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高二数学选修2-2~2.3数学归纳法1


苏教高中数学选修2-2

2.3 数学归纳法 (1)
2013年8月6日星期二

①观察:6=3+3,8=5+3,10=3+7,12=5+7,14=3+ 11, 哥德巴赫 不完全归 · 16=5+11,·78=67+11,·我们能得出什么结论? · · · 猜想

问题情境1:

纳法 任何一个大于等于6的偶数,都可以表示成两个奇质数之和. 完全 ②一个袋子里共有18个球,要判断这一袋球是红球,还是白球, 归纳 请问怎么办? 法 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,通常叫做 归纳法.

(1)完全归纳法:为了研究一组(或一个)对象所具有的属性,
考查它的所有元素并归纳得出结论。 (结论一定可靠,但需逐一核对,实施较难.)

(2)不完全归纳法:为了研究一组(或一个)对象所具有的属性
,考查它的特有几个或部分元素并归纳得出结论。

(结论不一定可靠,但有利于发现问题,形成猜想.)

1.在等差数列{an}中,已知首项为a1,公差为d,那么 a1=a1+0?d, a2=a1+1?d, a3=a1+2?d, 归纳 a4=a1+3?d, …, an=? an=a1+(n?1)?d,

问题情境2:

2.比较2n与n2+2 (n?N*)的大小 验证可知:n=1、2、3、4都有2n<n2+2 ? 如n=5时2n>n2+2

对任何n?N*, 2n<n2+2 (1)完全归纳法: (结论一定可靠,但需逐一核对,实施较难.) 优点:考查全面,结论正确。 缺点 :工作量大,有些对象无法全面考查。 (2)不完全归法: (结论不一定可靠,但有利于发现问题,形成猜想.) 优点:考查对象少,得出结论快。 缺点 :观察片面化,结论不一定正确。

问题情境3:
1.如何解决不完全归纳法存在的问题呢? (多米诺骨牌课件演示)

2.如何保证多米诺骨牌一一倒下?需要几个步骤才能做到? (1)处理第一个问题; (相当于能推倒第一块骨牌) (2)验证前一问题与后一问题有递推关系. (相当于第K块骨牌能推倒第K+1块骨牌)

多米诺骨牌效应
1、第1张牌能倒下;

2、假设第k张能倒下,则一定能压倒紧挨的
第k+1张牌.

挖掘内涵、形成概念: 1.数学归纳法定义
对于某些与正整数有关的数学命题我们常采用下面的 方法来证明它们的正确性: 先证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立;然后假 设当n=k (k∈N,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题 也成立,这种证明方法叫做数学归纳法.
2.数学归纳法的两个步骤: (Ⅰ)证明当n=n0 (如n0 =1或2等)时,结论正确; (Ⅱ)假设n=k(k∈N*且k≥n0)时结论正确,并应用此假 设证明n=k+1时结论也正确. 注意:运用数学归纳法证题,以上两个步骤缺一不可.

挖掘内涵、形成概念:
1.证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来 证明它们的正确性: (1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(k?N* ,k?n0 )时命题成立,证明当 n=k+1时命题也成立 2.完成这两步,就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立,这种证明方法叫做数学归纳法. 验证n=n0时 命题成立 若当n=k(k?n0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立

命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。

举例用数学归纳法证明:

如果{a n } 是等差数列,已知首项为 a1,公差为 d ,那么 a n ? a1 ? ( n ? 1)d ? 对一切n ? N 都成立. 左边 ? a1 , 右边 ? a1 ? 0 ? d ? a1 , 证明:(1)当n=1时,
等式是成立的.

(2)假设当n=k时等式成立,则有a k ? a1 ? ( k ? 1)d ,
即有 a k ?1 ? a k ? d
  [a1 ? ( k ? 1)d ] ? d ? a1 ? [(k ? 1) ? 1]d ?
从n=k到 n=k+1有什 么变化?

这就是说,当n=k+1时,等式也成立.

凑假设

凑 结 由(1)和(2)可知,等式对任何 n ? N ? 都成立. 论

例题讲解 建模应用 能力建构
2 示例1 用数学归纳法证明 1 ? 3 ? 5? ? ( 2n ? 1) ? n .

证明: (1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立. (2)假设当 n ? k ?k ? N *? 时,等式成立,则有 递推基础 2 1 ? 3 ? 5? ? ( 2k ? 1) ? k . 即有 1 ? 3 ? 5? ? ( 2k ? 1) ? [2( k ? 1) ? 1] 递推依据 2 2 ? k ? [( 2( k ? 1) ? 1] ? k ? 2k ? 1
? ( k ? 1)2

这就是说,当n=k+1时,等式也成立.
由(1)和(2),可知的等式对任何 n ? N 都成立.
?

数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是:

递推基 础 (1)证明当 n 取第一个值 n0 (如 n0 ? 1或2等)时结论正确; ★“找准起点,奠基要稳” (2)假设时 n ? k ( k ? N?且k ? n0 ) 结论正确,证明 n ? k ? 1 时结论也正确. 递推依据 ★“用上假设,递推才真”

回忆小时候学数数的经历:先会数1,2,3;再数到10;再数到20以 内的数再数到30以内的数……,终于有一天我们可以骄傲地说:我 什么数都会数了.为什么呢?因为会数1,2,3……有了数数的基础, 会在前一个数的基础上加班1得到后一个数,进行传递,所以,可 以说什么数都会数了.

示例2.用数学归纳法证明:
2 2 2

n(n ? 1)(2n ? 1) 1 ? 2 ? 3 ? ?? n ? 6
2

证明:(1)当n=1时,左=12=1,右=

∴n=1时,等式成立

1(1 ? 1)( 2 ? 1) ?1 6

(2)假设n=k时,等式成立,即 k ( k ? 1)( 2k ? 1) 12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? k 2 ? 6 则有,当n=k+1时 k ( k ? 1)( 2k ? 1) 2+22+…+k2+(k+1)2= ? ( k ? 1) 2 左侧=1 6 k ( k ? 1)( 2k ? 1) ? 6( k ? 1) 2 ( k ? 1)( k ? 2)( 2k ? 3) ? ? 6 6 =右侧 ∴n=k+1时,原不等式成立.

由1、2知当n?N*时,原不等式都成立.

思 考

下面是某同学用数学归纳法证明命题: 1 1 1 n ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 n ? (n ? 1) n ? 1 的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?
(1).当n=1时,左边=
1 1 ? , 1? 2 2

右边=

1 1 ? 1?1 2

(2).假设n=k(k∈N*)时命题成立 ,
1 1 1 k ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 k ? (k ? 1) k ? 1

则有n=k+1时,1 1 1 1 1 ? ) 左边 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2 2 3 k ?1 k ? 2 1 k ?1 ? 1? ? =右边, k ? 2 ( k ? 1) ? 1 即n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.

示例3.用数学归纳法证明: 1?4+2?7+3?10+…+n(3n+1)=n(n+1)2
1)第一步应做什么?此时n0= 1 ,左= 1?4=4 , 1 1?4+2?7 当n=2时,左= ,右= 2(2+1)2 。 当n=k时,等式左边共有 k 项, 第(k?1)项是 (k?1) ?[3(k?1)+1] 。

1?4+2?7+3?10+…+k(3k+1)=k(k+1) 2)假设n=k时命题成立,即____________________________ 2

练 习

1、用数学归纳法证明等式 1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,

1+2+3 ; 当n=2时,左边所得项是1+2+3+4+5;
当n=1时,左边所得项是

2、用数学归纳法证明
1 ? a n? 2 1 ? a ? a 2 ? ?a n?1 ? 1? a
( n ? N , a ? 1)

在验证n=1成立时,左边所得项为(

C

)

A、1

B、1+a

C、1+a+a2

D、1+a+a2+a3

1 1 1 1 1 n 示例4.求证:+ 2 + 3 +?+ n ? 1 ? ( ) 2 2 2 2 2
1 1 ?1? 证明:①当n=1时,左边= 右边= 1 ? ? ? ? 2 2 ? 2? ∴n=1时等式成立。
1

1 1 1 1 1 k ②假设n=k时,命题成立,即 + + +?+ ? 1 ? ( ) 2 22 23 2 2k
则当n=k+1时,有

1 1 1 1 1 1 k 1 ?1? + 2 + 3 +?+ k ? k ?1 ? 1 ? ( ) ? k ?1 ? 1 ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 ? 2?
即n=k+1时,命题成立。 根据①②问可知,对n∈N*,等式成立。

k ?1

课 堂 小 结

①归纳法:由特殊到一般,是数学发现的重要方法; ② 数学归纳法证题程序化步骤:两个步骤,一个结论; ③ 数学归纳法优点:克服了完全归纳法的繁杂的缺点,又 克服了不完全归纳法结论不可靠的不足,是一种科学方法, 使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷; ④数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要 方法.

数学归纳法的基本思想: 在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用 “有限”的手段来解决“无限”的问题.

练习:用数学归纳法证:

1 1 1 13 ? ? ?? ? n?1 n? 2 2n 24

(n≥2,n∈N )过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时, 不等式左边的变化是( )
1 ( A) ? ; 2(k ? 1) 1 1 (C ) ? ? ; 2k ? 2 k ? 1
1 1 ( B) ? ? ; 2k ? 1 2k ? 2

1 1 1 ( D) ? ? ? . 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1

2.已知n为正偶数,用数学归纳法证明

1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ??? ? 2( ? ??? ) 2 3 4 n ?1 n?2 n?4 2n

时,若已假设 n ? k (k ? 2 为偶数)时命题真, 则还需要用归纳假设再证( ) A. n ? k ? 1 时等式成立 B.n

?k?2

时等式成立

C. ? 2k ? 2 时等式成立 n n D. ? 2(k ? 2) 时等式成立


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