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高二数学空间的平面及空间两条直线的位置关系人教版知识精讲.doc


高二数学空间的平面及空间两条直线的位置关系人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容: 第一讲 空间的平面及空间两条直线的位置关系 二. 重点、难点: 1. 确定平面的三个公理。 2. 点在线上,

A ?? A ? ? ? ? ? A?l ? ?? ?l ?

3. 共面问题 (1)确定平面 ? ,依次证明,点、线在面上 (2)一部分点线在平面 ? 内,一部分点线在平面 ? 上,再证 ? 、 ? 重合,则所有点 线共面。 4. 平行直线 (1)

a // l ? ? ? a // b b // l ?

(2)定义 (3)平行四边形判定 5. 异面直线:反证法

【典型例题】 [例 1] ?ABC 在平面 ? 外,三边所在直线分别交平面 ? 于 D、E、F,求证:D、E、F 三点
共线。

证明: 如图所示,A、B、C 确定平面 ?

AB ? ? ? D ? D ? ?

∴ D?l 同理 E ? l ∴ D、E、F 三点共线 [例 2] 不共面的三个直线 a 、 b 、 c 两两相交,求证:三线交于一点。 证明: b 、 c 相交确定平面 ? ? b ? ? a 、 b 相交确定平面 ? ? b ? ? ∴ ? ?? ?b 设a ?c ? p ∴ p ?? ? ? ∴ p?a ∴ p ?b

D ? AB ? ? ? D?? AB ? ? ? 设? ? ? ? l F ?l

p?c

∴ p ??

p??

∴ 三线交于一点
用心 爱心 专心

[例 3] 如图正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 为 AA 1 、 CC1 中点,求证:D1、E、F、B 四点共面。

证明: 连接 D1E 交 AD 于 M

∵ E 为 A1 A 中点

∴ MA=AD

同理连接 D1F 交 DC 于 N CN=CD ∵ 正方体 ∴ MA=AB=BC=CN ∴ ?MBA ? 45? ?ABC ? 90? ?CBN ? 45? ∴ ?MBN ? 180 ? ∴ M、B、N 三点共线 ? ∴ D1 、 l 确定平面 ? D1 ? l 上 ∴ D1、E、M、B、N、F 六点共面 ? [例 4] 空间不共点的四条直线两两相交,求证:四线共面。 证明: (1)有三线共点,如图

∴ A 与 l 确定平面 ? ∴ AB、AC、AD、 l ? ? (2)无三点共线

A?l 上

∴ A、B、C、D ??

∴ A 与直线 D、E、F 确定平面 ? ∴ AD、AE ? ? ∴ B、C ?? ∴ BC ? ? ∴ 四线共面 ? [例 5] 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 、E、F、G、H、M、N 为各棱中点,求证:EFGHMN

A ? 直线 DEF

为正六边形。

用心

爱心

专心

证明: 显然 EF=FG=GH=HM=MN=NE

E、F 为中点

EF∥BD

BB1 // DD1 ?

BB1 D1 D
∴ EF∥NG

? BD // B1 D? ? ? NG // BD N、G为中点?

确定平面 ? 同理 FG∥EH 确定平面 ? ? ∴ ? 与 ? ? 有三个不在同一条直线上三点 ∴ E、F、G、H、N 五点共面 ? 同理 E、F、G、H、M、N 六点共面 ? ∴ 正六边形 EFGHMN [例 6] a , b 为异面直线,A、B ? a ,C、D ? b 。 求证:(1)AC、BD 成异面直线 (2)AD、BC 为异面直线

? 、 ? ? 重合

证明: (1)假设 AC、BD 非异面直线,则存在平面 ? 过 AC、BD 即:AC、BD ? ? ∴ A、B、C、D ? ? ∴ a 、b ? ? 与已知矛盾 ∴ 假设不成立 ∴ AC、BD 为异面直线 (2)同理可证 [例 7] 确定平面 (1)空间四点可确定几个平面; (2)三条直线两两相交可确定几个平面; (3)空间四条平行直线可确定几个平面; (4)一条直线与线外不共线三点可确定几个平面。 解: (1){0,1,4}
用心 爱心 专心

(2){1,3} (3){1,4,6} (4){1,3,4} [例 8] 如图,空间四边形 ABCD 中,G、E ? BC,HF ? AD,图中 9 条线中有异面直线多少对。

解: 共 16 对 AB 与 CD BC 与 AD BD 与 EF AB 与 GF

AB 与 EF CD 与 EF BD 与 EH CD 与 GH

AB 与 EH CD 与 EH BD 与 GH EH 与 GF

AB 与 GH CD 与 FG BD 与 GH EF 与 GH

【模拟试题】 1. a 、 b 异面, b 、 c 异面,则 a 、 c 的关系为(

A. 平行 B. 相交 C. 异面 2. 三个角为直角的四边形为( ) A. 一定为矩形 B. 一定为空间四边形 C. 以上均有可能 D. 以上均不正确 3. AB、CD 分别是两条异面上线段,M、N 分别是它的中点,则有(

) D. 以上均有可能



1 A. MN ? ( AC ? BD ) 2 1 C. MN ? ( AC ? BD ) 2

1 B. MN ? ( AC ? BD ) 2 1 D. MN 与 ( AC ? BD ) 无法比较 2

4. 分别与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( ) A. 平行或相交 B. 相交或异面 C. 平行或异面 D. 均有可能 5. a 、 b 为异面直线, a ? ? , b ? ? , ? ? ? ? l ,则有( ) A. a 、 b 同时与 l 相交 B. l 至少与 a 、 b 中一条相交 C. l 至多与 a 、 b 中一条相交 D. l 与 a 、 b 中一条平行,一条相交 6. 如图正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中: (1)与对角线 AC1 成异面的直线的棱有多少条? (2)与 AB 成异面直线的棱有多少条? (3)与 BD 成异面直线的棱有多少条? (4)正方体 12 条棱中异面直线共有多少对?

用心

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专心

7. 如图,E、F、G、H、M、N 为四面体 ABCD 各棱中点,求证:EF、GH、MN 三条线既交于 一点且两两平分。

8. 不共面直线 a 、 b 、 c 交于一点 O,M、P ? a , N ? b , Q ? c ,求证:MN、PQ 为异 面直线。

用心

爱心

专心

试题答案
1. D 2. C 3. B 4. B 5. B 6. (1)6 条, BB1 , DD1 , A1 D1 , A1 B1 ,CD,CB (2)4 条, B1C1 , C1C , A1 D1 , D1 D (3)6 条, AA 1 , CC1 , A1 B1 , B1C1 , C1 D1 , D1 A1 (4)24 对,与 AB 异面的共 4 对,12 条棱 7. 证明: ∴ 48 对,每一对数两遍

48 ? 24 2

1 ? AC? ? 2 ? ? EH // ? GF ? EHFG 1 ? // GF ? AC ? 2 ? 同理 ENFM ∴ EF、MN 互相平分 EH // ?

EF , GH 互相平分

EF、GH、MN 三条线交于一点且互相平分 8. 证明: 假设 MN、PQ 为共面直线 ∴ 存在平面 ? 过 MN、PQ ∴ MN、PQ ? ? ∴ 与已知矛盾

a??

0? ?

∴ b?? ∴ 原命题真

c??

即 a 、 b 、 c ? 共面 ?

∴ 假定不成立

用心

爱心

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