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2016年黄冈市高三四月份适应性考试理科数学试题及答案


2016 年黄冈市高三适应性考试 理科数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? {x | 2 x2 ? 5x ? 3 ≤ 0} , B ? {x ? Z | x ≤ 2} ,则 A I B 中的元素个数为( A.2 B.3 C.4 D.5 )

2.已知 a 为实数,若复数 z ? (a2 ? 1) ? (a ? 1)i 为纯虚数,则 A.1 B.0 ) C. 1 ? i

a ? i 2016 的值为( 1? i D. 1 ? i

)

3.下列命题错误的是(

A.若 p ? q 为假命题,则 p ? q 为假命题 B.若 a, b ? ? 0,1? ,则不等式 a 2 ? b2 ?

1 ? 成立的概率是 4 16

C.命题“ ?x ?R 使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ” D.已知函数 f ( x) 可导,则“ f ?( x0 ) ? 0 ”是“ x0 是函数 f ( x) 极值点”的充要条件 4.从 1~9 共 9 个自然数中任取七个不同的数,则这七个数的平均数是 5 的概率为( 2 A. 3 B. 1 3 1 C. 9 ) 1 D. 8 )

??? ? ???? 5.设 D 是 △ABC 所在平面内一点, AB ? 2DC ,则(

??? ? ???? 3 ??? ? A. BD ? AC ? AB 2 ??? ? 1 ???? ??? ? C. BD ? AC ? AB 2
6.过双曲线

??? ? 3 ???? ??? ? B. BD ? AC ? AB 2 ??? ? ???? 1 ??? ? D. BD ? AC ? AB 2

x2 y 2 ? ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F 作一条直线,当直线倾斜角为 时,直线 2 6 a b
? 时,直线与双曲线右支有两个不同的 3

与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线倾斜角为 交点,则双曲线离心率的取值范围为( )

? 2 3? A. ? ?1, 3 ? ? ? ?

?2 3 ? B. ? ? 3 ,2? ? ? ?

C. (1, 3)

D. (1, 2)

? ?? ?? 7.已知 a ? (cos2 x ? sin 2 x , ? 3) , b ? ?1 , cos ? ? 2 x ? ? ,若 f ( x) ? a ? b ,则 f ( x) ( ?2 ?? ?



A.图象关于 ? ?

? ? ? , 0 ? 中心对称 ? 6 ?
1

B.图象关于直线 x ? ?

? 6

对称

C.在区间 ? ?

? ? ? , 0 上单调递增 ? 6 ? ?

D.周期为 ? 的奇函数

? x ? y ? 1≥ 0 ? 8.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 4 ≤ 0 ,若目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值与最小值的差为 2, ?y≥ m ?

则实数 m 的值为( A.4 B.3

) C.2 D. ?

1 2

开始 输入 N k=1,S=0 k 是偶数? 否 是 k ?1 是偶数? 2 否
T? k ?1 4

9.在程序框图中,输入 N=8,按程序运行后输出 的结果是( ) A.6 B.7 C.10 D.12 10.已知函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有极值,则实数 a 的取值 范围是( )



T?

k 2

1? ? 1? ? A. ? ??, ? B. ? 0, ? 2 ? 2? ? ? 1? ? ? 1? C. ? ?? , ? D. ? 0, ? 2? ? ? 2? 11. 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为 ( )


T ??

k ?3 4

S=S+T k=k+1 k≤N ? 否 输出 S

1

1 1 2
正视图 侧视图 俯视图

2

结束

A.

(10 ? 2 2) ? ?1 2

B.

13? 6

C.

(11 ? 2)? ?1 2

D.

(11 ? 2 2) ? ?1 2

12.若函数 f ? x ? 满足对于任意实数 a , b, c ,都有 f (a), f (b), f (c) 为某三角形的三边长,则称
f ( x) 为“可构造三角形函数” ,已知 f ( x) ?

2x ? t 是“可构造三角形函数” ,则实数 t 的取值 2x ? 1
1? ? D. ? ?2, ? ? 2? ?

范围是( A. [ ?1, 0]

) B. (??,0] C. [?2, ?1]

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知函数 f ( x) ? (9x ? 1) ? 9kx (k ? R) 为偶函数,则实数 k 的值为 14.已知 (1+ax)5 (1 ? 2 x)4 的展开式中 x2 的系数为-16,则实数 a 的值为 15.已知 O 是锐角三角形 ABC 的外接圆圆心, tan A ? . .

? cos C ???? ???? 1 cos B ??? AB ? AC ? 2mAO , , 2 sin C sin B

2

则 m= 16.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线 C 的离心率为 2,直线 l 与双曲线 C 交于 A,B 两 点,线段 AB 中点 M 在第一象限,并且在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上,若点 M 到抛物线焦点 的距离为 p,则直线 l 的斜率为 17. (本小题满分 12 分) 在等差数列 {an } 中, a2 ? 5 , a5 ? 11 ,数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? an . (Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式;
? 1 ? (Ⅱ)求数列 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn bn ?1 ?



三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

18. (本小题 满分 12 分) 如图, 菱形 ABCD 中, ∠ABC = 60° , AC 与 BD 相交于点 O, AE⊥平面 ABCD, CF∥AE, AB = AE = 2. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 ACFE; (Ⅱ)当直线 FO 与平面 BED 所成角的为 45° 时,求异面直线 OF 与 BE 所成的角的余弦值 大小. F

E D O B A 19.(本小题满分 12 分) 2015 年下半年, “豆芽花”发卡突然在全国流行起来,各地随处可见头上遍插“小草” 的人群,其形象如图所示: C

对这种头上长“草”的呆萌造型,大家褒贬不一.为了了解人们是否喜欢这种造型,随 机从人群中选取 50 人进行调查,每位被调查者都需要按照百分制对这种造型进行打分.按 规定,如果被调查者的打分超过 60 分,那么被调查者属于喜欢这种造型的人;否则,属于 不喜欢这种造型的人.将收集的分数分成 [0,20],(20,40],(40,60],(60,80],(80,100] 五 组,并作出如下频率分布直方图:
3

频率 组距 0.025

0.010 0.006 0.003

0

20 40

60

80 100 分数

(Ⅰ)为了了解被调查者喜欢这种造型是否与喜欢动画片有关,根据 50 位被调查者的情 况制作的 2 ? 2 列联表如下表,请在表格空白处填写正确数字,并说明是否有 95℅以上的把 握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型与自身喜欢动画片有关? 喜欢头上长“草”的造型 喜欢动画片 不喜欢动画片 合计 (Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为总体概率.现采用随机抽样方法抽取 3 人,记被抽取 的 3 人中喜欢头上长“草” 的造型的人数为 X.若每次抽取的结果是相互独立的,求 X 的 分布列、期望 E ( X ) 和方差 D ( X ) . 下面的临界值表供参考: P(K2≥k) k 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024
2

不喜欢头上长“草”的造型 6

合计

30

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

(参考公式: K 2 =

n (ad-bc) , 其中 n = a + b + c + d) (a + b) (c + d) (a + c) (b + d)

20.(本小题满分 12 分) x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, a b 直线 x ? y ? 1 ? 0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 M(2,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 S 和 T,若椭圆 C 上存在点 P 满足 uur uuu r uu u r OS ? OT ? tOP (其中 O 为坐标原点) ,求实数 t 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

ax 2 ? x . (1 ? x)2

(Ⅰ)当 a ≤ 2 时,讨论函数 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)若 x ? 0 ,求函数 g (x) ? (1 ? ) x(1 ? x )

1 x

1 x

的最大值.

4

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请 写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是圆 O 的直径, AC 是弦, ?BAC 的平分线 AD 交圆 O 于点 D , DE ? AC , 交 AC 的延长线于点 E , OE 交 AD 于点 F . (Ⅰ)求证: DE 是圆 O 的切线; (Ⅱ)若

AC 2 AF 的值. ? ,求 AB 5 DF

E

C
F A

D

O

B

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
? x ? 3t ? 3, ? 已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数,t ? R ) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴 ? ? y ? ?3t ? 2.

的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? ,? ? [0, 2?) . (Ⅰ)求直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)在曲线 C 上求一点 D ,使得它到直线 l 的距离最短. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 3 | . (Ⅰ)若不等式 f ( x) ? f ( x ? 5)≥ m ? 1 有解,求实数 m 的最小值 M ; (Ⅱ)若 | a |? 1,| b |? 3 ,且 a ? 0 ,证明:
f ? ab ? ?b? ? f ? ?. |a| ?a?

5

2016 年黄冈市高三适应性考试 数学答案(理科)
一、BDDCA 二、13. ? BCCCA CD 14.2 15.

1 2

2 5 5

16.

3 2

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
?a2 ? a1 ? d ? 5 17.解: (1)设等差数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d,则 ? ?a5 ? a1 ? 4d ? 11

??

?a1 ? 3 ?d ? 2

2 ?1 ? an ? 3 ? (n ? 1 ) ? 2 ? n

…………(3 分)

? 数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n ? 1 = (n ? 1)2
当 n=1 时, b1 ? S1 ? 4 , 当 n ≥ 2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ? (n ? 1)2 ? n2 ? 2n ? 1 ,对 b1 =4 不成立,
n ?1 ?4, 所以,数列 {bn } 的通项公式为 bn ? ? ?2n ? 1, n ≥ 2

…………6 分

(2)n=1 时, T1 ? n ≥ 2 时, 所以
Tn ?

1 1 ? , b1b2 20

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? , bn bn ?1 (2n ? 1)(2 n ? 3) 2 ? 2 n ? 1 2 n ?3 ? ? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ?1 6n ? 1 ? ( ? ? ? ?L ? ? )? ? ( ? )? ? ? 20 2 5 7 7 9 2n ? 1 2n ? 3 20 2 5 2n ? 3 20 10n ? 15 20(2n ? 3)

n=1 仍然适合上式, 综上, Tn ?
6n ? 1 20(2n ? 3)

…………10 分 ………… 12 分

18.解(Ⅰ)证明: Q 四边形 ABCD 是菱形, ? BD ? AC . Q AE ? 平面 ABCD, BD ? 平面 ABCD

?BD ? AE .
Q AC I AE ? A ,

∴ BD ? 平面 ACFE.

-------------------5 分

(Ⅱ)解:以 O 为原点,OA,OB 为 x,y 轴正向,z 轴过 O 且平行于 CF,建立空间直角坐

6

uuu r 标系,则 B(0, 3,0) , D(0, ? 3,0) , E (1,0, 2) , F (?1,0, a)(a ? 0) , OF ? ? ?1,0, a ?
设平面 EBD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , uuu r ? ? ? n ? OB ? 0 ? 3y ? 0 r 则有 ? uuu ,即 ? 令 z ? 1 ,则 n ? (?2, 0,1) ? ? ? x ? 2z ? 0 ? n ? OE ? 0

---6 分

-------------------8 分

uuu r uuu r | OF ? n | |2?a| 2 1 由题意得 sin 45 ?| cos ? OF , n ?|? uuu ,解得 a ? 3 或 ? . ? ? r 2 2 3 | OF || n | a ?1 5
o

由 a ? 0 ,得 a ? 3

???? ??? ? OF ? (?1, 0,3), BE ? (1, ? 3, 2), ???? ???? ? ?1 ? 6 5 cos OF , BE ? ? 4 10 8

-------------------10 分

即所求的异面直线所成的角余弦值为 19.解: (Ⅰ)如表:

5 ---------------------12 分 4
不喜欢头上长“草”的造型 9 6 15 合计 39 11 50

喜欢头上长“草”的造型 喜欢动画片 不喜欢动画片 合计 50× (30× 6-9× 5) 39× 11× 35× 15
2

30 5 35

--------------------3 分 K2= =

4050 = 4.046 > 3.841 1001

所以有 95℅以上的把握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型和自身喜欢动画片有关. -----------------6 分 (Ⅱ)由频率分布直方图知抽到喜欢头上长“草”的频率为 群中抽取一名喜欢头上长“草”的概率为 由题意知 X ~ B ? 3,
7 10 7 10

,将频率视为概率,即从人



? 7? ? ,从而 X 的分布列为: ? 10 ?
0

X
P
7 10 21 10

27 1000

1 189 1000

2 441 1000
7 ?

3

343 1000
-------------9 分

E ( X ) ? np ? 3 ?

?

, D( X ) ? np (1 ? p ) ? 3 ?

3

10 10

?

63 100

.-----------12 分

7

20.解: (Ⅰ )由题意,以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为

( x ? c) 2 ? y 2 ? a 2 ,
∴圆心到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ? ∴ b ? c , a ? 2c , 故所求椭圆方程为

c ?1 ? a (*)------------------------------------1 分 2

∵椭圆 C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, 代入(*)式得 b ? c ? 1 , ∴ a ? 2b ? 2 ,

x2 ? y 2 ? 1. ……………………………………………………4 分 2 (Ⅱ)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2) ,设 P ? x0 , y0 ? ,
将直线方程代入椭圆方程得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ,

1 . 2 8k 2 8k 2 ? 2 , x x ? 设 S ( x1, y1 ) , T ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , ----------------------6 分 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 4k ∴ y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 4) ? ? 1 ? 2k 2 uur uuu r uu u r 由 OS ? OT ? tOP ,得 tx0 ? x1 ? x2 , ty0 ? y1 ? y2
∴ ? ? 64k 4 ? 4(1 ? 2k 2 )(8k 2 ? 2) ? 0 ,解得 k 2 ?

uur uuu r uu u r 当 t ? 0 时,直线 l 为 x 轴,则椭圆上任意一点 P 满足 OS ? OT ? tOP ,符合题意; ? 8k 2 tx ? ? ? 0 1 ? 2k 2 当 t ? 0 时, ? ?ty ? ?4k ? 0 1 ? 2k 2 ? 1 8k 2 1 ?4k ∴ x0 ? ? , y0 ? ? .------------------------------------------------------------9 分 2 t 1 ? 2k 2 t 1 ? 2k 32k 4 16k 2 将上式代入椭圆方程得: ? ?1 , 2 2 t 2 ?1 ? 2k 2 ? t 2 ?1 ? 2k 2 ?

整理得: t 2 ?

16 16k 2 = 是 k 2 的递增函数, 2 1 1 ? 2k ?2 k2

1 知, 0 ? t 2 ? 4 ,所以 t ? (?2, 0) U (0, 2) , 2 综上可得 t ? (?2, 2) . ----------------------------------------------------------------12 分 21.解:(Ⅰ) 由题意知:函数 f ( x) 的定义域为 (?1, ??) ,且
由 k2 ?

f ?( x) ?

1 (2ax ? 1)(1 ? x) ? 2(ax 2 ? x) x( x ? 2a ? 3) , ? ? 1? x (1 ? x)3 (1 ? x)3

①当 2a ? 3 ≤ ?1 时,即 a ≤ 1 时 若 x ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 ;若 ?1 ? x ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 此时 f ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增,在区间 (?1,0) 上单调递减. ②当 ?1 ? 2a ? 3 ? 0 ,即 1 ? a ?

3 2



若 ?1 ? x ? 2a ? 3或x ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 ; 若 2a ? 3 ? x ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 , 此时 f ( x) 在区间 (?1, 2a ? 3) , (0, ??) 上单调递增,在区间 (2a ? 3, 0) 上单调递减. 3 ③当 2a-3=0 时 a ? 时, f ?( x) ≥ 0 ,故此时 f ( x) 在区间 (?1, ??) 上单调递增. 2
8

3 ? a≤2时 2 若 ?1 ? x ? 0或x ? 2a ? 3 ,则 f ?( x) ? 0 ,若 0 ? x ? 2a ? 3 ,则 f ?( x) ? 0 , 所以,此时 f ( x) 在区间 (?1,0) , (2a ? 3, ??) 上单调递增,在区间上 (0, 2a ? 3) 单调递减. -----------------------6 分 ?1? 1 1 (Ⅱ) 显然 g ( x) ? g ? ? , 设 ? ( x) ? ln g ? x ? ? ( x ? ) ln(1 ? x) ? x ln x , 则 ? ( x) ? ? ( ) , 因此 ? ( x) x x x ? ? 在 (0, ??) 上的最大值等于其在 (0,1] 上的最大值. --------------------------7 分
④当 2 a ? 3 ? 0 时,即

1 1 1 )ln(1 ? x) ? ( x ? ) ? ? ln x ? 1 , x 1? x x2 1 1 1 设 h( x ) ? (1 ? 2 ) ln(1 ? x) ? ( x ? ) ? ? ln x ? 1 , x x 1? x 2x2 ? x 2(1 ? x) 2 [ln(1 ? x) ? ] (1 ? x) 2 , ? h ( x) ? x3 (1 ? x) 2

? ?( x) ? (1 ?

由(Ⅰ)知,当 a ? 2 时, f ( x) 在区间 (0,1] 单调递减,所以

f ( x) ? ln(1 ? x) ?

2x2 ? x (1 ? x)2

? f (0) ? 0 , h?( x) ? 0,

所以函数 h( x) 在区间 (0,1] 单调递减,于是 h( x) ≥ h(1) ? 0 , 从而函数 ? ( x) 在区间 (0,1] 单调递增,进而 ? ( x) ≤ ? (1) ? 2 ln 2 , 因为 ? ( x) ? ln g ( x) 所以函数 g ( x) 的最大值等于 4 . --------------------------------------------12 分

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请 写清题号. 22.解析: (Ⅰ)连接 OD ,可得 ?ODA ? ?OAD ? ?DAC , ∴ OD // AE ..............3 分 又 AE ? DE ,∴ OD ? DE ,又 OD 为半径,∴ DE 是圆 O 的切线; (Ⅱ)过 D 作 AB ? DH 于点 H ,连接 BC ,则有 ?HOD ? ?CAB ,
OH AC 2 ? cos ?C A B? ? OD AB 5 设 OD ? 5 x ,则 AB ? 10x,OH ?2 x ,∴ AH ? 7 x 由 ?AED ? ?AHD 可得 AE ? AH ? 7 x ,又由 ?AEF ~ ?DOF , cos ?H O D?

..............5 分 ...............7 分 ...............8 分

可得

AF AE 7 ? ? . DF DO 5

...............10 分

23.解析: (Ⅰ)由 ? ? 2sin ? , ? ??0,2?? ,可得 ? 2 ? 2? sin ? , 所以曲线 C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0(或 x2 ? ? y ? 1? ? 1) ,
2

...............1 分 ...............3 分

9

? x ? 3t ? 3, ? 因为直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数, t ? R ) , ? ? y ? ?3t ? 2
消去 t 得直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 5 ? 0 ; (Ⅱ)因为曲线 C x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 是以 G (0,1) 为圆心,1 为半径的圆, 因为点 D 在曲线 C 上,所以可设点 D ? cos ? ,1 ? sin ? ? ?? ? ?0, 2?? ? ,
3 cos ? ? sin ? ? 4 2
?? ? ? 2 ? sin ? ? ? ? , 3? ?

...............5 分

...............7 分

所以点 D 到直线 l 的距离为 d ? 因为 ? ? ?0,2?? ,所以当 ? ?

...............8 分 ...............9 分 ...............10 分

? 时, d min ? 1 , 6

? 3 3? 此时 D 点的坐标为 ? . , ? ? ? ? 2 2?

24.解析: (Ⅰ)因为 f ( x) ? f ( x ? 5) ? x ? 3 - x ? 2 ≤ ( x ? 3) ? ( x ? 2) ? 5 , 当且仅当 x≤ ? 2 时等号成立, 所以 m ? 1 ≤5 ,解得 ?4≤ m≤6 ;
f ? ab ?

...............5 分

(Ⅱ)证明:要证

| ab ? 3 | b ?b? ? f ? ? ,即证 ? ?3 , |a| ?a? |a| a

只需证 | ab ? 3 |?| b ? 3a | , 即证 (ab ? 3)2 ? (b ? 3a)2 , 又 (ab ? 3)2 ? (b ? 3a)2 ? a2b2 ? 9a2 ? b2 ? 9 ? (a2 ? 1)(b2 ? 9) , | a |? 1, | b |? 3 , 所以 (a2 ? 1)(b2 ? 9) ? 0 , 所以 (ab ? 3)2 ? (b ? 3a)2 , 故原不等式成立. ...............10 分

命题人:黄冈中学 张淑春 张卫兵 上海交大 汪辉松 审题人:黄冈中学 周永林 黄州区一中 杨安胜 黄冈教科院 丁明忠

10

1. 【答案】B
1 ? ? 【解析】由于 A ? ? x | ? ≤ x ≤ 3? , A I B ? ?0,1, 2? ,所以 A I B 中有 3 个元素,故选 B. 2 ? ? 2. 【答案】D

?a 2 ? 1 ? 0 【解析】因为复数 z ? (a2 ? 1) ? (a ? 1)i 为纯虚数,所以 ? ,即 a=1,所以 ?a ? 1 ? 0
2(1 ? i) 2(1 ? i) a ? i 2016 1 ? i 2016 1 ? 1 ? ? ? ? 1 ? i ,故选 D. = 1? i 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2 1? i

3. 【答案】D 【解析】已知函数 f ( x) 可导,则“ f ?( x0 ) ? 0 ”是“ x0 是函数 f ( x) 极值点”的必要不充分条件, 故选 D. 4. 【答案】C
7 2 【解析】基本事件总数 C9 ? C9 ? 36

因为这 9 个数的和为 45,而且取出的 7 个数之和为 35,所以平均数为 5 的事件个数相当于 从 1 与 9;2 与 8;3 与 7;4 与 6 这 4 组数中去掉一组数的个数,即共 4 个基本事件个数, 所以取出七个数的平均数是 5 的概率为 5. 【答案】A

4 1 = ,故选 C. 36 9

uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r 1 uu u r uu u r uuu r 3 uu u r 【解析】 BD ? AD ? AB ? AC ? CD ? AB ? AC ? AB ? AB ? AC ? AB ,故选 A. 2 2 6. 【答案】B
c 2 a 2? b 2 ? b ? ?b? ?4 ? ? 1? ? ? ?? , 4?, 所 以 【 解 析 】 由 题 意 知 tan ? ? tan , 所 以 e2 ? 2 ? 2 a a 6 a 3 ?a? ?3 ?
2

?2 3 ? e ?? ? 3 , 2? ? ,故选 B. ? ? 7. 【答案】C
?? ?? ? ? 【解析】 f ( x) ? a ? b ? cos 2 x ? sin 2 x ? 3 cos ? ? 2 x ? ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2sin ? 2 x ? ? , 易 6? ? ?2 ?

知只有 C 选项正确. 8.【答案】C
? x ? y ? 1≥ 0 ? 【解析】作出不等式组 ? x ? y ? 4 ≤ 0 对应的平面区域如图: ?y≥ m ?

11

由 z=2x+y 得 y ? ?2 x ? z , 平移直线 y ? ?2 x ? z ,由图象可知: 当直线 y ? ?2 x ? z 经过点 A 时,直线的截距最大,此时 z 最大,
?x ? y ? 4 ? 0 ?x ? 4 ? m 由? ,解得 ? ,即 A(4 ? m, m) ,此时 z ? 2(4 ? m) ? m ? 8 ? m , ?y ? m ?y ? m

当直线 y ? ?2 x ? z 经过点 B 时,直线的截距最小,此时 z 最小,
?x ? y ? 1 ? 0 ?x ? m ?1 由? ,解得 ? ,即 B(m ? 1, m) ,此时 z ? 2(m ? 1) ? m ? 3m ? 2 , ?y ? m ?y ? m

因为目标函数 z=2x+y 的最大值是最小值的差为 2, 所以 8 ? m ? 3m ? 2 ? 2 ,即 m=2. 故选 C. 9. 【答案】C 【解析】由于程序中根据 k 的取值,产生的 T 值也不同 由题意知,在循环体中,当 k ? 2n(n ? N* ) 时,T=n;当 k ? 4n+1( n ? N) 时,T=-n-1;当
k ? 4n+3(n ? N) 时,T=n+1;

故可将程序中的 k 值从小到大,每四个分为一组,即 (1, 2,3, 4) , (5,6,7,8) 而且每组的 4 个数中,偶数值乘以
1 2

累加至 S ,但两个奇数对应的 T 值相互抵消,即

1 S ? (2 ? 4 ? 6 ? 8) ? 10 ,故选 C. 2 10. 【答案】A
【解析】 f ? ? x ? ? ln x ? 2ax ? 1 , 若函数 f ? x ? ? x(ln x ? ax) 有极值, 则函数 f ? ? x ? ? ln x ? 2ax ? 1 有零点,即方程 ln x ? 2 ax ? 1 有解,从而函数 y ? ln x 与 y ? 2ax ? 1 图象有公共点,下考虑直 线 y ? 2ax ? 1 与曲线 y ? ln x 相切的情况: 设切点 P( x0 , 2ax0 ? 1) ,∴ y ? |x ? x0 ? 得a ?
1 1 ? 1 ? ? 2a ,即 x0 ? ,∴ P ? , 0 ? 代入曲线 y ? ln x 中,解 x0 2a ? 2a ?

1 1 ,结合图象可知,当 a ? 时, f ?( x) ? 0 有唯一零点,且恒有 f ?(0) ≤ 0 ,此时 f ( x) 2 2
12

1 时,函数 y ? ln x 与 y ? 2ax ? 1 图象有交公共点,且在公共点两侧 f ?( x) 异 2 号,此时 f ( x) 有极值点,故选 A
无极值点;当 a ? 11. 【答案】C 【解析】由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱,底面半径为 1,高为 2,左侧与一个底面 半 径为 1 ,高为 1 的半圆 锥组成 的组 合体 . 几何体 的 表 面积 为 :
1 1 1 ( 11+ 2)? 2? ? 1 ? 2+? ? 12 + ? ? 12 + ? ? 1 ? 2+ ? 2 ? 1= +1 ,故选 C 2 2 2 2

12. 【答案】D 【解析】 f ( x) ? 1 ?

t ?1 2x ? 1

①当 t ? 1 ? 0 ,即 t ? ?1 时, f ( x) ? 1 ,此时 f (a), f (b), f (c) 都为 1 ,能构成一个正三角形的 三边长,满足题意. ②当 t ? 1 ? 0 ,即 t ? ?1 时, f ( x) 在 R 上单调递增, ∴ ?t ? f ( x) ? 1 ,由, f ( x) 为“可构造

1 三角形函数”得 ?2t ≥1 ? ?1 ? t ≤ ? . 2
③当 t ? 1 ? 0 ,即 t ? ?1 时, f ( x) 在 R 上单调递减,∴ 1 ? f ( x) ? ?t ,由 f ( x) 为“可构造三 角形函数”得 2 ≥ ?t ? ?2 ≤ t ? ?1 .

1 综上, ?2 ≤ t ≤ ? ,故选 D. 2 三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13. 【答案】 ?

1 2
x x ( ? 9 ? 1)k对 9 于 x? R 恒 成 立 , 而

x x 【 解 析 】 由 题 意 知 f (? x) ? f ( x) ? (?9 ? 1) ? ? k9 ?

(9? x ?1) ? 9?kx ? (9x ?1) ? 9kx ? 9? 2k ?1? x ? 1 ,于是 2k ? 1 ? 0 ,得 k ? ? .
14. 【答案】2
m n m n m n m?n (ax)m ? Cn 【解析】 (1+ax)5 (1 ? 2 x)4 展开式的通项可以写成 C5 , 4 (?2 x) ? C5 C4 a (?2) x

1 2

0 2 0 1 1 1 2 0 2 0 2 C4 a (?2)2 ? C1 所以 x2 的系数为 C5 5C4 a (?2) ? C5 C4 a (?2) ? ?16 ,即 10a ? 40a ? 24 ? ?16 ,

解得 a ? 2 . 15. 【答案】

2 5 5

两边同时乘以 AB , ??? ? ????

??? ?

AB ? AO ?

?2 1 ??? AB 2

3 2 2 【解析】∵ M 在 抛 物 线 y =2 px ( p > 0 ) 上 , M 到 抛 物 线 焦 点 的 距 离 为 P . ?p ? ∴M 点的坐标为 ? , p ? ; ?2 ?
16. 【答案】

13

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0? , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , a2 b2 则 x1 ? x2 ? p, y1 ? y2 ? 2 p
设双曲线方程为
? x12 y12 ? ?1 ? p( x1 ? x2 ) 2 p( y1 ? y2 ) ? a 2 b2 ? ?0 , 由? 2 两式相减,并将上式代入得 2 a2 b2 ? x2 ? y2 ? 1 ? b2 ? a2

k AB ?

y1 ? y2 x1 ? x2

?

b2 2a
2

?

c2 ? a2 2a
2

?

e2 ? 1 2

?

3 2

14


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