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数列大题训练三答案

《数列》专题训练三

1.a2 , a5 是方程 x 2 ?12x ? 27 ? 0 的两根, 数列?an ?是公差为正的等差数列,数列?bn ?的前 n 项和为Tn ,

? ? 且Tn

?

1?

1 2

bn

n?N?

.

(Ⅰ)求数列?an ?,?bn ?的通项公式;

(Ⅱ)记 cn = an bn ,求数列?cn ?的前 n 项和 S n .

解:(Ⅰ)由 a2 ? a5 ? 12, a2a5 ? 27 .且 d ? 0 得 a2 ? 3, a5 ? 9

? ? ?d

?

a5

? a2 3

? 2 , a1

? 1?an

? 2n ?1 n ? N ?

在 Tn

?1?

1 2 bn

中,令 n

? 1, 得 b1

?

2.当n 3

?

2时,T n

=1?

1 2 bn ,

Tn?1

?1?

1 2

bn?1

,

? ? ? ? 两式相减得 bn

?

1 2

bn?1

?

1 2

bn

,?

bn bn?1

?1 3

n?2

? bn

?

2 ? 1 ?n?1 ??
3?3?

?

2 3n

n?N?

.

(Ⅱ) cn

? ?2n ?1?? 2
3n

?

4n ? 2 , 3n

? Sn

?

2?? ?

1 3

?

3 32

5 ?
33

?? ?

2n ?1?

3n

? ?

, Sn 3

?

2?? ?

1 32

3 ?
33

?

?

?

2n ? 3n

3

?

2n ? 3n?1

1

?? ?

,

2 ? 3 Sn

?

2???13

?

2?? ?

1 32

1 ?
33

??? 1 3n

?? ?

?

2n ?1? 3n?1 ??

?
=2 ??1 ?
?3 ??

2

?

1 9

??1 ?

?

1 3n?1

1? 1 3

?? ?

?

?

2n ? 3n?1

1?? ?

=

2?? ?

1 3

??

?

1 3

?

1 3n

?

2n ?1?

3n?1

? ?

?

4 3

?

4n ? 4 , 3n?1

? Sn

?

2?

2n ? 3n

2

2.已知数列{an }满足

a1

?

0且

S n?1

?

2Sn

?

1 2

n(n

?1),(n ?

N*)

(1)求 a2 , a3 ,并证明 : an?1 ? 2an ? n, (n ? N*);

(2)设 bn ? an?1 ? an (n ? N*), 求证: bn?1 ? 2bn ? 1 ;

(3)求数列{an }(n ? N*) 的通项公式。(4 分)

解答:(1)由已知 S2 ? 2S1 ? 1,即 a1 ? a2 ? 2a1 ? 1, a2 ? 1

S3 ? 2S2 ? 3 ,即 a1 ? a2 ? a3 ? 2(a1 ? a2 ) ? 3, 有 a3 ? 4



S n?1

?

2Sn

?

1 2

n(n

? 1) ,有 Sn

?

2S n?1

?

1 (n ?1)n(n 2

?

2)

? Sn?1

?

Sn

?

2( S n

?

Sn?1 ) ?

1 2

n(n

?1) ?

1 2

n(n

?1) ,

即 an?1 ? 2an ? n, (n ? 2) 同时, a2 ? 2a1 ? 1 ? 1,

(2)由(1): an?1 ? 2an ? n ,有 an?2 ? 2an?1 ? n ? 1

(3)由(2): bn?1 ? 1 ? 2(bn ? 1)

而 b1 ? 1 ? a2 ? a1 ? 1 ? 2 ,

?{bn ? 1}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,

? bn ? 1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n , bn ? 2n ? 1

即 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,而 an?1 ? 2an ? n ,

有: 2an ? n ? an ? 2n ? 1,

3.已知{

an

}是等差数列,{

bn

}是等比数列,Sn

是{

an

}的前

n

项和,a1

=

b1

=

1,

S2

?

12 b2



(Ⅰ)若 b2 是 a1,a3 的等差中项,求 an 与 bn 的通项公式;

(Ⅱ)若

an∈N*,{ ban

}是公比为

9

的等比数列,求证:

1 S1

?

1 S2

? 1 ??? 1

S3

Sn

?5 3



解: 设等差数列{ an }的公差为 d,等比数列{ bn }公比为 q.

(Ⅰ)∵

S2

?

12 b2

,∴

a1 ? a1 ? d

?

12 b1q

,而

a1 = b1 = 1,则

q(2 + d)= 12.①

又 ∵ b2 是 a1,a3 的等差中项,∴ a1 + a3 = 2b2,得 1 + 1 + 2d = 2q,即 1 + d = q. ②

联立①,②,解得

?d ? 2, ??q ? 3,



?d ? ?5, ??q ? ?4.

所以 an = 1 +(n-1)·2 = 2n-1,bn = 3n-1;或 an = 1 +(n-1)·(-5)= 6-5n,bn =(-4)n-1.

(Ⅱ) ∵ an∈N*, ban ? b1qan ?1 ? q1?(n?1)d?1 ? q(n?1)d ,



ban?1 ban

?

q nd q ( n ?1) d

? qd

? 9 ,即

qd = 32.



由(Ⅰ)知 q ( 2 + d ) = 12,得 q ? 12 .



2?d

∵ a1 = 1,an∈N*,∴ d 为正整数,从而根据①②知 q>1 且 q 也为正整数,

∴ d 可为 1 或 2 或 4,但同时满足①②两个等式的只有 d = 2,q = 3,



an

=

2n-1,

Sn

?

n(1 ?

2n 2

?1)

?

n2





1 Sn

?

1 n2

?

1 (n ? 0.5)(n ? 0.5)

? 2( 1 ? 2n ?1

1 2n ?

) 1

(n≥2).



n≥2

时,

1 S1

?

1 S2

???

1 Sn

?

1 12

?

1 22

?

1 32

???

1 n2

<1? 2(1 3

?

1) ? 2(1 55

?

1) ? ?? 2( 1 ?

7

2n ?1

1) 2n ?1

=1? 2[(1 ? 1) ? (1 ? 1) ??? ( 1 ? 1 )] ? 5 ? 1 < 5 .

35 57

2n ?1 2n ?1 3 2n ?1 3

显然,当

n

=

1

时,不等式成立.故

n∈N*,

1 S1

?

1 S2

???

1 Sn

?

5 3



4.已知函数

f

(x)

?

ax ? b cx2 ?1



a

,b



c

为常数,

a

?

0 ).

(Ⅰ)若 c ? 0 时,数列{an}满足条件:点 (n,

an ) 在函数

f (x) ?

ax ? b cx2 ?1

的图象上,求

{an

}

的前

n

项和

S

n



(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 a3

?

7 , S4

?

24 ,

p,

q ? N? (

p

?

q ),证明: S p?q

?

1 2

(S2

p

? S2q )



解:(Ⅰ)依条件有 f (x) ? ax ? b .

因为点 (n, an ) 在函数 f (x) ? ax ? b 的图象上,所以 an ? f (n) ? an ? b .

因为 an?1 ? an ? a(n ?1) ? b ? (an ? b) ? a ,

所以{an}是首项是 a1 ? a ? b ,公差为 d ? a 的等差数列. …………………… 1 分

所以 Sn

?

n(a ? b) ?

n(n ?1) 2

?a

?

nb ?

n(n ?1) 2

?a.

即数列{an}的前 n

项和

Sn

?

nb ?

n(n ?1) 2

?a.

……………………………… 2 分

? (a ? b) ? 2a ? 7,

(Ⅱ)证明:依条件有

? ???4(a

?

b)

?

4

? 2

3

?

a

?

24.



? 3a ? b ? ??10a ? 4b

7, ?

解得
24.

?a

? ?

b

? ?

2, 1.

所以 an ? 2n ?1.

所以 Sn

?

n(a1 ? an ) 2

?

n2

?

2n.

因为 2S p?q ? (S2 p ? S2q ) = 2[( p ? q)2 ? 2( p ? q)] ? (4 p2 ? 4 p) ? (4q2 ? 4q) ? ?2( p ? q)2 ,



p

?

q ,所以

2S p?q

?

(S2 p

?

S2q )

?

0

.即

S p?q

?

1 2

(S2 p

?

S2q )

.

21.已知数列?an? ( n ? N *)的各项满足: a1 ? 1 ? 3k , an ? 4n?1 ? 3an?1 ( n ? 2 , k ? R ).

(1)

判断数列{an

?

4n 7

}

是否成等比数列;(2)求数列

?an

?

的通项公式;

(3) 若数列?an? 为递增数列,求 a0 的取值范围.

解:(1) an?1

?

4 n ?1 7

? 4n

? 3an

?

4 n ?1 7

? ?3an

? 3 ? 4n 7

? ?3(an

?

4n ), 7

a1

?

4 7

?1?

3k

?

4 7

?

3 7

?

3k

.当 k

?

1 7

时, a1

?

4 7

?

0 ,则数列{an

?

4n 7

} 不是等比数列;

当k

?

1 7

时, a1

?

4 7

?

0 ,则数列{an

?

4n 7

} 是公比为 ? 3 的等比数列.

(2)由(1)可知当 k

?

1 7

时,

a

n

? 4n 7

?

(

3 7

?

3k )

?

(?3) n?1



an

? ( 3 ? 3k) ? (?3)n?1 ? 4n

7

7



当k

?

1 7

时, an

?

4n 7

,也符合上式,

所以,数列?an? 的通项公式为 an

?

(3 7

? 3k) ? (?3)n?1

?

4n 7



(3)

an?1

? an

?

4n?1 7

?

? ??

3 7

?

3k

? ??

?

?3?n

?

4n 7

?

? ??

3 7

?

3k

? ??

?

? ?3 n?1

?

3? 4n 7

12?? ? ?3 n?1
? 7

?12?? ? ?3 n?1

k





?an

?

为递增数列,∴

3

? 4n 7

? 12?? ? ?3 n?1 ?12?? ? ?3 n?1 k ? 0 恒成立.
7

①当 n

为奇数时,有

3? 4n 7

12 ? 3n?1 ?
7

?12 ? 3n?1k

?

0 ,即 k

?

1 7

? ?1 ??

?

? ??

4 3

n?1
?

?

??

? ??

恒成立,

由1?

? ??

4 3

?n?1 ??

?1?

? ??

4 3

?1?1 ??

?

0



k

?

0



②当 n

为偶数时,有

3? 4n 7

? 12 ? 3n?1 7

?12 ? 3n?1k

?

0 ,即 k

?

1 7

? ?1 ? ??

? ??

4 3

?n?1 ? ?? ? ??

恒成立,

由1?

? ??

4 3

?n?1 ??

?

1?

? ??

4 3

?2?1 ??

?

7 3

,得

k

?

1 3





k

的取值范围是

? ??

0,1 3

? ??



? ? 5.设数列 an 是首项为 a?(a? ? ?) ,公差为 2 的等差数列,其前 n 项和为 Sn ,且 S1 , S2 , S3 成等差
数列.

? ? (Ⅰ)求数列

an

的通项公式;(Ⅱ)记 bn

?

an 2n

的前 n

项和为 Tn

,求 Tn

.

解:(Ⅰ)∵ S1 ? a1 , S2 ? a1 ? a2 ? 2a1 ? 2 , S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 6 ,

由 S1 , S2 , S3 成等差数列得, 2 S2 ? S1 ? S3 ,即 2 2a1 ? 2 ? a1 ? 3a1 ? 6 ,

解得 a1 ? 1,故 an ? 2n ?1;

(Ⅱ) bn

?

an 2n

?

2n ? 2n

1

?

(2n

?1)(

1 2

)n





1: Tn

? 1? (1)1 2

? 3?(1)2 2

? 5?(1)3 2

?

? (2n ?1) ? (1)n , 2



①?

1 2

得,

1 2 Tn

? 1? (1)2 2

? 3? (1)3 2

?

5? ( 1 )4 2

?

? (2n ? 3) ? (1)n ? (2n ?1) ? (1)n?1 ,

2

2





? ②得,

1 2 Tn

?

1 2

?

2 ? ( 1 )2 2

?

2? (1)3 2

?

? 2? (1)n ? (2n ?1) ? (1)n?1

2

2

?

2?

1 2

(1

?

1 2n

1? 1

)

?

1 2

?

(2n

? 1) ?

( 1 )n?1 2

?

3 2

?

1 2n?1

?

2n ?1 2n?1



2

∴ Tn

?

3?

4 2n

?

2n ?1 2n

?

3?

2n ? 3 2n





2: bn

?

an 2n

?

2n ?1 ? 2n

n

?

1 2n?1

?

1 2n



? ? 设 Fn

?

n k ?1

k 2k ?1

,记

f

(x)

?

n
(kxk?1) ,
k ?1

?? ? ? n
则 f (x) ?
k ?1

xk

?

?

? ??

n k ?1

xk

?? ??

?

? ? ?

x ? xn?1 1? x

?? ? ?

?

1?

(n ?1? nx)xn (1? x)n





Fn

?

4 ? (n ?

2)

? ??

1 2

?n?1 ?



?

-

故 Tn

?

Fn

?

1 2

(1

?

1 2n

)

1? 1

?

4

?

(n

?

2)

?

1 2n?1

?1?

1 2n

? 3?

2n ? 3 . 2n

2

6.已知数列 {an},{bn} 满足 a1 ? 2 , 2an ? 1? anan?1, bn ? an ?1 ,设数列 {bn} 的前 n 项和为 Sn ,令

Tn ? S2 n ? Sn (1)求数列{bn}的通项公式;(2)求证:Tn?1 ? Tn (n ? N ? )

(1)解:由 bn ? an ? 1得 an ? bn ? 1代入 2an ? 1 ? an an?1 得 2(bn ? 1) ? 1 ? (bn ? 1)(bn?1 ? 1) ,整理得

bnbn?1 ? bn ? 0

从而有 1 ? 1 bn?1 bn

?

1,所以 b1

?

a1

?1

?

2

?1

?

1 ,所以,{ 1 bn

} 是首项为

1,公差为

1

的等差数列, 1 bn

? n, 即 bn

?

1 ????????????????????????????????????? n

(2) Sn

?1?

1 2

?

1 3

?

1 4

???

1 n

7.已知数列 ?an ?中, a1 ? 2 , a2 ? 3 ,其前 n 项和 Sn 满足 Sn?1 ? Sn?1 ? 2Sn ?1( n ? 2 , n ? N*

(1)求数列 ?an ?的通项公式;

(2)设 bn ? 4n ? ( ?1) ? n?1 ?2 (an ? 为非零整数,n ? N* ),试确定 ? 的值,使得对任意 n ? N* ,都

有 bn?1 ? bn 成立.

解: (1)由已知, ?Sn?1 ? Sn ? ? ?Sn ? Sn?1 ? ?1( n ? 2 , n ? N* ), ………………2 分

∴数列 ?an ?是以 a1 ? 2 为首项,公差为 1 的等差数列.

∴ an ? n ?1

……………4 分

(2)∵ an ? n ?1,∴ bn ? 4n ? (?1)n?1? ? 2n?1 ,要使 bn?1 ? bn 恒成立,

? ? ? ? ∴ bn?1 ? bn ? 4n?1 ? 4n ? ?1 n ? ? 2n?2 ? ?1 n?1 ? ? 2n?1 ? 0 恒成立,

∴ 3? 4n ? 3? ?? ? ?1 n?1 2n?1 ? 0 恒成立,

? ? ∴ ?1 n?1 ? ? 2n?1 恒成立.

……………………6 分

(ⅰ)当 n 为奇数时,即 ? ? 2n?1 恒成立,

当且仅当 n ? 1时, 2n?1 有最小值为 1,

∴? ?1

……………8 分

(ⅱ)当 n 为偶数时,即 ? ? ?2n?1恒成立,当且仅当 n ? 2 时, ?2n?1 有最大值 ?2 ,

∴ ? ? ?2

…………10 分

即 ?2 ? ? ? 1,又 ? 为非零整数,则 ? ? ?1 .

综上所述,存在 ? ? ?1 ,使得对任意 n ? N* ,都有 bn?1 ? bn .…

6、(理科)已知点 Pn (an ,

bn ) ( n ? N? )满足 an?1

?

anbn?1 , bn?1

? bn 1? 4an2

,且点 P1 的坐标为 (1,

? 1).

(Ⅰ)求经过点 P1 , P2 的直线 l 的方程;

(Ⅱ)

已知点 Pn (an ,

bn

)



n

?

N?

)在

P1



P2

两点确定的直线

l

上,求证:数列

{

1 an

}



等差数列.

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求对于所有 n ? N? ,能使不等式 (1? a1)(1? a2 )

(1? an ) ≥ k

1 b2b3 ??? bn?1

成立的最大实数 k 的值.

解:(Ⅰ)因为 b2

?

b1 1? 4a12

?

1 3

,所以

a2

?

a1b2

?

1 3

.

所以

P2

(

1 3

,

1) . 3

所以过点 P1 , P2 的直线 l 的方程为 2x ? y ? 1.

(Ⅱ)因为 Pn (an , bn ) 在直线 l 上,所以 2an ? bn ? 1. 所以 bn?1 ? 1? 2an?1 .

由 an?1 ? anbn?1 ,得 an?1 ? an (1? 2an?1) . 即 an?1 ? an ? 2anan?1 .

所以 1 ? 1 ? 2 . 所以{ 1 } 是公差为 2 的等差数列.

an?1 an

an

(Ⅲ)由(Ⅱ)得

1 an

?

1 a1

? 2(n ?1) .所以 1 an

? 1? 2(n ?1) ? 2n ?1.所以 an

?

1
.
2n ?1

所以 bn

? 1? 2an

? 2n ? 3 . 2n ?1

依题意 k ≤ (1? a1)(1? a2)

(1? an ) b2b3 ???bn?1 恒成立.

设 F(n) ? (1? a1)(1? a2) (1? an ) b2b3 ???bn?1 ,所以只需求满足 k ≤ F(n) 的 F(n) 的最小值.

因为 F (n ?1) ? (1? a1)(1? a2 ) (1? an )(1? an?1) b2b3 ??? bn?2

F (n)

(1? a1)(1? a2 ) (1? an ) b2b3 ??? bn?1

= (1? an?1) bn?2 ?

2n ? 2
=
2n ?1 2n ? 3

4n2 4n2

? 8n ? 4 ? 8n ? 3

?1,

所以 F(n) ( x ? N? )为增函数.

所以 F(n)min ? F(1) ?

2

?2

3
.

33

所以 k ≤

23 3

.

所以 kmax

?

23 3

.

……………………………………… 14 分

8.(理.科.做.)已知点 P1 (a1, b1 ) ,P2 (a2 , b2 ) ,…,Pn (an , bn )( n 为正整数)都在函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1)

的图像上,其中{an} 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列。

(1)求数列{an} 的通项公式,并证明数列{bn }是等比数列;

(2)设数列{bn }的前 n

项的和

S

n

,求

lim
n??

Sn S n?1



(3)设 Qn

(an

,0)

,当

a

?

2 3

时,问

?OPn Qn

的面积是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,

请说明理由;

解:(1) an ? 2n ?1 ,( n ? N ? ) ,
…………………………………………………. 2 分

? ? bn ? a an

? a 2n?1 ,? bn?1 bn

? a(2 定值),?数列 bn

是等比数列。

(2)因为 ?bn ?是等比数列,且公比 a2

? 1 ,? Sn

?

a(1 ? a 2n ) 1? a2

, Sn S n?1

? 1? a2n 1? a2n?2



当 0 ? a ? 1时, lim Sn ? 1 ; S n??
n ?1

当 a ? 1 时, lim Sn S n??
n?1

1? a2n

?

lim
n??

1

?

a 2n?2

1 ?1

? lim a 2n

n??

1 a 2n

? a2

?

1 a2



因此, lim n??

Sn S n?1

?

???1,10 ?? a 2

?a ,a

?1 ?1



(3)

bn

?

(

2 3

)

2 n ?1



S?

?

1 ? (2n ?1) ? ( 2)2n?1 ,

2

3

设 cn

?

1 2

?

(2n

?

1)

?

(

2 3

)

2

n?1

,当

c

n

最大时,则

???ccnn

? ?

cn?1 cn?1



解得

?n ??n

? ?

2.3 1.3



n

?

N

?

,?

n

?

2



所以

n

?

2



cn

取得最大值

4 9

,因此

?OPn Qn

的面积存在最大值

4 9





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