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江西省赣州于都实验中学2013届高三上学期第三次月考数学(理)试题


于都实验中学 2012-2013 学年高三全县联考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题;每小题 5 分,共 50 分. 1.设集合 A={x|y=ln(x-3)},B={y| y= A.Φ B.(3, +∞)
1 ? 4 ? 5x ? x 2 2 C.[ , +∞) 3

},则 A∩B= D.[ ,3)
2 3

2.已知复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i , i 为虚数单位,则 z ? A. ?1 ? 2i B. ?1 ? 2i C. 1 ? 2i D. 1 ? 2i

3.命题“存在 x0∈R,使 x2+ax0-4a<0”为假命题是“-16≤a≤0”的 0 A.充分不必要条件 C.充分必要条件
2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?x +2x-1,x≥0, 4. 已知函数 f(x)=? 2 则对任意 x1,x2∈R,若 0<|x1|<|x2|,下列不等式恒 ?x -2x-1,x<0, 成立的是 A.f(x1)-f(x2)>0 C.f(x1)+f(x2)<0 B.f(x1)-f(x2)<0 D.f(x1)+f(x2)>0

? 2 5.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的图像如右图所示,又 f ( ) ? ? ,那么 f (0) 的值为 2 3 2 1 A. ? B. 3 2 1 2 C. ? D. 2 3
6、设 a =(3, 4), a ⊥ b 且 b 在 x 轴上的投影为 2,则 b = A.(2,
8 ) 3

B.(2, - )

3 2

C.(2, - )

8 3

D.(-2,

3 ) 2

7、 已知函数 f(x)在 R 上满足 f(1+x)=2f(1-x)-x2+3x+1, 则曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切 线方程是 A.3x-y-2=0 B.3x+y-2=0 C.x-y+1=0 D.x-y-2=0

8、已知定义在 R 上的奇函数 f(x)的图象经过点(-4, 0),且在(0, +∞)上单调递减,则不等 式(x 2-x-6)·f(1-x)≥0 的解集为 A.(-3, -2)∪(1, 3)∪(5, +∞) C.[-3, -2]∪[1, 3]∪[5, + ∞) B.[-3, -2)∪(1, 3]∪[5, +∞) D.[-3, -2)∪(1, 3]

9、已知函数 f(x)=|lg(x-1)|-( )x 有两个零点 x1、x2,则有 A.x1x2<x1+x2 B.x1x2<1 C.x1x2=x1+x2 D.x1x2>x1+x2

1 3

10、已知数列{an}满足 a1=1,an=logn(n+1) (n≥2,n∈N*),定义:使乘积 a1·a2·?ak 为 正整数的 k(k∈N*)叫做和谐数,则在区间[1, 2009]内所有的和谐数的和 为 A.1018 B.1019 C.2038 D.2036

二、填空题.本大题共有 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把正确答案填在答题卡的相应 位置. 11、如果 f(tanx)=sin2x-5sinxcosx,那么 f(5)= .

12、已知圆 C : x 2 ? y 2 ? bx ? ay ? 3 ? 0(a, b 为正实数)上任意一点关于直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的
1 3 对称点都在圆 C 上,则 ? 的最小值为 a b
2 5 1 5



A

13、如图,P 为△ABC 内一点,且 AP ? AB ? AC ,则△ABP 的
P B


C

积与△ABC 的面积之比为



14、定义在 R 上的函数 f(x)为奇函数,且 f(x-3)为偶函数,记 f(2009)=a,若 f (7)>1,则 a 的取值范围为 .

15、操作变换 记为 P1(x, y),其规则为:P1(x, y)=(x+y, x-y),且规定:Pn(x, y)=P1(Pn-1(x, y)),n 是大于 1 的整数,如:P1(1, 2)=(3, -1),P2(1, 2)=P1(P1(1, 2))=P1(3, -1)=(2, 4), 则 P2012(1, -1)= .

三、解答题.本大题共 6 个小题,共 75 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或 推理步骤. 16.(12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b ? 3a. (1)当 c=1,且△ABC 的面积为 (2)当 cos C ?
3 时, 求a 的值; 4

3 时, 求 cos( B ? A) 的值. 3

17.(12 分)某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生是否选修哪门课互不影响.已知某 学生选修甲而不选修乙和丙的概率为 0.08,选修甲和乙而不选修丙的概率是 0.12,至少 选修一门的概率是 0.88, 用ξ 表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积. (1)记“函数 f(x)=x2+ξ ·x 为 R 上的偶函数”为事件 A,求事件 A 的概率; (2)求ξ 的分布列和数学期望.

18.(12 分)已知等差数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 . (1)若 a1 =1, d ? 2 ,且
1 1 1 成等比数列,求整数 m 的值; , , a12 a4 2 am 2 1 1 1 都不成等差数 列. , , 2 2 an an ?1 an ? 2 2

(2)求证:对任意正整数 n ,

19、(12 分)如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90° ,AA1=AC=1,BC= 2 ,CD ⊥AB,垂足为 D. (1)求证:BC∥平面 AB1C1; (2)求点 B1 到面 A1CD 的距离.
A1 C A D B B1 C1

20、(13 分)设 F1、F2 分别为椭圆 C: A(1,

x 2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,若椭 圆 C 上的点 a 2 b2

3 )到 F1、F2 两点的距离之和等于 4. 2

(1)写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; (2)过点 P(1,
1 )的直线与椭圆交于两点 D、E,若 DP=PE,求直线 DE 的方程; 4

(3)过点 Q(1, 0)的直线与椭圆交于两点 M、N,若△DMN 面积取得最大,求直线 MN 的方程.

21、(14 分)设函数 f( x)= x ?

ln(1 ? x) . 1? x

(1)令 N(x)=(1+x)2-1+ln(1+x),判断并证明 N(x)在(-1,+ ? )上的单调性,并求 N(0); (2)求 f(x)在定义域上的最小值; (3)是否存在实数 m,n 满足 0≤m<n,使得 f(x)在区间[m,n]上的值域也为[m, n]?

答案
一、选择题:本大题共 10 小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项 符合题目要求,把正确选项的代号涂在答题卡上. 1 B 2 A 3 C 4 B 5 D 6 B 7 D 8 C 9 A 10 D

二、填空题.本大题共有 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把正确答案填在答题卡的相应位置. 11、0 12. 1 ?
3 2

13、1:5

14、a< -1

15、(21006, -21006)

三、解答题.本大题共 6 个小题,共 75 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤. 16.(12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b ? (1)当 c=1,且△ABC 的面积为 (2)当 cos C ?

3a.

3 时, 求a 的值; 4

3 时, 求 cos( B ? A) 的值. 3
1分 2分 5分 6分 8分 9分 11 分 12 分

17.(12 分)某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生是否选修哪门课互不影响.已知某学生选修甲而 不选修乙和丙的概率为 0.08,选修甲和乙而不选修丙的概率是 0.12,至少选修一门的概率是 0.88,用 ξ 表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积. (1)记“函数 f(x)=x2+ξ ·x 为 R 上的偶函数”为事件 A,求事件 A 的概率; (2)求ξ 的分布列和数学期望.

18.(12 分)已知等差数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 . (1)若 a1 =1, d ? 2 ,且

1 1 1 成等比数列,求整数 m 的值; , , a12 a4 2 am 2 1 1 1 都不成 等差数列. , , 2 2 an an ?1 an ? 2 2

(2)求证:对任意正整数 n ,

12 分

19、(12 分)如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90° ,AA1=AC=1,BC= 2 ,CD⊥AB,垂足 为 D. (1)求证:BC∥平面 AB1C1; C1 (2)求点 B1 到面 A1CD 的距离. 解:(1)证明: ∵BC∥B1C1 B1 A1 B1C1 面 AB1C1 ? BC∥AB1C1 ??? (5 分) BC 面 AB1C1 (2)建立如图的空间直角坐标系,则 A1(1, 0, 1),C(0, 0, 0), D(
2 2 , , 0),B1(0, 2 , 1) 3 3 设平面 A1CD 的一个法向量为 n =(x, y, z)

C A D B

∵ n ⊥ CA1 , n ⊥ CD

∴ n · CA1 =0, n · CD =0

?x ? z ? 0 ? ∴ ?2 ? ?3 x ? 3 y ? 0 ?

? ?z ? ? x ∴? ?y ? ? 2 x ?

令 x=1,得 n =(1, - 2 , -1) ????(8 分) ∵点 B1 到面 A1CD 的距离等于 B1C 在 n 上的射影长 ∴d=
? 2 ?1 3 ? ??????(12 分) 2 2

20、(13 分)设 F1、F2 分别为椭圆 C:

x 2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,若椭圆 C 上的点 A(1, a 2 b2

3 ) 2

到 F1、F2 两点的距离之和等于 4. (1)写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; 1 (2)过点 P(1, )的直线与椭圆交于两点 D、E,若 DP=PE,求直线 DE 的方程; 4 (3)过点 Q(1, 0)的直线与椭圆交于两点 M、N,若△DMN 面积取得最大,求直线 MN 的方程. 解:(1)椭圆 C 的焦点在 x 轴上,由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4 得 2a=4,即 a=2 3 1 3 又点 A(1, )在椭圆上,因此 2 ? 42 ? 1 ,得 b2=1,于是 C2=3 2 2 b x2 ? y 2 ? 1 ,焦点 F1(- 3 , 0),F2( 3 , 0) ???(3 分) 所以椭圆 C 的方程为 4 (2)∵P 在椭圆内 ∴直线 DE 与椭圆相交
2 2 ∴设 D(x1, y1),E(x2, y2)代入椭圆 C 的方程得 x1 ? 4y1 ? 4 ? 0, x 2 ? 4y2 ? 4.相减得 , 2 2 1 2(x1-x2)+4×2× (y1-y2)=0 的斜率为 k=-1 4 1 ∴DE 的方程为 y-1=-(x- ) 即 4x+4y=5???(7 分 ) 4 (3)直线 MN 不与 y 轴垂直得 MN 方程为 my=x-1 代入椭圆 C 的方程得(m2+4)y2+2my-3=0

设 M(x1, y1),N(x2, y2) 则 y1+y2= ?

2m 3 ,y1-y2= ? 2 且△>0 成立 2 m ?4 m ?4

又 S△OMN=

4m 2 ? 12(m 2 ? 4) 2 m 2 ? 3 1 1 | y1-y2|= ? ? 2 2 m2 ? 4 m2 ? 4

设 t= m 2 ? 3≥ 3 ? 3

则 S△OMN=

1 - ,( t ? ) ' =1-t 2>0 对 t≥ 3 恒成立 1 t t? t

2

1 ∴t= 3 时, t ? 取得最小,S△OMN 最大,此时 m=0???(13 分) t

∴MN 方程为 x=1 21、(14 分)设函数 f(x)= x ?

ln(1 ? x) . 1? x

(1)令 N(x)=(1+x)2-1+ln(1+x),判断并证明 N(x)在(-1,+ ? )上的单调性,并求 N(0); (2)求 f(x)在定义域 上的最小值; (3)是否存在实数 m,n 满足 0≤m<n,使得 f(x)在区间[m,n]上的值域也为[m,n]? 解:(1)当 x>-1 时, N '( x) =2x+2+

1 >0?????2 分 1? x

所以,N(x)在(-1,+ ? )上是单调递增,N(0)=0?????4 分 (2)f(x)的定义域是(-1,+ ? )

当-1<x<0 时,N(x)<0,所以, f '( x) <0, 当 x>0 时,N(x)>0,所以, f '( x) >0,???????????8 分 所以,在(-1,0)上 f(x)单调递减,在(0,+ ? )上,f(x)单调递增, 所以, f min =f(0)=0???????????????10 分 (3)由(2)知 f(x)在[0,+ ? )上是单调递增函数, 若存在 m,n 满足条件,则必 有 f(m)=m,f(n)=n,???????????12 分 也即方程 f(x)=x 在[0,+ ? )上有两个不等的实根 m,n, 但方程 f(x)=x,即

ln(1 ? x ) =0 只有一个实根 x=0, 1? x

所以,不存在满足条件的实数 m,n.???????????14 分
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