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1[1].1.2集合间的基本关系(课件)


1.1.2集合间的基本关系

观察以下几组集合,并指出它们元
素间的关系: ① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5};

② A={x x>1}, B={x

2 x >1};

③ A={四边形}, B={多边形};
④ A={x x2+1=0}, B={x x > 2} .

定 义
一般地,对于两个集合A与B, 如果集合A中的任意一个元素都是 集合B中的元素,我们就说集合A包含 于集合B,或集合B包含集合A.

记作

A ? B(或B ?A)

称集合A是集合B的子集.

A ?B
B
A

判断集合A是否为集合B的子集, 若是则在( )打√,若不是则在 ( )打×:
①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} ( ②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} )√

( ) ×

③A={0}, B={x x2+2=0} ④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a}

( × ) ( )√

图中A是否为B的子集?

B (1)

A

B

A (2)

再观察下面两个集合:

A={x|x是两条边相等的三角形} B={x|x是等腰三角形}

定 义
一般地,对于两个集合A与B, 如果集合A中的任何一个元素都是 集 合B的元素,同时集合B中的任何一个元 素都是集合A的元素,则称集合A等于 集合B,记作

A=B 若A ? B且 B ? A, 则A=B;
反之,亦然.

观察集合A与集合B的关系:

(1) A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a} (2) A={-1,1}, B={x
2 x -1=0}

注 意
⑴ 集合A不包含于集合B,或集合B不 包含集合A时, 记作 A ? B ⑵ 规定:空集是任何集合的子集.
即对任何集合A,都有: ? ?A

观察集合A与集合B的关系: (1)A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} (2)A={四边形}, B={多边形}

定 义
对于两个集合A与B,如果A ? B, 并且A≠B,则称集合A是集合B的真子

集.记作A
图示为

? B

B
A

子集的性质
(1)对任何集合A,都有:
A ? A (2)对于集合A,B,C,若A ? B,且B

? C,则有 A ? C
(3)空集是任何非空集合的真子集.

例题讲解
例1 写出{0,1,2}的所有子集,并指出 其中哪些是它的真子集. 例2 若A={x -3≤x≤4}, ? B={x 2m-1≤x≤m+1},当B A 时 ,求 实数m的取值范围.

4、设集合A ? {x | x 2 ? 4x ? 0}, B ? {x | x 2 ? 2(a ? 1)x ? a 2 - 1 ? 0, a ? R}, 若B ? A,求实数a的值.

解: ? A ? {0, - 4} ,B ? A,于是可分类处理 . (1) 当A ? B时,B ? {0, - 4}. 由此知: 0, - 4是方程x ? 2(a ? 1) ? a ? 1 ? 0的两根,
2 2

由韦达定理得 ?- 2(a ? 1) ? ?4 ? 2 ?a 解得 a ? 1

(2)当B ? A时,又可分为: (a) B ? ?时,即B ? {0} ,或B ? {-4} , ? ? 4(a ? 1)2 ? 4(a 2 ? 1) ? 0, 解得a ? ?1 B ? {0}满足条件; (b)B ? ?时,? ? 4(a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0, 解得a ? ?1
2 2

综合(1) 、 (2)知,所求实数 a的值a ? ?1, 或a ? 1.

?ab ? 1 a ? ?1 a ?1 ? b ? R 或 ?b ? 0 或 ?
a2 ? 1 或 解: ab ? b

思考 : 集合A ? ?1, 2a, b? , B ? ?a, a , ab? 且A ? B, 求a, b.
2

?

a ?b

a ?1 b ?1



?

a ? ?1 b?0

课堂小结
1.子集,真子集的概念与性质;

2. 集合的相等;
3.集合与集合,元素与集合的

关系.



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