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2.2 椭圆标准方程及其简单几何性质


高中数学人教A版选修2-1第2章第2节第一课时

及其标准方程

认识椭圆

2.2.1

椭圆及其标准方程

用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,得到的 用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥 得到的 截面是一个圆.如果改变平面与圆锥轴线的夹 截面是一个圆 如果改变平面与圆锥轴线的夹 会得到椭圆、 角,会得到椭圆、双曲线、抛物线等图形 会得到椭圆 双曲线、抛物线等图形. 通常把椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲 通常把椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲 线. 本章研究如何建立这些曲线的方程,然后利用 本章研究如何建立这些曲线的方程 然后利用 方程研究它们的性质,并运用这些性质解决实 方程研究它们的性质 并运用这些性质解决实 际问题. 际问题

椭圆
第一定义法画椭圆.swf 第一定义法画椭圆 第一定义法画椭圆.gsp 第一定义法画椭圆

1.椭圆的定义 椭圆的定义: 椭圆的定义
平面内与两个定点F 的距离的和等于常 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常 大于│ 的点的轨迹叫做椭圆 椭圆。 数(大于│F1F2│)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点 焦点, 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离 叫做椭圆的焦距 焦距. 叫做椭圆的焦距.

求椭圆的标准方程: 求椭圆的标准方程
平面内到两个定点F , F2 ( F F2 = 2c, c > 0)的距离 1 1 . 之和为常数2a(2a > 2c)的点的轨迹叫椭圆
y

M ( x, y)
x

如何建立坐 标系? 标系? 怎样设动点 的坐标? 的坐标?

F1

F2

解 : 以椭圆两焦点F1 , F2所在直线为x轴, 线段F1 F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系xOy .

设M ( x , y )是椭圆上任意一点.

求椭圆的标准方程: 求椭圆的标准方程
平面内到两个定点F , F2 ( F F2 = 2c, c > 0)的距离 1 1 . 之和为常数2a(2a > 2c)的点的轨迹叫椭圆 y
M( x, y)

F1

F2

x

由 MF + MF2 = 2a得: 1 ( x + c) + y + ( x ? c) + y = 2a
2 2 2 2

移项并平方得:( x + c)2 + y2 = 4a2 ? 4a ( x ? c)2 + y2 + ( x ? c)2 + y2

: 即 a2 ? cx = a ( x ? c)2 + y2

两边再平方 a4 -2a2cx+c2 x2 = a2 x2 -2a2cx+a2c2 +a2 y2 :
:( 即 a ? c )x + a y = a (a ? c )
2 2 2 2 2 2 2 2

求椭圆的标准方程: 求椭圆的标准方程
平面内到两个定点F , F2 ( F F2 = 2c, c > 0)的距离 1 1 . 之和为常数2a(2a > 2c)的点的轨迹叫椭圆
y

M( x , y )
-c?
F1
?

| =2 由 | MF1 | + + MF2 |= a得 : ( x + )2 + + 2 + + ( x ? )2 + 2 = = a c y c y 2
x

c F2

(a 2 ? c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 ? c 2 )

x2 y2 + 2 2 =1 2 a a ?c

求椭圆的标准方程: 求椭圆的标准方程
平面内到两个定点F , F2 ( F F2 = 2c, c > 0)的距离 1 1 . 之和为常数2a(2a > 2c)的点的轨迹叫椭圆
y

M
-c?
F1

b
O

a
c
?

x2 y2 + 2 2 =1 2 a a ?替 c

x

F2

x y + 2 =1 2 a b

2

2

椭圆的标准方程: 椭圆的标准方程:
焦点在x 焦点在x轴:
y
M F1

x y + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
焦点在y 焦点在y轴:

2

2

o
y
F2

F2

x

y x + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b

2

2

M

o
F1

x

几点说明: 几点说明 (1)所谓椭圆的标准方程 一定是焦点在坐标轴 所谓椭圆的标准方程,一定是焦点在坐标轴 所谓椭圆的标准方程 且两焦点的中点为坐标原点. 上,且两焦点的中点为坐标原点 且两焦点的中点为坐标原点
x y y x (2)在 2 + 2 = 1 与 2 + 2 = 1 这两个标准方程中 都 这两个标准方程中,都 在 a b a b 2 x y2 的要求.如方程 有a>b>0的要求 如方程 + = 1 (m>0,n>0) > > 的要求 m n
2 2 2 2

就不能肯定焦点在哪个轴上. 就不能肯定焦点在哪个轴上 (3)通常这个常数记为 ,焦距记为 且2a>2c ; 通常这个常数记为2a,焦距记为 记为2c, 通常这个常数记为 如果2a 点的轨迹是线段 如果 = 2c,则M点的轨迹是线段 1F2. , 点的轨迹是线段F 如果2a 点的轨迹不存在 如果 < 2c,则M点的轨迹不存在 , 点的轨迹不存在.

x2 y2 + 2 = 1( a > b > 0 ) 2 a b

y2 x2 + 2 = 1( a > b > 0 ) 2 a b

椭圆的标准方程的再认识: 椭圆的标准方程的再认识:
(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平 )椭圆标准方程的形式: 方和,右边是1。 方和,右边是 。 的分母哪一个大, (2)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大, )椭圆的标准方程中, 则焦点在哪一个轴上。 则焦点在哪一个轴上。 ( 3) 椭圆的标准方程中三个参数 、 b、 c满足 ) 椭圆的标准方程中三个参数a、 、 满足 a2=b2+c2。 (4)由椭圆的标准方程可以求出三个参数 、b、c )由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、 、 的值。 的值。

尝试应用
练习1.下列方程哪些表示椭圆? 练习 下列方程哪些表示椭圆? 下列方程哪些表示椭圆 若是,则判定其焦点在何轴 写出焦点坐标. 则判定其焦点在何轴? 若是 则判定其焦点在何轴?写出焦点坐标 2 2 2 2 x y x y (2) + = 1 (1 ) + = 1 16 16 25 16 2 2 x y ( 4 ) 9 x 2 ? 25 y 2 ? 225 = 0 (3) + = 1 2 2 m m + 1 取何值时, ( 5 ) ? 3 x 2 ? 2 y 2 = ? 1 当k取何值时,方程分 别表示圆,椭圆, 别表示圆,椭圆,焦点 2 2 x y 轴上的椭圆? (6) + = 1 在x轴上的椭圆? 24 ? k 16 + k

x2 y2 + = 1表示焦点在 x轴上的椭圆, 练习1,方程 | a | ?1 a + 3 求 a 的取值范围。

?| a | -1 > 0 ? 分 析 :由 题 意 , ? a + 3 > 0 ? -3 < a < -2 ?| a | -1 > a + 3 ?

练习2:x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆, 求k的取值范围

练习3,方程 的曲线是焦点在y轴上 练习 方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在 轴上 方程 的曲线是焦点在 的椭圆, 的取值范围是 的取值范围是________. 的椭圆 k的取值范围是 (0,4)

练习4,椭圆mx =-mn(m<n<0)的焦点坐 练习4,椭圆mx2+ny2=-mn(m<n<0)的焦点坐 椭圆 标是_________________

( , n? m 0± )

尝试应用
练习2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程. 练习2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程. 2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程 已知两个焦点分别为F1 (0, ?4), F2 (0, 4).椭圆上的点

P到两个焦点的距离和是10, 则椭圆的标准方程?
x2 y2 + = 1 25 9

变式一:将上题焦点改为 ,-4)、(0,4), 结果如何? 变式一 将上题焦点改为(0, 、 , , 结果如何? 将上题焦点改为 变式二:将上题改为两个焦点的距离为8 椭圆上一点P 变式二:将上题改为两个焦点的距离为8,椭圆上一点P 到两焦点的距离和等于10,结果如何? 到两焦点的距离和等于10,结果如何? x 2 10,结果如何 y2 当焦点在x轴时,方程为: 当焦点在x轴时,方程为: 2 5 + 9 = 1
y2 x2 当焦点在y轴时,方程为: 当焦点在y轴时,方程为: + = 1 25 9
y2 x2 + =1 25 9

效果检测
1.填空: 填空: 填空

x2 y 2 + = 1 ,则a=_____, (1)已知椭圆的方程为: 已知椭圆的方程为: 已知椭圆的方程为 5 , 25 16 (-3,0),(3,0) b=_______,c=_______,焦点坐标为:____________ 4 , 3 ,焦点坐标为: 焦距等于______; 焦距等于 6

x y 4, 练习 已知经过椭圆 + = 1左焦点F的直线交 1 16 9 16 , 椭圆于A, B两点 则 ABF2的周长为________

2

2

分析 : 如图,| AF1 | + | AF2 |= 2a = 2 × 4 = 8 | BF1 | + | BF2 |= 2a = 2 × 4 = 8 所以, ABF2周长为: | AF1 | + | AF2 | + | BF1 | + | BF2 |= 4a y 16 =
B F1 A
O

F2

x

x y 练习4, AB是过椭圆 2 + 2 = 1左焦点F1的弦, a b 则 ABF2的周长为 ______ 4a

2

2

练习1,动点P到两定点F1 ( ?4, 0), F2 (4, 0)的距离之和 y = 0,(?4 ≤ x ≤ 等于8, 则点P的轨迹方程是____________ 4)
练习2, 化简方程 x + y + 3) + x + y ? 3) = 10. ( ( 2 2 y x + =1 25 16 方程的几何意义 :
2 2 2 2

点( x , y )到两定点(0, -3),(0, 3)的距离之和等于10 > 6
3.化简方程 ( x ? 3) + y + ( x + 3) + y = 12
2 2 2 2

谈谈收获
探究定义 |=2a(2a>2c)}. P={M||MF1|+|MF2|=2a(2a>2c)}.
y M y F2 F1
O

不 同 点





M x

F2

x

O

F1

标准方程 焦点坐标 同 点 a、b、c 的关系 、 、 焦点位置的判断

x2 y2 + 2 = 1 (a > b > 0) 2 a b
F1 ( -c , 0 ),F2 ( c , 0 )

x2 y2 + 2 = 1 (a > b > 0) 2 b a
F1 ( 0 , - c ),F2 ( 0 , c )

a2-c2=b2 (a>b>0) 分母哪个大, 分母哪个大,焦点就在哪个轴上

定 义

|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y
M

y
F 2 M

图 形

F1

o

F2

x

o
F1

x

方 程 焦 点 a,b,c之间
的关系

x2 y 2 y2 x2 + 2 = 1 (a > b > 0) + 2 = 1 (a > b > 0 ) 2 2 a b a b
F(± F(±c,0) F(0, F(0,±c)

c2=a2-b2

: 题型一 椭圆第一定义
x2 1.椭 圆 + y 2 = 1上 一 点 P 到 一 个 焦 点 的 距 离 为2. 25 则 点 P 到 另 一 个 焦 点 的 距 离 为( D ) A, 5 B , 6 C , 7 D , 8

x y 2.椭 圆 + = 1上 一 点 M 到 左 焦 点 F1的 距 离 为2, 25 9 N 是 MF1的 中 点, 则 ON 等 于( B ) A, 2 B, 4 C, 8 3 D, 2

2

2

x2 y2 3,已知M 为椭圆 + = 1上一点, MF1 ? MF2 = 1, 3 4 则 MF1 F2是 _____ 三角形.
分析, c = 1, 则 | F1 F2 |= 2c = 2 ? MF1 ? MF2 = 1 5 ? 由? 可得 : MF1 = , 2 ? MF1 + MF2 = 2a = 4 ? 因为 MF2 + | F1 F2 | = MF1 ,
2 2 2

3 MF2 = 2

所以, 三角形为直角三角形

x y 4.设 P是 椭 圆 + = 1上 一 点, P到 两 个 焦 点 F1 , F2 16 12 的 距 离 之 差 为2, 则 ?PF1 F2是( B ) A.锐 角 三 角 形 C .钝 角 三 角 形
2 2

2

2

B .直 角 三 角 形 D .等 腰 直 角 三 角 形

x y 5.已 知 椭 圆 + = 1的 两 个 焦 点 是 F1 , F2 , 点 P 是 椭 圆 16 9 上 的 一 个 动 点 .如 果 延 长 F1 P 到 Q , 使 得 PQ = PF2 ,那 么 动 点 Q的 轨 迹 是 ________________

以F1为圆心, 半径r = 2a = 8的圆.

6.在 平 面 直 角 坐 标 系 中,已 知 ? ABC的 顶 点 A( ?4, 0) x2 y2 和 C (4, 0).顶 点 B在 椭 圆 + = 1上 , 25 9 sin A + sin C 5 则 = ______ sin B 4

x y 7.已知F1 , F2为椭圆 + = 1的两个焦点, 100 64 P为椭圆上一点, 求 PF1 PF2 的最大值. 100

2

2

a + b 2 a 2 + b2 ) ≤ 基本不等式 : ab ≤ ( 2 2

能力提升:焦点三角形的面积 能力提升 焦点三角形的面积 x2 y2 + = 1的 两 个 焦 点, P为 椭 例.已 知 F1 , F2为 椭 圆 25 9 0 圆 上 一 点,已 知 ∠ F1 PF2 = 90 .求 ? F1 PF2的 面 积 .
?| PF1 | + | PF2 |= 2a = 10 ? 由? | PF1 |2 + | PF2 |2 = (2c )2 = 64 ? ? 2 得 : (| PF1 | + | PF2 |) - 2 | PF1 | ? | PF2 |= 64 所以 :| PF1 | ? | PF2 |= 18 则: S
F1 PF2

y

P

=9

F1

F2

x y 8.已 知 F1 , F2为 椭 圆 + = 1的 两 个 焦 点, P为 椭 4 5 0 圆 上 一 点,已 知 ∠ F1 PF2 = 30 .求 ? F1 PF2的 面 积 .

2

2

分析:由余弦定理可得|PF1 |?|PF2 |

8? 4 3 ?

x2 y2 9.已 知 F1是 椭 圆 + = 1的 左 焦 点, P为 椭 圆 上 的 9 5 动 点, A(1,1)为 定 点, 则 PF1 + PA 的 最 小 值 为( B ) A, 9 ? 2 B, 6 ? 2 C, 3 + 2 D, 6 + 2

x y 练习13.已知F1 , F2是椭圆 + = 1的两个焦点, 100 64 P是椭圆上任意一点, 且∠F1 PF2 = 的 面 积.
分析 :由余弦定理可得 | PF1 | ? | PF2 |

2

2

π
3

, 求?F1 PF2

y

P

64 3 3

F1

F2

x

思维拓展: 思维拓展:
x2 y2 例,若点P是椭圆 2 + 2 = 1上的一点, F1和F2分别是椭圆 a b sin θ 2 . 的左, 右焦点, 若∠F1 PF2 = θ , 求证 : S?F1 PF2 = b ? 1+ cos θ

y

P

F1

F2

x

uuur uuur x2 y2 练习,已知P为椭圆 2 + 2 = 1上一点, PF1 PF2 = 0, a b 2 b 则S F1 PF2 = _____

x2 y2 10.已 知 点 P 是 椭 圆 : + = 1上 一 点, 且 点 P 在 第 4 3 二 象 限 , ∠ PF1 F2 = 120 0 .求 ? F1 PF2的 面 积 . 3 3 5

: 题型二 求椭圆的标准方程
例1,已知椭圆的两个焦点F1 (-2, 0), F2 (2, 0), 并且椭圆 5 3 过点M ( , - ), 求它的标准方程. 2 2 解 :由椭圆定义可知 : 2a =| MF1 | + | MF2 |
5 3 5 2 3 2 2 = ( + 2) + (- - 0) + ( -2) + (- - 0)2 =2 10 2 2 2 2

所以a = 10, c = 2, 则b = 6
2

又因为焦点在x轴上, 所以标准方程为 : x y + =1 10 6
2 2

例1,已知椭圆的两个焦点F1 (-2, 0), F2 (2, 0), 并且椭圆 5 3 过点M ( , - ), 求它的标准方程. 2 2
解 :由椭圆定义可知 : 2a =| MF1 | + | MF2 |
5 3 5 2 3 2 2 = ( + 2) + (- - 0) + ( -2) + (- - 0)2 =2 10 2 2 2 2

所以a = 10, c = 2, 则b = 6
2

又因为焦点在x轴上, 所以标准方程为 : x y + =1 10 6
2 2

求经过点(2,-3),且与椭圆 2+4y2=36有共 且与椭圆9x 例.求经过点 求经过点 且与椭圆 有共 同焦点的椭圆方程. 同焦点的椭圆方程
x y : 解:已知椭圆即为 + = 1, 可见 c2 = 5. 4 9 2 2 x y 可设椭圆方程为 + = 1(λ > 0), λ λ +5 (2, 把点 ?3)代入求得λ = 10或λ = ?2(舍). x y 所求椭圆方程为 + = 1. 10 15
2 求椭圆的标准方程的步骤: y 2 求椭圆的标准方程的步骤: x 首先要判断焦点位置,设出标准方程(先定位) (1可设方程为 + = 1, 可 得k = 也 )首先要判断焦点位置,设出标准方程(求定位) 4+ k 9+ k 根据椭圆定义或待定系数法求a, 定量) (2)根据椭圆定义或待定系数法求 ,b (后定量)
2 2 2 2

6

练习,已知椭圆过点A(3, 0), a = 3b, 求椭圆的标准方程

讨论,(1)当焦点在x轴上时, a = 3, b = 1 x 2 标准方程 : + y =1 9 (2), 当焦点在y轴上时, b = 3, a = 9
2

y x 标准方程 : + =1 81 9

2

2

例.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴, 且经过P1 ( 6,1), P2 ( ? 3, ? 2), 求椭圆的方程.
x2 y2 分析: 设椭圆: 2 + 2 = 1(m > 0, n > 0) m n 1 ? 6 ?1 1 ? m2 + n2 = 1 ? m2 = 9 ? ? , 解得: ? 由题意? ? 3 + 2 =1 ?1 =1 ? m2 n2 ? n2 3 ? ?
注意:可设椭圆方程为mx =1(m>0,n>0且 注意:可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n), 以避免讨论焦点所在坐标轴. 以避免讨论焦点所在坐标轴.

4, 过点A(- 3, ?2)和B( ?2 3,1)两点的椭圆的标准方 程为:________

分析 : 设椭圆标准方程 : mx + ny = 1( m > 0, n > 0)
2 2

? 3m + 4n = 1 1 1 ,得 : m = , n = 则有 ? 15 5 ?12m + n = 1
x2 y2 所以,椭圆标准方程为 + =1 15 5

已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上 例.已知 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上 已知 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,
4 5 2 5 ,过P作 点P到两焦点的距离分别为 到两焦点的距离分别为 和 过 作 3 3

长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的 长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点 求椭圆的 方程. 方程
2 2

x 3y + y =1 4 5 2 5 10P + =2 5 5 分析 : 首先2a = 3 3 2 2 3x y 4 5 2 2 5 2 或 + =1 2 ) -( ) , F1 10 F2 5 再者,(2c ) = ( o x 3 3
5 2 10 2 得到c = , a = 5, b = 3 3
2

: 题型三 利用椭圆定义求动点轨迹
1.若?ABC的两个顶点坐标分别为B( ?3, 0), C (3, 0). ?ABC的周长为16.求顶点A的轨迹方程.

分析,| AB | + | AC |= 16- | BC |= 16 - 6 = 10 >| BC |
可见, 点A在以B , C为焦点的椭圆上, 其中2a =| AB | + | AC |= 10, 则a = 5, 又c = 3, 则b = 4

x y 所以点A的轨迹方程为 : + = 1( y ≠ 0) 25 16

2

2

2.若?ABC中, BC = 24, AC , AB边上的中线长 之和等于39.求?ABC的重心的轨迹方程.
x y + = 1( y ≠ 0) 169 25
2 2

3.已知?ABC中, AC , AB , BC 成等差数列, 且 AB = 4.求顶点C的轨迹方程.
x2 y2 + = 1( y ≠ 0) 16 12

练习4, ?ABC中, A( ?1, 0), B(1, 0).三边a , c , b成等差 数列, 且a > c > b, 则顶点C的轨迹方程是 _______

分析,由题意:2c = a + b.即| AC | + | BC |= 4 > 2, : 所以点C的轨迹可看作以A, B为焦点的椭圆
x2 4

+

y2 3

= 1, 其中? 2 < x < 0.

例2, 点P为圆x + y = 4上任意一点, 过P向x轴作
2 2

垂线PD, 垂足为D, 求PD中点M的轨迹方程.
单圆法画椭圆

y0 解 : 设点M ( x , y ), 点P ( x0 , y0 ), 则有x = x0 , y = 2 2 2 因为点P ( x0 , y0 )在圆x + y = 4上,

则有x0 + y0 = 4,
2 2

把x0 = x , y0 = 2 y代入得 : x + 4 y = 4
2 2

所以点M的轨迹方程为 :

x2 4

+ y =1
2

例3,已知点A(-5, 0), 点B(5, 0), 直线AM 与直线BM 交于 4 点M , 且k AM ? k BM = - , 求点M的轨迹方程. 9 y x2 y2 + = 1 ( x ≠ ±5) 25 100 M 9

A

o

B
x

5,已知点A(-1, 0), 点B(1, 0), 直线AM 与直线BM 交于 k AM 点M , 且 = 2, 求点M的轨迹方程. k BM

x = -3

例4:已知两圆C1 : ( x + 3) + y = 1,
2 2

C2 : ( x ? 3) + y = 81, 动圆在圆C2内部且和圆C2
2 2

相内切,和圆C1相外切,求动圆圆心的轨迹方程

设动圆圆心M ( x, y )
M C2

| MC | MC

1 2

|= 1 + r |= 9 ? r

C1

| MC1 | + | MC2 |= 10

x y + =1 25 16

2

2

练习6, 动圆C 和圆C1 : x + ( y ? 4) = 81内切, 且与圆C 2 :
2 2

x 2 + ( y + 4)2 = 1外切, 求动圆圆心C的轨迹方程.

分析 : 设圆C的半径为r 已知圆C1的半径r1 = 9,圆C 2的半径r2 = 1 ? r1 ? r =| CC1 | 由题意 : ? ? r2 + r =| CC 2 | 则 :| CC1 | + | CC 2 |= r1 + r2 = 10 >| C1C 2 |= 8
可见 : 动圆圆心C的轨迹是以C1 , C 2为焦点的椭圆.

其中 : a = 5, c = 4, 则b = 3 所以圆心C的轨迹方程为 :
y2 25

+

x2 9

= 1( y ≠ ?5)

已知A,B是两个定点 且│AB│=2,动点 是两个定点,且 动点M 例2.已知 已知 是两个定点 动点 的距离是4,线段 到A的距离是 线段 的距离是 线段MB的中垂线 l 交MA于P 的中垂线 于 变化时建立适当的坐标系,求动点 点.当M变化时建立适当的坐标系 求动点 的 当 变化时建立适当的坐标系 求动点P的 \垂线轨迹 垂线轨迹.gsp 垂线轨迹 轨迹方程. 轨迹方程
|PM|=|PB|
M P

|PA|+|PB|=4

A

B

x y + =1 4 3

2

2

7.过已知圆内一点作圆 与已知圆相切 则圆 过已知圆内一点作圆C与已知圆相切 过已知圆内一点作圆 与已知圆相切,则圆 的轨迹是( 心C的轨迹是 C ) 的轨迹是 (A)圆 (B)椭圆 (C)圆或椭圆 (D)线段 圆 椭圆 圆或椭圆 线段
练习9, 点A( x0 , 0)是圆O : x + y = 4内一定点, 点P是
2 2

圆O上一动点, 线段AP的垂直平分线l 和半径OP交于 点Q ,当P 在圆上运动时, 点Q的轨迹是什么?

圆或椭圆

练 习.已 知 两 圆 C 1 : x 2 + y 2 ? 6 x ? 91 = 0, C 2 : x 2 + y 2 + 6 x + 5 = 0. 动 圆 在 圆 C 1内 部 且 和 圆 C 1相 内 切 , 和 圆 C 2 相 外 切 . 求动圆圆心的轨迹方程.
x y + =1 36 27
2 2

练习9, 点P为圆x + y = 4上一动点, 过P向x轴作垂 | DM | 3 线PD, 垂足为D, 点M 在DP的延长线上, 且 = , | DP | 2
2 2

求 点 M的 轨 迹 方 程 .

x y =1 + =1 4 9

2

2

练习,?ABC的底边BC = 16, AC 和AB边的中线 长之和为30, 求?ABC的顶点A的轨迹方程.
分析 : 建立坐标系, B( ?8, 0), C (8, 0).设重心为点G. 则有: | GC | + | GB |= 20 > 16. x2 y2 所以:点G的轨迹方程是椭圆: + = 1( y ≠ 0), 100 36
x 3 y 3 2 0 2 0

设A( x , y ),G ( x0 , y0 ), 则有: x0 = , y0 =

x y 因为点G ( x0 , y0 )满足 + = 1( y0 ≠ 0) 100 36 2 2 x y 所以:点A的轨迹方程是 + = 1( y ≠ 0) 900 324

5.已 知 动 圆 C 与 定 圆 C 1 : x + ( y ? 4) = 64内 切 ,
2 2

和 定 圆 C 2 : x + ( y + 4) = 4外 切 .设 C ( a , b ), 则
2 2

225 25a 2 + 9b 2 = ________

变 式1.已 知 动 圆 与 定 圆 C : x 2 + y 2 + 4 y ? 32 = 0内 切 , 且 过 定 圆 内 一 定 点 A(0, 2).求 动 圆 圆 心 P的 轨 迹 方 程 . x2 y2 + =1 5 9

变 式 3.已 知 圆 M : ( x + 5 ) 2 + y 2 = 36, 定 点 N ( 5, 0). 点 P 是 圆 上 的 动 点, 点 G 在 MP 上 , 点 Q在 NP 上 uuu r uuur uuu uuur r 且 满 足 NP = 2 NQ , GQ ? PN = 0.求 点 G的 轨 迹 方 程 . x2 y2 + =1 9 4

变 式4.已 知 A, B是 两 个 定 点, 且 AB = 2, 动 点 M 到 A的 距 离 是 4,线 段 MB的 中 垂 线 l交 MA于 P点.当 M 变 化 时 , 建 立 适 当 的 坐 标 系, 求 动 点 P的 轨 迹 方 程 .
2 2

x y + =1 4 3

: 题型四 椭圆中的三角形问题
x y 例, AB是过椭圆 2 + 2 = 1中心O的一条弦, a b 则 AOF2面积的最大值为 : _____ bc
2 2

x y 变 式 3.已 知 F1 ( ? 3, 0),F2 (3, 0)为 椭 圆 + = 1的 m n 两 个 焦 点,点 P在 椭 圆 上 ,∠ F1 PF2 = α , 2π 当α = 时 ,?F1 PF2的 面 积 最 大 ,求 m + n = ____ 15 3

2

2

x2 y2 变 式 2.已 知 F1 , F2为 椭 圆 + = 1的 两 个 焦 点, 25 16 点 P 在 椭 圆 上 , 若 F1 , P , F2是 一 个 直 角 三 角 形 的 三 个 顶 点, 则 点 P 到 x轴 的 距 离 为 ______ x2 y2 变 式 3.已 知 F1 , F2为 椭 圆 + = 1的 两 个 焦 点, 25 9 点 P 在 椭 圆 上 , 若 F1 , P , F2是 一 个 直 角 三 角 形 的 三 个 顶 点, 则 点 P 到 x轴 的 距 离 为 _______

x y 练习3, 点P在椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0)上, a b POF2是面积为 3的正三角形, 则b = _____
2

2

2

c 3c ), 分析 :由题意 : 点P ( , 2 2 1 3c 则由S POF2 = ? c ? = 3 得:c = 2 2 2 2 2 2 所以2a = 2 + 2 3, 所以 : b = a - c = 2 3

练习,(1)椭圆上的点与两焦点连线所成的角为90o 的点 可能有 _______ 个. uuur uuur x y (2)椭圆 + = 1上满足 PF1 PF2 = 0的点P有 __ 个. 8 4 2 2 x y (3), 点P在椭圆 + = 1上, ∠F1 PF2为钝角, 9 4 则点P的横坐标的取值范围是 : _______
2 2

椭圆的简单几何性质
引例 : 若 x + y = 9, 则 x与 y的取值范围分别
2 2

是 _______;
方法一:因为 9 ? x = y ≥ 0,
2 2

所以x ≤ 9,得:-3 ≤ x ≤ 3
2

? x = 3cos α , 则x , y ∈ [?3, 3] 方法二:设 ? ? y = 3sin α

椭圆的简单几何性质
利用椭圆的标准方程
x2 y2 + 2 = 1 (a > b > 0) 2 a b

方程中的x、y的 方程中的x 范围分别是: 范围分别是: |x|≤a ______。 ______、______ ______、|y|≤b 。 这说明了椭圆位 ± 于直线______ ______和 于直线x=±a 和 ______ y=±b ± ________围成的 ________围成的 矩形里。 矩形里。

来研究椭圆的几何性质. 来研究椭圆的几何性质 (1).范围 范围

y

o

x

(2).对称性 对称性 坐标轴 是椭圆的对称轴; 原点 ________是椭圆的对称轴;_________ 椭圆的对称中心 是 是椭圆的对称中心; 是椭圆的对称中心;__________是椭圆 的中心。 的中心。 y

o

x

(3).顶点 顶点

椭圆与x、 轴的交点有 椭圆与 、y轴的交点有 B1(0,-b),B2(0,b) _________________;因为 、y轴是该椭圆 因为x、 轴是该椭圆 因为 的对称轴,所以这些交点又叫椭圆的______。 的对称轴,所以这些交点又叫椭圆的 顶点 。 线段A 线段 1A2 叫做椭圆的长轴,________叫做 _________叫做椭圆的长轴 线段 1B2 叫做 叫做椭圆的长轴 线段B 椭圆的短轴 短轴。 椭圆的短轴。 长轴长为 短轴长为

A1(-a,0),A2(a,0),

2a 2b A1
F1

y B2

b o c B1

a
F2

A2 x

a和b分别叫做椭圆 和 分别叫做椭圆 的 长半轴长 和 短 半轴长.

(4).离心率 离心率 椭圆的焦距与长轴长的比 的离心率. 的离心率 离心率的范围: 离心率的范围 0<e<1

c e= a
y

,叫做椭圆 叫做椭圆 叫做

B2 离心率的大小对 椭圆形状的影响: 椭圆形状的影响 a b e越接近 椭圆 越接近1,椭圆 越接近 o c 越扁;e越接近于 越扁 越接近于 0,椭圆就越接近 椭圆就越接近 于圆. 离心率对椭圆形状的影响.gsp 于圆 离心率对椭圆形状的影响

F1

x

直线与椭圆
直线与椭圆的位置关系: 一.直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系

?相交(有两个交点 ) ? 直线与椭圆 ?相切(有一个交点 ) ?相离(没有交点) (没有交点 ?
直线与椭圆的位置关系的研究方法: 二.直线与椭圆的位置关系的研究方法 直线与椭圆的位置关系的研究方法

解方程组法

基础练习
1、椭圆16 x + 25 y = 400, 其长轴长为 ______, 10
2 2

3 焦距是 ____ ,顶点坐标是 _________ 离心率e = _____ 6 5

(±5,0), (0, ±4)

2、根据下列条件求椭圆方程 : (1), 经过点A( ?3, 0), B(0, ?2). (2), 长轴的长为20, 离心率为 , 坐标轴为对称轴.
3 5

(3),中心在坐标原点, 经过P (3, 0), a = 3b.

(1),

x 9
x 9
2

2

+

y2 4
2

=1
y2 81

(2),
x2 9

x2 100

+

y2 64

= 1或 +
x2 64

y2 100

=1

(3), + y = 1或 +

=1

x y b 2, 对于椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0), 线段F1 F2被点( , 0) a b 2 分成5 : 3的两段, 则此椭圆的离心率为 : _____ 4 5
x2 y2 0 0 7, 点P 在椭圆 2 + 2 = 1上, ∠PF1 F2 = 75 , ∠PF2 F1 = 15 , a b 6 则椭圆离心率e = _____

2

2

3
9, 弦AB过椭圆x + 2 y = 2的左焦点, 且k AB = 1,
2 2

则 F2 AB的面积为 : _______

例6,点 M ( x , y )与 定 点 F (4, 0)的 距 离 和 它 到 定 直 线 l:x=
52 4

的 距 离 的 比 是 常 数 4 ,求 点 M 的 轨 迹 方 程 . 5
|MF| |MP| 4 5 4 = 5,

, 分析: 如图 即 :
( x?4)2 + y2
52 ? x| |4

y

= , +
y2 9

M
O

P
F
x=

x
a2 c

: 化简得

x 25

2

=1

x=?

a2 c

总结:平面内一个动点M ( x , y )到一个定点F ( c , 0) a 的距离和它到一条定直线l : x = 的距离的比是 c c 常数e = (a > c > 0)时, 这个动点的轨迹是椭圆. a 椭二定义.gsp 椭二定义
2

y
M
F1 F2

l

x

如图,在椭圆 上求一点P,使 到直 例7.如图 在椭圆 2+8y2=8上求一点 使P到直 如图 在椭圆x 上求一点 的距离最小,并求出最小值 线l:x-y+4=0的距离最小 并求出最小值 的距离最小 并求出最小值.
y
l

o
l1

x

如图,在椭圆 上求一点P,使 到直 例7.如图 在椭圆 2+8y2=8上求一点 使P到直 如图 在椭圆x 上求一点 的距离最小,并求出最小值 线l:x-y+4=0的距离最小 并求出最小值 的距离最小 并求出最小值.
方法一 : 设与椭圆相切的直线l1 : x - y + m = 0 ?x - y + m = 0 2 2 由? 2 得 : 9 x + 16mx + 8m - 8 = 0 2 ?x + 8y = 8 因直线l1与椭圆相切, 则 = 0, 得 : m = ±3 所以, 直线l1 : x - y + 3 = 0 2 平行线l与l1的距离d = 即为所求. 2

如图,在椭圆 上求一点P,使 到直 例7.如图 在椭圆 2+8y2=8上求一点 使P到直 如图 在椭圆x 上求一点 的距离最小,并求出最小值 线l:x-y+4=0的距离最小 并求出最小值 的距离最小 并求出最小值.
方法二 : 设椭圆上任意点P (2 2 cos θ ,sin θ ) 点P到直线l的距离d = 可见, d min = 1 | 2 2 cos θ - sin θ + 4 | 2

2 7 7 2 = , d max = = 2 2 2 2

练习, 关于x的方程 2 - 2 x 2 ? kx + 2k = 0有两个不等 实根, 则k的取值范围是 : ________

x 2 8, 椭圆 +y =1上的点到直线x ? y ? 4 = 0的最大 4 距离为 : _______

2

x 2 0 例8, 经过椭圆 + y = 1的左焦点F1作倾斜角为60 的 2 直线l , 直线l与椭圆交于A, B两点, 求弦长 | AB | .

2

分析 : 直线l : y = 3( x - 1) ? y = 3( x - 1) ? 2 2 由? x 得 : 7 x - 12 x + 4 = 0 2 ? + y =1 ? 2 弦长 | AB |= 1 + k
2

8 2 ( x1 + x2 ) - 4 x1 ? x2 = 7
2

例9,已 知 椭 圆 x + 2 y = 2;
2 2

(1)求 斜 率 为2的 平 行 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 . (2)过 C (2,1)引 椭 圆 的 割 线, 求 截 得 弦 中 点 轨 迹 方 程 . (3)求 过 点 P ( 1 , 1 )且 被 P 平 分 的 弦 所 在 直 线 方 程 . 2 2
分析:(1), 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB 点为M( x, y). 中 ? x12 + 2 y12 = 2 ? 由? 2 得:( x1 - x2 )( x1 + x2 ) = -2( y1 - y2 )( y1 + y2 ) 2 ? x2 + 2 y2 = 2 ?
1 2 则: kAB = x1 ? x2 = - 1 ? y1 + y2 = - 1 ? 2x = - 2xy =2 2 2 2y 1 2

y ?y

x +x

则中点M的轨迹方程x+4y = 0 (? 1 < y < 1 ) 3 3

x 6, 过椭圆 + y 2 = 1的左焦点F1的直线交椭圆于A, B 2 两点, 且线段AB中点M 在直线x + y = 0上, 则直线AB 的方程为 : ________

2

k AB = 2

x y 练习.过椭圆 内一点M(2,1)引一条 练习 过椭圆 引一条 + = 1 内一点 16 4

2

2

使弦被M点平分 求这条弦所在的直线方程. 弦,使弦被 点平分 求这条弦所在的直线方程 使弦被 点平分,求这条弦所在的直线方程

x+2y-4=0

y

M(2,1) o

x

例10,椭 圆

x2 4

+

y2 3

= 1上 是 否 存 在 关 于 l : y = 4 x + m

对 称 的 不 同 两 点 ? 若 存 在 ,求 出 这 样 的 m的 取 值 范 围.
方法一: 设存在满足题意两点A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则点A, B必然在直线l' : y = ? 1 x + n上. 4 ? + =1 ? 由: ? 得: 13x2 ? 8nx + 16n2 ? 48 = 0, ?y = ? x+n ?
x2 4 y2 3 1 4

因为? > 0, 得: ? 将
x1 + x2 2

13 2

< n<

13 2

,

而A, B 中点也必 在直线l上, 的 =
4 13

n ,

y1 + y2 2

42 = 13 n 代入y = 4x + m

13 13 4 得m = ? 13 n, 所以: ? 213 < m < 213

例10,椭 圆

x2 4

+

y2 3

= 1上 是 否 存 在 关 于 l : y = 4 x + m

对 称 的 不 同 两 点 ? 若 存 在 ,求 出 这 样 的 m的 取 值 范 围.
法 方 二: 设 在 足 意 点 ( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ). 存 满 题 两 A AB 点 ( 设 中 M x0 , y0 ),则 M 直 l上 点 在 线 . ? + ? 由? 2 x2 ?4 + ?
x12 4 y ?y y12 3 y22 3

=1

,作 得 差 =1
3( x + x )

( x1 ? x2 )( x1 + x2 ) 4

=-

( y1 ? y2 )( y1 + y2 ) 3

.

1 2 : 1 2 : 即 x1 ? x2 = ? 4( y1 + y2 ) = ? 1 ,则 y0 = 3x0 , 4

于 : 由 y0 = 4x0 + m得 x0 = ?m , y0 = ?3m 入 代
2 x0 4

+

y02 3

13 13 : < 1得 ? 213 < m < 213 .

练习, 对称问题 : x y (1)已知椭圆C : + = 1上存在着关于 9 4 直线l : y = 2 x + m对称两点, 求m的取值范围.
2 2

练 习, 椭 圆 的 对 称 轴 是 坐 标 轴 , 若 椭 圆 与 直 线 l : x + y ? 1 = 0交 于 两 点 A,B, AB |= 2 2 , AB中 | 点M 与椭圆中心连线斜率为
2 2

, 求椭圆方程.

析 分 : 设 圆 nx2 + my2 = 1(m>0,n>0) 椭 : 点 设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ), AB 点 x0 , y0 ). 中 M( ?nx2 + my2 = 1 :( 由? 得 n + m)x2 ? 2mx + m ? 1 = 0, ? x + y ?1 = 0 : 则 x0 =
x1 + x2 2 m n k = n+m , y0 = n+m ,则 OM = 2 2 n = x0 = m . 0 y

因| AB |= ( x1 + x2 )2 ? 4x1 x2 = 2 2
n : 则 n2 + 3nm + m2 ? n ? m = 0,且m =

n+m?nm ( m+n)2 2 2

=2 2
2 3

,得 n = 1 .m = : 3

练 习,已 知 椭 圆

x2 a2

+

y2 b
2

= 1( a > b > 0)上 点 B (0, b ),
y02 b2

过 B作 椭 圆 割 线 交 于 点 P , 求 | BP | 的 最 大 值 .
析 分 : 设 P( x0 , y0 ), 则 a2 + 点
2 a2 b2 x02

= 1, x = ?
2 0

a2 b2

(b2 ? y02 )

以 所 , | BP | = (1? ) y02 ? 2by0 + b2 + a2 =?
c2 b2

( y0 ?
b3 b2 ?a2 b3 b2 ?a2

2 b3 b2 ?a2

) +

a4 a2 ?b2

为 因 ?b ≤ y ≤ b (1)当 < ?b ,即 < a < 2b,| BP |max = 2b 时 b ≥ ?b ,即 ≥ 2b,| BP |max = 时 a
a2 c

(2)当

练习,点A为椭圆的长轴上一个端点, 且椭圆上存在 点P使得OP ⊥ PA, 则离心率的取值范围是______
2 2

< e <1

练习,椭圆

x2 a2

+

y2 b2

= 1(a > b > 0) A为左顶点, B为短轴

的顶点, F 为右焦点, 且AB ⊥ BF , 则这个椭圆的离心 率为 __________

5 ?1 2

练习, 椭圆上一点到两焦点的距离分别为d1和d 2 , 焦距2c , 若d1 , 2c , d 2成等差数列, 则离心率为 _____
1 2

练习,过椭圆左焦点F的直线交椭圆于两点A, B .若 | AF |:| BF |= 2 : 3, AB的倾斜角是450 , 则离心率e=____
2 5

16, 椭圆

x2 12

+

y2 3

= 1和直线l : x ? y + 9 = 0, 在l 上取一点

M , 经过点M 且以椭圆焦点F1 , F2为焦点另作椭圆,问: M 在 何 处时 , 所作 的 椭 圆 的长 轴 最 短 , 求 椭 圆的 方 程 .
x2 y2 4 12, 点P在椭圆C : 2 + 2 = 1上, PF1 ⊥ F1 F2 , PF1 = , a b 3 14 PF2 = (1), 求椭圆C的方程. 3 2 2 (2)若直线l 过圆x + y + 4 x ? 2 y = 0的圆心M , 交椭圆 C 于A, B两点, 且AB关于点M 对称, 求直线l的方程.

10, 直线l : y = mx + 1与椭圆C : ax 2 + y 2 = 2交于A, B 两点,以OA, OB为邻边作平行四边形OAPB , (1), 当a = 2时, 求点P的轨迹方程. (2), 若a , m满足a + 2m 2 = 1, 求 OAPB的面积 函数S (a )的值域.

22(2)F1是椭圆

x2 9

+

y2 5

= 1的左焦点, P是椭圆上动点,

A(1,1)为定点, 则 | PA | + | PF1 | 最小值是 __;

11, 过点M (0,1)的直线l 交椭圆4 x + y = 4于A, B两点, uuu 1 uuu uuu r r r 1 1 动点P 满足OP = (OA + OB ), N ( , ) 2 2 2 (1), 动点P的轨迹方程.
2 2

(2), NP 的最小值与最大值.

24,(1)在椭圆x 2 + 3 y 2 = 3上一点P到直线l : x ? y + 6 = 0 的最小距离是 ____; 若椭圆与坐标轴的正半轴交点是A, B , M 是第一象限 椭圆上的一点, 则四边形AOBM的面积最大值是 _____;

x y 26,已知点P ( x , y )是椭圆E : + = 1上一点, 25 16 2 2 (1)求x + y 的最值. (2),四边形ABCD内接于椭圆E , A(5, 0), C (0, 4), 求四边形ABCD面积的最大值.

2

2

x2 y2 28, 过点P ( ? 3, 0)作直线l与椭圆 + = 1交于 4 3 A, B两点, 求 AOB的最大面积及此时的直线方程.

x2 y2 29,已知过椭圆 2 + 2 = 1左焦点F1的直线交椭圆 a b 3 20 , PQ = , 且OP ⊥ OQ , 于P , Q两点, e = 2 9 求椭圆方程

x y 练习 .M是椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0)上一点, 1 a b F1 , F2 分别为左, 右焦点, I是?MF1 F2的内心, 直 MI 线MI交x轴于N , 则 = ( B ) IN
(A) c/a (B) a/c (C) b/c (D) c/b y
M I F1 N F2

2

2

椭圆内切.gsp 椭圆内切

x

17,已知圆B : ( x ? c) 2 + y 2 = 4a 2 (a > c > 0的常数)且A(?c, 0), 点M 在圆B上运动, 线段AM 的垂直 平分线交MB于点P.
c (1)求点P的轨迹方程; (2)若满足题设的点P, 使得∠APB取得最大的角 π 时, 求 a 的值; 2

18, 椭圆

x2 a2

+

y2 b2

= 1(a > b > 0), 点A、B分别是椭圆的右顶点和上方的顶点,

F 是椭圆的右焦点, 过F 作FM // AB交椭圆于M 和N , 且 | AB |= 2 | FM | . (1)求离心率;(2)若 | MN |= 2 + 3, 求此椭圆方程.

x 19、设椭圆 a2 +
2

y2 b2

= 1(a > b > 0), 顶点A1 (? a, 0), A2 ( a, 0), B1 (0, ?b), B2 (0, b).P为椭圆上一点,

连线B1 P交x轴点为Q, B2 P与交x轴点为R, 试问 | OA2 |2 与 | OQ || OR | 是否相等, 证明你的结论.



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