;若 a≠0, 则 f(x)=ax2+bx+c 为二次函数,如有两个零点,则必有 f(1)· f(2)>0,与已知矛盾. 2.已知函数 f(x)的图象是连续不断的,有如下的 x,f(x)对应值表: x f(x) 1 123.5 2 21.5 3 -7.82 4 11.57 5 -53.7 6 -126.7 ) 7 -129.6 ) B.有一个或两个 D.一个也没有

那么函数 f(x)在区间[1,6]上的零点至少有 导学号 22840955 ( A.2 个 C.4 个 [答案] B B .3 个 D.5 个

3.已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数,且在(0,+∞)内的零点有 1003 个,则 f(x)的零点 的个数为 导学号 22840956 ( A.1003 C.2006 [答案] D [解析] 由于奇函数图象关于原点对称且它在(0, +∞)内的零点有 1003 个, 所以它在(- ∞,0)内的零点也有 1003 个,又 f(x)的定义域为 R,所以 f(0)=0.即 0 也是它的零点,故 f(x) 的零点共有 2007 个. 4.若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)· (x-a)的两个零点分别 位于区间 导学号 22840957 ( A.(b,c)和(c,+∞)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(a,b)和(b,c)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 [答案] C [解析] 由于 a<b<c,所以 f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-a)(b-c)<0,f(c)=(c- b)(c-a)>0,根据零点的存在性定理可知,函数的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内, 故选 C. 二、填空题 5.m 的取值范围为________时,方程 x2-(m+13)x+m2+m=0 的一根大于 1,一根小 于 1. 导学号 22840958 [答案] -2 3<m<2 3 [解析] 用数形结合的方法解题.设 f(x)=x2-(m+13)x+m2+m,则它的开口向上,由 图象可得,方程 x2-(m+13)x+m2+m=0 的一根大于 1,一根小于 1 的充要条件为 f(1)=1 -(m+13)+m2+m=m2-12<0.解得-2 3<m<2 3.
?a,a-b≤1, ? 6.对于实数 a 和 b,定义运算“*”:a*b=? 设函数 f(x)=(x2-2)*(x-1), ?b,a-b>1, ?

) B.1004 D.2007

)

x∈R, 若方程 f(x)=c 恰有两个不同的解, 则实数 c 的取值范围是________. 导学号 22840959 [答案] (-2,-1]∪(1,2] [解析]
2 ? ?x -2?-1≤x≤2?, ? 由题意知 f(x)= 画出 f(x)的图象, 数形结合可得实数 c 的 ?x-1?x<-1或x>2?. ?

取值范围是(-2,-1]∪(1,2].

三、解答题 7.已知函数 f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0<a<1). 导学号 22840960 (1)求函数 f(x)的定义域; (2)求函数 f(x)的零点.
?1-x>0, ? [解析] (1)要使函数有意义, 则有? 解得-3<x<1, 所以函数的定义域为(- ? ?x+3>0,

3,1). (2)函数可化为 f(x)=loga[(1-x)(x+3)]=loga(-x2-2x+3), 由 f(x)=0,得-x2-2x+3=1,即 x2+2x-2=0, x=-1± 3. ∵-1± 3∈(-3,1),∴f(x)的零点是-1± 3. 8.已知函数 f(x)=x2-2x-3,x∈[-1,4]. 导学号 22840961 (1)画出函数 y=f(x)的图象,并写出其值域; (2)当 m 为何值时,函数 g(x)=f(x)+m 在[-1,4]上有两个零点? [解析] (1)依题意:f(x)=(x-1)2-4,x∈[-1,4], 其图象如图所示.

(2)∵函数 g(x)=f(x)+m 在[-1,4]上有两个零点, ∴方程 f(x)=-m 在 x∈[-1,4]上有两个相异的实数根, 即函数 y=f(x)与 y=-m 的图象有两个交点. 由(1)所作图象可知,-4<-m≤0,∴0≤m<4. ∴当 0≤m<4 时,函数 y=f(x)与 y=-m 的图象有两个交点,故当 0≤m<4 时,函数 g(x)=f(x)+m 在[-1,4]上有两个零点.



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