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浙江省一级重点中学(六校)2013届高三第一次联考数学(理)试题


2013 年浙江省六校联考 数学(理)试卷
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 设集合 P ? { y | y ? k , k ? R}, Q ? { y | y ? a x ? 1, a ? 0且a ? 1, x ? R} ,若集合 P ? Q 只有 一个子集,则 k 的取值范围是( ▲ ) A. (??,1) B. (??,1] C. (1,??) D. [1,??)

2.设 a , b 为实数,若复数

1 ? 2i ? 1 ? i ,则( ▲ ) a ? bi 1 3 ,b ? 2 2
D. a ? 1, b ? 3

A. a ?

3 1 ,b ? 2 2

B. a ? 3, b ? 1 C. a ?

3. 设 m, n 是空间两条不同直线;? ,? 是空间两个不同平面;则下列选项中不正确的是( ▲ ) ... A.当 n ? ? 时, n ? ? ”是“ ? ∥ ? ”成立的充要条件 “ B.当 m ? ? 时, m ? ? ”是“ ? ? ? ”的充分不必要条件 “ C.当 m ? ? 时, n / / “

? ”是“ m // n ”的必要不充分条件

D.当 m ? ? 时, n ? ? ”是“ m ? n ”的充分不必要条件 “ 4.阅读下面程序框图,则输出结果 s 的值为( ▲ ) A.

1 2
开始

B.

3 C. ? 3 2

D. 3

s= 0,n= 1 n≤2013? 是 n? s = s + sin 3 n = n+1
第 4 题图


输出s 结束 第 5 题图

5.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?
2

) 的部分图象如上图所示,则将 y ? f ( x) 的图象

向右平移

?
6

个单位后,得到的图象解析式为 ( B. y ? sin( 2 x ?
24

▲)

A. y ? sin 2 x

?
6

)

C. y ? sin( 2 x ?

2? ) 3

D. y ? cos 2 x

? 1 ? ? 的展开式中, x 的幂指数是整数的项共有( ▲ ) 6.在 ? x ? ? ? 3 x? ?
A.3 项 B.4 项 C.5 项 D.6 项 ) 7.已知数列 {an } 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5 ? a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 的值为( ▲ A. 7 B. ? 5 C. 5 D. ? 7

?x ? 1 ? 8.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 4 ,且目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 6,最小值为 1, 其中 ? ax ? by ? c ? 0 ?

c b ? 0, 则 的值为 ( ▲ b
A.4B.3C.2D. 1



9.在△ ABC 中, AB ? 3AC) ? CB, 则角 A 的最大值为( ▲ ) ( A.

uur u

uuu r

uur

?
6

B.

?
4

C.

?
3

D.

?
2

10. 一个棱长为 6 的正四面体纸盒内放一个正方体,若正方体可以在纸盒内任意转动,则正方体棱长 的最大值为( ▲ ) A.2 B. 3 C.1 D. 2

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的 数据,则这个几何体的体积为_▲.

3

1 1 ? ? ? 12.若不等式 >0 对于满足条件 a ?b b?c c?a a > b > c 的实数 a 、 b 、 c 恒成立,则实数 ? 的

1

正视图

2

2 侧视图

取值范围是▲. 13. 有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位。现 俯视图 安排甲、乙 2 人就座,规定前排 中间的 3 个座位不能坐,并且甲、乙不能左右相邻,则一共有不同安排方法多少种? ▲(用数字作答).



14.已知直线 y ? k ( x ? m) 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 交于 A, B 两点,且 OA ? OB ,又 OD ? AB 于 D , 若动点 D 的坐标满足方程 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,则 m ? ▲. 15.在 Rt?ABC 中, AC ? 2 , BC ? 2 ,已知点 P 是 ?ABC 内一点,则 PC ? ( PA ? PB) 的最小值 是▲. 16. 函数 f ( x) ? sin 2x ? 2 3 cos2 x ? 3 , 函数 g ( x) ? m cos(2 x ? ) ? 2m ? 3 (m ? 0) , 若存在 x1 , x2 ?[0, ] , 6 4 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 m 的取值范围是_▲ . 17.袋中装有大小、形状完全相同的 m 个红球和 n 个白球,其中 m,n 满足: m ? n ? 1且m ? n ? 15, 已知从袋中任取 2 个球,取出的 2 个球是同色的概率等于取出的 2 个球是异色的概率. m, n ? N*. 现从袋中任取 2 个球,设取到红球的个数为ξ ,则ξ 的期望 E? =▲. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答请写在答卷纸上,应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 18. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对边的边长分别是 a, b, c ,已知 C ? (Ⅰ)若 a ? 2, b ? 3, 求 ?ABC 的外接圆的面积; (Ⅱ)若 c ? 2, sin C ? sin(B ? A) ? 2 sin 2 A ,求 ?ABC 的面积.

?

?

?
3

.

19. (本题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ?

1 , an ?1 ? Sn ? t (n ? N* ,t为常数) . 4 16

(?) 若数列 ?an ? 为等比数列,求 t 的值; (?? )若 t ? ?4, bn ? lg an?1 ,数列 {bn } 前 n 项和为 Tn , 当且仅当n=6 时 Tn 取最小值,求实数 t 的取值
范围.

20. (本题满分 14 分) 如图:在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 90? . (Ⅰ)若异面直线 A1 B 与 B1C1 所成的角为 60? ,求棱柱的高 h ; (Ⅱ)设 D 是 BB1 的中点, DC1 与平面 A1 BC1 所成的角为 ? , 当棱柱的高 h 变化时,求 sin ? 的最大值.

21.(本题满分 15 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ;直线 l 过点 A(4, 0) , B(0, 2) ,且与椭圆 C 相切 2 2 a b

于点 P . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在过点 A(4, 0) 的直线 m 与椭圆 C 相交于不同的两点 M 、 N ,使得

36 AP ? 35 AM ? AN ? 若存在,试求出直线 m 的方程;若不存在,请说明理由.
2

1 2 . x ? bx (b 为常数) 2 (Ⅰ)函数 f (x) 的图象在点( 1, f (1) )处的切线与函数 g (x) 的图象相切,求实数 b 的值; (Ⅱ)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,若函数 h(x) 在定义域上存在单调减区间,求实数 b 的取值范围;
22. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? (Ⅲ)若 b ? 1 ,对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数 x1 , x2 ,都有

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 成立,求 b 的取值范围.

2013 年 浙 江 省 六 校 联 考

数学(理)答案及评分标准
一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分) 题号 选项 共 28 分) 1 B 2 A 3 C 4 D 5 B 6 C 7 D 8 A 9 A 10 D 二、 填空 题 (每小 题 4 分,

11.

(8 ? ? ) 3 ; 12.(-∞,4) ;13.346; 14.4; 6

4 2 15. ?1;16. [ , 2] ;17. ; 3 3

三、解答题(共 72 分) 18. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由余弦定理 : 2 c ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C 得c ? 由 2R ?

7 ,令 ?ABC 的外接圆的半径为 R

7? ????????6 分 3 (Ⅱ)由题意: sin(B ? A) ? sin(B ? A) ? 4 sin A cos A 即 sin B cos A ? 2 sin A cos A ? ? 2 3 1? :当 cos A ? 0 时, A ? , B ? ; b ? ; 2 6 3
所以 ?ABC 的外接圆的面积为 S ? 此时 S ?ABC ?

c 21 ,得 R ? , sin C 3

1 2 3 ????????8 分 bc ? 2 3

2 ? :当 cos A ? 0 时,则 sin B ? 2 sin A 由正弦定理得 b ? 2a ,又 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? a 2 ? b 2 ? ab ? 4 1 2 3 2 3 4 3 解得 a ? ,此时 S ?ABC ? ab sin C ? , ,b ? 2 3 3 3
综上可知: ?ABC 的面积为

2 3 ????????14 分 3

19 . (本题满分 14 分) 解:(?)? an ?1 ? S n ?

t t ....(1); an ? S n ?1 ? ....(2) 16 16

(1) ? (2)得 : an?1 ? 2an (n ? 2) ???2 分
a2 ? S1 ? t 4?t a ? ,? 数列 ?an ? 为等比数列, ? 2 ? 2 ?.. 4 分 16 16 a1

4?t ? 2,? t ? 4 ?.. 6 分 4 4?t 4 ? t n ?1 ? 2 (n ? N * ) ??.8 分 , an?1 ? 2an (n ? 1) ? an ?1 ? (?? ) a2 ? 16 16

? a2 , a3 , a4 ? ? ? an?1 成等比数列, bn =lgan?1 ,?数列{bn }是等差数列 ? 数列 {bn } 前 n 项和为 Tn , 当且仅当n=6 时 Tn 取最小值, ?b6 ? 0且b7 ? 0 ??10分
可得 0 ? a7 ? 1且a8 ? 1,??12 分

解得 t的范围是 : ?

15 7 ? t ? ? ??14 分 4 2

20. (本题满分 14 分) 解法 1: (Ⅰ)由三棱柱 ABC? A1 B1C1 是直三棱柱可知, AA 即为高, 1 如图 1,因为 BC // B1C1 ,所以 ?A1 BC 是异面直线 A1 B 与 B1C1 所成的角或其补角, 连接 A1C ,因为 AB ? AC ,所以 A B ? AC ? 1 ? AA 2 . 1 1 1 在 Rt△ ABC 中,由 AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 90? ,可得 BC ? 2 .
?

3分

又异面直线 A1 B 与 B1C1 所成的角为 60 ,所以 ?A1 BC ? 60 ,即△ A1 BC 为正三角形.
?

于是 A1B ? B1C1 ? 2 . 在 Rt△ A1 AB 中,由 1 ? AA12 ? A1B ? 2 ,得 AA1 ? 1 ,即棱柱的高为 1 . (Ⅱ)设 AA1 ? h (h ? 0) ,如图 1,过点 D 在平面 A1 B1 BA 内作 DF ? A1 B 于 F,则 由 A1C1 ? 平面 BAA1 B1 , DF ? 平面 BAA1 B1 ,得 A1C1 ? DF . 而 A1C1 ? A1 B ? A1 ,所以 DF ? 平面 A1 BC1 . 故 ?DC1 F 就是 DC1 与平面 A1 BC1 所成的角,即 ?DC1 F ? ? .
h h ,得 DF ? , 2 2 h2 ? 1 h 1 2 h ?8 , 在 Rt △ DB1C1 中,由 B1D ? , B1C1 ? 2 ,得 DC1 ? 2 2

6分

9分

在 Rt △ DFB 中,由 BD ?

h
2 DF h ? 2 h ?1 ? . 4 DC1 1 h 2 ? 8 h ? 9h 2 ? 8 2 h 1 令 f ( h) ? , ? 4 2 8 h ? 9h ? 8 2 h ? 2 ?9 h

在 Rt △ DFC1 中, sin ? ?

12 分

(Ⅰ) 因为异 面直线 A1 B 与
B1C1 所 成的角 60? ,所 以
?

????? | B1C1 ? cos 60 ? ????? | B1C1 | ?

,? 4 分 即 1
2 ? a ?1 , 得
2

?

1 2

1 ? h2 ? 2 ,解得 h ?1 .

? ??? 6分

???? ? h h (Ⅱ)由 D 是 BB1 的中点,得 D(1,0, ) ,于是 DC1 ? (?1,1, ) . 2 2 ???? ????? A1 BC1 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,于是由 n ? A1 B , n ? AC1 ,可得 设平面 1 ???? ?n ? A1 B ? 0, ? x ? hz ? 0, ? 即? 可取 n ? (h, 0, 1) ,???? 8 分 ? ????? ?n ? A1C1 ? 0, ? y ? 0, ? ???? ? 于是 sin ? ?| cos ? DC1 , n ?| . h ???? ? | ?h ? | ???? ? | DC1 ? n | h 2 ? ? ? 而 | cos ? DC1 , n ?|? ???? .?? 12 分 4 | DC1 | ? | n | 1 2 h ? 9h 2 ? 8 2 h ?1 ? h ?2 4 h 1 令 f ( h) ? , ? 4 2 8 h ? 9h ? 8 2 h ? 2 ?9 h 8 8 因为 h2 ? 2 ? 9 ? 2 8 ? 9 ,当且仅当 h2 ? 2 ,即 h ? 4 8 时,等号成立. h h

所以 f (h) ?

1 9?2 8

?

1 8 ?1

?

2 2 ?1 , 7

故当 h ? 4 8 时, sin ? 的最大值 21.(本题满分 15 分)

2 2 ?1 . 7

??? 14 分

解: (Ⅰ)由题得过两点 A(4, 0) , B(0, 2) 直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 .???? 1 分 因为

c 1 ? ,所以 a ? 2c , b ? 3c . a 2

设椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ?1, 4c 2 3c

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 2 2 由 ? x2 消去 x 得, 4 y ?12 y ? 12 ? 3c ? 0 . y2 ? 2 ? 2 ? 1, ? 4c 3c
又因为直线 l 与椭圆 C 相切,所以 ? ? 122 ? 4 ? 4(12 ? 3c2 ) ? 0 ,解得 c ? 1 .
2

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

?????????????????? 5 分

(Ⅱ)易知直线 m 的斜率存在,设直线 m 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,???????? 6 分

? y ? k ( x ? 4), ? 由 ? x2 y 2 消去 y ,整理得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ?12 ? 0 .???? 7 分 ? 1, ? ? 3 ? 4
由题意知 ? ? (32k 2 )2 ? 4(3 ? 4k 2 )(64k 2 ?12) ? 0 , 解得 ?

1 1 ?k? . 2 2

???????????????????????? 8 分

32k 2 64k 2 ? 12 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? . , x1 x2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
又直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 与椭圆 C :

?? 9 分

x2 y 2 ? ? 1 相切, 4 3

? x ? 2 y ? 4 ? 0, 3 3 ? 由 ? x2 y 2 解得 x ? 1, y ? ,所以 P (1, ) . ???????????10 分 2 2 ? ? 1, ? 3 ? 4

则 AP ?
2

45 36 45 81 ? ? . . 所以 AM ? AN ? 4 35 4 7
(4 ? x1 ) 2 ? y12 ? (4 ? x2 ) 2 ? y2 2

又 AM ? AN ?

? (4 ? x1 ) 2 ? k 2 (4 ? x1 ) 2 ? (4 ? x2 ) 2 ? k 2 (4 ? x2 ) 2

? (k 2 ?1)(4 ? x1 )(4 ? x2 ) ? (k 2 ?1)( x1x2 ? 4( x1 ? x2 ) ?16)
? (k 2 ? 1)(
? (k 2 ? 1)

64k 2 ? 12 32k 2 ? 4? ? 16) 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

36 . 3 ? 4k 2
2

所以 (k ? 1)

36 81 2 ? ,解得 k ? ? .经检验成立. 2 3 ? 4k 7 4

所以直线 m 的方程为 y ? ? 22. (本小题满分 15 分)

2 ( x ? 4) . ?????????????? 15 分 4

解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? ln x ,所以 f ' ( x) ?

1 ,因此 f ' (1) ? 1 , x

所以函数 f (x) 的图象在点( 1, f (1) )处的切线方程为 y ? x ? 1 ,????2 分

? y ? x ? 1, ? 由? 得 x2 ? 2(b ? 1) x ? 2 ? 0 , 1 y ? x 2 ? bx, ? 2 ?
由 ? ? 4(b ? 1)2 ? 8 ? 0 ,得 b ? ?1? 2 ????????4 分 (Ⅱ)因为 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? 所以 h' ( x) ?
1 x 2 ? bx ? 1 ? x?b ? , x x

1 2 x ? bx( x ? 0) , 2

由题意知 h' ( x) ? 0 在 (0,??) 上有解, 因为 x ? 0 ,设 u( x) ? x 2 ? bx ? 1 ,因为 u (0) ? 1 ? 0 ,
?b ? ? 0, 则只要 ? 2 ,解得 b ? 2 , ?( ? b ) 2 ? 4 ? 0 ?

所以 b 的取值范围是 (2,??) ??????8 分

(Ⅲ)不妨设 x1 ? x2 , 因为函数 f ( x) ? ln x 在区间[1,2]上是增函数,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 函数 g (x) 图象的对称轴为 x ? b ,且 b ? 1 。 (i)当 b ? 2 时,函数 g (x) 在区间[1,2]上是减函数,所以 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , 所以 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 等价于 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) ? g ( x1 ) , 即 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) , 等价于 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? 等价于 h' ( x) ? 等价于 b ? x ?

1 2 x ? bx 在区间[1,2]上是增函数, 2

1 ? x ? b ? 0 在区间[1,2]上恒成立, x 1 在区间[1,2]上恒成立, x

所以 b ? 2 ,又 b ? 2 ,所以 b ? 2 。????????12 分 (ii)当 1 ? b ? 2 时,函数 g (x) 在区间[1, b]上是减函数,在 [b,2] 上为增函数。 ①当 1 ? x2 ? x1 ? b 时,

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |







f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 )









h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ?
等价于 h' ( x) ? 等价于 b ? x ?

1 2 x ? bx 在区间[1,b]上是增函数, 2

1 ? x ? b ? 0 在区间[1,b]上恒成立, x 1 在区间[1,b]上恒成立,所以 b ? 2 ,又 1 ? b ? 2 ,所以 1 ? b ? 2 x

②当 b ? x2 ? x1 ? 2 时,

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 等价于 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) ,
等价于 H ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? 等价于 H '( x) ?

1 2 x ? bx 在区间[b,2]上是增函数, 2

1 ? x ? b ? 0 在区间[b,2]上恒成立, x 1 3 3 等价于 b ? x ? 在区间[b,2]上恒成立,所以 b ? ,故 ? b ? 2 , x 2 2
③当 1 ? x2 ? b ? x1 ? 2 时,由 g ? x ? 图像的对称性知,

只要 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 对于①②同时成立, 对于③,存在 t1 ??1, b? , 使 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f (t1 ) ? f ( x2 ) |? g ? t1 ? ? g ? x2 ? = g ? x1 ? ? g ? x2 ? 恒成立; 或存在 t2 ??b,2? , 使 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f ( x1 ) ? f (t2 ) |? g ? x1 ? ? g ? t 2 ? = g ? x1 ? ? g ? x2 ? 恒成立,

3 ? b ? 2 时,对于③成立 2 3 综上,b 的取值范围是 ? b ? 2 ??????????15 分 2
因此当


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