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高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数课件新人教A版选修2


1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数 主题1 函数的单调性与导数的关系 1.如图1表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数 h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象,图2表示高台跳水 运动员的速度v随时间t变化的函数 v(t)= h′(t)=-9.8t+6.5的图象. (1)运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的 增加而增加,即t∈(0,a)时,h(t)是单调_____. 递增 此时,v(t)=h′(t)=-9.8t+6.5>0. (2)从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的 增加而减少,即t∈(a,b)时,h(t)是单调_____. 相应地,v(t)=h′(t)=-9.8t+6.5<0. 递减 2. 观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与其导数 正负的关系, (1)观察图象,完成下列填空. 图①中的函数y=x的导函数y′=__,此函数的单调 递增区间为_____________; (-∞,+∞) 1 图②中的函数y=x2的导函数y′=___ 2x ,此函数的单 调递增区间为__________,单调递减区间为__________. (0,+∞) (-∞,0) 图③中的函数y=x3的导函数y′=___,此函数的单 3x2 调递增区间为_____________; (-∞,+∞) 图④中的函数y= 的导函数y′= 1 x ? 1 ,此函数的 2 单调递减区间为_____________________. x (-∞,0),(0,+∞) (2)根据(1)中的导函数与单调区间之间的关系,思考 函数的单调性与导函数的正、负有什么关系? 提示:根据(1)中的结果可以看出,函数的单调区间与 导函数的正负有关,当导函数在某区间上大于0时,此 时对应的函数为增函数,当导函数在某区间上小于0时, 此时对应的函数为减函数. 3.观察下图, 请完成下表: 区间 y=f(x) 切线斜率 f′(x) (-∞,a) 增 ___ 正 ____ >0 (a,b) ___ 减 负 ____ <0 (b,+∞) 增 ___ 正 >0 结论:在区间(a,b)内函数的单调性与导数的关系 导数 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)=0 函数的单调性 单调递___ 增 单调递___ 减 常函数 主题2 函数变化的快慢与导数的关系 , x 1.在同一坐标系中画出函数y=2x,y=3x,y= y=x2,y=x3的图象. 提示:这几个函数的图象如图所示. 2. 观察以上函数的图象,当 x > 0 时,函数增长的快慢 与各函数的导数值的大小作对比,你发现了什么? 提示:增长速度快的,导函数值大,增长速度慢的, 导函数值小. 结论:函数变化的快慢与导数间的关系 一般地,如果一个函数在某一范围内导数的_______ 绝对值 _____,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数 较大 的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数 的图象就“平缓”. 导数符号 大于0为正 小于0为负 导数变化 导数越来越___ 大 导数越来越___ 小 导数越来越___ 大 导数越来越___ 小 原函数图象变化 越来越陡峭 越来越平缓 越来越平缓 越来越陡峭 【微思考】 1.回忆函数单调性的常规定义,分析用导数研究函 数的单调性与常规定义的联系? 提示:增函数时有 ?y >0 >0 0 ,则导数大于 求极限,若极限值大于 x1 ? x 2 ?x f (x1 ) ? f (x 2 )


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