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高中数学第六章推理与证明6.1合情推理和演绎推理6.1.2类比分层训练湘教版选修2


6.1.2





一、基础达标 1.下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较合适 ( A.三角形 C.平行四边形 答案 C 2.给出下面四个类比结论 ( ① 实数 a,b,若 ab=0 则 a=0 或 b=0;类比向量 a,b,若 a·b=0, ② 则 a=0 或 b=0 ②实数 a,b,有(a+b) =a +2ab+b ;类比向量 a,b,有(a+b) =
2 2 2 2

)

B.梯形 D.矩形

)

a2+2a·b+b2
③实数 a,有|a| =a ,类比向量 a,有|a| =a
2 2 2 2 2 2

④实数 a,b 有 a +b =0,则 a=b=0;类比向量 a,b 有 a +b =0,则

2

2

a=b=0
其中类比结论正确的命题个数为 ( A.0 答案 D 1 3.三角形的面积 S= (a+b+c)·r,其中 a,b,c 为三角形的边长,r 为三角形内切圆的 2 半径,利用类比推理;可以得出四面体的体积为 ( 1 A.V= abc 3 1 B.V= Sh 3 1 C.V= (S1+S2+S3+S4)r 3 1 D.V= (ab+bc+ac)h 3 答案 C ) B.1 C.2 D.3 )

1

4.给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集): ①“若 a,b∈R,则 a-b=0? a=b”类比推出“若 a,b∈C, 则 a-b=0? a=b”; ②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di? a=c,b=d”类比推出 “若 a,b,c,d∈Q,则 a+b 2=c+d 2? a=c,b=d”; ③“若 a,b∈R,则 a-b>0? a>b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b>0? a>b”. 其中类比得到的结论正确的个数是 ( A.0 答案 C 解析 ①②是正确的,③是错误的,因为复数不能比较大小,如 a=5+6i, B.1 C.2 D.3 )

b=4+6i,虽然满足 a-b=1>0,但复数 a 与 b 不能比较大小.
5.类比平面几何中“三角形任两边之和大于第三边”,得空间相应的结论为________. 答案 三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积

解析 平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象,从而有结论.

S△PA1B1 PA1·PB1 VP-A1B1C1 6.如图(1)有面积关系 = ,则图(2)有体积关系 =________. S△PAB PA·PB VP-ABC

答案

PA1·PB1·PC1 PA·PB·PC

7.如图,在三棱锥 S-ABC 中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且 SA、SB、SC 和底面 ABC,所 成的角分别为 α 1、α 2、α 3,三侧面 SBC,SAC,SAB 的面积分别为 S1,S2,S3,类比三
2

角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想.



在△DEF 中(如图),由正弦定理得 =

= . sin D sin E sin F

d

e

f

于是,类比三角形中的正弦定理, 在四面体 S-ABC 中, 我们猜想 = = 成立. sin α 1 sin α 2 sin α 3 二、能力提升 8.设△ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r= 2S , a+b+c

S1

S2

S3

类比这个结论可知:四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球半径 为 r,四面体 S-ABC 的体积为 V,则 r=( A. C. )

V S1+S2+S3+S4

B. D.

2V S1+S2+S3+S4 4V S1+S2+S3+S4

3V S1+S2+S3+S4

答案 C 解析 设四面体的内切球的球心为 O,则球心 O 到四个面的距离都是 r,所以四面体的 体积等于以 O 为顶点,分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和.则四面体的体积为

V 四面体 A-BCD= (S1+S2+S3+S4)R,
∴r= 3V . S1+S2+S3+S4

1 3

3

9.定义:a

b,b

c,c

d,d

a 的运算分别对应下图中的(1)(2)(3)(4).

则图中甲、乙运算式可表示为________. 答案 d

b,c

a AE AC ,把这个结论类比 EB BC

10.在平面几何中,△ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为 =

到空间: 在三棱锥 A-BCD 中(如图所示), 平面 DEC 平分二面角 A-CD-B 且与 AB 相交于

E,则得到的类比的结论是________.

答案

AE S△ACD = EB S△BCD

解析 △ABC 中作 ED⊥AC 于 D,EF⊥BC 于 F,则 ED=EF. ∴

AC S△ACE AE = = , BC S△BCE EB

类比:在三棱锥 A-BCD 中,过直线 AB 作一平面垂直于 CD,并交 CD 于点 H,则∠AHB 是二面角 A-CD-B 的平面角,连接 EH,则 EH 是∠AHB 的角平分线.

4



AE AH S△ACD = = . EB BH S△BCD

11.已知等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和 Sn,则有如下性质: ①通项:an=am+(n-m)d; ②若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(m、n、p、q∈N+); ③若 m+n=2p,则 am+an=2ap(m、n、p∈N+); ④Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 构成等差数列. 类比上述性质,在等比数列{bn}中,写出相类似的性质,并判断所得结论的真假. 解 在等比数列{bn}中,公比为 q,前 n 项和为 Sn,则可以得到:
n-m

①通项:bn=bm·q

(真命题);

②若 m+n=p+q,则 bm·bn=bp·bq(m,n,p,q∈N+)(真命题); ③若 m+n=2p,则 bm·bn=bp(m,n,p∈N+)(真命题); ④Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 构成等比数列(假命题). 12.(1)椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)与 x 轴交于 A,B 两点,点 P 是椭圆 C 上异于 A,B 的任意
2

x2 y2 a b

→ → 2 2 一点,直线 PA,PB 分别与 y 轴交于点 M,N,求证:A N ·BM为定值 b -a .
(2)类比(1)可得如下真命题:双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与 x 轴交于 A,B 两点,点 P

x2 y2 a b

→ → 是双曲线 C 上异于 A, B 的任意一点, 直线 PA, PB 分别与 y 轴交于点 M, N, 求证 A N ·BM
为定值,请写出这个定值(不要求写出解题过程). 解 (1)证明如下:设点 P(x0,y0)(x0≠±a)

依题意,得 A(-a,0),B(a,0) 所以直线 PA 的方程为 y= 令 x=0,得 yM=

y0

x0+a

(x+a),

ay0 . x0+a

a2y2 0 同理得 yN=- ,所以 yMyN= 2 2. x0-a a -x0 ay0
又点 P(x0,y0)在椭圆上,所以 2+ 2=1, 因此 y0= 2(a -x0),所以 yMyN=
2

x2 y2 0 0 a b

b2 a

2

2

a2y2 0 2 =b . 2 a -x2 0

→ → 因为AN=(a,yN),BM=(-a,yM), → → 2 2 2 所以AN·BM=-a +yMyN=b -a . (2)-(a +b ).
5
2 2

三、探究与创新 13. 如图, 在长方形 ABCD 中, 对角线 AC 与两邻边所成的角分别为 α 、 β , 则 cos α +cos β =1,则在立体几何中,给出类比猜想.
2 2

a 2 b 2 a2+b2 c2 解 在长方形 ABCD 中,cos α +cos β =( ) +( ) = 2 = 2=1. c c c c
2 2

于是类比到长方体中,猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为 α 、β 、γ ,

则 cos α +cos β +cos γ =1.

2

2

2

证明如下:cos α +cos β +cos γ =( ) +( ) +( ) =

2

2

2

m l

2

n l

2

g l

2

m2+n2+g2 l2 = 2=1. l2 l

6



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